Arithm
Arithm
Arithm
de lquation (E).
b. Dterminer lensemble des couples dentiers relatifs (x ; y) solutions de (E).
2. On considre lquation note (G) :
3x
2
+7y
2
=10
2n
o x et y sont des entiers relatifs
a. Montrer que 100 2 (7).
Dmontrer que si (x ; y) est solution de (G), alors 3x
2
2
n
(7).
b. Reproduire et complter le tableau suivant :
Reste de la division eucli-
dienne de x par 7
0 1 2 3 4 5 6
Reste de la division eucli-
dienne de 3x
2
par 7.
c. Dmontrer que 2
n
est congru 1, 2 ou 4 modulo 7.
En dduire que lquation (G) nadmet pas de solution.
Exercice 2 France / La Runion, septembre 2009 (5 points)
1. a. Dterminer le reste dans la division euclidienne de 2009 par 11.
b. Dterminer le reste dans la division euclidienne de 2
10
par 11.
c. Dterminer le reste dans la division euclidienne de 2
2009
+2009 par 11.
2. On dsigne par p un nombre entier naturel. On considre, pour tout entier naturel non nul n, le nombre
A
n
=2
n
+p.
On note d
n
le PGCD de A
n
et A
n+1
.
a. Montrer que d
n
divise 2
n
.
b. Dterminer la parit de A
n
en fonction de celle de p. Justier.
c. Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative mme non fructueuse,
sera prise en compte dans lvaluation.
Dterminer la parit de d
n
en fonction de celle de p.
En dduire le PGCD de 2
2009
+2009 et 2
2010
+2009.
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Exercice 3 Amrique du Nord, juin 2009 (5 points)
Soit A lensemble des entiers naturels de lintervalle [1 ; 46].
1. On considre lquation :
(E) : 23x +47y =1
o x et y sont des entiers relatifs.
a. Donner une solution particulire
x
0
; y
0
de (E).
b. Dterminer lensemble des couples (x ; y) solutions de (E).
c. En dduire quil existe un unique entier x appartenant A tel que 23x 1 (47).
2. Soient a et b deux entiers relatifs.
a. Montrer que si ab 0 (47), alors a 0 (47) ou b 0 (47).
b. En dduire que si a
2
1 (47), alors a 1 (47) ou a 1 (47).
3. a. Montrer que pour tout entier p de A, il existe un entier relatif q tel que p q 1 (47).
Pour la suite, on admet que pour tout entier p de A, il existe un unique entier, not inv(p), appartenant
A tel que p i nv(p) 1 (47).
Par exemple :
inv(1) =1 car 11 1 (47), inv(2) =24 car 224 1 (47), inv(3) =16 car 316 1 (47).
b. Quels sont les entiers p de A qui vrient p = inv(p) ?
c. Montrer que 46! 1 (47).
Exercice 4 Asie, juin 2009 (5 points)
1. On se propose, dans cette question, de dterminer tous les entiers relatifs N tels que :
N 5 (13)
N 1 (17)
a. Vrier que 239 est solution de ce systme.
b. Soit N un entier relatif solution de ce systme.
Dmontrer que N peut scrire sous la forme N =1+17x =5+13y o x et y sont deux entiers relatifs
vriant la relation 17x 13y =4.
c. Rsoudre lquation 17x 13y =4 o x et y sont des entiers relatifs.
d. En dduire quil existe un entier relatif k tel que N =18+221k.
e. Dmontrer lquivalence entre N 18 (221) et
N 5 (13)
N 1 (17)
.
2. Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme infructueuse, sera prise
en compte dans lvaluation.
a. Existe-t-il un entier naturel k tel que 10
k
1 (17) ?
b. Existe-t-il un entier naturel l tel que 10
l
18 (221) ?
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Exercice 5 France, juin 2009 (5 points)
Les trois questions de cet exercice sont indpendantes.
1. a. Dterminer lensemble des couples (x ; y) de nombres entiers relatifs, solution de lquation :
(E) : 8x 5y =3
b. Soit m un nombre entier relatif tel quil existe un couple (p ; q) de nombres entiers vriant m=8p+1
et m=5q +4.
Montrer que le couple (p ; q) est solution de lquation (E) et en dduire que m9 (40).
c. Dterminer le plus petit de ces nombres entiers m suprieurs 2000.
2. a. Dmontrer que pour tout nombre entier naturel k on a : 2
3k
1 (7).
b. Quel est le reste dans la division euclidienne de 2
2009
par 7?
3. Dans cette question, toute trace de recherche, mme incomplte, ou dinitiative, mme non fructueuse, sera
prise en compte dans lvaluation.
Soient a et b deux nombres entiers naturels infrieurs ou gaux 9 avec a =0.
Onconsidre le nombre N =a10
3
+b. Onrappelle quen base 10 ce nombre scrit sous la forme N =a00b.
On se propose de dterminer parmi ces nombres entiers naturels N ceux qui sont divisibles par 7.
a. Vrier que 10
3
1 (7).
b. En dduire tous les nombres entiers N cherchs.
Exercice 6 Liban, juin 2009 (5 points)
Le but de lexercice est de montrer quil existe un entier naturel n dont lcriture dcimale du cube se termine par
2009, cest--dire tel que n
3
2009 (10000).
Partie A
1. Dterminer le reste de la division euclidienne de 2009
2
par 16.
2. En dduire que 2009
8001
2009 (16).
Partie B
On considre la suite (u
n
) dnie sur N par : u
0
=2009
2
1 et, pour tout entier naturel n, u
n+1
=(u
n
+1)
5
1.
1. a. Dmontrer que u
0
est divisible par 5.
b. Dmontrer, en utilisant la formule du binme de Newton, que pour tout entier naturel n :
u
n1
=u
n
u
4
n
+5
u
3
n
+2u
2
n
+2u
n
+1
et b =db
).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1
Graphique 1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1
Graphique 2
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1
2
3
4
5
6
7
8
9
-1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -1
Graphique 3
Exercice 9 Nouvelle Caldonie, mars 2008 (5 points)
Partie A Question de cours
Quelles sont les proprits de compatibilit de la relation de congruence avec laddition, la multiplication et les
puissances ?
Dmontrer la proprit de compatibilit avec la multiplication.
Partie B
On note 0, 1, 2, . . . , 9, , , les chiffres de lcriture dun nombre en base 12. Par exemple :
7
12
=12
2
+12+7 =1112
2
+1012+7 =1711 en base 10
1. a. Soit N
1
le nombre scrivant en base 12 :
N
1
=1
12
Dterminer lcriture de N
1
en base 10.
b. Soit N
2
le nombre scrivant en base 10 :
N
2
=1131 =110
3
+110
2
+310+1
Dterminer lcriture de N
2
en base 12.
Dans toute la suite, un entier naturel N scrira de manire gnrale en base 12 :
N =a
n
a
1
a
0
12
2. a. Dmontrer que N a
0
(3). En dduire un critre de divisibilit par 3 dun nombre crit en base 12.
b. laide de son criture en base 12, dterminer si N
2
est divisible par 3. Conrmer avec son criture en
base 10.
3. a. Dmontrer que N a
n
+ +a
1
+a
0
(11). En dduire un critre de divisibilit par 11 dun nombre crit
en base 12.
b. laide de son criture en base 12, dterminer si N
1
est divisible par 11. Conrmer avec son criture
en base 10.
4. Un nombre N scrit x4y
12
. Dterminer les valeurs de x et de y pour lesquelles N est divisible par 33.
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Session 2007
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Exercice 10 Liban, juin 2007 (5 points)
Pour chacune des 5 propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une dmonstration de la
rponse choisie. Une rponse non dmontre ne rapporte aucun point.
1. Le plan complexe est rapport un repre orthonormal direct
O ;
u ;
v
.
On considre la transformation du plan qui tout point dafxe z associe le point dafxe z
dnie par :
z
=2iz +1
Proposition 1 : cette transformation est la similitude directe de centre A dafxe
1
5
+
2
5
i, dangle
2
et de
rapport 2 .
2. Dans lespace muni du repre orthonormal
O ;
;
;
k
O ;
;
;
k
O ;
k
n 13 (19)
n 6 (12)
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1. Dmontrer quil existe un couple (u; v) dentiers relatifs tel que : 19u +12v = 1 (on ne demande pas dans
cette question de donner un exemple dun tel couple).
Vrier que, pour un tel couple, le nombre N =1312v +619u est une solution de (S).
2. a. Soit n
0
une solution de (S), vrier que le systme (S) quivaut :
n n
0
(19)
n n
0
(12)
b. Dmontrer que le systme
n n
0
(19)
n n
0
(12)
quivaut n n
0
(1219).
3. a. Trouver uncouple (u; v) solutionde lquation19u+12v =1 et calculer la valeur de N correspondante.
b. Dterminer lensemble des solutions de (S) (on pourra utiliser la question 2.b).
4. Un entier naturel n est tel que lorsquon le divise par 12 le reste est 6 et lorsquon le divise par 19 le reste
est 13.
On divise n par 228 =1219. Quel est le reste r de cette division?
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Session 2005
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Exercice 16 France, septembre 2005 (5 points)
Pour chaque question, une seule des quatre rponses proposes est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numro de la question et la lettre correspondant la rponse choisie.
Chaque rponse exacte rapporte 1 point. Chaque rponse fausse enlve 0,5 point. Une absence de rponse est comp-
te 0 point. Si le total est ngatif, la note est ramene zro. Aucune justication nest demande.
1. On considre dans lensemble des entiers relatifs lquation : x
2
x +4 0 (6).
A : toutes les solutions sont des entiers pairs.
B : il ny a aucune solution.
C : les solutions vrient x 2 (6).
D : les solutions vrient x 2 (6) ou x 5 (6).
2. On se propose de rsoudre lquation (E) : 24x +34y =2, o x et y sont des entiers relatifs.
A : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) =(34k 7 ; 524k), k Z.
B : Lquation (E) na aucune solution.
C : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) =(17k 7 ; 512k), k Z.
D : Les solutions de (E) sont toutes de la forme : (x ; y) =(7k ; 5k), k Z.
3. On considre les deux nombres n =1789 et p =1789
2005
. On a alors :
A : n 4 (17) et p 0 (17).
B : p est un nombre premier.
C : p 4 (17).
D : p 1 (17).
4. On considre, dans le plan complexe rapport un repre orthonormal, les points A et B dafxes respec-
tives a et b. Le triangle MAB est rectangle isocle direct dhypotnuse [AB] si et seulement si le point M
dafxe z est tel que :
A : z =
b ia
1i
. C : a z =i(b z).
B : z a =e
i
4
(b a). D : b z =
2
(a z).
5. On considre dans le plan orient deux points distincts A et B ; on note I le milieu du segment [AB]. Soit
f la similitude directe de centre A, de rapport 2 et dangle
2
3
; soit g la similitude directe de centre A, de
rapport
1
2
et dangle
3
; soit h la symtrie centrale de centre 1.
A : h g f transforme A en B et cest une rotation.
B : h g f est la rexion ayant pour axe la mdiatrice du segment [AB].
C : h g f nest pas une similitude.
D : h g f est la translation de vecteur
AB.
Exercice 17 Antilles-Guyane, juin 2005 (5 points)
1. a. Dterminer suivant les valeurs de lentier naturel non nul n le reste dans la division euclidienne par 9
de 7
n
.
b. Dmontrer alors que 2005
2005
7 (9).
2. a. Dmontrer que pour tout entier naturel non nul n : 10
n
1 (9).
b. On dsigne par N un entier naturel crit en base dix, on appelle S la somme de ses chiffres.
Dmontrer la relation suivante : N S (9).
c. En dduire que N est divisible par 9 si et seulement si S est divisible par 9.
3. On suppose que A =2005
2005
; on dsigne par :
B la somme des chiffres de A ;
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C la somme des chiffres de B ;
D la somme des chiffres de C.
a. Dmontrer la relation suivante : A D (9).
b. Sachant que 2005 <10000, dmontrer que A scrit ennumration dcimale avec auplus 8020 chiffres.
En dduire que B 72180.
c. Dmontrer que C 45.
d. En tudiant la liste des entiers infrieurs 45, dterminer un majorant de D plus petit que 15.
e. Dmontrer que D =7.
Exercice 18 Centres trangers, juin 2005 (5 points)
Partie A
Soit N un entier naturel, impair non premier.
On suppose que N =a
2
b
2
o a et b sont deux entiers naturels.
1. Montrer que a et b nont pas la mme parit.
2. Montrer que N peut scrire comme produit de deux entiers naturels p et q.
3. Quelle est la parit de p et de q ?
Partie B
On admet que 250507 nest pas premier.
On se propose de chercher des couples dentiers naturels (a; b) vriant la relation (E) :
a
2
250507 =b
2
1. Soit X un entier naturel.
a. Donner, dans un tableau, les restes possibles de X modulo 9; puis ceux de X
2
modulo 9.
b. Sachant que a
2
250507 =b
2
, dterminer les restes possibles modulo 9 de a
2
250507; en dduire les
restes possibles module 9 de a
2
.
c. Montrer que les restes possibles modulo 9 de a sont 1 et 8.
2. Justier que si le couple (a ; b) vrie la relation (E), alors a 501. Montrer quil nexiste pas de solution du
type (501 ; b).
3. On suppose que le couple (a ; b) vrie la relation (E).
a. Dmontrer que a est congru 503 ou 505 modulo 9.
b. Dterminer le plus petit entier naturel k tel que le couple (505+9k ; b) soit solution de (E), puis donner
le couple solution correspondant.
Partie C
1. Dduire des parties prcdentes une criture de 250507 en un produit de deux facteurs.
2. Les deux facteurs sont-ils premiers entre eux ?
3. Cette criture est-elle unique?
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Exercice 19 La Runion, juin 2005 (5 points)
Dans cet exercice, on pourra utiliser le rsultat suivant :
tant donns deux entiers naturels a et b non nuls, si PGCD(a ; b) =1, alors PGCD(a
2
; b
2
) =1 .
Une suite (S
n
) est dnie pour n >0 par S
n
=
n
p=1
p
3
. On se propose de calculer, pour tout entier naturel non nul n,
le plus grand commun diviseur de S
n
et S
n+1
.
1. Dmontrer que, pour tout n >0, on a : S
n
=
n(n+1)
2
2
.
2. tude du cas o n est pair. Soit k lentier naturel non nul tel que n =2k.
a. Dmontrer que PGCD(S
2k
; S
2k+1
) =(2k +1)
2
PGCD
k
2
; (k +1)
2
.
b. Calculer PGCD(k ; k +1).
c. Calculer PGCD(S
2k
; S
2k+1
).
3. tude du cas o n est impair. Soit k lentier naturel non nul tel que n =2k +1.
a. Dmontrer que les entiers 2k +1 et 2k +3 sont premiers entre eux.
b. Calculer PGCD(S
2k+1
; S
2k+2
).
4. Dduire des questions prcdentes quil existe une unique valeur de n, que lon dterminera, pour laquelle
S
n
et S
n+1
sont premiers entre eux.
Exercice 20 Liban, juin 2005 (5 points)
1. On considre lquation (E) : 109x 226y =1 o x et y sont des entiers relatifs.
a. Dterminer le PGCD de 109 et 226. Que peut-on en conclure pour lquation (E) ?
b. Montrer que lensemble des solutions de (E) est lensemble des couples de la forme (141+226k ; 68+
109k), o k appartient Z.
En dduire quil existe un unique entier naturel non nul d infrieur ou gal 226 et un unique entier
naturel non nul e tels que 109d =1+226e (on prcisera les valeurs des entiers d et e).
2. Dmontrer que 227 est un nombre premier.
3. On note A lensemble des 227 entiers naturels a tels que a 226.
On considre les deux fonctions f et g de A dans A dnies de la manire suivante :
tout entier a de A, f associe le reste de la division euclidienne de a
109
par 227.
tout entier a de A, g associe le reste de la division euclidienne de a
141
par 227.
a. Vrier que g[ f (0)] =0.
On rappelle le rsultat suivant appel petit thorme de Fermat :
Si p est un nombre premier et a un entier non divisible par p, alors a
p1
1 (p).
b. Montrer que, quel que soit lentier non nul a de A, a
226
1 (227).
c. En utilisant 1.b, en dduire que, quel que soit lentier non nul a de A, g[ f (a)] =a.
Que peut-on dire de f [g(a)] =a ?
Frdric Demoulin Page 22
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Exercice 21 Polynsie, juin 2005 (5 points)
On considre la suite (u
n
) dentiers naturels dnie par :
u
0
=14
u
n+1
=5u
n
6 pour tout entier naturel n
1. Calculer u
1
, u
2
, u
3
et u
4
.
Quelle conjecture peut-on mettre concernant les deux derniers chiffres de u
n
?
2. Montrer que, pour tout entier naturel n, u
n+2
u
n
(4).
En dduire que pour tout entier naturel k, u
2k
2 (4) et u
2k+1
0 (4).
3. a. Montrer par rcurrence que, pour tout entier naturel n, 2u
n
=5
n+2
+3.
b. En dduire que, pour tout entier naturel n, 2u
n
28 (100).
4. Dterminer les deux derniers chiffres de lcriture dcimale de u
n
suivant les valeurs de n.
5. Montrer que le PGCD de deux termes conscutifs de la suite (u
n
) est constant. Prciser sa valeur.
Exercice 22 Inde, avril 2005
Le plan complexe est rapport un repre orthonormal direct
O ;
u ;
v
dafxe z
tel que :
z
=
3+4i
5
z +
12i
5
1. On note x et x
, y et y
.
Dmontrer que :
=
3x +4y +1
5
y
=
4x 3y 2
5
2. a. Dterminer lensemble des points invariants par f .
b. Quelle est la nature de lapplication f ?
3. Dterminer lensemble D des points M dafxe z tels que z
soit rel.
4. On cherche dterminer les points de D dont les coordonnes sont entires.
a. Donner une solution particulire (x
0
; y
0
) appartenant Z
2
de lquation 4x 3y =2.
b. Dterminer lensemble des solutions appartenant Z
2
de lquation 4x 3y =2.
5. On considre les points M dafxe z =x +iy tels que x =1 et y Z. Le point M
.
Dterminer les entiers y tels que Re(z
) et Im(z
2
=1, alors a et b sont premiers entre eux.
2. On se propose de dterminer les couples dentiers strictement positifs (a; b) tels que
a
2
+ab b
2
2
=1. Un
tel couple sera appel solution.
a. Dterminer a lorsque a =b.
b. Vrier que (1 ; 1), (2 ; 3) et (5 ; 8) sont trois solutions particulires.
c. Montrer que si (a ; b) est solution et si a =b, alors a
2
b
2
<0.
3. a. Montrer que si (x ; y) est une solution diffrente de (1 ; 1), alors (y x ; x) et (y ; y +x) sont aussi des
solutions.
b. Dduire de 2.b trois nouvelles solutions.
4. On considre la suite de nombres entiers strictement positifs (a
n
)
nN
dnie par a
0
= a
1
= 1 et, pour tout
entier n N, a
n+2
=a
n+1
+a
n
.
Dmontrer que, pour tout entier n 0, (a
n
; a
n+1
) est solution.
En dduire que les nombres a
n
et a
n+1
sont premiers entre eux.
Exercice 24 Centres trangers, juin 2004
On se propose dans cet exercice dtudier le problme suivant :
les nombres dont lcriture dcimale nutilise que le seul chiffre 1 peuvent-ils tre premiers ?
Pour tout entier naturel p 2, on pose N
p
=1. . . 1 o 1 apparat p fois.
On rappelle ds lors que N
p
=10
p1
+10
p2
+. . . +10
0
.
1. Les nombres N
2
=11, N
3
=111, N
4
=1111 sont-ils premiers ?
2. Prouver que N
p
=
10
p
1
9
. Peut-on tre certain que 10
p
1 est divisible par 9?
3. On se propose de dmontrer que si p nest pas premier, alors N
p
nest pas premier. On rappelle que pour
tout nombre rel x et tout entier naturel n non nul :
x
n
1 =(x 1)
x
n1
+x
n2
+. . . +x +1
a. On suppose que p est pair et on pose p =2q, o q est un entier naturel plus grand que 1.
Montrer que N
p
est divisible par N
2
=11.
b. On suppose que p est multiple de 3 et on pose p =3q, o q est un entier naturel plus grand que 1.
Montrer que N
p
est divisible par N
3
=111.
c. On suppose p non premier et on pose p =kq o k et q sont des entiers naturels plus grands que 1. En
dduire que N
p
est divisible par N
k
.
4. noncer une condition ncessaire pour que N
p
soit premier. Cette condition est-elle sufsante?
Frdric Demoulin Page 25
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Exercice 25 France, juin 2004
1. Montrer que, pour tout entier naturel non nul k et pour tout entier naturel x :
(x 1)
1+x +x
2
+. . . +x
k1
=x
k
1
Dans toute la suite de lexercice, on considre un nombre entier a suprieur ou gal 2.
2. a. Soit n un entier naturel non nul et d un diviseur positif de n : n =dk. Montrer que a
d
1 est un diviseur
de a
n
1.
b. Dduire de la question prcdente que 2
2004
1 est divisible par 7, par 63 puis par 9.
3. Soient m et n deux entiers naturels non nuls et d leur PGCD.
a. On dnit m
et n
par m= dm
et n = dn
et n
, montrer
quil existe des entiers relatifs u et v tels que munv =d.
b. On suppose u et v strictement positifs.
Montrer que :
a
m
1
a
nv
1
a
d
=a
d
1.
Montrer ensuite que a
d
1 est le PGCD de a
mu
1 et de a
nv
1.
c. Calculer, en utilisant le rsultat prcdent, le PGCD de 2
63
1 et de 2
60
1.
Exercice 26 La Runion, juin 2004
On rappelle la proprit, connue sous le nom de petit thorme de Fermat : soit p un nombre premier et a un
entier naturel premier avec p, alors a
p1
1 est divisible par p .
1. Soit p un nombre premier impair.
a. Montrer quil existe un entier naturel k, non nul, tel que 2
k
1 (p).
b. Soit k un entier naturel non nul tel que 2
k
1 (p) et soit n un entier naturel. Montrer que, si k divise n,
alors 2
n
1 (p).
c. Soit b tel que 2
b
1 (p), b tant le plus petit entier non nul vriant cette proprit.
Montrer, en utilisant la division euclidienne de n par b, que si 2
n
1 (p), alors b divise n.
2. Soit q un nombre premier impair et le nombre A =2
q
1. On prend pour p un facteur premier de A.
a. Justier que : 2
q
1 (p).
b. Montrer que p est impair.
c. Soit b tel que 2
b
1 (p), b tant le plus petit entier non nul vriant cette proprit.
Montrer, en utilisant 1. que b divise q. En dduire que b =q.
d. Montrer que q divise p 1, puis montrer que p 1 (2q).
3. Soit A
1
=2
17
1. Voici la liste des nombres premiers infrieurs 400 et qui sont de la forme 34m+1, avec m
entier non nul : 103, 137, 239, 307. En dduire que A
1
est premier.
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Annales Terminale S Arithmtique
Session 2003
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Exercice 27 Nouvelle-Caldonie, novembre 2003
1. a. Soit p un entier naturel. Montrer que lun des trois nombres p, p +10 et p +20, et lun seulement, est
divisible par 3.
b. Les entiers naturels a, b et c sont dans cet ordre les trois premiers termes dune suite arithmtique de
raison 10. Dterminer ces trois nombres sachant quils sont premiers.
2. Soit E lensemble des triplets dentiers relatifs (u; v ; w) tels que :
3u+13v +23w =0.
a. Montrer que pour un tel triplet v w (mod3).
b. On pose v = 3k +r et w = 3k
+r o k, k
12r ; 3k +r ; 3k
+r ).
c. Lespace est rapport un repre orthonormal dorigine O et soit (P) le plan dquation
3x +13y +23z =0. Dterminer lensemble des points M coordonnes (x ; y ; z) entires relatives ap-
partenant au plan (P) et situs lintrieur du cube de centre O, de ct 5 et dont les artes sont
parallles aux axes.
Exercice 28 Antilles-Guyane, septembre 2003
Soit lquation (1) dinconnue rationnelle x :
78x
3
+ux
2
+vx 14 =0.
o u et v sont des entiers relatifs.
1. On suppose dans cette question que
14
39
est solution de lquation (1).
a. Prouver que les entiers relatifs u et v sont lis par la relation 14x +39y =1.
b. Utiliser lalgorithme dEuclide, en dtaillant les diverses tapes ducalcul, pour trouver uncouple (x ; y)
dentiers relatifs vriant lquation 14x +39y =1. Vrier que le couple (25; 9) est solution de cette
quation.
c. En dduire un couple (u
0
; v
0
) solution particulire de lquation 14u +39v = 1. Donner la solution
gnrale de cette quation cest--dire lensemble des couples (u; v) dentiers relatifs qui la vrient.
d. Dterminer, parmi les couples (u; v) prcdents, celui pour lequel le nombre u est lentier naturel le
plus petit possible.
2. a. dcomposer 78 et 14 en facteurs premiers. En dduire, dans N, lensemble des diviseurs de 78 et len-
semble des diviseurs de 14.
b. Soit
p
q
une solution rationnelle de lquation (1) dinconnue x :
78x
3
+ux
2
+vx 14 =0 o u et v sont des entiers relatifs.
Montrer que si p et q sont des entiers relatifs premiers entre eux, alors p divise 14 et q divise 78.
c. En dduire le nombre de rationnels, non entiers, pouvant tre solutions de lquation (1) et crire,
parmi ces rationnels, lensemble de ceux qui sont positifs.
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Exercice 29 France, septembre 2003
On rappelle que 2003 est un nombre premier.
1. a. Dterminer deux entiers relatifs u et v tels que : 123u+2003v =1.
b. En dduire un entier relatif k
0
tel que : 123k
0
1 [2003].
c. Montrer que, pour tout entier relatif x,
123x 456 [2003] si et seulement si x 456k
0
[2003].
d. Dterminer lensemble des entiers relatifs x tels que : 123x 456 [2003].
e. Montrer quil existe un unique entier n tel que :
1 n 2002 et 123n 456 [2003].
2. Soit a un entier tel que : 1 a 2002.
a. Dterminer PGCD(a; 2003). En dduire quil existe un entier m tel que : am1 [2003].
b. Montrer que, pour tout entier b, il existe un unique entier x tel que :
0 x 2002 et ax b [2003].
Exercice 30 Polynsie, septembre 2003
On dsigne par p un nombre entier premier suprieur ou gal 7.
Le but de lexercice est de dmontrer que lentier naturel n = p
4
1 est divisible par 240, puis dappliquer ce
rsultat.
1. Montrer que p est congru 1 ou 1 modulo 3. En dduire que n est divisible par 3.
2. En remarquant que p est impair, prouver quil existe un entier naturel k tel que p
2
1 =4k(k +1), puis que
n est divisible par 16.
3. En considrant tous les restes possibles de la division euclidienne de p par 5, dmontrer que 5 divise n.
4. a. Soient a, b et c trois entiers naturels.
Dmontrer que si a divise c et b divise c, avec a et b premiers entre eux, alors ab divise c.
b. Dduire de ce qui prcde que 240 divise n.
5. Existe-t-il quinze nombres premiers p
1
, p
2
, . . . , p
15
suprieurs ou gaux 7 tels que lentier
A =p
4
1
+p
4
2
+. . . +p
4
15
soit un nombre premier ?
Exercice 31 Antilles-Guyane, juin 2003
1. a. Calculer :
1+
2
,
1+
4
,
1+
6
.
b. Appliquer lalgorithme dEuclide 847 et 342. Que peut-on en dduire?
2. Soit n un entier naturel non nul. On note a et b les entiers naturels tels que :
1+
n
=a
n
+b
n
6.
a. Que valent a
1
et b
1
? Daprs les calculs de la question 1.(a), donner dautres valeurs de a
n
et b
n
.
b. Calculer a
n+1
et b
n+1
en fonction de a
n
et b
n
.
c. Dmontrer que, si 5 ne divise pas a
n
+b
n
, alors 5 ne divise pas non plus a
n+1
+b
n+1
.
En dduire que, que que soit n entier naturel non nul, 5 ne divise pas a
n
+b
n
.
d. Dmontrer que, si a
n
et b
n
sont premiers entre eux, alors a
n+1
et b
n+1
sont premiers entre eux. En
dduire que, quel que soit n entier naturel non nul, a
n
et b
n
sont premiers entre eux.
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Exercice 32 Asie, juin 2003
1. a. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n
3
11n+48 est divisible par n+3.
b. Montrer que, pour tout entier naturel n, 3n
2
9n+16 est un entier naturel non nul.
2. Montrer que, pour tous les entiers naturels non nuls a, b et c, lgalit suivante est vraie :
PGCD(a ; b) =PGCD(bc a ; b).
3. Montrer que, pour tout entier naturel n, suprieur ou gal 2, lgalit suivante est vraie :
PGCD(3n
3
11n ; n+3) =PGCD(48; n+3).
4. a. Dterminer lensemble des diviseurs entiers naturels de 48.
b. En dduire lensemble des entiers naturels n tels que
3n
3
11n
n+3
soit un entier naturel.
Exercice 33 France, juin 2003
Les questions 3. et 4. sont indpendantes des questions 1. et 2., seule lquation de () donne en 1.(c) intervient
la question 4.
1. Lespace est rapport au repre orthonormal
O ;
;
;
k
.
a. Montrer que les plans (P) et (Q) dquations respectives x + y
3 2z = 0 et 2x z = 0 ne sont pas
parallles.
b. Donner un systme dquations paramtriques de la droite () intersection des plans (P) et (Q).
c. On considre le cne de rvolution () daxe (Ox) contenant la droite () comme gnratrice.
Montrer que () a pour quation cartsienne y
2
+z
2
=7x
2
.
2. On a reprsent sur les deux gures ci-dessous les intersections de () avec des plans parallles aux axes de
coordonnes.
Determiner dans chaque cas une quation des plans possibles, en justiant avec soin votre rponse.
Figure 1 Figure 2
3. a. Montrer que lquation x
2
3 [7], dont linconnue x est un entier relatif, na pas de solution.
b. Montrer la proprit suivante :
pour tous entiers relatifs a et b, si 7 divise a
2
+b
2
alors 7 divise a et 7 divise b.
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4. a. Soient a, b et c des entiers relatifs non nuls. Montrer la proprit suivante :
si le point A de coordonnes (a; b; c) est un point du cne () alors a, b et c sont divisibles par 7.
b. En dduire que le seul point de () dont les coordonnes sont des entiers relatifs est le sommet de ce
cne.
Exercice 34 Liban, mai 2003
Les suites dentiers naturels (x
n
) et (y
n
) sont dnies sur N par :
x
0
=3 et x
n+1
=2x
n
1
y
0
=1 et y
n+1
=2y
n
+3.
1. Dmontrer par rcurrence que pour tout entier naturel n, x
n
=2
n+1
+1.
2. a. Calculer le PGCD de x
8
et x
9
, puis celui de x
2002
et x
2003
. Que peut-on en dduire pour x
8
et x
9
dune
part, pour x
2002
et x
2003
dautre part ?
b. x
n
et x
n+1
sont-ils premiers entre eux pour tout entier naturel n ?
3. a. Dmontrer que pour tout entier naturel n, 2x
n
y
n
=5.
b. Exprimer y
n
en fonction de n.
c. En utilisant les congruences modulo 5, tudier suivant les valeurs de lentier naturel p le reste de la
division euclidienne de 2
p
par 5.
d. On note d
n
le PGCD de x
n
et y
n
pour tout entier naturel n.
Dmontrer que lon a d
n
=1 ou d
n
=5; en dduire lensemble des entiers naturels n tels que x
n
et y
n
soient premiers entre eux.
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Session 2002
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Exercice 35 Amrique du Sud, dcembre 2002
On considre la suite dentiers dnie par a
n
=111. . . 11 (lcriture dcimale de a
n
est compose de n chiffres 1).
On se propose de montrer que lun, au moins, des termes de la suite est divisible par 2001.
1. En crivant a
n
sous la forme dune somme de puissances de 10, montrer que pour tout entier naturel n non
nul, a
n
=
10
n
1
9
.
2. On considre la division euclidienne par 2001 : expliquer pourquoi parmi les 2 002 premiers termes de la
suite, il en existe deux, au moins, ayant le mme reste.
Soit a
n
et a
p
deux termes de la suite admettant le mme reste (n <p).
Quel est le reste de la division euclidienne de a
p
a
n
par 2001?
3. Soit k et m deux entiers strictement positifs vriant k <m.
Dmontrer lgalit : a
m
a
n
=a
mn
10
k
.
4. Calculer le PGCD de 2001 et de 10. Montrer que si 2001 divise a
m
a
k
, alors 2001 divise a
mk
.
5. Dmontrer alors que lun, au moins, des termes de la suite est divisible par 2001.
Exercice 36 Nouvelle-Caldonie, novembre 2002
On considre deux entiers naturels, non nuls, x et y premiers entre eux.
On pose S =x +y et P =xy.
1. a. Dmontrer que x et S sont premiers entre eux, de mme que y et S.
b. En dduire que S =x +y et P =xy sont premiers entre eux.
c. Dmontrer que les nombres S et P sont de parits diffrentes (lun pair, lautre impair).
2. Dterminer les diviseurs positifs de 84 et les ranger par ordre croissant.
3. Trouver les nombres premiers entre eux x et y tels que : SP =84.
4. Dterminer les deux entiers naturels a et b vriant les conditions suivantes :
a +b = 84
ab = d
3
avec d =PGCD(a; b)
(On pourra poser a =dx et b =dy avec x et y premiers entre eux)
Exercice 37 France, septembre 2002
On considre un rectangle direct ABCD vriant : AB = 10 cm et AD = 5 cm.
C B
D A E
1
E
2
E
3
A
1
E
4
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1. Faire une gure : construire ABCD, puis les images respectives M, N et P de B, C et D par la rotation r de
centre A et dangle
2
.
2. a. Construire le centre de la rotation r
qui vrie r
(A) =N et r
.
b. Montrer que limage de ABCD par r
est AMNP.
c. Dterminer la nature et les lments caractristiques de la transformation r
1
r
.
3. On considre les images successives des rectangles ABCD et AMNP par la translation de vecteur
DM. Sur
la demi-droite [DA), on dnit ainsi la suite de points (A
k
)
k1
vriant, en cm, DA
k
=5+15k. Sur la mme
demi-droite, on considre la suite de points (E
n
)
n1
vriant, en cm, DE
n
=6, 55n.
a. Dterminer lentier k tel que E
120
appartienne [A
k
, A
k+1
]. Que vaut la longueur A
k
E
120
en cm?
b. On cherche dans cette question pour quelle valeur minimale n
0
le point E
n
0
est confondu avec un
point A
k
.
Montrer que si un point E
n
est confondu avec un point A
k
alors 131n300k =100.
Vrier que les nombres n =7100 et k =3100 forment une solution de cette quation.
Dterminer la valeur minimale n
0
recherche.
Exercice 38 Asie, juin 2002
On considre les suites (x
n
) et (y
n
) dnies par x
0
=1, y
0
=8 et
x
n+1
=
7
3
x
n
+
1
3
y
n
+1
y
n+1
=
20
3
x
n
+
8
3
y
n
+5
, n N.
1. Montrer, par rcurrence, que les points M
n
de coordonnes
x
n
; y
n
4
n
52
.
b. En dduire que 4
n
52 est un multiple de 3, pour tout entier naturel n.
Exercice 39 Centres trangers, juin 2002
Soit p un nombre premier donn. On se propose dtudier lexistence de couples (x ; y) dentiers naturels stricte-
ment positifs vriant lquation :
(E) : x
2
+y
2
= p
2
1. On pose p =2. Montrer que lquation (E) est sans solution.
On suppose dsormais que p est diffrent de 2 et que le couple (x ; y) est solution de lquation (E).
2. Le but de cette question est de prouver que x et y sont premiers entre eux.
a. Montrer que x et y sont de parits diffrentes.
b. Montrer que x et y ne sont pas divisibles par p.
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c. En dduire que x et y sont premiers entre eux.
3. On suppose maintenant que p est une somme de deux carrs non nuls, cest--dire : p = u
2
+v
2
o u et v
sont deux entiers naturels strictement positifs.
a. Vrier qualors le couple
u
2
v
2
; 2uv
O ;
;
;
k
x
2
+2
2
4x
2
.
2. En dduire que x
4
+4 peut scrire comme produit de deux trinmes coefcients rels.
Partie II
Soit n un entier naturel suprieur ou gal 2.
On considre les entiers A =n
2
2n+2 et B =n
2
+2n+2 et d leur PGCD.
1. Montrer que n
4
+4 nest pas premier.
2. Montrer que, tout diviseur de A qui divise n, divise 2.
3. Montrer que, tout diviseur commun de A et B, divise 4n.
4. Dans cette question on suppose que n est impair.
a. Montrer que A et B sont impairs. En dduire que d est impair.
b. Montrer que d divise n.
c. En dduire que d divise 2, puis que A et B sont premiers entre eux.
5. On suppose maintenant que n est pair.
a. Montrer que 4 ne divise pas n
2
2n+2.
b. Montrer que d est de la forme d =2p, o p est impair.
c. Montrer que p divise n. En dduire que d = 2. (On pourra sinspirer de la dmonstration utilise la
question 4.)
Exercice 46 Antilles-Guyane, septembre 2001
1. Soient a et b des entiers naturels non nuls tels que PGCD(a +b ; ab) =p, o p est un nombre premier.
a. Dmontrer que p divise a
2
. (On remarquera que a
2
=a(a +b) ab).
b. En dduire que p divise a.
On constate donc, de mme, que p divise b.
c. Dmontrer que PGCD(a; b) =p.
2. On dsigne par a et b des entiers naturels tels que a b.
Frdric Demoulin Page 39
Annales Terminale S Arithmtique
a. Rsoudre le systme :
PGCD(a; b) = 5
PPCM(a; b) = 170
.
b. En dduire les solutions du systme :
dafxe z
dnie par :
z
=ze
5i
6
.
On dnit une suite de points (M
n
) de la manire suivante : M
0
a pour afxe z
0
=e
i
2
et pour tout entier naturel n,
M
n+1
= f (M
n
). On appelle z
n
lafxe de M
n
.
1. Dterminer la nature et les lments caractristiques de f . Placer les points M
0
, M
1
, M
2
.
2. Montrer que pour tout entier naturel n, on a lgalit :
z
n
=e
i
2
+
5n
6
.
(On pourra utiliser un raisonnement par rcurrence.)
3. Soient deux entiers n et p tels que n soit suprieur ou gal p. Montrer que deux points M
n
et M
p
sont
confondus si et seulement si (np) est multiple de 12.
4. a. On considre lquation (E) : 12x 5y =3 o x et y sont des entiers relatifs.
Aprs avoir vri que le couple (4; 9) est solution, rsoudre lquation (E).
b. En dduire lensemble des entiers naturels n tels que M
n
appartienne la demi-droite [Ox).
Exercice 52 Inde, juin 2001
1. On considre lquation (1) dinconnues (n; m) lments de Z
2
:
11n24m =1.
a. Justier, laide de lnonc dun thorme, que cette quation admet au moins une solution.
b. En utilisant lalgorithme dEuclide, dterminer une solution particulire de lquation (1).
c. Dterminer lensemble des solutions de lquation (1).
2. Recherche du PGCD de 10
11
1 et 10
24
1.
a. Justier que 9 divise 10
11
1 et 10
24
1.
b. (n; m) dsignant un couple quelconque dentiers naturels solutions de (1), montrer que lon peut
crire :
10
11n
1
10
10
24m
1
=9.
c. Montrer que 10
11
1 divise 10
11n
1. (onrappelle lgalit a
n
1 =(a1)
a
n1
+a
n2
+. . . +a
0
, valable
pour tout entier naturel n non nul). Dduire de la question prcdente lexistence de deux entiers N
et M tels que :
10
11
1
10
24
1
M =9.
d. Montrer que tout diviseur commun 10
24
1 et 10
11
1 divise 9.
e. Dduire des questions prcdentes le PGCD de 10
24
1 et 10
11
1.
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Exercice 53 Nouvelle-Caldonie, juin 2001
Dans tout lexercice, x et y dsignentdes entiers naturels non nuls vriant x < y.
S est lensemble des couples (x ; y) tels que PGCD(x ; y) = y x.
1. a. Calculer PGCD(363; 484).
b. Le couple (363; 484) appartient-il S ?
2. Soit n un entier naturel non nul ; le couple (n; n+1) appartient-il S ?
Justier votre rponse.
3. a. Montrer que (x ; y) appartient S si et seulement si il existe un entier naturel k non nul tel que x =
k(y x) et y =(k +1)(y x).
b. En dduire que pour tout couple (x ; y) de S on a :
PPCM(x ; y) =k(k +1)(y x).
4. a. Dterminer lensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
b. En dduire lensemble des couples (x ; y) de S tels que PPCM(x ; y) =228.
Exercice 54 Polynsie, juin 2001
1. On considre x et y des entiers relatifs et lquation (E) : 91x +10y =1.
a. noncer un thorme permettant de justier lexistence dune solution lquation (E).
b. Dterminer une solution particulire de (E) et en dduire une solution particulire de lquation (E
) :
91x +10y =412.
c. Rsoudre (E
).
2. Montrer que les nombres entiers A
n
=3
2n
1, o n est un entier naturel non nul, sont divisibles par 8. (Une
des mthodes possibles est un raisonnement par rcurrence).
3. On considre lquation (E
) : A
3
x +A
2
y =3296.
a. Dterminer les couples dentiers relatifs (x ; y) solutions de lquation (E
).
b. Montrer que (E
O ;
;
;
k
i =0
3
i
, o n est un entier naturel suprieur ou gal 2.
a. Montrer que si U
n
est divisible par 7, alors 3
n
1 est divisible par 7.
b. Rciproquement, montrer que si 3
n
1 est divisible par 7, alors U
n
est divisible par 7. En dduire les
valeurs de n telles que U
n
soit divisible par 7.
Exercice 58 La Runion, juin 2000
Pour tout entier naturel n suprieur ou gal 5, on considre les nombres :
a =n
3
n
2
12n et b =2n
2
7n4.
1. Montrer, aprs factorisation, que a et b sont des entiers naturels divisibles par n4.
2. On pose =2n+1 et =n+3. On note d le PGCD de et .
a. tablir une relation entre et indpendante de n.
b. Dmontrer que d est un diviseur de 5.
c. Dmontrer que les nombres et sont multiples de 5 si et seulement si n2 est multiple de 5.
3. Montrer que 2n+1 et n sont premiers entre eux.
4. a. Dterminer, suivant les valeurs de n et en fonction de n, le PGCD de a et b.
b. Vrier les rsultats obtenus dans les cas particuliers n =11 et n =12.
Exercice 59 Liban, juin 2000
1. Le plan (P) est rapport un repre orthonormal direct
O ;
u ;
v
dafxe z
tel que
OM
=2
AM+
BM.
a. Exprimer z
en fonction de z.
b. Montrer que f admet un seul point invariant dont on donnera lafxe. En dduire que f est une
homothtie dont on prcisera le centre et le rapport.
2. On se place dans le cas o les coordonnes x et y de M sont des entiers naturels avec 1 x 8 et 1 y 8.
Les coordonnes (x
; y
) de M
sont alors : x
=3x +2 et y
=3y 1.
a. On appelle G et H les ensembles des valeurs prises respectivement par x
et y
est un multiple de 3.
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c. Montrer que la somme et la diffrence de deux entiers quelconques ont mme parit. On se propose
de dterminer tous les couples (x
; y
peut-il tre
un multiple de 30?
e. En dduire que, si x
2
y
2
est un multiple non nul de 60, x
+ y
; y
) qui conviennent.
En dduire les couples (x ; y) correspondant aux couples (x
; y
) trouvs.
Exercice 60 Polynsie, juin 2000
1. On cherche deux entiers relatifs x et y solutions de lquation (1) : ax +by = 60 (a et b entiers naturels
donns tels que ab =0). On notera d le plus grand commun diviseur de a et b.
a. On suppose que lquation (1) a au moins une solution (x
0
; y
0
). Montrer que d divise 60.
b. On suppose que d divise 60. Prouver quil existe alors au moins une solution (x
0
; y
0
) lquation (1).
2. On considre lquation (2) : 24x +36y =60 (x et y entiers relatifs).
a. Donner le PGCD de 24 et 36 en justiant brivement. Simplier lquation (2).
b. Trouver une solution vidente pour lquation (2) et rsoudre cette quation. On appellera S len-
semble des couples (x ; y) solutions.
c. numrer tous les couples (x ; y) solutions de (2) et tels que :
10 x 10.
Donner parmi eux, ceux pour lesquels x et y sont multiples de 5.
d. Dans le plan rapport un repre orthonormal (unit graphique : 1 cm), reprsenter lensemble E des
points M de coordonnes (x ; y) telles que :
x = 1+3t
y = 12t
, t R.
e. Montrer que les points ayant pour coordonnes les solutions (x ; y) de lquation (2) appartiennent
E. Comment peut-on caractriser S ?
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Session 1999
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Exercice 61 Nouvelle-Caldonie, dcembre 1999
Soit n un entier naturel non nul, on considre les entiers suivants : N =9n+1 et M =9n1.
1. On suppose que n est un entier pair. On pose n =2p, avec p entier naturel non nul.
a. Montrer que M et N sont des entiers impairs.
b. En remarquant que N =M+2, dterminer le PGCD de M et N.
2. On suppose que n est un entier impair. On pose n =2p +1 , avec p entier naturel.
a. Montrer que M et N sont des entiers pairs.
b. En remarquant que N =M+2, dterminer le PGCD de M et N.
3. Pour tout entier naturel non nul n, on considre lentier 81n
2
1.
a. Exprimer lentier 81n
2
1 en fonction des entiers M et N.
b. Dmontrer que si n est pair alors 81n
2
1 est impair.
c. Dmontrer que 81n
2
1 est divisible par 4 si et seulement si n est impair.
Exercice 62 Amrique du Sud, novembre 1999
On considre lquation (1) : 20b 9c = 2 o les inconnues b et c appartiennent lensemble Z des nombres
entiers relatifs.
1. a. Montrer que si le couple (b
0
; c
0
) dentiers relatifs est une solution de lquation (1), alors c
0
est un
multiple de 2.
b. On dsigne par d le PGCD de |b
0
| et |c
0
|. Quelles sont les valeurs possibles de d ?
2. Dterminer une solution particulire de lquation (1), puis dterminer lensemble des solutions de cette
quation.
3. Dterminer lensemble des solutions (b; c) de (1) telles que PGCD(b; c) =2.
4. Soit r un nombre entier naturel suprieur ou gal 2. Le nombre entier naturel P, dtermin par P =
n
r
n
+
n1
r
n1
+... +
1
r +
0
, o
n
,
n1
, ... ,
1
,
0
sont des nombres entiers naturels vriant 0 <
n
<r, 0
n1
<r, ... , 0
0
<r , est not
n
n1
. . .
1
0
(r )
; cette criture est dite criture de P en base r .
Soit P un nombre entier naturel scrivant ca5
(6)
et bbaa
(4)
(en base six et en base quatre respectivement).
Montrer que a +5 est un multiple de 4 et en dduire les valeurs de a, puis de b et de c.
Donner lcriture de P dans le systme dcimal.
Exercice 63 Inde, novembre 1999
Partie A
On admet que 1999 est un nombre premier. Dterminer lensemble des couples (a ; b) dentiers naturels admet-
tant pour somme 11 994 et pour PGCD 1999.
Partie B
On considre lquation (E) dinconnue n appartenant N :
(E) : n
2
Sn+11994 =0 o S est un entier naturel.
On sintresse des valeurs de S telles que (E) admette deux solutions dans N.
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1. Peut-on dterminer un entier S tel que 3 soit solution de (E) ?
Si oui, prciser la deuxime solution.
2. Peut-on dterminer un entier S tel que 5 soit solution de (E) ?
3. Montrer que tout entier n solution de (E) est un diviseur de 11 994. En dduire toutes les valeurs possibles
de S telles que (E) admette deux solutions entires.
Exercice 64 Amrique du Nord, juin 1999
Les trois parties I, II, III peuvent tre traites indpendamment les unes des autres.
Partie I
Soit E ={1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 10}. Dterminer les paires {a; b} dentiers distincts de E tels que le reste de la
division euclidienne de ab par 11 soit 1.
Partie II
Soit n un entier naturel suprieur ou gal 3.
1. Lentier (n1)! +1 est-il pair ?
2. Lentier (n1)! +1 est-il divisible par un entier naturel pair ?
3. Prouver que lentier (151)! +1 nest pas divisible par 15.
4. Lentier (111)! +1 est-il divisible par 11?
Partie III
Soit p un entier naturel non premier (p 2).
1. Prouver que p admet un diviseur q (1 < q <p) qui divise (p 1).
2. Lentier q divise-t-il lentier (p 1)! +1?
3. Lentier p divise-t-il lentier (p 1)! +1?
Exercice 65 Antilles-Guyane, juin 1999
Dans le plan muni dun repre orthonormal
O ;
;
AB,
AC) =
2
.
On appelle x labscisse de B et y lordonne de C.
1. Dmontrer que le couple (x ; y) est solution de lquation :
(E) : 2x +3y =78.
2. On se propose de trouver tous les couples (B ; C) de points ayant pour coordonnes des nombres entiers
relatifs.
a. Montrer que lon est ramen lquation (E), avec x et y appartenant lensemble Z des nombres
entiers relatifs.
b. partir de la dnition de B et C, trouver une solution particulire (x
0
; y
0
) de (E) avec x
0
et y
0
appar-
tenant Z.
c. Dmontrer quun couple (x ; y) dentiers relatifs est solution de lquation (E) si, et seulement si, il est
de la forme (12+3k ; 182k), o k appartient Z.
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d. Combien y a-t-il de couples de points (B ; C) ayant pour coordonnes des nombres entiers relatifs, tels
que :
6 x 21 et 5 y 14?
Exercice 66 Asie, juin 1999
1. On considre lquation (E) : 8x +5y =1, o (x ; y) est un couple de nombres entiers relatifs.
a. Donner une solution particulire de lquation (E).
b. Rsoudre lquation (E).
2. Soit N un nombre naturel tel quil existe un couple (a; b) de nombres entiers vriant :
N =8a +1
N =5b +2
.
a. Montrer que le couple (a; b) est solution de (E).
b. Quel est le reste, dans la division de N par 40?
3. a. Rsoudre lquation 8x +5y =100, o (x ; y) est un couple de nombres entiers relatifs.
b. Au VIII
e
sicle, un groupe compos dhommes et de femmes a dpens 100 pices de monnaie dans
une auberge. Les hommes ont dpens 8 pices chacun et les femmes 5 pices chacune. Combien
pouvait-il y avoir dhommes et de femmes dans le groupe?
Exercice 67 Centres trangers, juin 1999
Le but de cet exercice est dutiliser les solutions dune quation deux inconnues entires pour rsoudre un
problme dans lespace.
1. a. Dterminer un couple (x
0
; y
0
) dentiers relatifs solutions de lquation :
48x +35y =1.
(On pourra utiliser lalgorithme dEuclide pour la recherche du PGCD de deux nombres).
b. Dduire de (a) tous les couples dentiers relatifs (x ; y) solutions de cette quation.
2. Lespace tant rapport un repre orthonormal, on donne le vecteur
u de coordonnes (48; 35; 24) et le
point A de coordonnes (11; 35; 13).
a. Prciser la nature et donner une quation cartsienne de lensemble () des points M de lespace, de
coordonnes (x ; y ; z) tels que
u .
AM =0.
b. Soit (D) la droite intersection de () avec le plan dquation z =16. Dterminer tous les points de (D)
dont les coordonnes sont entires et appartiennent lintervalle [- 100; 100]. En dduire les coordon-
nes du point de (D), coordonnes entires, situ le plus prs de lorigine.
Exercice 68 France, juin 1999
Pour tout entier naturel n non nul, on considre les nombres : a
n
=4.10
n
1, b
n
=2.10
n
1 et c
n
=2.10
n
+1.
1. a. Calculez a
n
, b
n
et c
n
pour n =1, 2 et 3.
b. Combien les critures dcimales des nombres a
n
et c
n
ont-elles de chiffres ? Montrez que a
n
et c
n
sont
divisibles par 3.
c. Montrez, en utilisant la liste des nombres premiers infrieurs 100 que b
3
est premier.
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d. Montrez que, pour tout entier naturel n, b
n
.c
n
= a
2n
. Dduisez-en la dcomposition en produit de
facteurs premiers de a
6
.
e. Montrez que PGCD(b
n
; c
n
) =PGCD(c
n
; 2). Dduisez-en que b
n
et c
n
sont premiers entre eux.
2. On considre lquation (1) : b
3
x +c
3
y =1 dinconnues les entiers relatifs x et y.
a. Justiez le fait que (1) possde au moins une solution.
b. Appliquez lalgorithme dEuclide aux nombres c
3
et b
3
. Dduisez-en une solution particulire de (1).
c. Rsolvez lquation (1).
Exercice 69 Liban, juin 1999
Le nombre n est un entier naturel non nul. On pose : a =4n+3, b =5n+2 et on note d le PGCD de a et b.
1. Donner la valeur de d dans les trois cas suivants : n =1, n =11, n =15.
2. Calculer 5a 4b et en dduire les valeurs possibles de d.
3. a. Dterminer les entiers naturels n et k tels que 4n+3 =7k.
b. Dterminer les entiers naturels n et k tels que 5n+2 =7k.
Soit r le reste de la division euclidienne de n par 7.
Dduire des questions prcdentes la valeur de r pour laquelle d vaut 7.
Pour quelles valeurs de r, d est-il gal 1?
Exercice 70 Polynsie, juin 1999
1. Dmontrer que, pour tout entier naturel n : 2
3n1
est un multiple de 7 (on pourra utiliser un raisonnement
par rcurrence). En dduire que 2
3n+1
2 est un multiple de 7 et que 2
3n+2
4 est un multiple de 7.
2. Dterminer les restes de la division par 7 des puissances de 2.
3. Le nombre p tant un entier naturel, on considre le nombre entier :
A
p
=2
p
+2
2p
+2
3p
.
a. Si p =3n, quel est le reste de la division de A
p
, par 7?
b. Dmontrer que si p =3n+1 alors A
p
est divisible par 7.
c. tudier le cas o p =3n+2.
4. On considre les nombres entiers a et b crits dans le systme binaire :
a =1001001000 b =1000100010000.
Vrier que ces deux nombres sont des nombres de la forme A
p
. Sont-ils divisibles par 7?
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Session Annes 80
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Exercice 71 Inconnu, 1982
1. Soient a et b deux entiers naturels dont la somme et le produit ont pour PGCDle carr dun nombre premier
p.
a. Montrer que p
2
divise a
2
(on pourra remarquer que a
2
= a(a +b) ab).
En dduire que p divise a. Montrer que p divise b.
b. Dmontrer que le PGCD de a et b est soit p, soit p
2
.
2. On cherche dterminer les entiers naturels a et b tels que :
PGCD(a +b; ab) =49 et PPCM(a; b) =231
a. Soient a et b deux tels entiers. Montrer que leur PGCD est 7.
b. Quelles sont les solutions du problme pos?
Exercice 72 Poitiers, 1982
Dans lexercice, les lettres a, b, p, q dsignent des entiers relatifs.
1. a. En supposant a =9p+4q et b =2p+q, dmontrer que les entiers a et b dune part, p et q dautre part,
ont le mme PGCD.
b. Dmontrer que les entiers 9p +4 et 2p +1 sont premiers entre eux. Quel est leur PPCM?
2. Dterminer le PGCD des entiers relatifs 9p +4 et 2p 1 en fonction des valeurs de p.
Exercice 73 Reims, 1982
1. Dterminer lensemble U des entiers relatifs n tels que n+2 divise 2n1.
2. Montrer que pour tout entier relatif, les nombres n+2 et 2n
2
+31 sont premiers entre eux.
3. Dterminer lensemble V des entiers relatifs n, n =2 tels que :
2n
2
1
2n
2
+3n1
n
2
2
(n+2)
soit un entier relatif.
Exercice 74 Antilles-Guyane, 1981
n tant un entier relatif quelconque, on considre les entiers relatifs a et b dnis par :
a =n
3
2n+5 ; b =n+1.
1. Montrer que PGCD(a; b) =PGCD(b; 6).
Pour quelles valeurs de n a-t-on PGCD(a; b) =3?
2. Dterminer n pour que le nombre
a
b
soit un entier relatif.
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Exercice 75 Besanon, 1981
Soit (a; b) un couple dentiers naturels non nuls ; on note m leur plus petit commun multiple et d leur plus grand
commun diviseur. Exprimer, laide de d, les couples (a; b) tels que :
b a =d
b
2
a
2
=md
2
.
Exercice 76 Clermont-Ferrand, 1981
Dterminer tous les couples (a; b) dentiers naturels dont le plus grand commun diviseur d et le plus petit com-
mun multiple m vrient la relation : 8m=105d +30.
Exercice 77 Lille 1, 1981
1. dcomposer 319 en produit de facteurs premiers.
2. Dmontrer que si x et y sont deux entiers naturels premiers entre eux, il en est de mme pour 3x +5y et
x +2y.
3. Rsoudre dans N
le systme :
, y N
tels que :
x
2
y
2
=a
2
b
2
.
Applications : Dterminer lensemble des couples (x ; y) dans les deux cas suivants :
(a; b) =(7; 2) et (a; b) =(11; 5).
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Exercice 93 Centres trangers I, 1978
1. Montrer que si deux entiers naturels a et b sont premiers entre eux, alors a
2
+b
2
et ab le sont aussi.
2. Dterminer toutes les paires (x ; y) dentiers naturels qui admettent 30 pour plus petit commun multiple et
vrient x
2
+y
2
=325.
(Pour lcriture des entiers, la base utilise est dix.)
Exercice 94 Montpellier, 1978
Quatre nombres entiers strictement positifs a, b, c, d forment, dans cet ordre, une suite gomtrique dont la
raison est un nombre entier premier avec a. Trouver ces nombres sachant quils vrient en outre la relation :
10a
2
=d b.
Exercice 95 Nantes, 1978
Si deux entiers naturels sont premiers entre eux, montrer quil en est de mme de leur somme et de leur produit.
En dduire lensemble des paires {a; b} dentiers naturels tels que :
a +b =96
PPCM(a; b) =180
.
Exercice 96 Nice, 1978
1. Trouver toutes les paires dentiers naturels a et b tels que lon ait :
PGCD(a; b) = 42
PPCM(a; b) = 1680
.
2. Dterminer lensemble des entiers relatifs x tels que :
8x 7 (mod5).
3. Rsoudre lquation :
(x ; y) ZZ, 336x +210y =294.
La deuxime question fournira une solution particulire de lquation simplie.
Exercice 97 Reims, 1978
On considre les trois entiers naturels a, b et c qui scrivent dans la base n :
a =111, b =114, c =13054.
1. Sachant que c =ab, dterminer n, puis lcriture de chacun des nombres a, b et c dans le systme dcimal.
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2. Vrier, en utilisant lalgorithme dEuclide, que a et b sont premiers entre eux. En dduire les solutions dans
Z
2
de lquation ax +by =1.
Exercice 98 Strasbourg, 1978
Le nombre n dsigne un entier naturel.
1. Dmontrer que n
2
+5n+4 et n
2
+3n+2 sont divisibles par n+1.
2. Dterminer lensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n
2
+15n+19 est divisible par n+1.
3. En dduire que, quel que soit n, 3n
2
+15n+19 nest pas divisible par n
2
+3n+2.
Exercice 99 Aix-en-Provence, 1977
1. tablir que, quel que soit (a, b, q) Z
3
,
a b =b (a bq).
La notation dsigne le PGCD des entiers relatifs a et b.
2. Montrer que, quel que soit n Z,
(5n
3
n) (n+2) =(n+2) 38.
3. Dterminer lensemble des entiers relatifs n tels que (n+2) divise (5n
3
n).
4. Quelles sont les valeurs possibles du PGCD de (5n
3
n) et (n+2) ?
Dterminer lensemble des entiers relatifs n tels que :
(5n
3
n) (n+2) =19.
Exercice 100 Caen, 1977
1. Dterminer lensemble des entiers naturels diviseurs de 210.
2. Si x et y sont deux entiers naturels non nuls, leur plus grand diviseur commun, leur plus petit multiple
commun, dterminer lensemble des couples (x ; y) tels que :
=210
y x =
.
Exercice 101 Lyon 1, 1977
Rsoudre dans NN le systme suivant :
x
2
y
2
= 5440
PGCD(x ; y) = 8
.
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Exercice 102 Lyon 2, 1977
1. Soit x un entier relatif. Dterminer le reste de la division euclidienne de x
3
par 9, en discutant suivant les
valeurs de x.
En dduire que, pour tout entier relatif x, on a :
x
3
0 [9] x 0 [3]
x
3
1 [9] x 1 [3]
x
3
8 [9] x 2 [3]
2. On considre trois entiers relatifs x, y et z tels que x
3
+y
3
+z
3
soit divisible par 9. Dmontrer que lun des
nombres x, y et z est divisible par 3.
Exercice 103 Aix-marseille, 1976
1. Dterminer suivant les valeurs de lentier naturel n le reste de la division euclidienne de 4
n
par 7.
2. Dterminer suivant les valeurs de lentier naturel n, le reste de la division euclidienne de
A =851
3n
+851
2n
+851
n
par 7 (on pourra remarquer que 851 4 [7]).
3. On considre le nombre B qui scrit 2103211
4
. Dterminer dans le systme dcimal le reste de la division
euclidienne de B par 4.
Exercice 104 Antilles-Guyane, 1976
1. Etudier les restes des divisions par 7 des puissances successives de 4, 5 et 6.
2. Dterminer les entiers naturels n pour lesquels 4
n
+5
n
+6
n
est divisible par 7.
Prciser les solutions comprises entre 105 et 125.
Exercice 105 Caen, 1976
On considre lquation (1) :
324x 245y =7 (x ; y) Z
2
.
1. Montrer que pour toute solution (x ; y), x est multiple de 7.
2. Dterminer une solution (x
0
; y
0
) et en dduire toutes les solutions.
3. Soit le PGCD des lments dun couple (x ; y) solution de (1) ; quelles sont les valeurs possibles de ?
Dterminer les solutions de (1) telles que x et y soient premiers entre eux.
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Exercice 106 Dijon, 1976
1. Calculer en fonction de n la somme des n premiers entiers naturels non nuls.
2. Dmontrer que, pour tout entier naturel non nul :
n
p=1
p
3
=
p=1
p
2
.
(Le candidat pourra utiliser un raisonnement par rcurrence.)
Soit s la suite de terme gnral :
s
n
=
n
p=1
p
3
Exprimer s
n
en fonction de n.
3. Soit D
n
le plus grand diviseur commun des nombres s
n
et s
n+1
. Calculer D
n
lorsque :
a. n =2k.
b. n =2k +1.
4. En dduire que, pour n > 1, D
n
est diffrent de 1 et que trois termes conscutifs s
n
, s
n+1
, s
n+2
de la suite s
sont premiers entre eux dans leur ensemble.
Exercice 107 Nancy, 1976
On dnit la suite de terme gnral u
n
par :
u
0
N, u
0
4
Pour tout lment de N, u
n+1
=2u
n
3.
1. On pose v
n
=u
n
3. Montrer que la suite (v
n
) ainsi dnie est une suite gomtrique. En dduire lexpres-
sion de v
n
, puis de u
n
en fonction de u
0
et de n.
2. Quels sont les nombres entiers u
0
(u
0
4) tels que, pour tout n, 3
u
n
soit le cube dun entier naturel ?
3. On suppose u
0
=4; dterminer toutes les valeurs de n telles que 3
u
n
1 soit un multiple de 11.
Exercice 108 Poitiers, 1976
Lensemble rfrentiel est lensemble N
, diffrent de 1; p
et q sont des lments de N
.
1. Montrer que si d est un diviseur de p, alors x
d
1 est un diviseur de x
p
1.
2. Montrer que si d est le PGCD de p et de q, alors il existe m et n tels que :
mp nd =d.
En dduire que si d est le PGCD de p et de q, on peut trouver m et n vriant :
x
mp
1
x
nq
1
x
d
=
x
d
1
.
3. De lgalit prcdente, dduire que x
d
1 est le PGCD de x
mp
1 et de x
nq
1.
Frdric Demoulin Page 63
Annales Terminale S Arithmtique
Exercice 109 Rennes, 1976
1. Rsoudre dans Z
2
=ZZ lquation 143x 100y =1.
2. Dterminer lensemble des entiers naturels p tels que 10
5p
+10
3p
2 0 [143].
Exercice 110 Rouen, 1976
k tant un entier relatif, on pose :
x =2k 1 et y =9k +4.
Montrer que tout diviseur commun x et y divise 17. En dduire, suivant les valeurs de k, le plus grand diviseur
commun de x et y.
Exercice 111 Dijon, 1973
1. Le nombre 2
11
1 est-il premier ?
2. p et q tant deux entiers naturels non nuls, quel est le reste de la division par 2
p
1 du nombre 2
pq
=
2
p
q
?
En dduire que 2
pq
1 est divisible par
2
p
1
et
2
q
1
.
3. Dmontrer que, si 2
n
1 est premier, alors n est premier.
La rciproque est-elle vraie?
Exercice 112 Aix-en-Provence 1, 1970
Les entiers seront crits ici en base dix.
En remarquant que 999 =2737, montrer que pour tout entier positif n :
10
3n
1 (mod37).
En dduire le reste de la division par 37 du nombre 10
10
+10
20
+10
30
.
Exercice 113 Aix-en-Provence 2, 1970
Montrer (au moyen des congruences) que, si aucun des trois entiers a, b ou c nest multiple de 3, a
2
+b
2
+c
2
est
multiple de 3.
Exercice 114 Bordeaux 1, 1970
N dsignant un entier naturel non nul, on considre les entiers de la forme N
4
+4.
1. dcomposer, dans le corps des rels, le polynme x
4
+4 en produit de deux facteurs du second degr.
En dduire que 5 est le seul nombre premier de la forme N
4
+4.
2. Montrer que, si N nest pas un multiple de 5, N
4
+4 est un multiple de 5.
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Exercice 115 Bordeaux 2, 1970
Montrer que, pour tout n 1, le nombre A =35
2n1
+2
3n2
est divisible par 17.
(On pourra, soit raisonner par rcurrence, soit utiliser les congruences modulo 17.)
Exercice 116 Cambodge et Laos, 1970
Dterminer les entiers naturels n tels que le nombre (23
n
+3) soit divisible par 11.
Exercice 117 Clermont-Ferrand, 1970
Dterminer tous les couples (a; b) dentiers naturels tels que m+11d =203, m tant le PPCM et d le PGCD de a
et b.
Exercice 118 Inde, 1970
1. On donne deux entiers naturels, a et b, premiers entre eux. Trouver un entier naturel c tel que chacun des
entiers a, b et c divise le produit des deux autres.
2. On donne deux entiers naturels a et b, et d leur PGCD. Trouver les entiers naturels c tels que chacun des
entiers a, b et c divise le produit des deux autres.
Application numrique : a =15, b =12.
Exercice 119 Limoges, 1970
Dmontrer que, quel que soit lentier n, le nombre entier N =n
2
(n
4
1) est divisible par 60.
Exercice 120 Lyon, 1970
On rappelle que le nombre des parties dun ensemble ni, E, ayant n lments est 2
n
.
1. En utilisant les congruences, tudier les restes possibles de la division par 5 dune puissance de 2.
2. On dsigne par F lensemble des parties de lensemble E de n lments et par G lensemble des parties de
F. On crit, dans le systme base 5, le nombre, m, des lments de G. Quel est, suivant les valeurs de n, le
chiffre des units de m?
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Exercice 121 Montpellier, 1970
Soit le nombre N =n
3
3n+5. En utilisant la thorie des congruences, dterminer :
1. La forme gnrale des entiers relatifs n tels que lon ait N 0 (mod 7).
2. La forme gnrale des entiers relatifs n tels que lon ait N 1 (mod 7).
Exercice 122 Nancy, 1970
Dterminer les couples (x ; y) dentiers strictement positifs satisfaisant aux trois conditions suivantes :
Le plus grand commun diviseur de x et y est gal 5;
Le plus petit commun multiple de x et y est gal 720;
Il existe un nombre rationnel r tel que r
2
=
x
y
.
Exercice 123 Nantes, 1970
Rsoudre dans Z, ensemble des entiers relatifs, lquation :
x
2
3x +4 0 (mod7), o x est linconnue
Exercice 124 Orlans 1, 1970
Dterminer n (n N) tel que la fraction
n
2
+3
n+2
soit rductible.
Dterminer n tel que cette fraction soit gale un entier naturel.
Exercice 125 Orlans 2, 1970
Dterminer le nombre entier du systme dcimal qui scrit abca, dans le systme base onze, et bbac, dans le
systme base sept.
Exercice 126 Paris, 1970
Considrons la fraction
2n3
n+1
, on est un entier relatif diffrent de -1. Pour quelles valeurs de n la fraction est-elle
quivalente un entier relatif ? Pour quelles valeurs de n est-elle irrductible?
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Exercice 127 Poitiers 1, 1970
Soit le nombre a =2n(n
2
+5), o n est un entier au moins gal 1.
Montrer que a est divisible par 3 et par 4. En dduire quil existe au moins un autre entier k tel que, pour tout
n 1, k divise a. Rappeler le thorme utilis.
Exercice 128 Poitiers 2, 1970
Trouver les entiers naturels compris entre 100 et 200, divisibles par 9, et qui dans le systme de numration de
base 6 scrivent x3y.
Exercice 129 Rennes 1, 1970
1. tout entier naturel n, on fait correspondre le reste u
n
de la division de 4
n
par 7. Montrer quil existe un
entier a, strictement positif, tel que, quel que soit n, u
n+a
=u
n
et u
n+k
=u
n
si 0 <k < a.
2. Reprendre la mme question pour les restes v
n
de la division de 5
n
par 7.
3. Comment faut-il choisir lentier naturel n pour que le nombre 5
n
4
n
soit divisible par 7?
Exercice 130 Rennes 2, 1970
1. Quel est lensemble des diviseurs du nombre 72?
2. Soit p un nombre entier naturel ; mettre le nombre entier relatif p
2
6p 63 sous la forme dune diffrence
de deux entiers naturels, lun deux tant un carr parfait, lautre ne dpendant pas de p.
En dduire tous les couples (p ; q) dentiers naturels, solutions de lquation p
2
6p 63 =q
2
.
Exercice 131 Rouen, 1970
tudier les restes des divisions par 5 des puissances de 7 : 7
1
, 7
2
, 7
3
, 7
4
,. . ., 7
p
, (p N, p >0).
Quel est le reste de la division par 5 de 7
45
? Montrer que 167
2n
283
2n+3
est divisible par 5 quel que soit lentier
naturel n.
Exercice 132 Strasbourg 1, 1970
Trouver tous les couples dentiers naturels (a; b) tels que le plus grand commun diviseur de a et de b soit 5 et le
plus petit commun multiple de a et de b soit 8160.
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Exercice 133 Strasbourg 2, 1970
Comment faut-il choisir lentier naturel n (n N) pour que 2
n
1 soit divisible par 9?
quelle condition relative aux entiers naturels x et y la division par 9 de 2
x
11
y
donne-t-elle 1 pour reste?
Exercice 134 Strasbourg 3, 1970
Dmontrer, soit par rcurrence sur n, soit par la mthode des congruences, que N =n(2n+1)(7n+1) est divisible
par 6, quel que soit lentier n suprieur ou gal 1.
Exercice 135 Toulouse 1, 1970
crire la liste des nombres premiers infrieurs 50.
Le nombre 1417 est-il premier ?
Quels sont les entiers naturels a et b vriant la relation a
2
=b
2
+1517?
Exercice 136 Toulouse 2, 1970
Calculer les restes, dans la division par 7, des puissances successives de 5.
Pour quelles valeurs de lentier naturel n le nombre 5
6n
+5
n
+2 est-il un multiple de 7?
Exercice 137 Toulouse 3, 1970
crire, suivant les valeurs de lentier naturel n, le reste de la division de 2
n
par 5.
En dduire le reste de la division de 2917
541
par 5.
Exercice 138 Toulouse 4, 1970
En utilisant le thorie des congruences, dterminer lensemble des entiers naturels n tels que (n
3
3n
2
2) soit
un multiple de 7.
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