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    DS Corrigé - RDM L3J - 17 18

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    sur 4

    Université Cheikh Anta Diop de Dakar ECOLE SUPÉRIEURE POLYTECHNIQUE

    U.C.A.D. DEPARTEMENT GENIE MECANIQUE


    B.P. 5085 Dakar - Fann (SENEGAL)

     / Fax : (221) 825-47-20


    E.S.P.

    Dakar, le 18 décembre 2017

    DS RDM – L3J
    Durée : 2 h
    Documents autorisés
    _____________________
    Exercice 1 (6 pts)

    La poutre AJ est de rigidité EI f constante. P et l étant supposés


    connus, calculer la flèche prise par cette poutre en son milieu.

    Exercice 2 (14 pts)


    La poutre continue AJ est de rigidité EI f constante. P et l sont supposés connus.
    1) Résoudre cette poutre et donner le digramme des moments fléchissants en
    fonction de P et l .
    2) Calculer la valeur minimale de son module de résistance Sf
    sachant que sa contrainte limite est [ σ ]=1200 daN . cm−2, que P=20. 103 daN et que
    l=2 m.

    ________
    _____
    _
    Corrigé
    __________
    Exercice 1(6 pts)
    La ligne d’influence des flèches au milieu de la poutre est ( L=5 l ¿:
    −1
    y ( x )= ( 4 x 2−3 L2) x= −1 ( 4 x 2−75 l 2 ) x
    48 E I f 48 E I f
    D’où :
    71 l 3 59 l 3
    y B = y I = y ( l )= . et y C = y D= y ( 2 l )= .
    48 E I f 12 E I f
    Le déplacement du milieu M de la poutre est alors :
    425 P l 3
    δ M =( P+ 3 P ) y B+ ( 4 P+2 P ) y C = .
    12 E I f
    Exercice 2
    1) Résolution de la poutre et digramme des moments
     Résolution de la poutre
    Le théorème des trois moments donne :
    La travée ( ) n’étant pas chargée,
    A B1 y 'B =0
    1

    {
    −3 E I f '
    y B =3 M B + M D
    l 2

    −3 E I f '
    l
    ( y D − y 'D )=M B +4 M D
    2 1

    Avec :
    ' ' 1 P l2 ' 1 Pl 2
    y B =− y D = et y D =
    2 1
    4 E If 2
    6 E If
    D’où :
    {
    −7
    M B= . Pl
    {12 M B + 4 M D=−3 PL
    4 M B +16 M D=−5 Pl
    ⟹
    M D=
    44
    −3
    . Pl
    11
    Ce qui donne les réactions d’appuis suivantes:

    {
    7
    R A= P
    44
    −53
    R B= P
    88
    −61
    R D= P
    88
    −19
    RJ = P
    22

    Poutre résolue

     Equations et diagramme des moments


    {
    −7
    0 ≤ x<l : M f 1 ( x )= Px
    44
    1
    l≤ x< 2l : M f 2 ( x ) = P ( 39 x−53 l )
    88
    −1
    2l ≤ x <3 l: M f 3 ( x )= P ( 49 x−123 l )
    88
    3
    3 l≤ x <4 l : M f 4 ( x )= P ( x−5 l )
    22
    −19
    4 l≤ x <5l : M f 5 ( x )= P ( x−5 l )
    22

    2) Valeur minimale de Sf
    La condition de résistance
    |M f|max 19 Pl 19 Pl
    |σ|max = = . ≤ [ σ ] ⟹ S fmin = .
    Sf 22 S f 22 [ σ ]
    3
    A.N. : Sfmin ≃63 333 cm

    ********
    *****
    *

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