PROJECTION

Cours de 4AS

1-Activités d’introduction
Activité 1 : y
Dans la figure suivante on donne les points 5

A(2 ;3), B(4 ;1), C(- 1 ;0), D(3 ;2), E(2 ;0),
4 M
F(5 ;3), G(4 ;- 2), M(1 ;4) K(5 ;0) et N(6 ;- 1) et
les droites (d) et (d’) d’équations respectives F
3 A
1 (d')
y = − x + 5 et y = x − 1 2 D
2
1) Vérifier que : 1
• Le point D appartient à la droite (d), B
E
• La droite (CD) est parallèle à (d’). -1
C
0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1
N
-2
G
-3 (d)

Le point D est l’intersection entre la droite (d) et la parallèle à (d’) passant par C.
On dit alors que le point D est l’image (le projeté) de C par la projection p sur (d) parallèlement à (d’).

2) Vérifier que les points C, D et F ont pour projeté sur (d) parallèlement à (d’), le point D.

3) Vérifier que :
• Le point N appartient à la droite (d),
• La droite (GN) est parallèle à (d’).

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4) Vérifier que les points E et B sont les milieux respectifs des segments [CK ] et [ DK ] et que B est
l’image de E par p.

On constate alors que la projection conserve le milieu.

5) Comparer les longueurs du segment [ CK ] et son image [ DK ] par p.

On constate alors que la projection ne conserve pas les distances.

Activité 2
ABC est un triangle quelconque et D est un point de (AC) différent du milieu de [ AC ] .
1) Déterminer les images de A, B et C par la projection P1 sur (BC) parallèlement à (AB).
2) Construire le point E, image de D par P1
3) Construire le point F, image de E par la projection P2 sur (AB) de direction (AC)
4) Construire le point G, image de F par la projection P3 sur (AC) de direction (BC)
5) Quelle est la nature des quadrilatères AFED et FECG ?
6) En déduire que AD = EF puis que AD = CG .

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2-Définitions
Définition 1
Soient ( ) , (∆) deux droites sécantes et un point du plan.
La droite qui passe par et parallèle à (∆) coupe ( ) en un point ′ .
Le point ′ s’appelle le projeté du point M sur ( ) parallèlement à (∆) ou image de M par la
projection sur ( ) de direction (∆).

Définition 2 : (Cas particulier :projection orthogonale)

Si deux droites ( ) et (∆) sont perpendiculaires, la

Exemple
ABCD est un carré de centre O, déterminer les projetés
orthogonaux
a. Du point A sur (CD)
b. Du point C sur (BD)
c. Du point B sur (AC)
d. Du point O sur (AC)

Solution

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3- Projeté d’un segment
Soient (D) et (D’) deux droites sécantes et [ AB ] un segment du plan. On considère la projection p sur
(D) parallèlement à (D’) .

( AB ) coupe les deux ( AB ) et (D) sont parallèles [ AB ] et (D’) sont parallèles

Le projeté de [ AB ] est un
Le projeté de [ AB ] est le
Le projeté de [ AB ] est un segment [ A 'B '] de même
point A' intersection de
segment [ A 'B '] de longueur longueur. (AB) et (D).
différente.

4- Propriétés
1) Dans une projection p sur une droite (D) parallèlement à une droite (D’), tous les points de (D) sont
invariants. Autrement dit : chaque point de (D) est confondu avec son projeté.
M ∈ (D) ⇔ p(M) = M

2) Dans une projection p sur une droite (D) parallèlement à une droite (D’), tous les points de (D’) ont
la même image : le point d’intersection de (D) et (D’).
M ∈ (D') ⇔ p(M) est l’intersection de (D) et (D’).

3) Lorsque le projeté d’un segment  AB  est un segment  A 'B ' alors le milieu I de  AB  se projette
en I’ milieu de  A 'B ' . Autrement dit la projection conserve les milieux.

4) La projection ne conserve pas les distances.

Application
Soit (D) et (L) deux droites sécantes et (AB) une droite
sécante à (L). On désigne par I le milieu de  AB  . On
considère la projection p sur (D) parallèlement à (L).
1) Construire les points A’,B’ et I’ images respectives de A, B
et I par p.
2) Marquer le point J intersection de (AB’) et (II’). Montrer
que J est le milieu de  AB' puis déduire que I’ est le milieu
de A′B′ . (On pourra utiliser le théorème de droites de
milieux).

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5- Projection et rapports de distances
Propriété
La projection conserve les rapports de distances.

Exemple
Dans la configuration ci-contre ( AA' ) //(BB')//(CC')

AB A 'B'
=
AC A 'C'
CB C'B'
=
AC A 'C'
AB A 'B '
=
BC B 'C '

Application
Exemple de partage d’un segment en parties de même longueur
Pour partager un segment donné [ AB ] en sept parties de même longueur on peut effectuer le
programme suivant :
• Sur la figure, on construit une demi-droite [ AX ) d’origine A, non parallèle à (AB).
• On place sur [ AX ) sept points A 1 , A 2 , ... A 6 , A 7 tel que AA 1 = A 1A 2 = A 2 A 3 =... =A 6 A 7
• On considère la projection p sur (AB) parallèlement à ( BA 7 ) et on marque les points
B1 , B 2 , ... B 7 images respectives de A 1 , A 2 , ... A 6 , A 7 par p, (On note que le point B 7 est
confondu avec B).
• On a alors AB1 = B1B 2 = B 2B 3 =... =B6B7 et le segment  AB  , est partagé en sept parties de
même longueur.

6- Exercices

Exercice 1
3
[ AB ] est un segment de longueur 13 cm. Placer le point M tel que AM = 7 AB . Justifier la construction.

Exercice 2
2 2
Soit un triangle et et deux points définis par: AI = AC et AJ = AB
3 3
1) Faire une figure et compléter la phrase : est le projeté de sur ( ) parallèlement à …..
2) Soit le milieu du segment [ ], la droite ( ) coupe ( ) en
a) Donner l’image du segment  GM  par la projection p sur (AB) parallèlement à (BC)
b) Soit K le milieu de  AG  et K’ est l’mage de K par p. Que représente K’ pour  AJ  ?

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 2
c) Montrer que AG = AM .
3
d) Que représente le point pour le triangle ?

Exercice 3

(D) et (d) sont deux droites non parallèles. A est un point n’appartenant pas à (d)
1- Construire le point A’ symétrique de A par rapport à (d)
2- Construire les points B et B’ images respectives de A et A’ par la projection sur (d) suivant (D).
3- Quelle est la nature du quadrilatère ABA’B’ ?

Exercice 4
2
ABC est un triangle, et soit le point M définie par : AM = AB .
5
Soit M1 la projection du point M sur la droite (AC) parallèlement à la droite (BC).
Soit M 2 la projection du point M1 sur la droite (BC) parallèlement à la droite (AB)
Soit M’ la projection du point M2 sur la droite (AB) parallèlement à la droite (AC).
1) Représenter la configuration précédente sur une figure.
2) Exprimer le vecteur BM′ en fonction du vecteur BA .
3) Peut-on dire que les segments [AB] et [MM’] ont le même milieu ? justifier votre reponse?

Exercice 5
1
Dans un quadrilatère convexe, soit le point M définie par BM =
BA . Le point N est la projection
3
du point M sur la droite (BC) parallèlement à la droite (AC), et le point P est la projection du point N
sur la droite (CD) parallèlement à la droite (BD).
1
1) Montrer que : DP = DC .
3
1
2) Soit Q le point vérifiant DQ = DA . Montrer que MNPQ est un parallélogramme.
3

Exercice 6
ABCD est un trapèze tel que (AB)//(CD) et AB < CD .
I le point d’intersection de ses diagonales .
J est le projeté de I sur ( AB) parallèlement à (BC).
K est le projeté de I sur ( AD) parallèlement à (BC).
AJ AI
1) Comparer et .
AB AC
2) Montrer que (JK)//(BD)

Exercice 7
ABC est un triangle et M un point du segment [AB]. Soit le point M’ le projeté du point M sur la
droite (AC) parallèlement à la droite (BC), et le point D le projeté du point M’ sur la droite (BC)
parallèlement à la droite (AB).

MM' CD
Montrer que : =1− .
BC BC

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