Maakaroun S 12 2011

Modélisation et simulation dynamique d’un véhicule
urbain innovant en utilisant le formalisme de la

robotique
Salim Maakaroun
To cite this version:

Salim Maakaroun. Modélisation et simulation dynamique d’un véhicule urbain innovant en utilisant
le formalisme de la robotique. Automatique / Robotique. Ecole des Mines de Nantes, 2011. Français.
�NNT : 2011EMNA0014�. �tel-00664283�
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Salim Maakaroun
ECOLE DOCTORALE : Sciences et Technologies de
l’Information et de Mathématiques (ED’STIM)
THESE N° 2012EMNA0014
Thèse présentée en vue de l’obtention du grade de
Docteur de l’Ecole des Mines
Sous le label de l’Université Nantes Angers Le Mans
Discipline Automatique, Productique
Soutenue le 02 Décembre 2011
DIRECTEUR DE THESE :
Modélisation et Chevrel Philippe, Professeur, Ecole des Mines de Nantes
simulation dynamique CO DIRECTEUR DE THESE :

Khalil Wisama, Professeur, Ecole Centrale de Nantes
d’un véhicule urbain Gautier Maxime, Professeur, Université de Nantes
innovant en utilisant le RAPPORTEURS DE THESE :
formalisme de la Basset Michel, Professeur, ESSAIM Mulhouse

M’SIRDI Nacer, Professeur Polytech, Marseille
robotique PRESIDENT DU JURY :
D’Andrea Novel Brigitte, Professeur, Ecole des Mines de Paris
MEMBRES DU JURY :
Vandanjon Pierre-Olivier, Chargé de recherche, IFSTTAR
Arvieu Thomas, Responsable R&D, Lumeneo
REMERCIEMENTS
Je remercie en premier lieu mes directeurs de thèse Wisama KHALIL, Maxime

GAUTIER et Philippe CHEVREL de m’avoir initié et guidé dans mon parcours. Je leur
suis très reconnaissant de m’avoir apporté leurs expériences dans le domaine de la
robotique et de l’automatique et de m’avoir accordé leur confiance.
Travailler et collaborer avec vous fut pour moi un plaisir tant au niveau technique qu’au
niveau personnel.
Je souhaite remercier Brigitte D’ANDRE NOVEL d’avoir accepter de présider mon jury.
J’exprime ma gratitude pour les rapporteurs Nacer M’SIRDI et Michel BASSET pour
leurs lectures attentives du manuscrit ainsi que pour leurs remarques constructives. Je
remercie également Thomas ARVIEU pour sa participation à l’évaluation de ma thèse.
J’adresse également mes remerciements à Pierre-Olivier VANDANJON pour son soutien

et sa participation à l’évaluation de ma thèse.
Je remercie l’Ecole des Mines de Nantes ainsi que l’Institut de Recherche en

Communication et Cybernétique de Nantes de m’avoir accueilli chaleureusement dans
leurs établissements et de m’avoir permis de mener à bien ce travail dans les meilleures
conditions.
Je remercie en particulier Philippe LEMOINE, Fabien CLAVEAU, Michael CANU,

Christine CHEVALLEREAU et Yannick AOUSTIN pour leur aide précieuse qui a
grandement participé à la qualité de mon mémoire.
Merci à toute personne qui a participé de près ou de loin pour l’accomplissement de ce

travail.
Enfin, je remercie tous mes proches, amis, famille pour leur soutien tout au long de ma
thèse.
Merci beaucoup
Sommaire
Liste des tableaux .................................................................................................................................................. v

Liste des figures ................................................................................................................................................... vii
Notations ............................................................................................................................................................... xi
Introduction générale ............................................................................................................................................ 1
Chapitre 1 Véhicule du futur et son environnement ...................................................................................... 5
1. Véhicules étroits ...................................................................................................................................... 5
2. Description du véhicule et de son environnement .............................................................................. 11
2.1. La caisse ou châssis ....................................................................................................................... 11
2.2. Les trains ....................................................................................................................................... 12
2.3. L’essieu.......................................................................................................................................... 13
2.4. Les suspensions ............................................................................................................................. 13
2.5. Direction, angle de braquage, pince, voie et empattement ............................................................ 14
2.6. Carrossage et angle de chasse ........................................................................................................ 15
2.7. Le pneumatique et torseur d’effort ................................................................................................ 15
2.7.1. Transfert de charge et force normale ......................................................................................................... 16
2.7.2. Le frottement de Coulomb ......................................................................................................................... 18
2.7.3. Glissement entre le pneumatique et la chaussée ........................................................................................ 18
2.7.4. Modèle d’efforts de Coulomb/Burckhardt/Kiencke de type exponentiel................................................... 20
2.7.5. Modèle de Pacejka ..................................................................................................................................... 22
2.7.6. Moment de renversement .......................................................................................................................... 26
2.7.7. Moment de résistance au roulement .......................................................................................................... 26
2.8. Forces aérodynamiques ................................................................................................................. 27
3. Simulateur.............................................................................................................................................. 27
3.1. Drive (Sate-italy) ........................................................................................................................... 29
3.2. TruckSim, CarSim & BikeSim ...................................................................................................... 30
3.3. Carmaker ....................................................................................................................................... 31
3.4. ASM Vehicle Dynamics Simulation Package ............................................................................... 32
3.5. Ve-DYNA...................................................................................................................................... 33
3.6. VDL (Dymola) .............................................................................................................................. 34
3.7. Civitec ........................................................................................................................................... 35
3.8. RaceSim (DATAS) ........................................................................................................................ 36
3.9. SCANeR-OKTAL ......................................................................................................................... 36
4. Discussion et Conclusion ....................................................................................................................... 37
Chapitre 2 Modélisation robotique ............................................................................................................... 39
1. Système multi-corps et DHM ............................................................................................................... 39
2. Système à base fixe ................................................................................................................................ 40
2.1. Système mécanique à structure arborescente ................................................................................. 40
2.2. Système mécanique à structure fermée .......................................................................................... 43
2.3. Modèle géométrique direct (MGD) des structures arborescentes .................................................. 44
2.4. Modèle géométrique direct (MGD) des structures fermées ........................................................... 45
2.5. Modèle cinématique des robots à structure arborescentes et fermées ............................................ 45
2.6. Modèle dynamique d’une structure arborescente .......................................................................... 46
i
2.6.1. Le formalisme de Lagrange ...................................................................................................................... 47
2.6.2. Paramètres inertiels ................................................................................................................................... 49
2.6.3. Newton d’Euler ......................................................................................................................................... 50
2.7. Modèle dynamique direct (MDD) d’une structure arborescente .................................................... 53
2.8. Modèle dynamique inverse (MDI) d’une structure fermée ............................................................ 54
2.9. Modèle dynamique direct (MDD) des structures fermées ............................................................. 56
3. Structure à base mobile......................................................................................................................... 57
3.1. Repère route ................................................................................................................................... 57
3.2. Matrice de transformation entre la base et le repère galiléen ......................................................... 57
3.3. Représentation de la base ............................................................................................................... 58
3.3.1. Méthode 1 : Porteur spatial ....................................................................................................................... 59
3.3.2. Méthode 2 : Modèle Eulérien.................................................................................................................... 59
3.4. Modèle dynamique ........................................................................................................................ 60
3.5. Modèle mixte de variables Euler -Lagrange .................................................................................. 62
3.6. Calcul des Matrices A et H à partir de Newton-Euler.................................................................... 64
3.7. Récapitulatif de la méthodologie ................................................................................................... 64
4. Application : Modèle bicyclette 3ddl ................................................................................................... 65
4.1. Modélisation .................................................................................................................................. 65
4.2. Simulation ...................................................................................................................................... 68
4.2.1. Essai en virage .......................................................................................................................................... 69
5. Conclusion .............................................................................................................................................. 71
Chapitre 3 Modèle 2 roues avec suspension et modèle 4 roues avec suspensions ...................................... 73
1. Modèle 2 roues avec suspensions .......................................................................................................... 73
1.1. Hypothèses simplificatrices ........................................................................................................... 73
1.2. Modélisation globale du véhicule .................................................................................................. 74
1.3. Efforts Extérieurs ........................................................................................................................... 77
1.4. Paramètres dynamiques ................................................................................................................. 78
1.5. Contraintes cinématiques verticales ............................................................................................... 80
2. Simulateur .............................................................................................................................................. 83
2.1. Architecture globale du simulateur ................................................................................................ 83
2.2. Architecture du scénario pour les essais en simulation .................................................................. 85
2.3. Essais en simulation du modèle 2 roues à 11ddl ............................................................................ 87
2.3.1. Accélération en ligne droite ...................................................................................................................... 87
2.3.2. Essai en virage .......................................................................................................................................... 90
3. Modèle 4 roues 16 ddl............................................................................................................................ 93
3.1. Modélisation globale du véhicule .................................................................................................. 94
3.2. Efforts Extérieurs ........................................................................................................................... 96
3.3. Paramètres dynamiques ................................................................................................................. 97
3.4. Contraintes cinématiques verticales ............................................................................................... 98
4. Essais en simulation du modèle 4 roues à 16ddl ............................................................................... 100
4.1. Essai en virage ............................................................................................................................. 100
4.2. Prise en compte de la barre anti-roulis ......................................................................................... 103
4.3. Cohérence des modèles 11 ddl et 16 ddl ...................................................................................... 104
5. Conclusion ............................................................................................................................................ 106
Chapitre 4 Véhicule étroit inclinable : SMERA ......................................................................................... 107
1. Description Générale et Caractéristiques de la SMERA ................................................................. 108
1.1. Principe d’inclinaison .................................................................................................................. 109
2. Modèle géométrique de la Smera ....................................................................................................... 109
2.1. Train arrière ................................................................................................................................. 111
2.2. Train avant ................................................................................................................................... 115
2.2.1. Demi-train gauche................................................................................................................................... 116
2.2.2. Demi-train droit ...................................................................................................................................... 118
2.2.3. Modèle articulaire du train avant ............................................................................................................ 119
3. Modèle cinématique de la Smera ....................................................................................................... 121
3.1. Train arrière ................................................................................................................................. 123
ii
3.1.1. Demi -train arrière gauche ....................................................................................................................... 123
3.1.2. Demi -train arrière droit........................................................................................................................... 125
3.1.3. Relations entre les vitesses et les accélérations du train arrière ............................................................... 127
3.1.4. Relations entre les vitesses et les accélérations du train avant ................................................................. 128
3.1.5. Demi-train avant gauche.......................................................................................................................... 128
3.1.6. Demi-train avant droit ............................................................................................................................. 129
3.1.7. Train avant............................................................................................................................................... 130
3.2. Relation matricielles cinématique entre les variable dépendantes et indépendantes ................... 132
3.3. Paramètres dynamiques ............................................................................................................... 132
3.4. Efforts Extérieurs ......................................................................................................................... 133
3.5. Contraintes cinématiques verticales............................................................................................. 134
3.6. Modèle dynamique ...................................................................................................................... 135
4. Essai de simulation .............................................................................................................................. 136
4.1. Essai en freinage rectiligne .......................................................................................................... 136
4.2. Essai en virage ............................................................................................................................. 138
4.3. Comparaison des modèles 11ddl et Smera .................................................................................. 140
5. Conclusion............................................................................................................................................ 146
Conclusion et perspectives ................................................................................................................................ 147
Références bibliographiques ............................................................................................................................. 151
A. Annexe : Paramètres de base .................................................................................................................. 157
Calcul des paramètres de base en utilisant le modèle dynamique ............................................................ 157
Calcul des paramètres de base en utilisant l’énergie ................................................................................. 158
B. Annexe : Algorithme de calcul numérique du modèle géométrique inverse ....................................... 161
C. Annexe : Paramètres Symoro+ modèles 11 ddl, 16 ddl et Smera ........................................................ 163
iii
Liste des tableaux
Tableau 1-1 : Coefficient de Burckhardt en fonction de type de chaussée ............................................ 21

Tableau 1-2 : Expression des paramètres du mode longitudinal, latéral et moment d’auto-
alignement.................................................................................................................................................. 24
Tableau 2-1 : Paramètres géométriques du modèle bicyclette 3ddl ......................................................... 66
Tableau 3-1 : Paramètres géométriques du modèle à 11 degrés de liberté ............................................. 75
Tableau 3-2 : Efforts de contact appliqués par le véhicule sur l’environnement................................... 78
Tableau 3-3 : Paramètres dynamiques du modèle à 11ddl ......................................................................... 79
Tableau 3-4 : Paramètres dynamiques regroupés ........................................................................................ 80
Tableau 3-5 : Paramètres géométriques du modèle à 16 degrés de liberté ............................................. 95
Tableau 3-6 : Efforts de contact appliqués par le véhicule sur l’environnement................................... 96
Tableau 3-7 : Paramètres dynamiques après regroupement du modèle à 16 ddl .................................. 97
Tableau 3-8 : Projection des paramètres inertiels du repère ....................................................................105
Tableau 4-1 : Paramètres géométriques du train arrière ...........................................................................112
Tableau 4-2 : Paramètres géométriques de la boucle gauche reliant le parallélogramme, la
suspension et la lyre ...............................................................................................................................116
Tableau 4-3 : Paramètres géométriques de la boucle droite reliant le parallélogramme, la suspension
et la lyre ....................................................................................................................................................118
Tableau 4-4 : Paramètres géométriques du train avant.............................................................................120
Tableau 4-5 : Paramètres dynamiques après regroupement du modèle à 32 ddl ................................132
Tableau 4-6 : Efforts de contact appliqués par le véhicule sur l’environnement.................................134
Tableau 4-7 : Projection des paramètres inertiels ......................................................................................141
v
Liste des figures
Figure 1.1: Diagramme de pourcentage du nombre de passagers par type de trajet .............................. 6
Figure 1.2 : Distance parcourue d’un conducteur citadin en ile de France............................................... 7
Figure 1.3 : City Mobil ........................................................................................................................................ 8
Figure 1.4 : Clever................................................................................................................................................ 8
Figure 1.5 : Carver ............................................................................................................................................... 8
Figure 1.6 : Piaggio .............................................................................................................................................. 8
Figure 1.7 : Tilter.................................................................................................................................................. 9
Figure 1.8 : BMW Simple ................................................................................................................................... 9
Figure 1.9 : Tango .............................................................................................................................................. 10
Figure 1.10 : Toyota PM................................................................................................................................... 10
Figure 1.11 : Smera ............................................................................................................................................ 10
Figure 1.12 : Volvo Tandem ............................................................................................................................ 10
Figure 1.13 : Land Glider Nissan.................................................................................................................... 10
Figure 1.14 : Twizy Renault ............................................................................................................................. 10
Figure 1.15 : Prodrive Naro ............................................................................................................................. 11
Figure 1.16 : Next-Ere ...................................................................................................................................... 11
Figure 1.17 : Caisse d’un véhicule ................................................................................................................... 12
Figure 1.18 : Mouvement de la caisse par rapport au sol ........................................................................... 12
Figure 1.19 : Train avant................................................................................................................................... 13
Figure 1.20 : Schéma d’une suspension ......................................................................................................... 14
Figure 1.21 : Suspension ................................................................................................................................... 14
Figure 1.22 : Barre anti-roulis .......................................................................................................................... 14
Figure 1.23 : Voie............................................................................................................................................... 14
Figure 1.24 : Angle de braquage ou pince ..................................................................................................... 14
Figure 1.25 : Empattement .............................................................................................................................. 14
Figure 1.26 : Carrossage positif ....................................................................................................................... 15
Figure 1.27 : Carrossage négatif ...................................................................................................................... 15
Figure 1.28 : Angle de Chasse ......................................................................................................................... 15
Figure 1.29 : Différents types de pneu........................................................................................................... 16
Figure 1.30 : Transfert de charge .................................................................................................................... 16
Figure 1.31 : Vitesse au niveau du contact pneu/sol .................................................................................. 19
Figure 1.32 : Forme de la courbe de la force longitudinale ou latérale .................................................... 20
Figure 1.33 : Coefficient d’adhérence pour divers types de surface ......................................................... 22
Figure 1.34 : Courbe caractéristique selon le modèle de Pacejka ............................................................. 23
Figure 1.35 : Courbe caractéristique selon le modèle de Pacejka pour des variations de C, B, D et E.
..................................................................................................................................................................... 24
Figure 1.36 : Variation de la force latérale par rapport à la force normale et à l’adhérence ................ 25
vii
Figure 1.37 : Variation de la force longitudinale par rapport à la force normale et à l’adhérence ..... 25
Figure 1.38 : Variation du moment d’auto-alignement par rapport à la force normale et à
l’adhérence ................................................................................................................................................ 25
Figure 1.39 : Moment de renversement ........................................................................................................ 26
Figure 1.40 : Architecture du cycle en V ...................................................................................................... 28
Figure 1.41 : Cycle de validation – application automobile ...................................................................... 29
Figure 1.42 : Chaine de transmission ............................................................................................................ 30
Figure 1.43 : CarSim 7 ...................................................................................................................................... 31
Figure 1.44 : Paramètres de Carmaker .......................................................................................................... 32
Figure 1.45 : ASM-VDSP ................................................................................................................................ 33
Figure 1.46 : Ve-Dyna ...................................................................................................................................... 34
Figure 1.47 : VDL ............................................................................................................................................. 35
Figure 2.1 : Types de structures...................................................................................................................... 39
Figure 2.2 : Types d’articulations et topologie des structures arborescentes ......................................... 40
Figure 2.3 : Paramètres géométriques standards ......................................................................................... 42
Figure 2.4 : Topologie d’une boucle fermée ................................................................................................ 44
Figure 2.5 : Bilan des efforts appliqués sur le corps Cj d’une structure arborescente .......................... 53
Figure 2.6 : Angle de Roulis, Tangage et Lacet ........................................................................................... 58
Figure 2.7 : Modélisation du Porteur spatial ................................................................................................ 59
Figure 2.8 : Modèle Eulérien de la base ........................................................................................................ 60
Figure 2.9 : Modèle bicyclette et interface roue/sol ................................................................................... 65
Figure 2.10 : Topologie et modèle articulaire du modèle bicyclette 3ddl ............................................... 66
Figure 2.11 : Angle de braquage appliqué au modèle bicyclette............................................................... 69
Figure 2.12 : Trajectoire planaire du CDG dans Rf .................................................................................... 69
Figure 2.13 : Angle de lacet ............................................................................................................................. 70
Figure 2.14 : Vitesse longitudinale du véhicule dans R1............................................................................. 70
Figure 2.15 : Angle de dérive de la roue avant ............................................................................................ 70
Figure 2.16 : Angle de dérive de la roue arrière ........................................................................................... 70
Figure 2.17 : Effort latéral de la roue avant ................................................................................................. 70
Figure 2.18 : Effort latéral de la roue arrière ................................................................................................ 70
Figure 2.19 : Angle de braquage appliqué au modèle bicyclette............................................................... 71
Figure 2.20 : Trajectoire planaire du CDG dans Rf .................................................................................... 71
Figure 2.21 : Angle de lacet ............................................................................................................................. 71
Figure 2.22 : Vitesse latérale du véhicule dans R1 ....................................................................................... 71
Figure 3.1 : Schéma du modèle 2 roues avec suspensions ........................................................................ 73
Figure 3.2 : Topologie du modèle à 11ddl et 10 corps .............................................................................. 74
Figure 3.3 : Modèle articulaire à 11 degrés de liberté et 10 corps ............................................................ 75
Figure 3.4 : Torseur de contact roue-sol....................................................................................................... 77
Figure 3.5 : Axe d’inertie d’une roue ............................................................................................................. 79
Figure 3.6 : Direction des composantes nulles de vitesse et d’accélération du modèle à 11ddl ........ 80
Figure 3.7 : Architecture globale du simulateur .......................................................................................... 83
Figure 3.8 : Architecture du bloc « route + environnement » .................................................................. 84
Figure 3.9 : Exemple de capteurs d’un véhicule instrumenté ................................................................... 84
Figure 3.10 : Architecture du module « modèle dynamique » .................................................................. 85
Figure 3.11 : Schéma de calcul des vitesses avant intégration .................................................................. 85
Figure 3.12 : Génération du couple de braquage ........................................................................................ 86
Figure 3.13 : Angle d’inclinaison du véhicule .............................................................................................. 86
Figure 3.14 : Génération du couple d’inclinaison ....................................................................................... 87
Figure 3.15 : Schéma de scénario ................................................................................................................... 87
viii
Figure 3.16 : Couple articulaire appliqué à la roue arrière .......................................................................... 88
Figure 3.17 : Forces, accélération et vitesse latérales................................................................................... 88
Figure 3.18 : Trajectoire planaire du cdg ....................................................................................................... 88
Figure 3.19 : Vitesse longitudinale du cdg..................................................................................................... 89
Figure 3.20 : Accélération longitudinale du cdg ........................................................................................... 89
Figure 3.21 : Débattement de la suspension avant ...................................................................................... 89
Figure 3.22 : Débattement de la suspension arrière .................................................................................... 89
Figure 3.23 : Force normale avant .................................................................................................................. 89
Figure 3.24 : Force normale arrière ................................................................................................................ 89
Figure 3.25 : Angle de Roulis, tangage et lacet ............................................................................................. 90
Figure 3.26 : Glissement longitudinal arrière ................................................................................................ 90
Figure 3.27 : Force longitudinale arrière........................................................................................................ 90
Figure 3.28 : Angle de braquage de référence .............................................................................................. 91
Figure 3.29 : Trajectoire planaire du cdg ....................................................................................................... 91
Figure 3.30 : Angle de lacet .............................................................................................................................. 91
Figure 3.31 : Angle de roulis désiré et simulé ............................................................................................... 92
Figure 3.32 : Angle de braquage désiré et simulé......................................................................................... 92
Figure 3.33 : Forces latérales ........................................................................................................................... 92
Figure 3.34 : Angle de dérive ........................................................................................................................... 92
Figure 3.35 : Vitesse longitudinale du véhicule dans le repère R1............................................................. 93
Figure 3.36 : Accélération longitudinale du véhicule dans le repère R1 ................................................... 93
Figure 3.37 : Schéma du modèle 4 roues à 16 ddl ....................................................................................... 93
Figure 3.38 : Topologie du modèle à 16 ddl ................................................................................................. 94
Figure 3.39 : Modèle articulaire à 16 degrés de liberté et 19 corps........................................................... 94
Figure 3.40 : Direction des composantes nulles de vitesse et d’accélération du modèle à 16 ddl ...... 98
Figure 3.41 : Trajectoire planaire du cdg .....................................................................................................101
Figure 3.42 : Angle de lacet ............................................................................................................................101
Figure 3.43 : Forces verticales avant ............................................................................................................101
Figure 3.44 : Forces verticales arrière...........................................................................................................101
Figure 3.45 : Débattements des suspensions avant ...................................................................................102
Figure 3.46 : Débattements des suspensions arrière .................................................................................102
Figure 3.47 : Angle de roulis ..........................................................................................................................102
Figure 3.48 : Angles de dérive .......................................................................................................................102
Figure 3.49 : Forces latérales .........................................................................................................................103
Figure 3.50 : Débattement des suspensions arrière ...................................................................................104
Figure 3.51 : Débattement des suspensions avant.....................................................................................104
Figure 3.52 : Angle de roulis ..........................................................................................................................104
Figure 3.53 : Vitesse longitudinale et latérale..............................................................................................105
Figure 3.54 : Accélération longitudinale et latérale ....................................................................................105
Figure 3.55 : Angle de tangage ......................................................................................................................105
Figure 3.56 : Débattement des suspensions ...............................................................................................105
Figure 4.1 : Photo de la Smera ......................................................................................................................108
Figure 4.2 : Architecture intérieure de la Smera .........................................................................................108
Figure 4.3 : Inclinaison des véhicules étroits ..............................................................................................109
Figure 4.4 : Schéma de la moitié gauche de la Smera................................................................................110
Figure 4.5 : Les lyres avant et arrière ............................................................................................................110
Figure 4.6 : Schéma multi-corps représentatif de la Smera ......................................................................111
Figure 4.7 : Schéma du demi-train arrière gauche .....................................................................................112
Figure 4.8 : Modèle articulaire du train arrière ...........................................................................................112
ix
Figure 4.9 : Coupure des boucles du train arrière ..................................................................................... 114
Figure 4.10 : Schéma multi-corps du train avant ...................................................................................... 115
Figure 4.11 : Mouvement de la lyre avant lors de l’inclinaison............................................................... 115
Figure 4.12 : Schéma de représentation du demi-train gauche ............................................................... 116
Figure 4.13 : schéma de représentation du demi-train droit ................................................................... 118
Figure 4.14 : Modèle articulaire du train avant de la Smera .................................................................... 119
Figure 4.15 : Coordonnées articulaires du train avant.............................................................................. 121
Figure 4.16 : Couple de freinage appliquée aux roues avant................................................................... 137
Figure 4.17 : Accélération longitudinale de la Smera ............................................................................... 137
Figure 4.18 : Vitesse longitudinale du véhicule ......................................................................................... 137
Figure 4.19 : Angle de la lyre arrière ............................................................................................................ 137
Figure 4.20 : Débattement des suspensions ............................................................................................... 138
Figure 4.21 : Angle de Tangage .................................................................................................................... 138
Figure 4.22 : Glissement longitudinal des roues avant............................................................................. 138
Figure 4.23 : Forces longitudinales des roues avant ................................................................................. 138
Figure 4.24 : Angle de braquage ................................................................................................................... 139
Figure 4.25 : Trajectoire planaire du cdg de la Smera .............................................................................. 139
Figure 4.26 : Angle de lacet ........................................................................................................................... 139
Figure 4.27 : Angle de roulis désiré et simulé ............................................................................................ 139
Figure 4.28 : Angles de dérive ...................................................................................................................... 140
Figure 4.29 : Forces latérales ......................................................................................................................... 140
Figure 4.30 : Vitesse latérale et accélération latérale du véhicule dans Rf ............................................. 140
Figure 4.31 : Angle de roulis simulé et désiré ............................................................................................ 141
Figure 4.32 : Angle de lacet ........................................................................................................................... 141
Figure 4.33 : Trajectoire planaire du cdg .................................................................................................... 142
Figure 4.34 : Vitesse longitudinale et accélération longitudinale du véhicule dans Rf ....................... 142
Figure 4.35 : Vitesse latérale et accélération latérale du véhicule dans Rf ............................................ 142
Figure 4.36 : Couple d’inclinaison résultant de la commande du modèle de la Smera et du modèle
11 ddl ....................................................................................................................................................... 143
Figure 4.37 : Couple d’inclinaison appliqué à la Smera en augmentant le frottement visqueux des
suspensions arrière ................................................................................................................................ 143
Figure 4.38 : Accélération latérale perçue des deux modèles.................................................................. 143
Figure 4.39 : Modèle de flexibilité ................................................................................................................ 144
Figure 4.40 : Couple moteur en variant le frottement visqueux ............................................................ 145
Figure 4.41 : Couple moteur en variant la raideur .................................................................................... 145
Figure 4.42 : Couple moteur en ajoutant la raideur Kf ............................................................................. 145
Figure 4.43 : Couple moteur en agissant sur l’inertie et le frottement visqueux ................................. 146
Figure 4.44 : Accélération latérale perçue ................................................................................................... 146
x
Notations
A(q) : matrice d’inertie du système

AVG : avant gauche
AVD : avant droite
ARG : arrière gauche
ARD : arrière droite
a(j) : antécédent du corps j
Cj : corps j
Cx : moment suivant l’axe x
Cy : moment suivant l’axe y
Cz : moment suivant l’axe z
cha : angle de chasse
ddl : degré de liberté
Ev : voie du véhicule
E : Energie cinétique du système
Fsj : frottement sec de l’articulation j
Fvj : frottement visqueux de l’articulation j
Fx : force suivant l’axe x
Fy : force suivant l’axe y
Fz : force suivant l’axe z
Fe : torseur d’efforts extérieur
gli : glissement longitudinal
g : gravité
Hcdg : hauteur du centre de gravité
H (q, q) : vecteur regroupant les efforts de Coriolis, les efforts centrifuges et les efforts extérieurs
Ia : Inertie du moteur
Jj : matrice d’inertie du corps j
Kj : raideur de l’articulation j
L : lagrangien d’un système
Lf : distance longitudinale du centre de gravité à l’essieu avant
Lr : distance longitudinale du centre de gravité à l’essieu arrière
xi
M : masse
MGD : modèle géométrique direct
MDI : modèle dynamique inverse
MDD : modèle dynamique direct
q : vecteur des coordonnées articulaires
q : vecteur des vitesses articulaires
q : vecteur des accélérations articulaires
qar : vecteur des coordonnées articulaires de la chaine arborescente
qar : vecteur des vitesses articulaires de la chaine arborescente
qar : vecteur des accélération articulaires de la chaine arborescente
qe_l : vecteur position de configuration
qve_l : vecteur vitesse de configuration
qae_l : vecteur accélération de configuration
Rf : repère galiléen lié au sol
RG : repère lié au centre de gravité
Rr : repère lié à la route
Rj : repère lié au corps j
Rb : repère lié à la base
V : vecteur vitesse de translation
Vgx : vitesse de glissement
V : vecteur accélération de rotation
 : vecteur vitesse de rotation
 : vecteur accélération de translation
 : vecteur de Lagrange
θ : angle de roulis
φ : angle de tangage
ψ : angle de lacet
Γ : couple articulaire
x : accélération longitudinale du véhicule
y : accélération latérale du véhicule
 : angle de dérive
XXj : moment d’inertie du corps j suivant l’axe xj
YYj : moment d’inertie du corps j suivant l’axe yj
ZZj : moment d’inertie du corps j suivant l’axe zj
XYj : produit d’inertie suivant le plan (xj, yj)
XZj : produit d’inertie suivant le plan (xj, zj)
YZj : produit d’inertie suivant le plan (yj, zj)
xii
MXj : premier moment d’inertie par rapport à Oj et suivant l’axe xj
MYj : premier moment d’inertie par rapport à Oj et suivant l’axe yj
MZj : premier moment d’inertie par rapport à Oj et suivant l’axe zj
MSj : vecteur des premiers moments d’inertie du corps j
x : abscisse longitudinale par rapport au repère Rf
y : abscisse latérale par rapport au repère Rf
z : abscisse verticale par rapport au repère Rf
δ : angle de braquage
ρ : angle de carrossage
μ : adhérence
xiii
Introduction générale
Le développement et l’étude de différents moyens de transport passionnent l’être humain

depuis des siècles. En conséquence, il s’est efforcé d’accroitre sa mobilité dans tous les milieux
(mer, terre et air) que ce soit à des fins professionnelles ou personnelles. Dans le cadre de la
mobilité terrestre, le développement urbain a conduit à l’usage quasi-exclusif de l’automobile
pour les déplacements quotidiens. Avec l’accroissement de la population mondiale et
l’épuisement des ressources pétrolières, les moyens de transport conventionnels ont provoqué
des problèmes de circulation dans les grandes agglomérations avec notamment la densification
du trafic en ville, la pollution par l’émission du CO2 et le réchauffement climatique, la nuisance
sonore… Les solutions à ces problèmes passent naturellement par l’utilisation des transports
en commun, du vélo, ainsi que des moyens de transports du type « mobilité individuelle
durable ». Ces moyens devraient utiliser des véhicules innovants peu énergivores, écologiques,
étroits, qui répondent aux enjeux de l’environnement, en évitant l’usage de moyens de
transports surdimensionnés, et en réduisant l’encombrement urbain.
Nos travaux s’inscrivent dans le cadre du développement d’un véhicule urbain innovant, de
largeur inférieure à la moitié de la largeur d’une voiture classique, en collaboration avec la
société française LUMENEO, concepteur de véhicule électrique. Après avoir présenté son
premier concept Car au salon de l’automobile à Genève en 2008, la société LUMENEO
développe actuellement la fabrication en petite série de véhicules étroits, électriques et
inclinables baptisés « Smera ». Cette voiture biplace en tandem, 100 % électrique, s’inclinant
automatiquement dans les virages est unique au monde. L’inclinaison est réalisée
automatiquement par un système motorisé intégré, avec une commande qui assure la stabilité
et le confort des passagers au moindre coût énergétique.
Dans cette thèse, nous nous intéressons à la modélisation et à la simulation utilisées comme
outils de conception pour le développement de nouveaux véhicules de type étroit et inclinable.
La modélisation systématique des véhicules s’inspire des techniques développées en robotique
pour la modélisation des robots industriels de structure série, arborescente, à boucle fermée ou
parallèle. Le véhicule est considéré comme un système multi-corps poly-articulé dont la base
mobile est le châssis et dont les roues sont les organes terminaux. La description géométrique
1
utilise le formalisme de Denavit et Hartenberg Modifié, et la modélisation dynamique utilise
l’algorithme de Newton-Euler récursifs adapté au cas des robots à base mobile.
Cette thèse propose une description systématique, générique du modèle dynamique des
véhicules indépendamment de leur complexité et cette description est appliquée à un véhicule
innovant, étroit et inclinable dont la structure comporte des chaines fermées.
Le travail présenté est organisé de la manière suivante :
Le premier chapitre présente la motivation pour la mobilité individuelle dans le transport du

futur ainsi qu’un état de l’art sur les véhicules étroits dans le monde. Ce chapitre traite
également les principales notions liées à la dynamique des véhicules et se termine par un état
de l’art des simulateurs commerciaux présents sur le marché.
Le deuxième chapitre présente le formalisme utilisé en robotique pour décrire les systèmes
multi-corps arborescents ou fermés, à base fixe ou mobile, pour calculer systématiquement les
modèles géométriques, cinématiques et dynamiques.
Le troisième chapitre est dédié à la modélisation de 2 types de véhicules intermédiaires, un

véhicule à 2 roues avec 11 degrés de liberté et un véhicule à 4 roues avec 16 degrés de liberté
dont la structure cinématique est arborescente. L’architecture générale d’un simulateur de
véhicule est présentée, et un ensemble de simulations pour différents scénarios sont proposés,
qui permettent d’analyser et d’étudier le comportement des véhicules considérés. Les travaux
de ce chapitre ont permis la publication d’un article dans la conférence IFACWC 2011, 8th World
Congress of the International Federation of Automatic Control (Maakaroun et al. 2011).
Le quatrième chapitre est dédié à la modélisation du véhicule étroit inclinable « Smera » dont
la structure cinématique comporte des chaines fermées. La modélisation dynamique fait appel
aux techniques mentionnées dans le chapitre 2 pour les chaines fermées et au chapitre 3 pour
les structures arborescentes et les scénarios de simulation. Précisément, ce chapitre aborde les
aspects suivants :
Résolution des contraintes cinématiques des chaines fermées ;
Elaboration des modèles dynamiques à partir des structures arborescentes et fermées ;
Calcul des modèles dynamiques inverse et direct ;
Simulation du véhicule étroit, inclinable.
Les travaux menés dans ce chapitre ont donné lieu à la publication d’un article dans la
conférence MMAR 2010, 15th International Conference on Methods and Models in Automation and
Robotics (Maakaroun et al. 2010), avec le prix du meilleur papier, ainsi qu’un article dans la
conférence ICINCO2011, 8th International Conference on Informatics in Control, Automation and
Robotics (Maakaroun et al. 2011).
2
Introduction générale
Ce document se termine par une conclusion générale sur le travail présenté ainsi que plusieurs
perspectives dans le cadre de ce projet.
3
Chapitre 1 Véhicule du futur et son environnement
La mobilité est un besoin auquel personne ne veut renoncer, au point de préférer payer
davantage plutôt que de restreindre ses déplacements. Parmi les moyens de transport,
l’automobile est la plus utilisée et a connu une énorme évolution depuis son invention. La
conception d’une voiture nécessite de nombreuses étapes depuis sa spécification jusqu’à sa
commercialisation. Ce processus est complexe et soumis à de nombreuses contraintes qui
évoluent constamment : attentes du marché, outils de production, technologies, normes,
budgets, maintenance, délais, pollution ….
Dans l’histoire de l’automobile, il y a eu plusieurs projets de véhicules innovants pour réduire

leur consommation. Aujourd’hui plusieurs facteurs entrent en jeu comme la protection de
l’environnement, la densité du trafic, le coût croissant du carburant, l’amélioration de la qualité
de vie dans les villes…
Pour concevoir les véhicules du futur, la simulation est indispensable afin de prédire le
comportement du véhicule dans diverses situations et modifier la conception si nécessaire.
Dans ce chapitre, nous passons en revue différents véhicules innovants et introduisons les
principales notions de dynamique de véhicule. Nous présentons ensuite un état de l’art des
simulateurs commerciaux présents sur le marché.
1. Véhicules étroits
La généralisation de l'automobile à l'échelle planétaire depuis la fin du siècle dernier pose des
problèmes quant au réchauffement climatique, à la pollution, à la sécurité, à la santé des
personnes, en particulier les plus faibles (piétons, cyclistes, enfants, personnes âgées, etc.), à
l'utilisation des ressources naturelles en particulier, l'épuisement des réserves de pétrole.
L'impact sur l'environnement s'accroît avec l'augmentation de la masse de la voiture. En effet

une voiture lourde a un besoin en énergie plus important qu'une voiture légère, en particulier
en circulation urbaine dans les phases d’accélérations. L'aérodynamisme du véhicule devient
prépondérant lorsque la vitesse augmente, c'est alors les véhicules à surface frontale élevée qui
sont pénalisés. L'impact environnemental le plus connu est la pollution atmosphérique due
5
Véhicules étroits
aux gaz d'échappements, qui cause des maladies respiratoires et contribue au réchauffement
de la planète. Avec les appareils de chauffage domestique, l'automobile est devenue le
principal responsable des brouillards urbains, situation chronique dans plusieurs capitales
asiatiques. Selon l'Agence française de sécurité sanitaire environnementale (AFSSET), la
pollution atmosphérique, liée pour près d'un tiers aux rejets polluants des voitures, serait
responsable chaque année du décès de 6 500 à 9 500 personnes en France.
Avec l'effet de serre, la température moyenne à la surface de la Terre pourrait augmenter de

5,2°C en 2100, alors qu'une étude datant de 2003 tablait sur une hausse de 2,4°C, indiquent des
chercheurs du Massachusetts Institute of Technology. Cette nouvelle étude de l'American
Meteorological Society, (Sokolov et al. 2009), se fonde sur des modèles économiques plus
performants et sur de nouvelles données qui n'avaient pas été prises en compte dans le
précédent scénario. Les effets du réchauffement climatique au cours de ce siècle pourraient être
deux fois plus importants que ceux estimés il y a seulement six ans, révèlent des scientifiques
américains.
Les moyens de transport individuel du futur passeront certainement par des voitures
économiques, maniables, peu énergivores, confortables et qui offrent la sécurité des voitures
d’aujourd’hui. Une enquête écossaise a interrogé des adultes au sujet de leurs déplacements
(The Scottish Goverment 2008): en 2007/2008, 61 % des trajets ont été effectués avec le
conducteur seul, 27 % ont été faits avec un passager, 7 % avec deux passagers, 4 % avec trois
passagers, et 1 % avec quatre passagers ou plus. En conséquence, le nombre de personnes
moyen par voyage de voiture était de 1.58 (Figure 1.1).
Accompagnement
Vacances/trajet journalier
Sport/divertissement
Sortir/manger/boire
Visite famille
Conducteur seul
affaire personnel 2 personnes
Visite hopital/ médicale 3 personnes

4 personnes
Shopping
5 personnes
Education
Business
Trajet quotidien
Tout type de trajet
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
Figure 1.1: Diagramme de pourcentage du nombre de passagers par type de trajet
6
Chapitre 1 : Véhicule du futur et son environnement
La figure 1.2 montre que le transport individuel fait référence aux voitures qui ne transportent
que le conducteur avec 50% des trajets de moins de 20 kilomètres (Schulz 2008).
Figure 1.2 : Distance parcourue d’un conducteur citadin en ile de France
L’objectif alors ne se limite pas seulement à lutter contre les pollutions d’origine automobile,
mais également à proposer des réponses nouvelles à l’enjeu du transport des personnes :
reconquérir l’espace dans la cité, gagner du temps (bien précieux pour tout citadin…), se
déplacer de façon plus libre. On parlera du concept de "Navette Individuelle".
Cette navette individuelle devra pouvoir remplacer la voiture pour les déplacements
individuels quotidiens. Pour cela elle devra répondre à un cahier des charges bien précis afin
d'être adoptée par les automobilistes : être peu encombrante, étroite, maniable, pouvoir
atteindre les vitesses sur autoroute (130 Km/h), offrir un niveau de confort et de sécurité, avoir
une excellente stabilité malgré la faible largeur.
Plusieurs prototypes de ces véhicules étroits existent déjà : véhicules à quatre roues, à trois
roues, électriques, hybrides, inclinables, ou non inclinables….
Donnons d’abord un aperçu sur les véhicules 3 roues (Figure 1.3 - Figure 1.8):
CLEVER (Suède) « Compact Low Emission Vehicle for Urban Transport » (CLEVER
2002), est créé en 2002 à l'initiative de la TU de Berlin, Institut des véhicules automobiles,
un consortium européen bénéficiant du soutien du 5e plan de la Commission
Européenne et en collaboration avec l’université de Bath.
CITY MOBIL (Suisse), une filiale d’Armec Sidecar, présentée en octobre 2003 au
Tokyo Motor Show (City Mobil 2003).
CARVER One (Pays-bas), est né du concept de véhicule caréné aérodynamique mais

des compromis importants font que Carver One se trouve équipé d’un groupe moto
propulseur automobile et donc avec un train arrière large. Seule la partie avant peut
s’incliner jusqu’à 45° dans les virages (Carver 1997).
7
Véhicules étroits
BMW Simple (Allemagne), tricycle en cours de développement, les 3 roues

s’inclinent (Horatiu 2009).
Mp3 et mp3 Hybrid Piaggio (Italie), un scooter à trois roues, est le premier véhicule
inclinable à trois roue commercialisé par un grand constructeur (Piaggio 2006). Il
rencontre un très grand succès (meilleur vente de scooter 125cc en France en 2009).
Tilter (France), un engin électrique à 3 roues inclinables et en propulsion, en

développement chez Synergethic (Tilter 2008).
On cite encore d’autres projets de véhicules tricycles étroites : Peugeot Hybrid3, Torga, X-novo
(France), Flybo EV(Chine), Aptera (Etat unis), Drymer (Belgique), Cree Sam (Suisse), Renault
UBLO (France)….
Figure 1.3 : City Mobil Figure 1.4 : Clever
Figure 1.5 : Carver Figure 1.6 : Piaggio
8
Figure 1.7 : Tilter Figure 1.8 : BMW Simple
Citons maintenant quelques véhicules à 4 roues ( Figure 1.9 - Figure 1.16):

TANGO (Etats-Unis), véhicule électrique lourd développé par Brian et Rick
Woodbury de « Computer Car Corporation », et exposé à l'Exposition Auto LA 2004
(Tango 2004).
Toyota PM (Japon), véhicule présenté à Tokyo 2003 Motor show, et basé sur le
concept PM « Personnal Mobility » Ce concept est vraiment dédié à l'utilisation dans des
villes surpeuplées et prenant en compte le transport personnel, ce qui explique son nom
"la Mobilité Personnelle" (Toyota PM 2003).
SMERA (France) de Lumeneo, constructeur automobile de voitures électriques, est

un véhicule de type voiture à 4 roues, compact et de faible largeur, s’inclinant légèrement
dans les virages (Lumeneo 2005).
VOLVO Tandem (Suède), en mai 2004, le centre de conception et de contrôle

(VMCC) en Californie du sud aannoncé un nouveau concept de véhicule, appelé le
Tandem (Volvo Tandem 2004).
Lang Glider de Nissan (Japon), concept car inclinable à 4 roues présenté fin 2009.
Twizy Renault (France), bi place tandem 4 roues à habitacle partiellement fermé,

dévoilé par Renault septembre 2009 avec une sortie prévue en 2012 (Renault 2011).
Podrive NARO (Grande Bretagne) véhicule inclinable. Il a été conçu par les étudiants
de l’université de Coventry, faculté d’art et de design (Naro 2004).
Next-Ere (France), un concept car électrique à 4 roues, présenté au mondial de l’auto

2008 (Eco&mobilité 2007).
9
Véhicules étroits
Figure 1.9 : Tango Figure 1.10 : Toyota PM
Figure 1.11 : Smera Figure 1.12 : Volvo Tandem
Figure 1.13 : Land Glider Nissan Figure 1.14 : Twizy Renault
10
Figure 1.15 : Prodrive Naro Figure 1.16 : Next-Ere
On cite encore d’autres projets d’automobiles étroits à quatre roues : Ducati (Italie),
Gazelle Phillip Jams (Australie), Ligier (France), Itri Ecooter (Taïwan), Assystem Franco Sbarro
(France), Twotwo car concept (Allemagne), Suzuki Sharing Coach (Japon)….
2. Description du véhicule et de son environnement
Un véhicule est un ensemble de corps reliés entre eux par plusieurs liaisons visant d’une part à
assurer le mouvement du châssis mais aussi le confort des passagers qu’il transporte. Il est
composé d’un châssis, et d’un système de liaison au sol comprenant : les pneumatiques, les
roues, les trains et les suspensions. La dynamique du système de direction n’est pas pris en
compte et l’angle au volant est directement appliqué aux roues. (Baffet 2007), (Glaser 2004),
(Raharijona 2004), (Venture 2003), (Sentouh 2007) et (Nehaoua 2008).
2.1. La caisse ou châssis
C’est la structure métallique externe qui supporte et rigidifie tous les éléments constituant un
véhicule terrestre. Elle contient l’habitacle, le groupe moteur, le système de commande pilote :
pédales, volant, levier de vitesse… Cet ensemble constitue la masse suspendue. Dans cette
étude, le châssis est modélisé par un corps rigide, ce qui permet de limiter l’étude des
flexibilités aux suspensions et aux pneus (Deutcsh 1970).
Dans la suite, les définitions d’angle et de position correspondent à un véhicule à l’arrêt ou en

mouvement sur un sol plan horizontal.
11
Description du véhicule et de son environnement
lacet
avance
tangage
ballant
pompage
roulis
Figure 1.17 : Caisse d’un véhicule Figure 1.18 : Mouvement de la caisse par rapport au sol
Soit Rf un repère lié au sol d’axes (xf, yf, zf) dont l’axe zf est vertical et orienté vers le haut. Les
axes xf et yf constituent avec zf un trièdre direct.
Soit RG un repère d’origine G, le centre de gravité du véhicule. L’axe xG est orienté positif
longitudinalement dans le sens de l’avance, l’axe yG est orienté positif vers la gauche et l’axe zG
est orienté positif verticalement pour former une base directe.
Les mouvements de la caisse RG par rapport au sol Rf, dans les trois directions, se caractérisent
par la situation d’un repère lié à la caisse par rapport à un repère lié au sol avec les six degrés
de liberté : l’avance suivant l’axe longitudinal, le ballant suivant l’axe transversal et le
pompage suivant l’axe vertical et trois rotations : le roulis autour de l’axe longitudinal, le
tangage autour de l’axe transversal et le lacet autour de l’axe vertical.
Les efforts principaux qui agissent sur la caisse sont :
Les efforts d’interaction roues/sol, transmis à la caisse par le système de liaison au sol
Les efforts aérodynamiques d’interaction du véhicule avec l’air qui sont

principalement appliqués dans la direction longitudinale sauf en cas de vent latéral.
2.2. Les trains
Le train avant est l'ensemble des organes mécaniques d'un véhicule assurant la suspension et
la direction des roues avant et le train arrière est l’ensemble des organes qui assurent la
suspension et le guidage des roues arrière. Les trains sont caractérisés par leur cinématique et
par leur élastocinématique. La cinématique détermine la position et l’orientation de la roue par
rapport au sol, ce qui conditionne l’effort d’interaction roue/sol. L’élastocinématique détermine
la position et l’orientation du châssis par rapport au train, et elle est assurée par des cales
élastiques de liaisons (Brossard 2006).
12
Figure 1.19 : Train avant
2.3. L’essieu
C’est l’ensemble des organes qui relient la roue au train à l’exception des éléments de
directions et de suspensions. L’essieu assure la compatibilité avec l’environnement physique,
les performances attendues et la sécurité d’utilisation.
2.4. Les suspensions
La suspension est l’ensemble qui assure la liaison entre la roue et la caisse (Figure 1.21). Elle
porte le véhicule, assure le contact entre les pneus et le sol, et isole le châssis des perturbations
générées à l’interface roue-sol. Son rôle est d’assurer la bonne tenue de route et le confort des
passagers en éliminant les fréquences de vibrations indésirables.
On appelle débattement, les déplacements des centres de roue par rapport à la caisse suivant
l’axe vertical.
On représente la partie « élastique et amortisseur » de la suspension par un système composé

d’un ressort de raideur ki et d’un amortisseur de coefficient d’amortissement (ou coefficient de
frottement visqueux) Fvi et d’un frottement sec Fsi . Le schéma d’une suspension est donné par
la figure 1.20 .
La barre anti-roulis est un dispositif de couplage élastique des débattements des roues d’un
même train qui augmente la rigidité en roulis de la suspension du véhicule (Figure 1.22). Ce
dispositif permet de générer des couples qui s’opposent au roulis du véhicule.
13
Châssis
ki
Fvi , Fsi
Centre de la roue i
Figure 1.20 : Schéma d’une suspension Figure 1.21 : Suspension
Figure 1.22 : Barre anti-roulis
2.5. Direction, angle de braquage, pince, voie et empattement
La direction se compose du volant, de la colonne de direction et de la crémaillère qui

transforme la rotation du volant en une translation afin de faire tourner les roues directrices.
Le braquage δi, est l’angle de rotation des roues avant autour de leurs axes verticaux. Il est dû
principalement à l’action du conducteur sur le volant (Figure 1.24).
La pince est l’angle de rotation des roues arrière autour de leurs axes verticaux. Cet angle est
dû uniquement à la cinématique et à l’élastocinématique des trains (Figure 1.24).
La voie est la distance entre les deux roues d’un même essieu (Figure 1.23).
L’empattement est la distance entre les deux roues d’un même coté (Figure 1.25).
δi
braquage
empattement
voie
Figure 1.23 : Voie Figure 1.24 : Angle de braquage ou Figure 1.25 : Empattement
pince
14
2.6. Carrossage et angle de chasse
Lorsque la voiture est soulevée ou enfoncée, les plans de la roue ne restent pas
perpendiculaires à celui de la route : le véhicule prend du carrossage. C’est l’angle ρi (Figure
1.26 & Figure 1.27) formé par l’axe d’inclinaison de la roue (donnée par la fusée ou le porte
moyeu) par rapport à l’horizontale. Cette inclinaison a plusieurs rôles :
Permettre au poids du véhicule de reposer aussi près que possible de la base de la

fusée pour diminuer le porte à faux (déport)
Permettre de garder les roues perpendiculaires au sol sur route bombée
Aider l’inclinaison des pivots à faire coïncider l’axe des pivots et le point de contact
du pneumatique au sol (diminution du déport qui provoque un couple nuisible)
Un carrossage est négatif (Figure 1.27) lorsque le hauts des roues s’écartent et il est positif
lorsqu’ils se rapprochent (Figure 1.26).
Une roue directrice s’oriente suivant un axe de pivotement incliné par rapport à la verticale
vers l’arrière ou l’avant du véhicule et forme l’angle de chasse chai. La chasse donne la stabilité
aux roues directrices et améliore les sensations au volant (Figure 1.28).
ρi ρi
chai
Figure 1.26 : Carrossage positif Figure 1.27 : Carrossage négatif Figure 1.28 : Angle de Chasse
2.7. Le pneumatique et torseur d’effort
Le pneumatique est l’élément physique du véhicule en interaction avec le sol. Il doit assurer la
sécurité d’utilisation et l’agrément de conduite.
La surface de contact du pneu avec le sol est appelée aire de contact. Elle peut être
représentée sous forme rectangulaire et caractérisée par le coefficient d’adhérence noté µ
qui varie entre 0 et 1. Une adhérence totale ou proche de 1 correspond à l’absence de
glissement entre le pneu et le sol. C’est le cas d’une chaussée sèche avec de bon
pneumatique. Une adhérence entre 0.5 et 0.6 peut être due à une chaussée humide ou
légèrement mouillée. Une chaussée verglacée correspond à une adhérence < 0.3.
15
La contribution du pneumatique dans l’agrément de conduite est fondamentale. Il

doit être capable de filtrer les perturbations extérieures, absorber les irrégularités de la
route pour assurer le confort des passagers. Leurs caractéristiques sont fournies
généralement par le constructeur, et peuvent être déterminées à l’aide d’un banc de
caractérisation de pneumatique « MTS flattrac » (MTS 1999).
Il existe plusieurs types de pneus qui répondent à des conditions d’utilisation et des
caractéristiques désirées (Figure 1.29).
pneu d’été pneu d’hiver pneu multi-usage

Figure 1.29 : Différents types de pneu
Plusieurs types de modèle de contact pneumatique-chaussée sont envisageables. Tout dépend

du domaine d’utilisation et de la précision requise pour la simulation. Nous allons exposer
plusieurs formulations des efforts de contact pneumatique-chaussée.
2.7.1. Transfert de charge et force normale

Les efforts de contact roue/sol dépendent fortement des charges verticales appliquées aux
roues. Ces efforts verticaux sont principalement dus aux forces de gravité et aux accélérations
du véhicule. Lorsque le véhicule est à l’arrêt ou à vitesse constante, la répartition des charges
est obtenue à partir d’un équilibre statique de sorte que :
Lr
FzAVG  FzAVD  Mg
2( Lr  L f )
Lf ( 1.1)
FzARG  FzARD  Mg
2( Lr  L f )
Lr Lf E
Mγx Mγy
Mg Mg
Hcdg
Hcdg
FzARG+ FzARD FzAVG+ FzAVD FzARG + FzAVG FzAVD + FzARD

Figure 1.30 : Transfert de charge
Avec :
16
g, la gravité ;
M, la masse du véhicule ;
Les notations AVG, AVD, ARG et ARD correspondent respectivement à avant

gauche, avant droit, arrière gauche et arrière droit ;
La répartition du torseur dynamique sur les roues se traduit par un « transfert de charge » par
rapport à la répartition à l’arrêt. En conditions dynamiques, la charge peut être transférée aux
roues avant pendant le freinage, vers les roues arrière pendant l’accélération, et d’un coté à
l’autre pendant la prise d’un virage. La connaissance de la répartition non homogène de l’effet
de la masse totale du véhicule sur chaque pneumatique est une étape importante pour
analyser le comportement dynamique du véhicule.
Les équations présentées dans ( 1.2 ) reposent sur les travaux de Kiencke et Nielsen (Kiencke &
Nielsen 2000) en faisant l’équilibre des moments sur l’axe arrière et avant des roues et
l’équilibre des moments sur les quatre roues du véhicule (Figure 1.30). Ces équations illustrent
un cas particulier où le couplage latéral/longitudinal est négligé et la dynamique des
suspensions n’est pas prise en compte. Les équations sont les suivantes :
M 1 H cdg  y
FzAVG  ( Lr g  H cdg  x )(  )
L f  Lr 2 Ev g
M 1 H cdg  y
FzAVD  ( Lr g  H cdg  x )(  )
L f  Lr 2 Ev g
( 1.2 )
M 1 H cdg  y
FzARG  ( L f g  H cdg  x )(  )
L f  Lr 2 Ev g
M 1 H cdg  y
FzARD  ( L f g  H cdg  x )(  )
L f  Lr 2 Ev g
Avec :
γx, l’accélération longitudinale du véhicule ;
γy, l’accélération latérale du véhicule ;
Hcdg, la hauteur du centre de gravité par rapport au sol ;
Lf+Lr, l’empattement du véhicule ;
Ev, la voie du véhicule.
Dans la suite, nous utilisons une approche générale basée sur le modèle dynamique qui calcule
directement la répartition de la charge sur les quatre points de contact avec le sol.
17
2.7.2. Le frottement de Coulomb

La loi de frottement de Coulomb décrit le comportement des forces de frottement sec entre
deux solides en contact et en mouvement relatif :
Première loi : la résultante des efforts de frottement est une force tangentielle qui
s’oppose à la vitesse de glissement.
Deuxième loi : le module de cette composante est inférieur ou égal à la force normale
au point d’application multiplié par le coefficient d’adhérence µ.
Soit FN, la force normale au niveau du point de contact entre le pneumatique et la chaussée.
Selon la deuxième loi du frottement de Coulomb, la relation suivante entre la force normale et
la force tangentielle FT est :
FT   FN ( 1.3 )
Cette force tangentielle projetée dans un repère du plan de contact a deux composantes FX et
FY. D’après l’équation ( 1.3 ), on peut écrire :
FX2  FY2
 2 ( 1.4 )
FN2
L’équation ( 1.4 ) est celle d’un disque dans le repère de projection. Pour le contact
pneumatique chaussée, les caractéristiques du pneumatique en comportement longitudinal
sont meilleures que celles en comportement latéral. Ainsi, pour le pneumatique, nous
obtenons, non pas un disque, mais une ellipse de friction. Les forces longitudinales et latérales
sont couplées et un pneumatique ne peut pas délivrer un effort maximal à la fois en
longitudinal et en latéral. Ceci est à l’origine de perte de contrôle lorsque le frottement est
maximal en longitudinal. En effet, la force longitudinale étant maximale, d’après la
formulation de Coulomb, le pneumatique ne peut générer une force latérale permettant le
guidage du véhicule.
Donc cette formulation ne permet pas d’exprimer les forces latérales et longitudinales. Les
phénomènes à l’origine de ces forces seront présentés dans le paragraphe 2.7.3.
2.7.3. Glissement entre le pneumatique et la chaussée
2.7.3.1 Taux de glissement

Le contact pneu/sol se traduit par un glissement du pneumatique sur la chaussée. La vitesse de
glissement appelée Vgxi, est la différence entre la vitesse linéaire du véhicule au point de contact
pneu/sol suivant l’axe longitudinal Vxi et la vitesse de roulement du pneumatique VRwi :
Vgxi  Vxi  VRi  Vxi  Ri i : indice du pneumatique
18
V yi
Vgi i R Vi
i
FXi
Vgxi Vxi
Fi FYi
Figure 1.31 : Vitesse au niveau du contact pneu/sol
La figure 1.31 montre la vitesse au niveau du point de contact roue/sol et la création de la force.
Un roulement sans glissement veut dire que cette différence est nulle et donc les forces
longitudinales appliquées au niveau des pneumatiques sont nulles. Le taux de glissement gli
représente le rapport entre la vitesse de glissement Vgxi et le maximum des deux grandeurs
VRw et Vxi :
Vgxi Vxi  Ri

g li  
max(Vxi , Ri ) max(Vxi , Ri ) (1.5 )
Dans le cas de freinage, la vitesse de rotation du pneu ωi diminue et la vitesse de glissement Vgxi
devient positive. Le taux de glissement dans ce cas là devient négatif et cela va créer une force
de frottement au sens inverse du glissement, qui freine le véhicule.
L’évolution des forces de contact pneumatique/chaussée montre l’existence de trois zones

différentes (Figure 1.32) :
La zone de pseudo-glissement linéaire : la zone du régime linéaire (les forces varient

linéairement en fonction des glissements). C’est la zone dans laquelle nous ne mobilisons
pas une forte adhérence (conduite normale).
La zone de pseudo-glissement : c’est la zone d’une forte mobilisation de l’adhérence,

mais le véhicule reste contrôlable.
La zone de glissement total : c’est la zone où le véhicule devient difficilement

contrôlable.
19
Force longitudinale
ou latérale
Pseudo-
glissement
glissement total
Régime
linéaire
Figure 1.32 : Forme de la courbe de la force longitudinale ou latérale
2.7.3.2 Angle de dérive

Lorsqu’une roue est soumise à une sollicitation latérale (par exemple une force latérale), la
surface de contact du pneumatique sur la chaussée tend à glisser dans le sens opposé. Le
glissement latéral qui en résulte est caractérisé par l’angle de dérive appelé αi, entre l’axe
longitudinal de la roue et la direction de son mouvement (Figure 1.31). Il est donné par la
formule suivante :
V yi
 i   arctan (1.6 )
Vxi
Avec :
Vxi, la vitesse du véhicule au point de contact suivant la direction longitudinale de la

roue i ;
Vyi, la vitesse du véhicule au point de contact suivant la direction transversale de la

roue i.
La connaissance précise de cet angle (par identification à partir de données expérimentales)

contribue dans la détection de situation critique de conduite (Caroux et al. 2006).
2.7.4. Modèle d’efforts de Coulomb/Burckhardt/Kiencke de type exponentiel
D’après le modèle de Coulomb, les forces longitudinales et latérales peuvent être exprimées en
fonction du coefficient d’adhérence longitudinale µxi et du coefficient d’adhérence latérale µyi,
et de la force normale Fzi appliquée sur le pneumatique (Canudas de Wit et al. 1995). Elles sont
données par les formules suivantes :
Fxi   xi Fzi
Fyi   yi Fzi (1.7 )
20
Les coefficients d’adhérence sur chaque roue sont calculés en utilisant la formule de
Burckhardt (Burckhardt 1993) et (Kiencke & Nielsen 2000) donnée par l’équation (1.8 ). Elle
dépend du glissement longitudinal gli et de l’angle de dérive αi:
g li
 xi   resi
si (1.8 )
tan  i
 yi   resi
si
Avec :
si  g li2  tan( i ) 2
(1.9 )
( c 2 s i ) (c4 siVG )
resi (si )  c1(1  e )  c3si )e (1  c5 Fzi2 )
VG représente la vitesse du centre de gravité du véhicule
Les paramètres c1, c2 et c3 sont spécifiques à l’état de la surface de la chaussée, comme l’indique
le tableau 1-1 issue de l’ouvrage de Kiencke.
Les paramètres c4 et c5 étant positifs, µresi diminue lorsque la vitesse et la charge verticale du
véhicule diminuent.
Tableau 1-1 : Coefficient de Burckhardt en fonction de type de chaussée
c1 c2 c3
Asphalte, sec 1.2801 23.9 0.52
Asphalte, humide 0.857 33.822 0.347
Béton, sec 1.1973 25.168 0.5373
Pavés, sec 1.3713 6.4565 0.6691
Pavés, humide 0.4004 33.7080 0.1204
Neige 0.1946 94.129 0.0646
Glace 0.05 306.39 0
La figure 1.33 représente les caractéristiques du coefficient d’adhérence en fonction de divers

types de revêtement et d’état de la chaussée.
21
0.9 Asphalte sec

Béton sec
0.8
Pavé sec
0.7
0.6
Adhérence
Asphalte humide
0.5
0.4
0.3 Pavé humide
0.2
Neige
0.1
Glace
0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
glissement si
Figure 1.33 : Coefficient d’adhérence pour divers types de surface
2.7.5. Modèle de Pacejka

Les modèles de Pacejka (Pacejka et al. 1987), (Bakker & Pacejka 1991), (Pacejka 2006) connus
sous le nom de « formule magique », sont issus de l’identification des paramètres de courbes à
partir de relevés expérimentaux obtenus sur banc d’essai. Les paramètres du modèle du
Pacejka nécessitent d’être ajustés aux conditions d’essais réelles (revêtement, protocole
d’essais…) qui ne sont pas prises en comptes par les équations du modèle (Basset et al. 2005).
Malgré son domaine de validité limité, il est encore utilisé comme référence dans le domaine
industriel. Ce modèle quasi-statique non-linéaire permet de calculer les forces longitudinales,
latérales, ainsi que le moment d’auto alignement. Il exprime aussi le couplage entre les efforts
longitudinaux et latéraux. La seule expression à utiliser est donnée par :
X  x  Sh
F ( x)  y ( X )  S v
(1.10 )
y ( X )  D sin(C tan 1 ( BX  E ( BX  tan 1 ( BX ))))
Cette formule permet de décrire :
En entrée x, le glissement longitudinal ou l’angle de dérive de la roue
En sortie, respectivement l’effort longitudinal ou l’effort latéral et le moment d’auto-

alignement
Les paramètres B, C, D, E, Sh et Sv dépendent de la force normale appliquée sur le

pneumatique, de l’angle de carrossage ρ, des caractéristiques du pneumatique et du mode
étudié. Ils ont une signification physique :
22
B : coefficient de raideur ;
C : facteur de forme ;
B et C permettent d’ajuster les pentes aux origines et l’allure des courbes.
D : valeur maximale ;
E : courbure qui permet un contrôle des abscisses pour lesquelles les valeurs
maximales des courbes sont atteintes ;
Sh : décalage à l’origine en horizontal ;
Sv : décalage à l’origine en vertical ;
La figure 1.34 montre qu’à partir de l’observation de la courbe caractéristique des efforts d’un
pneumatique, il est possible de déterminer les paramètres B, C et D. Le paramètre E corrige la
courbure de la courbe après le sommet
Y
Sh
F
tan-1(BCD)
Sv
x
X
Figure 1.34 : Courbe caractéristique selon le modèle de Pacejka
Le coefficient BCD représente la tangente à l’origine. Il est équivalent à la raideur d’adhérence

du pneumatique en latéral ou en longitudinal. La figure suivante montre la forme des réponses
du modèle de Pacejka en fonction des paramètres pour un pneumatique donné.
3000 3000
2500 2500
2000 2000 B augmente

F
1500 1500
1000 1000
D augmente
500 500
0 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x x
23
3000 3000
2000 2500
E augmente
1000 2000
0
F
F
1500
C augmente
-1000 1000
-2000 500
-3000 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
x x
Figure 1.35 : Courbe caractéristique selon le modèle de Pacejka pour des variations de C, B, D et E.
Les expressions des paramètres du mode longitudinal, latéral et le moment d’auto-alignement

du modèle de Pacejka sont représentées sur le tableau 1-2 :
Tableau 1-2 : Expression des paramètres du mode longitudinal, latéral et moment d’auto-alignement
Mode longitudinal Mode latéral Moment Auto-alignement
 xm  b1Fz  b2  ym  a1Fz  a2  zm  c1Fz  c2

D   xm Fz D   ym Fz D   zm Fz
BCD  (b3 Fz2  b4 Fz )e (b5 Fz ) BCD  a3 sin(2 tan 1 ( Fz / a4 ))(1  a5  ) BCD  (c3Fz2  c4 Fz )(1  c6  e(c5 Fz ) )
C  b0 C  a0 C  c0
E  b6 Fz2  b7 Fz  b8 E  a6 Fz  a7 E  (c7 Fz2  c8 Fz  c9 )(1  c10  )
B  BCD / CD B  BCD / CD B  BCD / CD
Sh  b8 Fz  b10 Sh  a8   a9 Fz  a10 Sh  c11  c12 Fz  c13
Sv  0 Sv  a11Fz  a12 Fz  a1 Sv  (c14 Fz2  c15 Fz )   c16 Fz  c17
On remarque que l’angle de carrossage n’intervient que dans le mode latéral et que les
coefficients µxm et µym peuvent être analysés comme étant des modules du frottement de
Coulomb. Quant aux équations du couple d’auto-alignement, la chasse géométrique n’est pas
prise en compte. Elle est considérée relativement faible par rapport à la distance entre le centre
de gravité du véhicule et le point de contact du pneu avec le sol. Les figures (Figure 1.36),
(Figure 1.37) et (Figure 1.38) montrent les variations des forces latérales, longitudinales et les
moments d’auto-alignement pour différentes forces normales et différentes adhérences.
24
7000 5000
4500
6000
4000
5000 3500
force latérale Fy
force latérale Fy
3000
4000
2500
3000 Fz augmente
2000
2000 1500
1000 adhérence diminue

1000
500
0 0
0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 1
dérive en degré dérive en degré
Figure 1.36 : Variation de la force latérale par rapport à la force normale et à l’adhérence
4500 4000
4000 3500
3500
3000
force longitudinale Fx
force longitudinale Fx
3000
2500
2500
2000
2000
Fz augmente 1500
1500
1000
1000
500 500 adhérence

diminue
0 0
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
glissement glissement
Figure 1.37 : Variation de la force longitudinale par rapport à la force normale et à l’adhérence
80 50
60 40
moment d'auto-alignement en N.m
moment d'auto-alignement en N.m
40 30
20
20
10
0
adhérence diminue
0
-20
-10
-40 Fz augmente -20
-60
-30
-80 -40
-100 -50
-30 -20 -10 0 10 20 30 -30 -20 -10 0 10 20 30
dérive en degré dérive en degré
Figure 1.38 : Variation du moment d’auto-alignement par rapport à la force normale et à l’adhérence
En comparant le moment d’auto-alignement avec les forces latérales, nous remarquons que le
maximum du moment d’auto-alignement se situe avant le maximum de la force latérale
maximale. Ce phénomène est utilisé par les pilotes de course pour détecter les limites de
contrôlabilité de leur véhicule : dès qu’ils sentent une diminution de la force nécessaire pour
25
faire tourner ou maintenir le volant, ils savent qu’ils se rapprochent du maximum de la force
latérale.
Il existe dans la littérature d’autres modèles d’effort de contact roue-sol comme le modèle de
Dugoff (Dugoff et al. 1970) et des travaux de recherche portant sur l’estimation de ces efforts
(Villagra et al. 2010), (M’sirdi et al. 2005). Nous utilisons par la suite le modèle de Pacejka pour
représenter le modèle de contact roue-sol.
2.7.6. Moment de renversement

Ce moment est causé par le carrossage de la roue. Il est donc dû au déplacement du point de
contact pneu-chaussée. En effet, le point conventionnel est défini comme étant l’intersection du
plan vertical de symétrie de la roue avec le sol (Figure 1.39). Cependant, vue la géométrie du
pneumatique, le point de contact pneu-sol se déplace transversalement le long de la
circonférence du pneu (Takahashi & Hada 2004) et se retrouve à distance du point
conventionnel. L’équation du moment peut être approchée par le produit de la charge verticale
par le bras de levier associé (Cossalter & Doria 1999). Dans ce cas, le moment de renversement
est donné comme suit :
Cx  t p Fz (1.11 )
Fz
Mx
Fy
tp
Figure 1.39 : Moment de renversement
2.7.7. Moment de résistance au roulement

Lorsque le véhicule roule, un moment apparaît autour de l’axe latéral du pneu. En effet, le
rayon de la roue R à l’arrêt est différent de celui en roulement. Cette différence crée une zone
de contact, qui une fois soumit à la charge verticale, génère un moment de résistance au
roulement. Le moment est fonction de la charge verticale et d’un coefficient de résistance au
roulement f :
C y  RfFz (1.12 )
26
2.8. Forces aérodynamiques
Comme tout objet en mouvement, un véhicule est exposé à un ensemble d’efforts

aérodynamiques dont le torseur est calculé au centre d’inertie du véhicule. Il se résume à la
trainée longitudinale qui affecte principalement les performances en accélération, et la poussée
latérale constituant une perturbation externe influant surtout la stabilité du guidage et la
portée verticale.
L’effort aérodynamique peut être approché par l’équation suivante :
1
F   air C d AVr2 (1.13 )
2
où  air est la densité de l’air, A est la surface de référence obtenue par projection frontale du
véhicule. Cd est le coefficient de pénétration dans l’air et Vr est la vitesse relative du véhicule
définie comme la somme vectorielle de la vitesse du véhicule et celle du vent.
Afin d’illustrer et d’analyser la dynamique du véhicule ainsi que la contribution de chacune

des différentes composantes cités ci-dessus, les modèles correspondants doivent être
implémentés dans un environnement de simulation. Dans la partie suivante, nous évoquons
un état de l’art des simulateurs du marché ainsi que leurs domaines d’applications
3. Simulateur
L'ingénierie basée sur la simulation, « simulation-based engineering », représente un outil

efficace pour réduire les coûts de développement, en limitant notamment le nombre de
prototypes réels et le volume des essais nécessaires à la mise au point du produit. Ce concept
de prototypage rapide a été adopté par pratiquement tous les secteurs industriels et de
recherches. Le potentiel du Prototypage Virtuel augmente quand le système final résulte de
l'assemblage de composants développés par plusieurs fabricants situés à des emplacements
géographiques différents. La fabrication des sous-systèmes des prototypes physiques peut être
compliquée voire impossible dans les étapes diverses du développement (coût élevé et
contraintes de temps).
Aujourd'hui, le prototypage virtuel de véhicule atteint dans l'industrie d'automobile un niveau

qui permet d’analyser des véhicules complets par la simulation. Cependant, certaines
difficultés subsistent par exemple l’intégration du groupe motopropulseur dans le modèle de
véhicule, la modélisation fine du contact entre le pneu et le sol et l’élaboration de véhicules
dont l’architecture mécanique est innovante (véhicule avec dispositif d’inclinaison, …)
Le développement d’un simulateur se fait suivant différentes étapes caractérisées par un cycle
en V (Royce 1987). C’est un modèle de gestion de projet qui limite le retour aux étapes
27
Simulateur
précédentes. Les phases de la partie montante doivent renvoyer de l’information sur les phases
en vis-à-vis lorsque les défauts sont détectés, afin d’améliorer le logiciel. La figure 1.40 montre
l’architecture du cycle en V :
Analyse des besoins Recette

et faisabilité
Spécifications Tests de
MIL validation HIL
Conception Tests
architecturale d’intégration
Conception
PIL
RP Tests
détaillée Codage unitaire
SIL
Temps
Figure 1.40 : Architecture du cycle en V
Il part du principe que les procédures de vérification de la conformité du logiciel par rapport
aux spécifications doivent être élaborées dès les phases de conception. Au cours de ce cycle,
plusieurs types de validation ont lieu :
MIL (Model In the Loop) : la validation en simulation du modèle (par exemple celui
du véhicule) couplé à un modèle d’environnement. La vérification du modèle doit
satisfaire les prestations et les principales exigences opérationnelles et fonctionnelles.
RP (Rapid Prototyping) : Prototypage rapide. Le modèle de contrôle-commande est

intégré et compilé dans un calculateur prototype connecté au système réel. Les stratégies
sont validées et la pré-calibration est affinée.
SIL (Software In the Loop): validation en boucle fermée du logiciel embarqué couplé
au modèle d’environnement. On doit vérifier que le logiciel développé donne les mêmes
résultats que lors des tests MIL et satisfait aussi les exigences supplémentaires.
PIL (Power in the loop) : les organes électroniques de puissance et électrotechniques

(onduleurs, chargeurs, batteries, moteurs électriques,..) sont testés avec un
environnement virtuel de charges passives ou actives.
HIL (Hardware In the Loop) : validation sur banc hybride du calculateur embarqué.
On valide les exigences opérationnelles, fonctionnelles et de sûreté de fonctionnement du
calculateur réel sur le prototype virtuel.
28
La figure 1.41 montre un exemple de cycle de validation MIL, SIL et HIL d’un modèle de
contrôle- commande dédié à une application automobile
Figure 1.41 : Cycle de validation – application automobile
La conception d’un bon simulateur doit répondre à un cahier de charge universel. Il doit
être capable de résoudre les équations différentielles et récurrentes,
manipuler des schémas blocs…
avoir un langage de script, un environnement graphique, un compilateur pour Pc et
microcontrôleurs,
avoir un schéma fonctionnel, des librairies, cartographies…
avoir des interfaces standardisées d’entrées/sorties
importer/exporter des modèles, C et VHDL-AM code….
D’après la bibliographie, on compte plusieurs simulateurs à travers le monde développés dans

les secteurs académiques, industriels et commerciaux. Dans la suite, nous présentons les
simulateurs « les plus connus » avec leurs spécificités.
3.1. Drive (Sate-italy)
Drive est un simulateur dynamique de voitures. Il simule le comportement des voitures

pendant l'accélération le long de leur axe longitudinal de symétrie. La dynamique couplée des
masses suspendues et non suspendues est obtenue en calculant le mouvement vertical et le
tangage du véhicule. La transmission est soigneusement modélisée de l'embrayage aux pneus,
y compris la boîte de vitesse (Figure 1.42). L’interaction entre les pneus et le sol est exprimée
par un diagramme non linéaire de force et du glissement, qui tient compte du calcul correct de
forces de traction, y compris ceux avec des valeurs élevées de glissement. Sate (SATE 1998) a
conçu d’autres outils complémentaires comme Bench pour les suspensions, Clutch pour
l’embrayage, Condiz pour la climatisation…Ces produits, la plupart du temps basés sur une
29
Simulateur
architecture de MATLAB/Simulink, peuvent être utilisés individuellement aussi bien que dans
un environnement plus large de simulation.
Figure 1.42 : Chaine de transmission
3.2. TruckSim, CarSim & BikeSim
Les outils de CarSim, de BikeSim, et de TruckSim (Mechanical Simulation Corporation 1996)

simulent et animent la dynamique des voitures, motos, scooters, voitures de compétition, et
camions, en utilisant les PCs standard sous Windows. Les modèles mathématiques basés sur
30 ans de recherche universitaire dans la dynamique de véhicule, simulent avec précision le
freinage, la conduite, la stabilité et l'accélération. Ces outils ont été conçus pour communiquer
avec les technologies SIL et HIL. Une interface avec d’autres logiciels tel que Simulink,
LabVIEW, ASCET et Visual studio est possible. Le modèle mathématique des véhicules est un
modèle multi-corps qui interagit avec l’environnement à travers le contact roue/sol et les forces
aérodynamiques. Le système comporte des degrés de liberté liés au : châssis (mouvement
longitudinal, latéral et vertical, roulis, tangage et lacet), roues (rotation, braquage,…),
suspensions (raideur, coefficient d’amortissement,…), freinage et accélération (couple,
température, système ABS, consommation d’essence...), pneus (glissement latéral et
longitudinal….).
Plusieurs modèles d’interaction du pneumatique avec le sol sont disponibles : Pacejka 5.2, MF-
tyre, MF-Swift, glissement longitudinal et latéral couplés, cisaillement externe avec carrossage.
CarSim est modulaire : chaque sous système du véhicule est défini avec des paramètres et des
tables de performances. Ceci permet aux utilisateurs de modifier le système et de le simuler à
part, contrairement à d’autres outils qui nécessitent la conception du véhicule entier avant la
simulation.
30
Figure 1.43 : CarSim 7
3.3. Carmaker
Carmaker (IPG 2003) est un ensemble d’outils de simulation pour les tests de conduite virtuelle
d’un véhicule routier. Il peut être utilisé hors ligne, en temps réel ainsi que dans les
applications HIL. Le logiciel inclut un modèle de conducteur permettant de gérer des
situations très variées, un modèle de route qui traite des données réelles de route, un outil
d'animation et beaucoup d'autres fonctions.
Les composants des véhicules sont modélisés comme des systèmes multi-corps rigides ou
flexibles qui sont non-linéaires. Le système multi-corps forme le modèle principal et la plate-
forme d'intégration pour tous les autres sous-composants comme les suspensions, systèmes de
direction, les pneus, le système de frein, la transmission et l'aérodynamique. Les modèles sont
groupés en sous-ensembles qui peuvent être modifiés ou échangés par des modèles internes
développés sous Simulink ou en language C. Le paramétrage peut être fait via une interface
utilisateur graphique (Figure 1.44). L’interface tridimensionnelle de contact roue-sol, utilise
plusieurs modèles comme IPGTire, MF-5.2, MF-Swift,….
Carmaker présente, en plus de la simulation classique de la dynamique du véhicule, des

champs d'application sur le développement des systèmes de contrôle de châssis, les systèmes
d'aide à la conduite…
31
Simulateur
Figure 1.44 : Paramètres de Carmaker
3.4. ASM Vehicle Dynamics Simulation Package
L’outil de simulation de dynamique de véhicule (ASM-VDSP 2007) est un modèle Simulink

pour la simulation en temps réel du comportement de la dynamique d’un véhicule dans un
environnement donné. Le modèle peut être employé sur un simulateur de dSPACE pour les
essais HIL des unités de commande électronique (ECU) ou pendant la phase de conception des
algorithmes de contrôle pour une pré-validation. Tous les blocs sont visibles, ainsi il est facile
d'ajouter ou remplacer des composants par des modèles spécifiques pour adapter les
propriétés du véhicule dans différents types de projets. Les interfaces standardisées permettent
au modèle de dynamique de véhicule d'être facilement étendu pour satisfaire aux exigences
spécifiques ou même créer un véhicule virtuel. Les routes et les manœuvres de conduite
peuvent être créés facilement en utilisant des outils graphiques avec une visualisation claire.
Tous les paramètres peuvent être changés durant la simulation. Le modèle physique du
véhicule est représenté par un système multi corps avec 11 degrés de liberté (6 pour le châssis,
4 pour les roues et 1 pour le braquage). Le modèle non linéaire du véhicule, prend en compte
la géométrie et la cinématique de suspension, l’aérodynamisme, un modèle de direction, une
boîte de vitesse avec des flexibiltés de transmission, un moteur, deux modèles semi-empirique
de pneu (Pacejka et TMEasy) et un modèle hydraulique du freinage (Figure 1.45).
L’environnement est constitué d’une route, des manœuvres de conduite, et un modèle
conducteur en boucle ouverte ainsi que fermée.
32
La visualisation des simulations en réalité virtuelle est assurée par l’outil MotionDesk qui lit les
données du simulateur de dSPACE ou de Simulink en temps réel et montre l'animation des
objets mobiles (par exemple, véhicule, roues, volant) en ligne. Les animations peuvent être
stockées comme dossiers visuels d’AVI.
Figure 1.45 : ASM-VDSP
3.5. Ve-DYNA
Ve-DYNA (TESIS DYNAware 2007) est un logiciel particulièrement conçu pour la simulation
rapide de la dynamique de véhicule dans des applications en temps réel (HIL, SIL) et dans des
études de conception sur ordinateur. L'exécution informatique du Ve-DYNA permet son
utilisation même pour des tâches longues de simulation, telles que l'optimisation ou
l'estimation des paramètres.
La simulation avec Ve-DYNA peut être employée dans le développement des tests de contrôle
du système comme le contrôle global du châssis ou du lacet. De plus, il permet des tests de
traitement virtuels pour évaluer la conception des suspensions ou des systèmes de direction.
Ve-DYNA comporte une représentation 3D de la route, aussi bien de divers types de
manœuvres, et d'un conducteur virtuel qui peut être ajusté à divers types de comportement.
Pour simuler les fonctions d’assistance au conducteur dans diverses situations de trafic comme
par exemple garder une distance constante avec le véhicule précédent, le module fournit un
environnement étendu de test comprenant de nombreuses configurations de véhicules et
d’obstacles.
Le modèle non linéaire du véhicule est basé sur un concept de modélisation développé par Rill
(Rill 2007). Il est modulaire avec des blocs séparés pour le châssis, le moteur, la transmission et
33
Simulateur
les roues dans Simulink. Tous les blocs ont des ports bien définis d'entrée et de sortie.
L’interaction des pneumatiques avec le sol est décrite par les modèles empiriques TM-Easy,
Pacejka 5.2, TNO tyre et FTire. Les résultats de simulation sont animés à travers un outil 3D
DYNA-animation.
Figure 1.46 : Ve-Dyna
3.6. VDL (Dymola)
VDL, librairie de dynamique de véhicule, (Dassault Systèmes 1981) est un outil pour
modéliser, simuler et analyser le comportement d’un véhicule routier. C’est un outil propre à
DYMOLA, un environnement de plusieurs domaines d’ingénierie qui contient des composants
mécaniques, thermiques, électriques, pneumatiques, hydrauliques, thermodynamiques… Il
dispose d’un algorithme performant pour résoudre les équations algébriques différentielles
(DAE). La haute performance et la robustesse est due à une manipulation symbolique des
boucles algébriques qui expriment les contraintes cinematiques. Ces techniques ainsi que les
solveurs numériques spéciaux donnent une simulation rapide des modèles de hautes
complexités.
VDL est basé sur Modelica , un langage de modélisation « open source ». Le système est décrit
comme un système multi corps composé du châssis, des suspensions avant et arrière, des
roues, des pneus…
La route est décrite en 3D et plusieurs manœuvres de conduite sont disponibles : suivi de

courbure, changement de ruelle, freinage en courbe, slalom, évitement d’obstacle…
34
L’interaction entre le pneumatique et le sol est modélisée par les modèles de Pacejka02, Rill 05,
Bakker 87….
La simulation en temps réel avec Dymola donne la possibilité d'exécuter les tests HIL sur les
plates-formes communes comme dSPACE, RT-LAB, xPC Target et Cramas.
Figure 1.47 : VDL
3.7. Civitec
Civitec est un éditeur de logiciel de simulation en réalité virtuelle créé en 2008, dont le
domaine d’application est la simulation des systèmes de détection communément utilisés en
perception et de leur environnement physico-réaliste. Les applications couvrent aussi bien les
ADAS (Advanced Driver Assistance Systems), la robotique ainsi que la sécurité (surveillance
vidéo). Pro-SiVIC (CIVITEC 2008) est la version industrielle et commerciale de SiVICTM, une
plate-forme de simulation développée depuis une dizaine d’années au sein du laboratoire de
recherche LIVIC commun à l’INRETS et au LCPC.
Pro-SiVIC intègre les éléments suivants :
modèles paramétriques de capteurs extéroceptifs (caméra, télémétrie) ;
modèles paramétriques de capteurs proprioceptifs (Odomètre, centrale inertielle) ;
modèle d’un environnement immersif « bio-fidèle » (brouillard, pluie,…) ;
modèle paramétrique de la dynamique de véhicule (latéral, longitudinal, contact roue

sol, amortisseur….) ;
35
Simulateur
modèle contrôle/commande ;
interfaces avec Intempora RT Maps, Effidence AROCCAM et prochainement

Mathworks Matlab, Simulink et LMS Amesim.
3.8. RaceSim (DATAS)
C’est un outil d’analyse de la dynamique du véhicule (DATAS 1999). Il permet de faire divers
tests de simulations et de comparer plusieurs configurations de véhicules avant la mise en
place d’une conception détaillée. Par exemple, les masses, les puissances des moteurs peuvent
être modifiées afin de déterminer l’effet de la position du centre de gravité, des inerties sur les
performances d’un véhicule. Le modèle de véhicule est divisé en sous-groupes. Le modèle
global est défini par 1600 paramètres, 480 variables dynamiques calculées, 15 ddl dont un
système non linéaire des suspensions, des efforts du pneumatique,…
Cet outil existe en trois versions : Expert (F1, CART, GP2, F3000, IRL, NasCar, GT, WRC, Super
Touring Car, DTM, Tarmac Rally….), Standard (Touring Car, advanced F3), special (Dallara
F301 –F306).
3.9. SCANeR-OKTAL
SCANeRTM studio Car est un outil d'aide à la conception des véhicules de tourisme, de course,
des camions, bus, avec ou sans remorque. De plus, c’est un logiciel de référence pour les
applications militaires. Développé pour des experts de l’automobile, il est conçu pour
répondre aux besoins spécifiques des professionnels de la simulation dynamique. Le logiciel
englobe, grâce à sa modularité, toutes les variétés des différents composants d'un véhicule.
Développé par OKTAL en 1990, et mis à jour en permanence, il permet d’atteindre un haut
degré de précision par la comparaison constante avec des essais réels dans différents domaines
d'application et d’aider à comprendre le modèle afin d'améliorer sa conception et ses réglages.
En 1998, une fusion des logiciels Callas et Tour a contribué à obtenir CALLAS Motorsport qui
devient SCANeRTM studio Motorsport en 2010 .Ce dernier ajoute de nouvelles possibilités pour
répondre aux besoins particuliers des professionnels du sport automobile (SCANeR Studio
2010).
Son interface évolue dans un environnement familier (MS Office, Excel). Plusieurs manœuvres
sont possibles : accélération, freinage, mise en virage, passage d'obstacle et toutes les
combinaisons, afin de solliciter le véhicule en conditions extrêmes (glissement, tête à queue,
saut, renversement) et faciliter la recherche du meilleur compromis entre le comportement du
véhicule et les paramètres de réglage des suspensions, de l’élastodynamique …
36
4. Discussion et Conclusion
Les véhicules du futur seront dotés certainement de technologies innovantes permettant

d’améliorer le confort et la sécurité. De plus, ils doivent être maniables, peu encombrants,
économiques et peu polluants. Un état de l’art des véhicules innovants, étroits et citadins a été
présenté dans cette première partie. Après avoir décrit les principaux composants agissant sur
la dynamique des véhicules y compris l’interaction avec l’environnement, nous avons dressé
un état de l’art des simulateurs existants ainsi que leurs domaines d’applications. Le domaine
de la simulation automobile est riche avec des simulateurs dotés des dernières technologies. Il
est le résultat des moyens et des investissements énormes réalisés par les constructeurs
automobiles et les sociétés de développement de produits pour la réalité virtuelle.
Au niveau de la modélisation, on remarque que tous les simulateurs utilisent un modèle multi-
corps rigide ou flexible pour représenter le véhicule. Ceci permet d’avoir une structure
modulaire de modélisation offrant la possibilité de modifier les paramètres d’un corps, ou de
le remplacer par un autre module externe (par exemple modifier le type des suspensions, le
modèle de contact roue sol,…) Chacune de ces entités élémentaires possède ses caractéristiques
propres, indépendamment du reste de l'environnement.
Ces logiciels permettent la construction d’un nouveau modèle de véhicule à partir d’une
bibliothèque prédéfinie. Donc nous pouvons choisir entre plusieurs modèles de conducteur, de
types de suspensions, de modèles de contact roue/sol, de carrosserie ou même intégrer des
nouveaux modules conçus en respectant l’architecture d’entrée et de sortie. Mais la conception
d’un nouveau modèle doit respecter la structure classique des véhicules routiers, définie dans
chaque simulateur, et qui n’inclut pas à titre d’exemple un système d’inclinaison. Malgré leurs
aspects modulaires, une simple modification, ou un remplacement de composants ne permet
pas de prendre en compte une dynamique complémentaire particulière.
A notre connaissance, les logiciels existants ne permettent pas la simulation d’un véhicule
inclinable comme la Smera de « Lumeneo » qui présente une structure géométrique non
standard, avec des chaines fermées qui permettent une inclinaison prononcée du véhicule (le
châssis et les roues).
Le deuxième inconvénient de ces logiciels est leur caractère fermé : il est impossible d’accéder
au code source. Leur conception interne est tenue secrète, ce qui empêche de les adapter et de
les modifier en fonction des besoins propres des utilisateurs. Par suite, les équations
dynamiques du système et des sous-systèmes ne sont pas accessibles aux utilisateurs.
De plus, le prix d’achat de ces logiciels s’élève jusqu’à quelques dizaines de K€. Il s’y ajoute
une cotisation annuelle de mise à jour et de maintenance.
Pour toutes ces raisons, nous avons cherché à développer un simulateur flexible et ouvert d’un
véhicule inclinable étroit dont la structure est complexe. On se limite à la première étape du
37
Discussion et Conclusion
cycle en V, c'est-à-dire MIL, où l’environnement et le véhicule seront représentés par un

modèle mathématique symbolique. La modélisation du véhicule est basée sur la description
géométrique d’un système multi-corps en utilisant la paramétrisation modifiée de Denavit-
Hartenberg. Cette modélisation introduit la notion de composant mécanique, constitué non
seulement des caractéristiques physiques et des paramètres nécessaires à sa représentation,
mais également des méthodes d’intégration des équations différentielles (algorithme
d'intégration, pas de la simulation). Le système global n'existe quant à lui que par l'existence de
relations entre ces entités élémentaires. Des changements dans la structure de la chaîne
cinématique peuvent donc être réalisés à tout instant par des modifications de ces relations
sans affecter la définition des composants mécaniques eux-mêmes.
Le développement de ce simulateur a pour but l’aide à la conception de nouveaux véhicules
de type étroit et inclinable. L’apport de ce simulateur réside dans le gain de temps de
conception, dans le gain en coût de réalisation de véhicule prototype physique et il servira de
support à l’analyse de la robustesse et des performances des stratégies de contrôle de
trajectoires existantes, ou encore à définir d’autres lois de commande. Les modèles développés
par l’approche multi-corps du formalisme de la robotique, sont implémentés dans un
environnement de simulation pour jouer des scénarios routier, visualiser le déplacement et le
comportement cinématique et dynamique du système.
38
Chapitre 2 Modélisation robotique
Un véhicule peut être considéré comme un système multi-corps dont le châssis, possédant six
degré de liberté par rapport au repère galiléen, est la base et les roues sont les organes
terminaux. Dans ce chapitre, on présente le formalisme utilisé en robotique pour décrire les
systèmes multi-corps arborescents et fermés, et calculer systématiquement les modèles
géométriques, cinématiques et dynamiques. La première partie du chapitre introduit la
modélisation, avec l’utilisation de la description systématique de Denavit & Hartenberg
modifiée, pour les systèmes à base fixe. La seconde partie du chapitre présente la prise en
compte des systèmes à base mobile. Enfin la troisième partie donne un exemple de
modélisation et de simulation d’un modèle simple dit « modèle bicyclette 3ddl ».
1. Système multi-corps et DHM
La modélisation systématique et automatique des robots exige une méthode adéquate pour la
description géométrique de leur morphologie. La méthode la plus répandue est celle de
Denavit-Hartenberg (Denavit & Hartenberg 1955). Mais les ambigüités qu’elle porte au niveau
des structures fermées nous a conduit à utiliser la notation de DH modifiée par Khalil et
Kleinfinger (Khalil & Kleinfinger 1986), (Khalil & Dombre 2002).
simple arborescente fermée parallèle

Figure 2.1 : Types de structures
39
Système à base fixe
La méthode de DHM permet la description unifiée avec un nombre minimum de paramètres,

des structures simples, parallèles, complexes et fermées (Figure 2.1). Elle s’applique également
aux robots mobiles.
2. Système à base fixe
Dans cette section, nous présentons la méthode de modélisation adoptée pour les structures à
base fixe, arborescentes ou fermées. Le calcul des modèles géométrique, cinématique et
dynamique est présenté par la suite.
2.1. Système mécanique à structure arborescente
Soit un système mécanique Λ, constitué par des corps rigides assemblés entre eux par des
liaisons mécaniques simples appelées articulations avec un seul degré de liberté par
articulation. Elles peuvent être de deux types : rotoїde ou prismatique (Figure 2.2 a&b).
Le système est défini comme une structure arborescente de n+1 corps rigides notés Cj avec j =
0,…, n, reliés entre eux par n articulations et ayant éventuellement plusieurs corps terminaux
(Figure 2.2 c). Conventionnellement, les corps et les articulations sont numérotés d’une façon
croissante depuis la base C0 vers l’organe terminal Cn. Le corps Cj est articulé suivant
l’articulation j qui relie le corps j à son antécédent, le corps Ca(j). Dans le cas d’une structure
série, l’antécédent de j est a(j) = j-1. De même le repère Rj est lié au corps Cj et la variable de
l’articulation j est notée qj. Soit q, le vecteur de dimension (nx1), qui représente le vecteur des
coordonnées généralisées associé au système Λ. Il est composé des n variables articulaires qj.
Cn Cm
Cm+1
prismatique
Cj+1
Cj
rotoїde
C1
C0
(a) (b) (c)
(a)
Figure 2.2 : Types d’articulations et topologie des structures arborescentes
40
Chapitre 2 : Modélisation robotique
Un corps Cj peut être réel ou virtuel. Un corps réel a une représentation physique, caractérisée
par une masse et des inerties. Un corps virtuel n’a pas d’existence physique dans la structure
mécanique, il ne possède ni masse, ni inertie propre. Les corps virtuels sont utilisés dans deux
cas :
Le cas des articulations complexes, pour lesquelles des corps fictifs de masses et de
longueurs nulles sont reliés entre eux par des articulations simples. Par exemple, une
rotule est modélisée en associant trois articulations rotoїdes d’axes concourants, un pivot
glissant par une articulation rotoїde et une articulation prismatique de même axe.
La définition de plusieurs repères attachés au même corps.
Afin d'obtenir les modèles géométriques, cinématiques et dynamiques du système, il faut

définir les repères attachés à chaque corps. Soit le repère Rj associé au corps Cj. Il est défini par
son origine Oj et par une base orthonormée dont les axes sont notés (xj, yj, zj).
Le corps Cj est le successeur du corps Ca(j) et l'antécédent du corps Cs(j). Le repère Rj est défini de
la façon suivante :
L'axe zj est porté par l'axe de l'articulation j,
l'axe xj est porté par la perpendiculaire commune aux axes zj et l'un des zs(j) et orienté
arbitrairement,
l'axe yj est pris de telle sorte que le repère (xj, yj, zj) soit orthonormal direct.
En notant i = a(j), l'indice du corps antécédent de Cj.
L'axe uj est construit sur la perpendiculaire commune aux axes zi et zj dans le cas d’un
arborescence où xi n’est pas perpendiculaire à zi et zj.
Le changement de repère entre Ri et Rj s’effectue à l'aide des six paramètres géométriques γj, bj,
αj, dj, θj, rj définis par (Figure 2.3) :
γj est l'angle entre xi et uj autour de zi,
bj est la distance entre xi et uj le long de zi,
αj est l'angle entre les axes zi et zj correspondant à une rotation autour de l'axe uj,
dj est la distance entre les axes zi et zj le long de l'axe uj,
θj est l'angle entre les axes uj et xj correspondant à une rotation autour de l'axe zj,
rj est la distance entre les axes uj et xj le long de l'axe zj.
41
zi
αj
zj αk zk
xj dj bj
θj rj Oi
uj Ck
Cj γj
Ci xi=uk
Figure 2.3 : Paramètres géométriques standards
La matrice de transformation homogène du repère i au repère j, est donnée par la matrice (4x4)
suivante :
 sx nx ax Px 
 
 i
Rj i
Pj   i s j i
nj i
aj i
Pj   s y ny ay Py 
i
Tj      ( 2.1 )
0 0 0 1   0 0 0 1   sz nz az Pz 
 
 0 0 0 1 
Où isj, inj et iaj représentent respectivement les vecteurs unitaires suivant les axes xj, yj et zj du
repère Rj exprimés dans le repère Ri . iPj est le vecteur exprimant l’origine du repère Rj dans le
repère Ri.
Il existe deux cas pour définir cette matrice de transformation entre deux corps consécutifs :
Notons que CY=Cos(Y) et SY=Sin(Y)
Si i = a(j) et xi est la perpendiculaire commune aux axes zi et zj, alors γj et bj sont nuls et
T est fonction des quatre paramètres géométriques (αj, dj, θj et rj )
i j
i
T j  Rot ( x,  j )Trans( x, d j ) Rot ( z , j )Trans( z, r j )
 C j  S j 0 dj 
C S C j C j  S j  r j S j  ( 2.2 )
 j j
 S j S j S j C j C j  r j C j 
 
 0 0 0 1 
42
Si i = a(j) = a(k) et xi est la perpendiculaire commune aux axes zi et zk, on construit alors
la perpendiculaire commune uj aux axes zi et zj et iTj est fonction de six paramètres
géométriques (γj, bj, αj, dj, θj, rj )
T j  Rot ( z,  j )Trans( z, b j ) Rot ( x,  j )Trans( x, d j ) Rot ( z, j )Trans( z, r j )

i
C j C j  S j C j S j  C j S j  S j C j C j S j S j d j C j  r j S j S j 
 S C  C C S  S j S j  C j C j C j  C j S j d j S j  r j C j S j 
 j j j j j
( 2.3 )
 S j S j S j C j C j r j C j  b j 
 
 0 0 0 1 
La variable articulaire qj associée à l’articulation j est définie par :
q j   j j   j r j avec  j  1   j
Où :
σj = 0 si l’articulation j est rotoїde
σj = 1 si l’articulation j est prismatique
σj = 2 si l’articulation j est bloquée. Ce cas est utilisé pour définir les repères Ri et Rj
attachés au même corps Ci. Dans ce cas, il n’y a pas de variables articulaire qj=0).
2.2. Système mécanique à structure fermée
Soit un système mécanique Σ, composé de n+1 corps et de L articulations (L>n), la base étant le
corps C0. Le nombre de boucles fermées est calculé par la relation suivante :
B=L-n ( 2.4 )
Soit N, le nombre d’articulations actives, c'est-à-dire les articulations motorisées par des
actionneurs. Les articulations non motorisées sont notées articulations passives. Tous les robots
industriels comportant des boucles fermées doivent vérifier les conditions suivantes :
la structure est compatible avec les contraintes de fermeture des boucles,
le nombre de degré de liberté du robot doit être égal au nombre d’articulations

motorisées N,
la configuration du robot peut être déterminée par les N variables articulaires actives.
Les paramètres géométriques du système sont déterminés par la méthode suivante (Figure
2.4) :
43
On coupe virtuellement chacune des boucles sur l’une de ses articulations passives et
on place ensuite les repères sur les corps pour déterminer les paramètres géométriques
de la structure arborescente équivalente en appliquant les règles de DHM.
Les articulations coupées sont numérotées de n+1 jusqu'à L. On définit un repère Rk

pour chaque articulation coupée k. Ce repère est fixe par rapport à l’un des corps qui
portent cette articulation, Cj par exemple. L’axe zk est porté par l’articulation k et l’axe xk
est porté par la perpendiculaire commune à zk et zj. Ainsi on détermine la transformation
entre les repères Ri et Rk, i=a(k) désignant l’autre corps connecté à l’articulation k.
Vu que le repère Rk est attaché au corps Cj et que son antécédent est le corps Ci, on
définit un repère RK+B confondu avec le repère Rk et d’antécédent le corps Cj. Ainsi la
description d’un système fermé se ramène à celle d’un système arborescent obtenu en
coupant chaque boucle sur une de ses articulations et en ajoutant deux repères par
boucle.
zk
zi zk+B
xi xk, xk+B
zj
Ci Cj
b1 b2
C1
C0
Figure 2.4 : Topologie d’une boucle fermée
2.3. Modèle géométrique direct (MGD) des structures arborescentes
Le modèle géométrique direct d’un robot est l’ensemble des relations qui permettent
d’exprimer la situation de l’organe terminal, c'est-à-dire la position et l’orientation d’un repère
lié à l’organe terminal, en fonction de ses coordonnées articulaires. Ceci se traduit par un
produit de matrices de transformation iTj. La matrice qui exprime la position d’un organe
terminal Ck par rapport à la base C0 est présentée par l’équation suivante :
44
0
Tk  0T11T2 ........a(a(k )) Ta(k ) a(k )Tk ( 2.5 )
L’expression des matrices de transformation est donnée dans les équations ( 2.1), ( 2.2) et ( 2.3).
2.4. Modèle géométrique direct (MGD) des structures fermées
Pour une structure fermée, le modèle géométrique direct MGD est l’ensemble des relations qui
permettent d’exprimer la position de l’organe terminal en fonction des variables articulaires
actives. Ceci revient à résoudre les équations de fermeture des boucles et à exprimer les
variables articulaires passives en fonction des variables actives.
Il existe L-N relations indépendantes entre les variables articulaires q. Ces équations sont
obtenues, à partir de la relation suivante, qui traduit la fermeture de chaque boucle :
k B
Tk  k  B T j ....i Tk  I 4 ( 2.6 )
L’équation ( 2.6) comporte 12 relations non linéaires, mais le nombre de relations

indépendantes est de six au maximum pour une boucle spatiale et trois pour une boucle plane.
2.5. Modèle cinématique des robots à structures arborescentes et fermées
Le modèle cinématique d’une chaine arborescente représente la relation entre les vecteurs des
vitesses de translation Vi et de rotation ωi de l’organe terminal i dans l’espace cartésien en
fonction des vitesses articulaires du système. Ceci se traduit par la relation suivante :
Vi 
   Ja i (q)q ( 2.7 )
 i
Où
Vi est le vecteur vitesse de translation du point Oi
ωi est le vecteur vitesse de rotation du corps i
q est le vecteur des vitesses articulaires
Jai(q) est la matrice jacobienne de dimension (6xn) qui se calcule en fonction des
éléments des matrices de transformation :
Jai (q)   Jc1 ...... Jcn1 Jcn 
Avec :
45
Jcj est un vecteur colonne de dimension (6x1) qui est égal à :
a 
 Jc j   j  si l’articulation j est prismatique
0 3 x1 
 ai xL j ,i 
 Jc j    si l’articulation j est rotoide et Lj,i =OjOi
 aj 
 Jc j  0 6 x1  si l’articulation j ne se trouve pas entre le corps C0 et Ci ou si le repère j est
fixe
Dans le cas d’une chaîne fermée, le modèle cinématique permet de décrire les vitesses
articulaires passives en fonction des vitesses des articulations actives. Ceci se traduit par la
méthode suivante :
le modèle cinématique de la chaine directe entre la base et l’organe terminal est

calculé comme dans le cas d’une chaine ouverte,
les relations de contraintes entre les vitesses des articulations actives et passives sont
calculées en égalisant les vitesses des repères Rk et RK+B associés aux articulations
coupées :
J K qb1  J K  B qb2 ( 2.8 )
Où :
qb1 et q b 2 sont les vecteurs de vitesses des articulations appartenant à chacune des deux
branches de l’arborescence associées à la boucle, notées b1 et b2 (Figure 2.4).
2.6. Modèle dynamique d’une structure arborescente
Le modèle dynamique donne la relation entre les couples /ou les forces (appelés efforts par la
suite) appliqués aux actionneurs du robot, et les positions, vitesses et accélérations articulaires.
On distingue deux types de modèle dynamique :
Le modèle dynamique inverse (MDI), qui exprime les efforts en fonction des
positions, vitesses et accélérations articulaires. Il est représenté par la relation :
  f (q, q, q, Fe ) ( 2.9 )
Le modèle dynamique direct (MDD), qui exprime les accélérations en fonction des
efforts, positions et vitesses articulaires. Il est représenté par la relation :
46
q  f (q, q, , Fe ) ( 2.10 )
Où :
q est le vecteur des coordonnées généralisées (articulaires)
q est le vecteur des vitesses articulaires
q est vecteur des accélérations articulaires
Fe est le vecteur des efforts appliqués sur le système
Les modèles dynamiques sont utilisées pour la simulation, le dimensionnement des

actionneurs, l’identification des paramètres inertiels et de frottement, et la commande.
Plusieurs méthodes permettent d’obtenir ces modèles, les plus connues utilisent le formalisme
de Lagrange et les équations de Newton-Euler.
2.6.1. Le formalisme de Lagrange

Le formalisme de Lagrange décrit les équations du mouvement en termes de travail et
d’énergie du système sous la forme suivante :
d L L
i   i  1,..., n ( 2.11 )
dt q i qi
Où :
L est le Lagrangien du système, tel que L= E-U

E est l’énergie cinétique du système
U est l’énergie potentielle du système
qi est la coordonnée articulaire de l’articulation i
L’expression de l’effort articulaire Γ peut s’écrire :

( 2.12 )
  A(q)q  C(q, q)q  G(q)
Où :
A( q) est la matrice de dimension (nxn) de l’énergie cinétique, dite aussi matrice

d’inertie du système. Elle est symétrique, définie positive. Ses éléments Aij dépendent des
variables articulaires qj ;
C (q, q )q est le vecteur (nx1) représentant les efforts de Coriolis et centrifuges ;
47
U
G  G1 ... Gn T est le vecteurs des efforts de gravité, avec Gi 
qi
2.6.1.1 Prise en compte du frottement, élasticités, inerties des rotors des actionneurs et efforts
extérieurs
La prise en compte des efforts extérieurs appliqués au robot, des flexibilités localisées et des
frottements articulaires conduit à l’équation suivante :
  A(q)q  C(q, q)q  G(q)  el   f  e  a ( 2.13 )
Où :
el est le vecteur de dimension (nx1) des efforts élastiques, composé d’éléments Γelj
 elj  K j (q j  q j 0 ) si j est une articulation élastique passive, avec Kj la raideur de

l’articulation j et qj-qj0 le déplacement articulaire par rapport à la position initiale. Dans ce
cas, Γ correspondant sera nul.
 elj  0 ailleurs
 f est le vecteur des efforts de frottement articulaires, d’éléments Γfj. Ils sont
modélisés par un frottement visqueux de coefficient Fvj et un frottement sec de Coulomb
de coefficient Fsj. La composante du frottement s’écrit alors :
 fj  Fvj q j  Fsj sign(q j ) ( 2.14 )
Où sign désigne une fonction telle que :
 sign(x) = -1 si x<0
 sign(x) = 1 si x>0
 sign(x) = 0 si x=0
e est le vecteur de dimension (nx1) des efforts généralisés associé aux efforts
extérieurs appliqués sur le système, d’éléments Γej. Les composants de ce vecteur se
calculent par :
 f e1 
m 
 e1 
ej  Q( j ,:) (q)    ( 2.15 )
 f en 
m 
 en 
Avec :
48
 Q est la matrice jacobienne totale. Elle s’écrit sous la forme suivante :
Q   Ja1T JanT  ( 2.16 )
Ja j est la matrice jacobienne du repère j par rapport au repère de la base (cf . ( 2.7 ))
 f ej , mej : les forces et couples extérieurs d’interaction entre le corps j et l’environnement.

Leur concaténation forme le torseur des efforts extérieurs.
a est le vecteur (nx1) des couples inertiels des moteurs, d’éléments Γaj. Les
composants de ce vecteur se calculent par :
aj  I aj q j ( 2.17 )
Avec :
 I aj  N 2j J mj l’inertie du moteur ramenée au niveau articulaire, N j est le rapport de

qmj
réduction de l’axe j et égal à q
q j où mj désigne la vitesse du rotor de l'actionneur j et
J mj désigne le moment d’inertie du rotor de l’actionneur j
On remarque que la composante de frottement est linéaire par rapport à Fvj et Fsj, la
composante élastique est linéaire par rapport à Kj et la composante de l’inertie du moteur est
linéaire par rapport à Iaj. La contribution de cette dernière peut être ajoutée à la matrice A, en
augmentant les coefficients Ajj de Iaj.
2.6.2. Paramètres inertiels

Chaque corps réel est caractérisé par 10 paramètres inertiels standards qui sont les suivants :
La masse du corps j : Mj
Les six composants de la matrice d’inertie Jj du corps j définie dans le repère Rj
 XX j XY j XZ j 
 
J j   XY j YY j YZ j 
( 2.18 )
 XZ j YZ j ZZ j 

Les trois premiers moments du corps j par rapport à l’origine Oj du repère Rj
MS j   MX j MY j MZ j  ( 2.19 )
Xj, Yj, Zj sont les coordonnées du centre de gravité du corps j dans le repère Rj
49
Nous ajoutons à ces 10 paramètres inertiels les paramètres de la chaine de transmission

articulaire qui sont la raideur Kj des articulations élastiques, les coefficients du frottement sec et
visqueux Fsj et Fvj ainsi que l’inertie Iaj des rotors. Donc au total, il y a au maximum 14
paramètres dynamiques pour chaque corps.
Comme le modèle dynamique est linéaire vis-à-vis des paramètres standards, une
simplification du modèle dynamique est possible par un calcul minimal de paramètres,
appelés paramètres de base. Les paramètres de base sont obtenus à partir des paramètres
dynamiques standards en éliminant ceux qui n’ont pas d’effet sur le modèle dynamique et
regroupant certains paramètres (Gautier & Khalil 1990), (Gautier 1990), (Khalil & Dombre
2002), (cf . Annexe A).
2.6.3. Newton d’Euler

Le formalisme Eulérien décrit le mouvement d’un solide en fonction de son torseur
cinématique de vitesse [VT ωT]T. Les équations de Newton-Euler d’un corps Cj expriment
l’égalité entre le torseur dynamique et le torseur des efforts extérieurs sur un corps j en son
centre de gravité Gj, y compris l’effet de la gravité. Cependant, exprimer le torseur dynamique
à l’origine Oj du repère du corps j plutôt qu’au point Gj, permet d’avoir un modèle dynamique
linéaire par rapport aux paramètres inertiels (Khalil & Kleinfinger 1987), (Kholsa 1986). Les
équations sont alors les suivantes :
Fj  M jV j   j  MS j   j  ( j  MS j ) ( 2.20 )
M j  J j j  MS j  V j   j  ( J j j ) (2.21 )
On note que le modèle en variables lagrangiennes peut être obtenu à partir des équations de
Newton –Euler en exprimant les torseurs de vitesse et d’accélération en fonction des variables
articulaires et de ses dérivées sans calculer explicitement les matrices A, C et G (Luh et al.
1980), (Khalil & Dombre 2002).
Avec :
M j est le moment des efforts extérieurs appliqués sur le corps Cj en son origine Oj ;
F j est la résultante des forces extérieures appliquées sur le corps j ;
 j est le vecteur d’accélération de rotation du corps j ;
V j est le vecteur d’accélération de translation du corps j ;
V j  VGj   j  S j
S j : les coordonnées du point Gj dans Rj tel que S j  O j G j  xG yG zG T
50
La méthode de Luh, Walker et Paul (Luh et al. 1980) permet de calculer le modèle dynamique
d’un robot par une double récurrence.
i) Une récurrence avant, de la base du robot vers l’effecteur, qui calcule successivement
les vitesses et accélérations des corps, puis leurs torseurs dynamiques.
ii) Une récurrence arrière, de l’effecteur vers la base, qui calcule les efforts articulaires en
prenant en compte les efforts extérieurs appliqués au robot et efforts articulaires
dans l’équation d’équilibre de chaque corps (Figure 2.5).
Une forme pratique des équations de récurrence avant et arrière est exposée dans la suite au
paragraphe (2.6.3.1) et (2.6.3.2) en projetant les grandeurs relatives d’un corps dans le repère
qui lui est lié.
2.6.3.1 Récurrence avant

Elle permet de calculer le torseur dynamique à partir des équations suivantes :
Pour j=1…n
j
i  j Ai i i
j
 j  j i   j q j j a j
i  j Ai i  i   j [q j j a j  j i  q j j a j ]
j  ( 2.22 )
j 
V j  j Ai ( j Vi  i i i P j )   j (q j j a j  2 j i  q j j a j )
j
F j  M j jV j  j  j j MS j ( 2.23 )
j
M j  j J j j  j  j  j ( j J j j  j ) j MS j  j V j
Avec :
 0  z y 
 
ˆ    z 0  x 
  y x 0 

j
Y j  j ˆ j  j ˆ j j ˆ j
j
a j  0 0 1T
Pour un robot à base fixe, l’initialisation de cette récurrence est :
0  0 0 0T , 0 0  0 0 0T , 0V0  0

0
0
T
0
51
2.6.3.2 Récurrence arrière

Ces équations sont obtenues à partir du bilan des efforts sur chaque corps, écrit à l’origine Oj.
Pour j= n…1
j
f j  j F j  j f ej   j f s ( j )
s( j )
i
f j  Aj f j
i j
( 2.24 )
j
m j  j M j  j mej   ( i As ( j ) s ( j ) ms ( j )  j Pˆs ( j ) j f s ( j ) )
s( j )
Les efforts de gravité sont calculés en incluant l’accélération de la gravité dans l’accélération de
chaque corps, ce qui revient à prendre : 0V0   g
Avec :
g est le vecteur d’accélération de la pesanteur exprimé dans le repère R0
Les couples articulaires Γj sont calculés en projetant, suivant la nature de l’articulation j, les
vecteurs fj ou mj sur l’axe du mouvement.
 j  ( j j f j   j j m j )T j a j ( 2.25 )
Avec :
j
f j : la résultante des forces appliquées par le corps antécédent d’indice a(j) sur le
corps j
j
m j : la résultante des couples appliquées par le corps antécédent d’indice a(j) sur le
corps j
Cette récurrence est initialisée, pour un corps terminal k sans successeur, par :
k
f s ( k )  0 , k ms ( k )  0
L’équation de la chaine d’actionnement qui tient compte de l’effet des frottements, des inerties
des actionneurs ramenées coté charge, s’écrit :
 j  ( j j f j   j j m j )T j a j  Fsj sign(q j )  Fvj q j  I aj q j ( 2.26 )
Pour une articulation élastique, l’équation devient :
0  ( j j f j   j j m j )T j a j  Fsj sign(q j )  Fvj q j  I aj q j  K j (q j  q j 0 ) ( 2.27 )
52
fj-fej -fj+1
Sj Gj
Lj+1 C Cj+1
Ci j
Lk
-fk -mj+1
mj-mej
-mk Ck
Figure 2.5 : Bilan des efforts appliqués sur le corps Cj d’une structure arborescente
Lorsqu’un corps j est fixe par rapport à son antécédent (σj=2), les éléments multipliés par  j et
 j dans les équations des vitesses et accélérations ( 2.22 ) et ( 2.23 ) sont éliminés, et l’équation
du couple articulaire Γj n’est pas à calculer.
D’une manière générale, le modèle dynamique inverse selon Newton-Euler, peut s’écrire sous
la forme suivante :
  f (q, q, q, g , Fe , Fs, Fv, K ) ( 2.28 )
Où :
g est le vecteur de la gravité exprimé dans le repère de la base (par exemple pour un
repère de base R0 avec z0 vertical positif vers le haut, g  0 0  9.81T ;
Fs est le vecteur de frottement sec de toutes les articulations ;

Fv est le vecteur de frottement visqueux de toutes les articulations ;
K est le vecteur des raideurs de toutes les articulations.
2.7. Modèle dynamique direct (MDD) d’une structure arborescente
Afin de simuler le comportement d’un robot et de sa boucle de commande, on utilise le modèle

dynamique direct qui s’écrit sous la forme d’un système d’équations différentielles non linéaire
implicite :
E ( x ) x  f ( x, u ) ( 2.29 )
Avec :
53
x  q q ; x  q q
T T
I 0 
E 
0 A( q) 
 q 
f   ; u
   C (q, q)q  G(q)   el   f   e 
Le modèle dynamique direct du robot s’écrit sous la forme explicite :
q  A1 (q)    H (q, q)

( 2.30 )
 A1 (q)   C (q, q)q  G(q)   el   f   e 
Avec :
el  diag (q  q0 ) K
 f  diag (q ) Fv  diag (sign(q )) Fs
e  Q T Fe
H  C (q, q)q  G(q)  el   f  e
Où diag est la matrice diagonale et Q la matrice jacobienne définie par l’équation ( 2.16 ).
2.8. Modèle dynamique inverse (MDI) d’une structure fermée
Dans ce paragraphe, nous présentons une approche basée sur l’utilisation du modèle
dynamique d’un système arborescent et le calcul de la matrice jacobienne des variables de la
structure arborescente par rapport aux variables motorisées (Khalil & Kleinfinger 1986).
Comme noté dans le paragraphe (2.2), la structure arborescente équivalente d’une chaîne
fermée est construite en coupant chaque boucle en l’une de ses articulations non-motorisées.
On note qar le vecteur contenant les n variables de la structure arborescente dépourvue des
articulations coupées. Ce vecteur est composé de N variables motorisées ou « actives » qa et p
variables articulaires non motorisées ou « passives » qp. Les équations de contraintes
cinématiques qui traduisent la fermeture des boucles ont comme expression :

Jq ar  J a  q a 
Jp    0 ( 2.31 )
q p 
54
Jqar  Jq ar  J a  
 qa 
 q a 
J p    J a J p   
q p  q p 
( 2.32 )
 Ja 
 qa 
Jp      0
q p 
 qa 
Avec :    J a J p   
 q p 
Les matrices Ja et Jp sont respectivement de dimensions (pxN) et (pxp)
Le modèle dynamique de la structure fermée peut être obtenu à partir de l’équation de

Lagrange avec contraintes :
  ar (qar , qar , qar )  J T  ( 2.33 )
Avec :
ar (qar , qar , qar ) est le vecteur des efforts de la structure arborescente partitionné en Γa
(relatifs aux articulations actives) et Γp (relatifs aux articulations passives). Son expression
est donnée en fonction de la matrice d’inertie Aar et du vecteur des efforts Centrifuge, de
Coriolis et de gravité de cette même structure :
ar  Aar (qar )qar  H ar (qar , qar ) ( 2.34 )
Avec :
 a   Aaa ( NxN ) Aap (Nxp ) 

 ar    ; Aar   
  p   Apa ( pxN ) App( pxp) 
 qa   H a ( Nx1) 
qar    ; H ar   
 q p   H p ( px1) 
 représente le vecteur de dimension (px1), qui contient les multiplicateurs de

Lagrange représentant l’effort transmis par les liaisons coupées pour respecter les
contraintes de fermetures des boucles
Comme les efforts articulaires des articulations passives d’un système fermé sont nuls, les
multiplicateurs de Lagrange peuvent être éliminés en écrivant l’équation ( 2.34 ) sous la forme :
55
 m fermé    a   J a  
T
système fermé      ( 2.35 )

 0   p   J Tp  
En prenant la partie inférieure de l’équation ( 2.35 ), les multiplicateurs de Lagrange auront

comme équations :
 
   J Tp
1
p ( 2.36 )
En remplaçant l’équation ( 2.36 ) dans la partie supérieure de l’équation ( 2.35 ), nous obtenons
les couples aux actionneurs du système fermé tels :
1
 m fermé   a  J aT  J Tp   p
( 2.37 )
  a  J ap
T
p
Avec :
q p
J ap   J p1 J a 
qa
2.9. Modèle dynamique direct (MDD) des structures fermées
Il représente la relation entre les efforts articulaires motorisés et les accélérations des
articulations actives. Pour réaliser ceci, il faut exprimer l’accélération des articulations passives
en fonction des articulations actives.
D’après l’équation ( 2.32 ), on peut écrire :
q p   J p1 J a qa  J p1
 J ap qa  J p 1
( 2.38 )
En combinant les équations ( 2.35 ), ( 2.36 ), ( 2.37 ) et ( 2.38 ), on obtient :

 qa    qa  
 fermé   Aaa Aap     H  J T
  Apa
ap  App     H 
 J ap qa  J p1 
a
  J ap qa  J p1 
p

  ( 2.39 )
 Am fermé qa  H m fermé
Avec :
Am fermé  Aaa  Aap J ap  J ap
T
Apa  J ap
T
App J ap
H m fermé  H a  Aap J p1  J ap

T
App J p1  J ap
T
Hp
Et donc le modèle dynamique direct s’écrit :
56
1
qa  Am m  H m  ( 2.40 )
3. Structure à base mobile
Les robots mobiles sont des structures à base mobile au contraire des robots manipulateurs à
base fixe. Un véhicule automobile peut être considéré comme un robot mobile dont la base est
le châssis et les organes terminaux sont les roues. Dans la suite, on va introduire des méthodes
de description et de notions complémentaires pour la modélisation et simulation des robots
mobiles.
3.1. Repère route
Soit Rr un repère lié à la route. Son origine est la projection du centre de gravité du véhicule sur
le plan de la route. L'axe zr est normal au plan tangent de la route, les axes xr et yr définissant ce
plan tel que xr soit parallèle à l’axe xf. C'est un repère qui prend en compte la pente et le dévers
de la route par rapport au repère sol Rf. Dans la suite, nous considérons que la route est plane
horizontale sans pente ni dévers. En conséquence, la matrice d’orientation entre le repère route
Rr et le repère galiléen Rf est l’identité (fRr=I(3x3))
3.2. Matrice de transformation entre la base et le repère galiléen
La matrice de transformation entre le repère de la base mobile du robot Rb et le repère de

référence Rf nous permet de connaître la position actuelle du robot ainsi que son orientation.
La position est en général décrite par les coordonnées cartésiennes. Pour l’orientation, on
adoptera pour les véhicules routiers les angles de Roulis-Tangage-Lacet.
Pour décrire l’orientation d’un repère Rb lié au centre de gravité d’un véhicule dans un repère
lié au sol Rf, la convention adoptée est celle de la figure 2.6. Les angles θ, φ et ψ désignent
respectivement le roulis, le tangage et le lacet. Si l’on suppose que la direction du mouvement
est selon l’axe x, la matrice d’orientation s’écrit :
f
Ab  rot ( z, )rot ( y,  )rot ( x,  )
cos cos  cos sin  sin   cos  sin sin  sin  cos sin  cos 
 
  sin cos  cos  cos  sin sin  sin   sin  cos  sin sin  cos  (2.41 )
 
  sin  cos  sin  cos  cos  
57
Structure à base mobile
z2f zf, z1f
ψ
φ yb
y1f, y2f
θ φ
θ
ψ
zb yf
ψ
xf φ
θ
x1f x2f, xb
Figure 2.6 : Angle de Roulis, Tangage et Lacet
rot(z, ψ) est la rotation d’angle ψ autour de l’axe zf =[0 0 1]T , rot(y, φ) est la rotation d’angle φ
autour de l’axe y1f dont les composantes sont [-Sinψ Cosψ 0]T dans Rf et rot(x, θ) est la rotation
d’angle θ autour de l’axe x2f de composantes [Cosψ Cos φ Sinψ Cos φ -Sin φ]T dans Rf. On
exprime la vitesse de rotation du repère Rb dans le repère Rf par :
0    Sin  Cos Cos  0  sin cos cos    

        
f
b  0   Cos     Cos sin    0 cos sin cos      (2.42 )
        
1   0    Sin  1 0  sin    
Les vitesses angulaires des angles de roulis, tangage et lacet s’écrivent alors :
1
  0  sin cos cos    tg cos tg sin 1
     
    0 cos sin cos   f
b    sin cos 0 f b
      (2.43 )
  1 0  sin   cos / cos  sin / cos  0
3.3. Représentation de la base
Le châssis est caractérisé par six degrés de liberté par rapport à un repère fixe lié au sol : trois
translations suivant l’axe longitudinal, latéral et vertical et trois rotations. Ils permettent de
définir la position et l'orientation de la caisse dans Rf. (cf. Chapitre 1, section 2.1). Pour
représenter ceci dans le formalisme de la robotique, deux méthodes sont possibles : soit par
l’emploi des corps virtuels, soit en utilisant les variables eulériennes pour le châssis.
58
3.3.1. Méthode 1 : Porteur spatial

Dans ce modèle, la base du robot est le corps C0 fixe lié au sol. Il est possible de représenter ces
degrés de liberté dans le formalisme de la robotique en considérant une chaîne simple de cinq
corps virtuels, de masse et inerties nulles, liant la caisse Cb au sol, corps C0 de référence et base
du robot (Figure 2.7). Les articulations entre ces corps sont les trois translations successives
d'axe x0, y0, et z0, et les trois rotations successives. (Guillo 2000), (Venture 2003). Cette méthode
a été utilisée également par M’Sirdi, Nasser et Naamane pour la modélisation de plusieurs
types de véhicules (véhicule complet 406, quad, bicyclette, motocycle et Kart). Le modèle
dynamique qu’ils proposent est calculé par la méthode de Lagrange et implémenté dans le
simulateur « SimK106N », édité sous Matlab/Simulink (Nasser & M’sirdi 2010), (Jaballah,
M’sirdi, et al. 2009).
C5 Cb
Image du
C4
roulis,
tangage et x3 , x4 x5
C3 lacet zb
z5
z4
C2 Position 3D
par rapport x1
au référentiel z3
C1 galiléen x2
z0 z2
z1
C0 y0 x0
Figure 2.7 : Modélisation du Porteur spatial
3.3.2. Méthode 2 : Modèle Eulérien

Dans ce modèle, le corps C0 est le châssis mobile du véhicule. Or les paramètres dynamiques
de C0 n’interviennent pas dans le modèle dynamique d’un robot à base fixe. De plus, le logiciel
SYMORO+ (Khalil & Creusot 1997) dédié aux robots à base fixe, ne permet pas d’introduire les
paramètres dynamiques de la base C0. Il faut donc introduire un corps réel supplémentaire lié à
C0 par une articulation virtuelle bloquée. C0 est finalement considéré comme un corps virtuel
de variables eulériennes (V0, ω0) non nulles qui sont les conditions initiales de la récurrence
avant du modèle dynamique eulérien (Section 2.6.3.1). Les variables eulériennes des repères R0
et Rb liées au châssis sont égales et les paramètres dynamiques du châssis sont ceux du corps
Cb.
59
Cb
C0 articulation
bloquée
Figure 2.8 : Modèle Eulérien de la base
Cette méthode est plus avantageuse que celle du porteur spatial pour plusieurs raisons :
Pour le porteur spatial à base fixe :
l’ajout de 5 corps virtuels avec 6 variables lagrangiennes augmente les nombres

d’opérations arithmétiques (multiplications et additions) et par conséquent accroit le
coût de calcul,
les variables lagrangiennes qui déterminent les rotations de la caisse ne sont pas
absolues, elles définissent les rotations relatives d’un corps par rapport à son antécédent,
d’où la nécessité de faire des projections pour déterminer la relation entre les variables
relatives et absolues.
Pour la représentation eulérienne de robot à base mobile :
les axes des repères R0 et Rb liés au châssis sont colinéaires aux axes traditionnellement
utilisés dans le domaine de l’automobile,
dans le cas où le véhicule est instrumenté par une centrale inertielle, les mesures de la
centrale sont exprimées dans un repère Rc lié à la centrale fixée au châssis. Le plus simple
est de choisir Rc = R0 = Rb et les variables d’Euler sont données directement par les
mesures de la centrale inertielle.
Dans la suite on adoptera cette méthode pour modéliser le châssis de tout type de véhicule
routier.
3.4. Modèle dynamique
L’algorithme de calcul des équations de Newton-Euler (Section 2.6.3) est repris dans le cas
d’un robot à base mobile, en modifiant les conditions initiales de la récurrence avant. Ceci se
traduit par la détermination des vitesses et accélérations de la base dans son propre repère. En
conséquence, le repère de base R0 des robots manipulateurs à base fixe sera confondue avec le
repère de base Rb d’un robot mobile :
60
 bVxb   b xb   b xb 
     
0
V0  bVb   bVyb  0  b   b yb 
0 b 0
0 bb   b yb 
  b   b 
(2.44 )
 bVzb 
    zb    zb 
Avec :
b
Vb , b b sont les vitesses respectives linéaires et angulaires du corps de la base par
rapport au repère galiléen exprimées selon les directions des axes du repère Rb.
b
Vb , b  b sont les accélérations respectives linéaires et angulaires du corps de la base
par rapport au repère galiléen exprimées selon les directions des axes du repère Rb, hors
accélération de la gravité.
La prise en compte des forces de gravité sans les exprimer explicitement dans le bilan des
efforts est possible, en ajoutant dans l‘initialisation de la récurrence avant, l’accélération de la
 bVxb 
 
gravité projetée dans le repère Rb à l’accélération du châssis :  bVyb   b g
 
 bVzb 
 
Avec :
g, le vecteur de la gravité exprimé dans le repère de la base

b
 cos cos  sin cos   sin    0 

  
b
g  b Af g    cos  sin  cos sin  sin  cos cos  sin sin  sin  cos  sin    0 
  
 sin  sin  cos sin  cos   sin  cos  sin sin  cos cos  cos  G3 
  sin  G3  ( 2.45 )
  cos  sin  G3 
cos  cos  G3 
Quand à la récurrence arrière, arrivant au corps de base, le mouvement est libre, sans efforts
extérieurs appliqués sur le châssis (en absence d’efforts aérodynamiques), et se traduit par un
torseur d’effort nul entre C0 et Cb .
 b fb 
0 6 x1    b 
 mb 
(2.46 )
Les six équations de l’équation (2.46 ) permettent d’exprimer les équations dynamiques de
translation et de rotation du châssis.
61
3.5. Modèle mixte de variables Euler -Lagrange
Dans les équations d’Euler développées dans la section (2.44 ), nous conservons les variables
d’Euler du châssis, par contre les variables des autres corps sont exprimées en fonction des
variables généralisées lagrangiennes.
Le modèle mélange les variables d’Euler du châssis et les variables de Lagrange des autres
corps.
Au niveau des accélérations, Nous appelons qae_l, le vecteur suivant :
 bVb 
 
qae _ l   bb  ( 2.47 )
 
 q 
 
Le vecteur qve_l de vitesse est représenté par :
 bVb 
 
qve _ l   bb 
  ( 2.48 )
 q 
 
Et finalement le vecteur des positions est exprimé en fonction des coordonnées cartésiennes de
la base par rapport au sol, des angles de roulis, tangage et lacet pour représenter l’orientation
et des variables articulaires lagrangiennes. Son expression est :
x y z 
T
 

qe _ l     
T ( 2.49 )
 
 q 
 
q, q et q sont respectivement les positions, vitesses et accélérations des variables généralisées
lagrangiennes.
Dans la suite nous développons le calcul des vitesses et des accélérations des variables
eulériennes du châssis.
Les variables bVb et bb représentant les vitesses linéaires et angulaires de la base et exprimé
dans le repère Rb, sont définies de la manière suivante :
b
Vb  b R f . f Vb ( 2.50 )
b
b  b R f . f b
Avec :
62
b
R f la matrice de rotation (2.41 ) qui exprime l’orientation du repère Galiléen absolu
dans le repère de la base ;
f
Vb et f b les vecteurs de vitesse linéaire et angulaire de la base Cb exprimés dans le
repère Rf.
De même, pour les accélérations nous définissons les équations suivantes :
b
Vb  b R f . f Vb
b
b  b R f . f b ( 2.51 )
Avec :
b
Vb l’accélération absolue de translation de Cb projetée dans le repère Rb
b l’accélération absolue angulaire de Cb projetée dans le repère Rb

b
Tenant compte des définitions ( 2.50 ) et ( 2.51 ), nous montrons que la dérivée temporelle de
b
Vb n’est pas la projection de l’accélération absolue dans Rb .
En effet :
d b d f d
Vb  b R f Vb  ( b R f ) f Vb
dt dt dt
( 2.52 )
d
 bVb  ( b R f ) f Vb
dt
Sachant que la dérivée de la matrice de rotation bAf est égale à  f Ab b̂b (Sciaviccio & Siciliano
2000), nous pouvons écrire l’équation ( 2.52 ) :
d b
Vb  bVb  b R f f ˆ b f Vb
dt
 bVb  b R f ( f b  f Vb )
 bVb  ( b R f f b )  ( b R f f Vb )
 bVb  bb  bVb
Par contre, pour les vitesses angulaires la projection de l’accélération absolue angulaire dans Rb
b
b est égale à la dérivée temporelle de bb :
d b d f d
b  b R f b  ( b R f ) f b
dt dt dt
 b  R f ˆ b f b
b b f
 bb  b R f ( f b  f b )  bb
63
3.6. Calcul des Matrices A et H à partir de Newton-Euler
Comme mentionné dans la section (2.6.3) du chapitre 2, le modèle Lagrangien peut être obtenu
à partir des équations de Newton-Euler. Ceci se traduit par le calcul du vecteur H et de la
matrice A de l’équation ( 2.29 ) :
Le calcul du vecteur H peut être effectué par l’algorithme de Newton-Euler, en
remarquant que H= Γ ( 2.28 ) si le vecteur accélération est remplacé par un vecteur nul :
H  f (qe _ l , qve _ l , qae _ l  0, g , Fe, Fv , Fs , K )  C(qel , qve _ l )qve _ l  G  el   f  e ( 2.53 )
Le calcul de la matrice A peut être effectué par l’algorithme de Newton-Euler, en

remarquant que la ième colonne de A, notée A( :,i) est ègale à Γ ( 2.28 ) si les vecteurs
vitesse, gravité, torseurs extérieurs, frottement visqueux et sec, élasticité sont remplacés
par des vecteur nuls et le vecteur accélération correspond à une colonne de la matrice
identité de dimension (n,n):
A(:, i )  f (qe _ l , qve _ l  0, ui , g  0, Fe  0, Fs  0, Fv  0, K  0) ( 2.54 )
Avec :
ui est le vecteur de dimension (nx1) dont tous les éléments sont nuls sauf la ième composante
qui est égale à 1.
Le modèle lagrangien d’une structure à base mobile est obtenu de la même façon à partir des
équations de Newton-Euler mais en utilisant les vecteurs Euler-Lagrangien mentionnés
précédemment.
3.7. Récapitulatif de la méthodologie
Pour un véhicule considéré comme un robot, la méthodologie de description se résume par les
étapes suivantes :
définir le repère galiléen de référence, le repère lié à la base mobile ainsi que la
matrice de transformation entre les deux repères ;
définir les vitesses et les accélérations de la base suivant les trois axes ;
définir le modèle géométrique de la structure mécanique du robot. Si la structure

comporte des chaines fermées, couper les chaines et définir le modèle géométrique de la
structure arborescente. De plus, calculer les équations géométriques et cinématiques de
contraintes de fermeture des chaines fermées ;
définir les paramètres dynamiques des corps du robot ;
64
élaborer le modèle dynamique inverse par SYMORO+ et l’algorithme de Newton-

Euler ;
calculer la matrice d’inertie A et le vecteur H du robot regroupant les forces

centrifuges, l’effet de la gravité, les forces de Coriolis et les efforts extérieurs ;
calculer la matrice d’inertie Afermé et Hfermé pour les robot comportant des chaines
fermées.
4. Application : Modèle bicyclette 3ddl
4.1. Modélisation
Le modèle bicyclette que nous proposons, est constitué d’un cadre de masse M1 et de deux
roues. Ce modèle traduit le comportement en lacet et en dérive du véhicule (Figure 2.9). La
dérive provient des frottements et des glissements au niveau du point de contact entre la roue
et le sol (chapitre 1 section 2.7.3.2). Pour l’élaboration de ce modèle, la dynamique de la roue et
les débattements ne sont pas pris en compte. Le véhicule est considéré plan : il se déplace dans
un plan horizontal, donc sa vitesse verticale est nulle et les degrés de liberté correspondants au
roulis et tangage sont éliminés (Vz=0 ; θ=0 ; φ=0). Le point de contact entre chaque roue et le sol
est aligné avec le centre de gravité G. La masse et l’inertie des roues sont négligées.
δ
Fy2
Fx2
Lf
ψ
Lr
Fy3
Fx3
Figure 2.9 : Modèle bicyclette et interface roue/sol
Les efforts de contacts Fxi et Fyi sont calculés avec les équations de Pacejka (1.10 ). L’effort
transversal Fyi représente l’effort de la dérive et l’effort longitudinal Fxi est l’effort dû au
glissement longitudinal. Le couple d’auto-alignement n’est pas considéré.
Afin de modéliser le système décrit ci-dessus en utilisant le formalisme DHM, un jeu de

paramètres est nécessaire pour l’élaboration du modèle dynamique à l’aide de SYMORO+.
65
Application : Modèle bicyclette 3ddl
Tableau 2-1 : Paramètres géométriques du modèle bicyclette 3ddl

j a(j) σj γj bj αj dj θj rj Commentaires
1 0 2 0 0 0 0 0 0 Base-châssis
2 1 0 0 0 0 Lf q2 0 Braquage roue AV (δ)

3 1 2 0 0 0 -Lr 0 0 Articulation bloquée
z2 x2
C3 C2 Lf
C1 z1
C0 Lr
z3
x3
Sol zf
xf
yf
Figure 2.10 : Topologie et modèle articulaire du modèle bicyclette 3ddl
Le paramétrage complet engendré automatiquement par Symoro+ est alors le suivant :
(* Generic parameters *)
(*Robotname = ‘bicilacet’ *)
NL = 3 Nombre de repère
NJ = 3 Nombre de corps
NF = 3 Nombre d'articulation
Type = 1 (*Tree*) Type de structure
(* Geometric parameters *)
Ant = {0, 1, 1} Antécédent des corps

Sigma = {2, 0, 2} Type d’articulation
Mu = {0, 1, 0}
B = {0, 0, 0}
d = {0, Lf, -Lr}
R = {0, 0, 0} Paramètres géométriques du système
gamma = {0, 0, 0}
Alpha = {0, 0, 0}
Theta = {0, q2, 0}
(* Inertial parameters *)
XX = {0, 0, 0}
XY = {0, 0, 0}
XZ = {0, 0, 0}
YY = {0, 0, 0}
YZ = {0, 0, 0} Paramètres inertiels et frottement
ZZ = {ZZ1, 0, 0} des différents corps
66
MX = {0, 0, 0}
MY = {0, 0, 0}
MZ = {0, 0, 0}
M = {M1, 0, 0}
IA = {0, 0, 0}
FV = {0, 0, 0}
FS = {0, 0, 0}
FX = {0, -FX2, -FX3} Efforts extérieurs appliqués par le

FY = {0, -FY2, -FY3} système sur l’environnement
FZ = {0, 0, 0}
CX = {0, 0, 0}
CY = {0, 0, 0}
CZ = {0, 0, 0}
(* Speed and Acceleration of the base *)

W0 = {0, 0, wz}
WP0 = {0, 0, wpz} Vitesse et accélération de la base
V0 = {vx, vy, 0}
VP0 = {vpx, vpy, 0}
(* Acceleration of gravity *) Vecteur de gravité

G = {Gx, Gy, Gz}
(* Joints velocities and accelerations *)

QP = {0, QP2, 0}
QDP = {0, QDP2, 0}
(* End of definition *)
Avec :
La matrice de transformation entre le repère galiléen Rf et le repère de la base R1

dépend uniquement du lacet (le tangage et le roulis ne sont pas pris en compte).
cos  sin 0
 
f
R1  rot ( z, )   sin cos 0
  ( 2.55 )
 0 0 1
L’accélération de la gravité projetée dans le repère de la base R1 a comme expression :
 Gx   cos sin 0 0 0
  1      
Gy   g  1R f g   sin cos 0 0 0 
        ( 2.56 )
 Gz   0 0 1 G3  G3 
Le vecteur accélération de translation de la base exprimé dans le repère R1 est calculé
par l’équation ( 2.57 ) :
67
vpx vx  0  vx vx   vy

 
VP 0  vpy 
d      
vy  0  vy  vy   vx
dt       ( 2.57 )
 0   0     0   0 
Le vecteur accélération de rotation de la base exprimé dans le repère R1 est calculé par
l’équation ( 2.58 ) :
 0  0 0 0

WP0   0   d  
0 
d  
0    0 
dt  dt  ( 2.58 )
pz  z    
Le modèle dynamique inverse associé à l’équation de Newton-Euler du corps de la base est le
suivant :
% Function description:
S2=sin(t2);
C2=cos(t2);
VSP11=-Gx + vpx;
VSP21=-Gy + vpy;
F11=M1.*VSP11;
F21=M1.*VSP21;
F31=-(Gz.*M1); %Calcul du torseur dynamique
No31=wpz.*ZZ1;
FDI12=-(C2.*FX2) + FY2.*S2;
FDI22=-(C2.*FY2) - FX2.*S2; %Report des forces extérieures
E11=F11 + FDI12 - FX3;
E21=F21 + FDI22 - FY3; % Bilan des efforts
N31=FDI22.*Lf + FY3.*Lr + No31;
GAM2=0; % pas de dynamique de q2
E10=E11;
E20=E21; % Equations du mouvement
N30=N31;
En posant E10=0, E20=0 et E30=0 (pas d’actionnement sur les degrés de liberté liés au châssis)
(cf. section 3.4), les équations symboliques du modèle dynamique inverse sont les suivantes :
M 1vpx  Fx3  Fx2 cos(q2 )  Fy2 sin(q2 )

M 1vpy  Fy3  Fy2 cos(q2 )  Fx2 sin(q2 ) ( 2.59 )
ZZ1wpz   Fy3 Lr  L f ( Fy2 cos(q2 )  sin(q2 ) Fx2 )
vpx  vx  vy
Avec : vpy  vy   vx
wpz  
q2  
4.2. Simulation
Afin de prédire et analyser la dynamique du véhicule, on a besoin de simuler son modèle

dynamique. Un simulateur sous Matlab/Simulink est édité pour la simulation sous différentes
68
manœuvres et en interaction avec son environnement. L’architecture détaillée du simulateur

est présentée dans le chapitre 3.
Le modèle dynamique direct utilisé pour la simulation s’écrit :
1
vpx  ( Fx3  Fx2 cos(q2 )  Fy2 sin(q2 ))
M1
1
vpy  ( Fy3  Fy2 cos(q2 )  Fx2 sin(q2 )) ( 2.60 )
M1
1
wpz  ( Fy3 Lr  L f ( Fy2 cos(q2 )  sin(q2 ) Fx2 ))
M1
Dans les essais suivants, l’entrée principale du système est l’angle de braquage q2 (on considère
une consigne de position sans la dynamique du degré de liberté lié au braquage dont ZZ2=0 et
GAM2=0). Les essais sont effectués en régime libre avec les conditions initiales suivantes :
vx  V ; vy  0;   0
Les forces longitudinales (Fx2 et Fx3) et latérales (Fy2 et Fy3) sont fonctions de q2, vx et vy et de la
rotation angulaire ω des roues non modélisées. Celle-ci est supposée constante.
4.2.1. Essai en virage

L’essai en virage - braquage de la roue avant- permet d’étudier le comportement du véhicule
dans la direction transversale ainsi que le lacet. Une consigne d’angle de braquage est
appliquée au modèle en boucle ouverte pour différentes valeurs de vitesse longitudinale V.
0.05
120
0.04
Déplacement y par rapport à Yf (m)
0.03 100
Angle de braquage (rd)
0.02
80
0.01
0 60
-0.01
-0.02 40
V= 5 m/s
-0.03 V= 10 m/s
20 V= 15 m/s
-0.04
-0.05 0
0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450
Temps (s) Déplacement x par rapport à Xf (m)
Figure 2.11 : Angle de braquage appliqué au modèle Figure 2.12 : Trajectoire planaire du CDG dans Rf
bicyclette
Nous considérons dans cette simulation, que la route est plane, sans pente ni cote et sans
dévers. L’entrée du modèle est le braquage de la roue avant, montré sur la figure ( 2.12 ). Sur la
figure ( 2.14 ), nous présentons l’évolution de l’angle du lacet. Nous présentons également
l’angle de dérive de la roue avant et arrière, respectivement, sur les figures ( 2.16 ) et ( 2.17 ). La
vitesse longitudinale du véhicule est maintenue constante comme le montre la figure ( 2.15 ).
69
0.6 16
Vitesse longi dans le repère R1 (m/s)

0.5
14
0.4
Angle de lacet (rd)
12
0.3
0.2 10
0.1
8
0
V= 5 m/s
V= 10 m/s 6
-0.1 V= 15 m/s
-0.2 4
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 2.13 : Angle de lacet Figure 2.14 : Vitesse longitudinale du véhicule dans R1
4 2.5
3 2
1.5
2
Angle de dérive Avt (°)
Angle de dérive Ar (°)

1
1
0.5
0 0
-1 -0.5
-1
-2
V= 5 m/s -1.5 V= 5 m/s
V= 10 m/s V= 10 m/s
-3 V= 15 m/s V= 15 m/s
-2
-4 -2.5
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 2.15 : Angle de dérive de la roue avant Figure 2.16 : Angle de dérive de la roue arrière
2000 1500
1500
1000
1000
Effort latéral Avt (N)
Effort latéral Ar (N)
500
500
0 0
-500
-500
-1000
V= 5 m/s V= 5 m/s
V= 10 m/s -1000 V= 10 m/s
-1500 V= 15 m/s V= 15 m/s
-2000 -1500
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 2.17 : Effort latéral de la roue avant Figure 2.18 : Effort latéral de la roue arrière
Une deuxième simulation est effectuée en faisant varier l’angle de braquage pour une vitesse
longitudinale donnée de 10 m/s. La trajectoire effectuée, l’angle du lacet ainsi que la vitesse
latérale du véhicule exprimée dans le repère R1, sont respectivement présentés sur les figures
(2.21 ), ( 2.22 )et ( 2.23 ).
70
0.15 140
120
Déplacement y par rapport à Yf (m)

0.1
0.05 100
Angle e braquage (rd)
0 80
-0.05 60
-0.1 40
-0.15 20
-0.2 0
0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 150 200 250 300
Temps (s) Déplacement x par rapport à Xf (m)
Figure 2.19 : Angle de braquage appliqué au modèle Figure 2.20 : Trajectoire planaire du CDG dans Rf
bicyclette
1 0.15
0.8 0.1
Vitesse latérale dans R1 (m/s)

0.6 0.05
Angle de lacet (rd)
0.4 0
0.2 -0.05
0 -0.1
-0.2 -0.15
-0.4 -0.2
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 2.21 : Angle de lacet Figure 2.22 : Vitesse latérale du véhicule dans R1
5. Conclusion
Un système multi-corps peut être décrit en utilisant le formalisme de Denavit et Hartenberg

modifié. Le formalisme permet de décrire géométriquement un système avec un minimum de
paramètres quelque soit le type de structure considéré : simple, arborescente ou fermée. Sur la
base de cette modélisation, un logiciel de calcul symbolique SYMORO+ a été développé dans
l’équipe robotique de l’IRCCyN (Khalil & Creusot 1997), permettant d’une façon systématique,
de calculer les modèles géométriques, cinématiques et dynamiques de telles structures.
Puisque le modèle dynamique exprime la relation entre les efforts articulaires, les efforts
extérieurs appliqués au système et les coordonnées articulaires, il sera utilisé pour la
simulation numérique du comportement des structures en mouvement et notamment les
robots mobiles du type véhicule. Dans les chapitres suivants, différents véhicules routiers de
complexité variable sont modélisés et simulés numériquement.
71
Chapitre 3 Modèle 2 roues avec suspension et modèle 4
roues avec suspensions
Dans ce chapitre, une description géométrique de deux modèles de véhicule à 11 et 16 degrés

de liberté est menée en appliquant le formalisme de Denavit&Hartenberg modifiée. Ceci
permet d’obtenir le modèle dynamique des deux modèles à travers l’algorithme de Newton-
Euler décrit dans le chapitre 2 et à l’aide du logiciel SYMORO+. Ces modèles mixtes en
variables d’Euler et de Lagrange sont utilisés pour la simulation du comportement dynamique
des structures en réponse à des manœuvres et des sollicitations extérieures, prédéfinies par les
scénarios de conduite. L’architecture du modèle de simulation est présentée et détaillée. Des
essais en simulation sur les deux modèles sont effectués pour différents scénarios (accélération
et freinage en ligne droite, essai en virage).
1. Modèle 2 roues avec suspensions
Le modèle étudié est décrit sous la forme d’un système multi-corps selon le formalisme
usuellement utilisé en robotique. Il est constitué d’un cadre (le châssis) de masse M, de matrice
d’inertie J, de premier moment MS, d’une roue avant qui peut tourner par rapport au cadre
autour d’un axe vertical et d’une roue arrière d’axe fixe par rapport au cadre. Ces deux roues
sont liées au cadre à l’aide de deux suspensions selon l’axe vertical (Figure 3.1).
Figure 3.1 : Schéma du modèle 2 roues avec suspensions
1.1. Hypothèses simplificatrices
Ce modèle complète le modèle bicyclette introduit précédemment (cf. Chapitre 2, section 4)

pour se rapprocher du modèle de voiture en prenant en compte : les débattements des
73
Modèle 2 roues avec suspensions
suspensions des deux roues et la rotation des roues autour de leurs axes. Le cadre du modèle 2
roues possède six degrés de liberté (3 translations et 3 rotations) lui permettant un mouvement
spatial en 3 dimensions dans son environnement. Les hypothèses simplificatrices par rapport à
un modèle automobile standard sont les suivantes :
La cinématique et l’élastocinématique des trains ne sont pas prises en compte :
 la pince arrière et l’enroulement ne varient pas et sont supposés nuls ;
 la voie et l’empattement ne varient pas ;
 les efforts de liaisons dus aux trains ne sont pas pris en compte ;
 le braquage est dû à la rotation du volant et la dynamique du système colonne de

direction-crémaillère n’est pas prise en compte.
les forces aérodynamiques ne sont pas considérées ;
les coefficients des suspensions sont considérés constants : Ki, Fvi ;
le torseur pneumatique est appliqué au point de contact entre le pneu et le sol.
le plan de la route est horizontal.
1.2. Modélisation globale du véhicule
Le véhicule peut être considéré comme un robot mobile composé de corps connectés entre eux
par des articulations, dont le cadre est la base mobile et les roues sont les organes terminaux.
La prise en compte des simplifications conduit à un modèle à onze degrés de liberté dont la
topologie est donnée par la figure 3.2 . La figure 3.3 représente le modèle articulaire obtenu en
appliquant la démarche décrite dans le chapitre 2. Cette méthode systématique simplifie le
calcul du modèle contrairement au modèle de Cossalter calculé en utilisant les coordonnées
cartésiennes pour chaque corps et aboutissant à des équations non manipulables (Cossalter &
Lot 2002). Les paramètres géométriques du système sont présentés par le tableau 3-1
conformément au formalisme DHM.
C9 C7 C2
C3 C5
C8 C1
C4
C10 C6
Figure 3.2 : Topologie du modèle à 11ddl et 10 corps
C1, le cadre (châssis) ;
74
Chapitre 3 : Modèle 2 roues avec suspension et modèle 4 roues avec suspensions
C2 et C7 sont respectivement les suspensions avant et arrière ;
C3 est le pivot ;
C5 et C9 sont les roues avant et arrière ;
C4 et C8 sont deux corps virtuels liés respectivement à C3 et C7 par une articulation

virtuelle pour définir un changement de repère ;
C6 et C10 sont deux corps virtuels liés respectivement à C4 et C8 pour définir les repères
de contact avec le sol.
Lf
z2
z0, z1
x0, x1 z3
Lr
z4, z5
x2, x3, x4, x5 Ra
z6 x6
z7
zf
xf
z8, z9 yf
x7, x8, x9 Ra
z10 x10
Figure 3.3 : Modèle articulaire à 11 degrés de liberté et 10 corps
Tableau 3-1 : Paramètres géométriques du modèle à 11 degrés de liberté
1 0 2 0 0 0 0 0 0 Base-châssis-cadre
2 1 1 0 0 π Lf π q2 Débattement de suspension AV
3 2 0 0 0 0 0 q3 0 Braquage roue AV
4 3 2 0 0 -π/2 0 0 0 Articulation virtuelle bloquée
5 4 0 0 0 0 0 q5 0 Rotation de la roue AV
6 4 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (point de contact)
7 1 1 0 0 π -Lr π q7 Débattement de suspension AR

8 7 2 0 0 -π/2 0 0 0 Articulation virtuelle bloquée
9 8 0 0 0 0 0 q9 0 Rotation de la roue AR
10 8 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (point de contact)
75
Avec :
Lf : distance longitudinale entre le centre de gravité du véhicule et le train avant ;
Lr : distance longitudinale entre le centre de gravité du véhicule et le train arrière ;
Ra : Rayon de la roue.
Le mouvement du châssis est décrit par les variables eulériennes de position et d’orientation
du repère R1 lié au cadre par rapport au repère de référence Rf.
Soit qe_l le vecteur de configuration des 11 degrés de liberté, composé par le vecteur ξ (6x1) de
posture du véhicule, et les coordonnées articulaires (les articulations bloquées sont dépourvues
de coordonnées articulaires) :
T
qe _ l   T q2 q7 q5 q9 q3  ( 3.1 )
Avec :
  x   
T
y z
 x, y et z sont les coordonnées de l’origine du cadre dans le repère de référence Rf ;
 θ, φ et Ψ sont respectivement les angles de roulis, tangage et lacet qui déterminent

l’orientation du repère R1 par rapport au repère Rf (cf. chapitre 2, section 3.2).
q2 et q7 représentent le débattement en translation des suspensions ;
q5 et q9 représentent les positions angulaires des deux roues, autour de leurs axes de
rotation ;
q3 représente l’angle de braquage de la roue avant ;
les repères correspondants aux articulations bloquées sont fixes par rapport à leurs
repères antécédents et leurs coordonnées articulaires sont des constantes qui expriment
le changement de repère et leur dérivées est nulles
Soit qve_l le vecteur vitesse de configuration des 11 degrés de liberté

T
qve _ l   1V1x 1
V1 y 1
V1z 1x
1
1 y
1 1
1z q2 q7 q5 q9 q3 
( 3.2 )
Avec :
V 
T
1 1 1
1x V1 y V1z le vecteur vitesse de translation de la base par rapport au repère
Rf exprimé dans son propre repère R1 ;
 1z  le vecteur vitesse de rotation de la base par rapport au repère Rf

T
1
1x
1
1 y 1
exprimé dans son propre repère R1;
76
q2 q7 q5 q9 q3  le vecteur des vitesses articulaires

T
Soit qae_l le vecteur accélération de configuration des 11 degrés de liberté :

T
qae _ l   1V1x 1
V1 y 1
V1z 1x
1
1 y
1 1
1z q2 q7 q5 q9 q3  ( 3.3 )
Avec :
T
 1V1x 1
V1 y 1
V1z  le vecteur de l’accélération en translation de la base par
rapport au repère référence exprimé dans son propre repère R1 et égal à
d T
1
R f  f V1x f
V1 y f
V1z  ;
dt
  1z  le vecteur accélération de rotation de la base exprimé par rapport

T
1
1x 1 y
1 1
au repère référence dans son propre repère R1 et égal à 1R f d  f 1x

T
f
1 y f
1z  ;
dt
q2 q7 q5 q9 q3  le vecteur des accélérations articulaires.

T
1.3. Efforts Extérieurs
Les efforts dus à la gravité et les efforts de contact roue/sol conditionnent de manière
déterministe la dynamique des véhicules. Ces efforts sont exprimés dans les repères des
pneumatiques de contact avec le sol R6 et R10 comme illustré sur la figure 3.4.
y
z Γ
x Fzi
Czi Fxi
Fyi
Cyi Cxi
Figure 3.4 : Torseur de contact roue-sol
Les efforts de contact sont calculés avec le modèle de Pacejka (Pacejka et al. 1987) dans un
repère mobile en translation au point de contact. Pour s’affranchir de la rotation du repère de
projection lié à la roue, on introduit une branche arborescente du repère moyeu R4 de la roue
avant vers le repère de contact avec le sol R6. De façon similaire, une arborescence est
introduite du repère du moyeu de la roue arrière R8 vers le repère de contact avec le sol R10. En
conséquence, les repères R6 et R10 sont attachés respectivement au moyeu avant et arrière des
77
roues. Nous obtenons donc les équations dynamiques des roues au niveau des moyeux (repère
R4 et R8) incluant la projection des efforts dans le repère moyeu et incluant le torseur inertiel de
la roue.
Dans le logiciel Symoro+ (Khalil & Creusot 1997), l’interaction avec l’environnement est définie
par des forces et des couples appliqués par la structure sur l’environnement. Ces torseurs sont
présentés dans le tableau suivant et sont calculées par le modèle de Pacejka (cf. chapitre 1,
section 2.7.5) qui exprime les efforts appliqués de l’environnement sur le véhicule:
Tableau 3-2 : Efforts de contact appliqués par le véhicule sur l’environnement

j Fxj Fyj Fzj Cxj Cyj Czj Commentaires
6 -Fx6 -Fy6 -Fz6 -Cx6 -Cy6 -Cz6 Torseur avant
10 -Fx10 -Fy10 -Fz10 -Cx10 -Cy10 -Cz10 Torseur arrière

Dans la suite, nous négligeons les moments extérieurs appliqués sur la structure suivant xj et yj.
Quand aux forces, on considère les forces suivant les axes xj et yj .Les forces suivant l’axe zj sont
calculées avec le modèle dynamique pour satisfaire les contraintes cinématiques qui
permettent le contact roue-sol.
Nous signalons que le calcul des efforts par le modèle de Pacejka est fonction des variables
d’état du système. A titre d’exemple, les vecteurs vitesse de translation et de rotation du
châssis, la vitesse angulaire de rotation des roues, l’angle de braquage, le débattement des
suspensions. Ces variables interviennent dans le calcul du vecteur vitesse des points de contact
avec le sol.
1.4. Paramètres dynamiques
Dans cette partie, nous présentons les paramètres dynamiques standards des corps réels du
modèle à 11 ddl. Il s’agit du cadre, des deux roues et des deux suspensions. Pour le châssis,
tous les paramètres inertiels sont considérés : il y a donc dix paramètres pour le corps C1. Pour
les suspensions, les raideurs, les coefficients d’amortissement ainsi que les masses sont
considérés. Enfin pour les roues, nous supposons que le centre de masse est le centre de la roue
et que l’inertie XXi = YYi (Figure 3.5).
On aura :
Pour le châssis, corps C1:
XX1, XY1, XZ1, YY1, YZ1, ZZ1, MX1, MY1, MZ1 et M1.
Pour les roues, corps C5 et C9 :
XX5=YY5, ZZ5, M5, et XX9=YY9, ZZ9, M9.
78
Pour les suspensions, corps C2 et C7 :
K2, Fv2, M2, et K7, Fv7, M7.
Pour le corps C3 :
M3 et ZZ3.
YYi
ZZi
XXi
Figure 3.5 : Axe d’inertie d’une roue
Les paramètres dynamiques du modèle à 11ddl sont présentés dans le tableau 3-3 :
Tableau 3-3 : Paramètres dynamiques du modèle à 11ddl
j XXj XYj XZj YYj YZj ZZj MXj MYj MZj Mj Kj Fvj Fsj
1 XX1 XY1 XZ1 YY1 YZ1 ZZ1 MX1 MY1 MZ1 M1 0 0 0
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2 K2 Fv2 0
3 0 0 0 0 0 ZZ3 0 0 0 M3 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 XX5 0 0 XX5 0 ZZ5 0 0 0 M5 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M7 K7 Fv7 0
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
9 XX9 0 0 XX9 0 ZZ9 0 0 0 M9 0 0 0
10 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Un regroupement de paramètres est possible au niveau des roues (cf. Annexe A). Les masses
M5 et M9, ainsi que les inerties XX5 et XX9 sont regroupés respectivement sur les corps
antécédents.
Les paramètres dynamiques des corps 4, 5, 8 et 9 après regroupement, sont donnés dans le
tableau 3-4 :
79
Tableau 3-4 : Paramètres dynamiques regroupés

2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2R K2 Fv2 0
3 XX5 0 0 0 0 ZZ3R 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 ZZ5 0 0 0 0 0 0 0
7 XX9 0 0 0 0 XX9 0 0 0 M7R K7 Fv7 0
9 0 0 0 0 0 ZZ9 0 0 0 0 0 0 0
M 7R  M 7  M9
M 2R  M 2  M 3  M 5
ZZ 3 R  ZZ 3  XX 5
Les valeurs numériques des paramètres dynamiques utilisés dans les simulations de ce modèle
sont mentionnées en Annexe C
1.5. Contraintes cinématiques verticales
Pour simuler des mouvements avec les roues en contact avec le sol, on introduit des
contraintes cinématiques qui s’expriment par la nullité des vitesses verticales des points de
contacts avec le sol dans le repère route Rr.
Lf
Lr
V6z
z6
x6
zr
xr
yr
V10z
z10 x10
Figure 3.6 : Direction des composantes nulles de vitesse et d’accélération du modèle à 11ddl
Les équations suivantes traduisent ces contraintes :
V6 z  rV6 (3)  r R1 (3,:) 1V6  0

r
V10 z  rV10 (3)  r R1 (3,:) 1V10  0

r
( 3.4 )
La dérivée des équations de contrainte est :
80
d r d d d
V6 z  ( r R1 (3,:) 1V6 )  ( r R1 (3,:)) 1V6  r R1 (3,:) ( 1V6 )  0
dt dt dt dt
d r d d d ( 3.5 )
V10 z  ( r R1 (3,:) 1V10 )  ( r R1 (3,:)) 1V10  r R1 (3,:) ( 1V10 )  0
dt dt dt dt
L’équation ( 3.4) peut s’écrire sous la forme d’un produit d’une matrice J2 et du vecteur qve_l de
l’équation ( 3.2):
 rV6 z  ( 3.6 )
r   J 2 qve _ l  C1(2 x 6) C2(2 x 5)  qve _ l  0
 V10 z 
Avec :
  sin  cos  sin cos cos ( r2  Ra )cos  cos ( r2  Ra )sin   L f cos  cos L f cos  cos  
C1   
  sin  cos  sin cos cos ( r7  Ra )cos  sin  ( r2  Ra )sin   Lr cos  cos  Lr cos  cos 
 cos  cos  0 0 0 0
C2  
 0  cos  cos  0 0 0
La dérivée de l’équation ( 3.6 ) s’écrit sous la forme suivante :
d  V6 z 
r
dqve _ l
r   J2  J 2 qve _ l
dt  V10 z  dt
 1V1x   1V1x  11z 1V1 y  11 y 1V1z 
1  1 
 V1 y  1z V1x  1x V1z 
1 1 1 1
 V1 y 
 1V1x   1V1x  11 y 1V1x  11x 1V1 y 
1   
 1x  1x
1
 
 1   1
 
d 1   
1y 1y
 J 2  1z   J 2 qve _ l  J 2  1
1z   J 2 qve _ l
dt    
q q2
 2    ( 3.7 )
 q3   q3 
   
q
 5   q5 
 q7   q7 
   
 q9   q9 
 11z 1V1 y  11 y 1V1z 
 
 J 2 qae _ l  J 2 (:,1: 3)   11z 1V1x  11x 1V1z   J 2 qve _ l
 11 y 1V1x  11x 1V1 y 
 
 J 2 qae _ l  2
Avec :
 11z 1V1 y  11 y 1V1z 

 
2  J 2 (:,1: 3)   11z 1V1x  11x 1V1z   J 2 qve _ l
 11 y 1V1x  11x 1V1 y 
 
81
Le modèle dynamique à 11 ddl s’écrit sous la forme (cf. chapitre 2, section 2.8) :
(11x1)  A(11x11) qae _ l  H (11x1) (qe _ l , qve _ l )

( 3.8 )
Afin de prendre en compte les contraintes cinématiques verticales, nous ajoutons au modèle
dynamique de l’équation ( 3.8 ), les multiplicateurs de Lagrange λv. Ceci se traduit par
l’équation suivante :
(11x1)  A(11x11) qae _ l  H (11x1) (qe _ l , qve _ l )  J 2T v

( 3.9 )
0(2 x1)  J 2(2 x11) qae _ l  2(2 x1)
Ces deux équations forment un système qui s’écrit sous la forme :
(11x1)   A(11x11) J 2T   qae _ l   H (11x1) (qe _ l , qve _ l ) 

0    
0(2 x 2)   v  
( 3.10 )
 (2 x1)   J 2 2(2 x1) 
Ainsi le modèle dynamique direct utilisé pour la simulation permet de calculer au même
instant, le vecteur accélération ainsi que les multiplicateurs de Lagrange comme suit :
1
 qae _ l   A(11x11) J 2T   (11x1)   H (11x1) (qe _ l , qve _ l )  
   J     2(2 x1)   ( 3.11 )
 v   2 0(2 x 2)    0(2 x1)   
Les multiplicateurs de Lagrange représentent les efforts verticaux nécessaires au maintien du

contact des roues sur le sol en évitant le décollement. Ils peuvent s’interpréter en terme de
« transfert de charge » qui se calcule automatiquement en fonction des accélérations du
véhicule.
Le modèle dynamique calculé symboliquement à l’aide du logiciel Symoro+, génère

automatiquement les équations des efforts appliqués par les actionneurs.
Les efforts liés aux six degrés de liberté de la base sont nuls puisqu’ils sont dépourvus
d’actionneurs.
Pour prendre en compte l’élasticité des articulations flexibles, (articulations 2 et 7), un modèle
de flexibilité est mis en place (cf. Chapitre 2, section 2.6.1.1).
 j   K j (q j  q j 0 )
Il reste à définir les couples appliqués aux roues et le couple de braquage. Ces trois entrées
varient selon le type de motorisation du système (propulsion, traction) et la trajectoire à
effectuer. Par exemple, une propulsion correspond à un couple nul sur la roue avant tandis
82
qu’une une traction correspond à un couple nul sur la roue arrière. Une trajectoire rectiligne
correspond à un couple de braquage nul.
2. Simulateur
L’étude du mouvement d’un véhicule en interaction avec son environnement passe par la
simulation de son modèle dynamique pour prédire la sécurité et le confort des passagers. Le
véhicule est soumis à des perturbations extérieures (irrégularité du sol « pente, dévers », forces
aérodynamiques), et aux sollicitations du conducteur (angle de volant, accélération, freinage)
en boucle ouverte ou fermée. Afin d’étudier et de présenter l’effet de ces perturbations sur le
comportement du véhicule, un simulateur est mis en place qui s’appuie sur les équations
dynamiques élaborées par l’algorithme de Newton-Euler.
2.1. Architecture globale du simulateur
L’architecture générale du simulateur est composée de trois modules principaux (Figure 3.7).
Un module au centre du schéma représente le modèle mathématique du véhicule étudié, sous
la forme d’équations algébro-différentielles. L’interaction avec l’environnement est représentée
par le bloc « Route + environnement » qui agit sur le module central. Dans ce module, les
paramètres de la route, les efforts aérodynamiques ainsi que le modèle de contact roue/sol sont
présents (Figure 3.8 ).
Figure 3.7 : Architecture globale du simulateur
83
Simulateur
Profil de la Modèle
route( pente, d’efforts de
Initialisation
dévers, contact
adhérence)
Sortie
Entrée
Forces aéro-
dynamiques
Figure 3.8 : Architecture du bloc « route + environnement »
Le conducteur peut être modélisé par le bloc « conducteur + régulateur » rétroagissant lui aussi
sur le modèle mathématique du véhicule (Figure 3.7). L’asservissement des différentes
variables se fait également dans cette partie qui peut être élargie en intégrant un module pour
l’instrumentation et les capteurs et un module pour les actionneurs agissant.
La figure 3.9 représente un exemple de capteurs classiques dont les modèles peuvent être
présents dans le bloc « capteurs ».
Centrale Capteur de
inertielle position
Sortie
Capteurs de
Accéléro-
vitesse
mètres
Capteurs des
débattements
Entrée Projection dans les

repères de mesures
Figure 3.9 : Exemple de capteurs d’un véhicule instrumenté
Le modèle dynamique direct calcule les accélérations en fonctions des couples/efforts, des
positions et des vitesses des articulations. Nous distinguons : les accélérations du châssis et les
accélérations articulaires (Figure 3.10).
84
Vecteur vitesse qve_l (base + articulations)

V 
  D Projection
   Rf 1 repère
Rf
q f
R1 base
B V 
  Vit repère  V 

acc Projection   Rf galiléen    Rf
A
base repère x, y , z
 
C
Actionneurs
Modèle V 
galiléen Calcul de  , ,
 
dynamique    R1  , ,
Environnement q qart
acc articulaires
direct

Vecteur position qe_l (base + articulations)
Figure 3.10 : Architecture du module « modèle dynamique »
Les accélérations eulériennes du châssis sont exprimées à la sortie du modèle dynamique

direct dans le repère mobile R1 (bloc A). Un changement de repère est donc nécessaire avant
toute intégration pour le calcul des vitesses et positions dans le repère Rf (bloc B). Quant aux
accélérations langrangiennes articulaires, elles sont directement intégrées. Les variables du
vecteur vitesse du châssis, en entrée du modèle dynamique direct, doivent quand à elles être
exprimées dans le repère R1. Un changement de repère est donc nécessaire après la première
intégration (bloc D). Ces projections s’appuient respectivement sur la matrice de
transformation entre le repère de la base R1 et le repère sol Rf et sa transposée (chapitre 2,
section 3.2). Pour calculer la dérivée des angles d’orientation (le roulis, le tangage et le lacet) à
partir du vecteur d’orientation exprimé dans le repère galiléen, nous utilisons l’équation (2.43)
qui constitue le bloc C entre les deux intégrateurs. Un schéma plus détaillé de ce module est
présenté sur la figure 3.11.
f
V1
Entrée
f
1 Equation Sortie
2.43 
qart 
 , ,
Figure 3.11 : Schéma de calcul des vitesses avant intégration
2.2. Architecture du scénario pour les essais en simulation
Afin de pouvoir simuler le comportement du véhicule, il faut définir des scénarios de

trajectoire et de conduite. Ces scénarios peuvent être réalisés en boucle ouverte et /ou en boucle
fermée, en fonction des besoins.
85
Simulateur
Un régulateur de braquage représente un modèle « conducteur ». Il génère les entrées de

commande du système afin d’assurer le suivi du profil routier correspondant aux scénarios
choisis. Dans les simulations, on se contente d’un modèle simpliste du conducteur. Celui-ci est
modélisé par un correcteur proportionnel dérivée PD, qui génère le couple de braquage Γb en
fonction de l’angle de braquage souhaité. Ce dernier est appliqué directement sur l’axe vertical
de la roue et résulte de l’erreur entre une consigne de référence et l’angle de braquage actuel
(Figure 3.12).
δref PD Γb
δ
Figure 3.12 : Génération du couple de braquage
Dans le cas du simulateur de véhicule étroit et inclinable, un couple d’inclinaison inc doit
piloter le mouvement de roulis dans les virages pour éviter le renversement du véhicule sous
l’effet de la force centrifuge. Ce couple traduit le basculement du conducteur d’un vélo ou
d’une moto vers l’intérieur du virage et revient à compenser l’effet de la force centrifuge
Fc (Figure 3.13). L’angle d’inclinaison désiré (de référence) dans la commande de roulis est
calculé afin d’obtenir une accélération latérale nulle dans le repère véhicule, qui n’est autre que
l’accélération latérale ressentie par les occupants du véhicule.
ay=0
Fc=mV
θ
mg
Figure 3.13 : Angle d’inclinaison du véhicule
a y  g sin   V cos   0
 tg  V / g
( 3.12 )
   tan 1 (V / g )
Avec :
 représente l’inclinaison ou le roulis du véhicule ;

V représente la vitesse longitudinale du véhicule dans le repère R1 ;
86
 représente la vitesse de lacet.

Le couple d’inclinaison Γinc est calculé à travers un correcteur proportionnel dérivé PD qui
asservit l’angle d’inclinaison du véhicule (le roulis), à la valeur souhaitée (Figure 3.14). Pour la
motorisation, on se contente d’un scénario en boucle ouverte : les couples moteurs m sont
générés à partir d’une consigne d’accélération γref prédéfinie.
θdes PD Γinc
θ
Figure 3.14 : Génération du couple d’inclinaison
Les différents scénarios envisagés seront simulés à partir du schéma de la figure 3.15
γref Γm δ
Γinc Modèle de θ
véhicules
Γb Ψ
Vx
δref
Régulateur
de braquage
Régulateur
d’inclinaison
Figure 3.15 : Schéma de scénario
Nous signalons que l’ensemble des simulations réalisées dans ce chapitre et dans le chapitre
suivant sont effectués sous l’environnement Matlab/Simulink, version R2007B, sur un PC
standard. Tous les calculs sont réalisés par des fonctions M-file à l’exception du modèle
dynamique inverse, calculé par Symoro+, où nous utilisons le format C en mex-fonction.
2.3. Essais en simulation du modèle 2 roues à 11ddl
2.3.1. Accélération en ligne droite

Le premier essai consiste à rouler en ligne droite. Un profil d’accélération de référence est
défini pour engendrer le couple articulaire de propulsion (Figure 3.16). Ceci permet d’analyser
la dynamique longitudinale du véhicule ainsi que la dynamique de pompage et de tangage.
L’angle de braquage de référence est nul. Nous considérons que la route est un plan horizontal
parfait sans pente, ni dévers. Le frottement au niveau de la transmission est négligé et l’entrée
87
Simulateur
du modèle est le couple articulaire appliqué à la roue arrière. Cette entrée est choisie de telle
sorte que le véhicule accélère et continue sa trajectoire à vitesse constante. Nous présentons sur
la figure 3.17 les forces latérales avant et arrière, la vitesse latérale et l’accélération latérale du
centre de gravité du véhicule. Ces variables sont nulles, traduisant une dynamique latérale
nulle comme le montre la figure 3.18.
700
Couple articulaire appliqué à la roue arrière (N)
600
500
400
300
200
100
-100
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 3.16 : Couple articulaire appliqué à la roue arrière
1 1
Ordonnée du cdg dans Rf/déplacement latéral (m)
0.8 Fyavant 0.8

Forces, accélération et vitesse latérales
Fyarr
0.6 acc lat 0.6
0.4 v lat 0.4
0.2 0.2
0 0
-0.2 -0.2
-0.4 -0.4
-0.6 -0.6
-0.8 -0.8
-1 -1
0 5 10 15 20 25 30 0 100 200 300 400 500 600 700
Temps (s) Abcisse du cdg dans Rf/déplacement longitudinal (m)
Figure 3.17 : Forces, accélération et vitesse latérales Figure 3.18 : Trajectoire planaire du cdg
Nous présentons également la vitesse longitudinale et l’accélération longitudinale du véhicule
respectivement sur les figures 3.19 et 3.20. Nous remarquons que la vitesse augmente pendant
la phase d’accélération puis reste constante quand l’accélération s’annule. Le « transfert de
charge » dû à l’accélération est illustré par les figures 3.21, 3.22, 3.23 et 3.24. Quand le véhicule
accélère un transfert de charge apparaît de l’avant vers l’arrière. Ceci implique un écrasement
de la suspension arrière et un étirement de la suspension avant. Un tangage négatif apparaît
car l’axe latéral est orienté vers la gauche (Figure 3.25). Les angles de roulis et de lacet restent
nuls.
88
35 1.6
1.4
30
Accélération longitudinale (m/s2)

1.2
Vitesse longitudinale (m/s)
25 1
0.8
20
0.6
15 0.4
0.2
10
0
5 -0.2
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.19 : Vitesse longitudinale du cdg Figure 3.20 : Accélération longitudinale du cdg
0.162 0.158
0.161
Débattement de la suspension AR(m)
Débattement de la suspension AV(m)
0.156
0.16
0.154
0.159
0.158 0.152
0.157 0.15
0.156
0.148
0.155
0.146
0.154
0.153 0.144
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.21 : Débattement de la suspension avant Figure 3.22 : Débattement de la suspension arrière
9150 6950
9100 6900
9050 6850
Force normale arrière (N)
Force normale avant (N)
9000 6800
8950 6750
8900 6700
8850 6650
8800 6600
8750 6550
8700 6500
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.23 : Force normale avant Figure 3.24 : Force normale arrière
89
Simulateur
-3
x 10
1
Angle de Roulis, Tangage et Lacet (rd)

0
-1
-2
-3
-4
-5
Roulis
Tangage
-6 Lacet
-7
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 3.25 : Angle de Roulis, tangage et lacet
Le glissement et l’effort longitudinal de la roue arrière sont présentés respectivement sur les
figures 3.26 et 3.27. Les courbes illustrent le bon comportement du modèle du véhicule en
mode longitudinal.
-3
x 10
20 2500
2000
15
force longitudinale arrière (N)
glissement arrière
1500
10
1000
5
500
0
0
-5 -500
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.26 : Glissement longitudinal arrière Figure 3.27 : Force longitudinale arrière
Nous signalons que le temps de calcul nécessaire pour cette simulation de 30 secondes est
de 5,37 secondes.
2.3.2. Essai en virage

Dans cet essai, nous allons étudier le comportement latéral du véhicule en réponse à des
manœuvres de braquage (Figure 3.28). L’axe de braquage z2 (Figure 3.3) est orienté vers le bas,
donc un angle de braquage positif correspond à un braquage à droite.
Les entrées du modèle sont :
90
le couple de braquage résultant de la régulation entre l’angle de braquage référence et

l’angle de braquage réalisé ;
la vitesse du véhicule est initialisée à une vitesse de 10 m/s et le couple articulaire est
mis à zéro ;
le véhicule est maintenu stable pendant le virage par l’application d’un couple
d’inclinaison approprié, déduit de l’état instantanée du véhicule (cf. ( 3.12).
Le couple d’inclinaison est appliqué à l’axe de roulis du véhicule. Il résulte de la commande en

moment de roulis du véhicule. Dans ce cas, la composante liée au degré de liberté du roulis du
torseur d’effort lié au châssis est égale à Γinc .
0.08
0.06
Angle de braquage référence (rd)
0.04
0.02
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 3.28 : Angle de braquage de référence
La figure 3.29 et la figure 3.30 montrent la trajectoire et l’angle de lacet du véhicule suite à la
consigne de braquage.
20 0.4
Ordonné du cdg dans Rf/déplacement latéral (m)
0 0.2
-20 0
Angle du lacet (rd)
-40 -0.2
-60 -0.4
-80 -0.6
-100 -0.8
-120 -1
0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 25 30
Abcisse du cdg dans Rf/déplacement longitudinal (m) Temps (s)
Figure 3.29 : Trajectoire planaire du cdg Figure 3.30 : Angle de lacet
91
Simulateur
Les angles de braquage et de roulis sont contrôlés par une commande PD en boucle fermée.
Les figures 3.31 et 3.32 présentent respectivement le roulis et l’angle de braquage du véhicule
asservis à une inclinaison désirée et un braquage de référence. Nous présentons également les
angles de dérive avant et arrière et les forces latérales correspondantes, respectivement sur les
figures 3.33 et 3.34.
Quand au temps de calcul de cette simulation, il s’élève à 12 secondes.
0.2 0.08
Angle de braquage désiré et actuel (rd)

0.15 Roulis 0.06
Angle de roulis désiré et actuel (rd)
Roulis désiré braquage

0.1 0.04 braquage désiré
0.05 0.02
0 0
-0.05 -0.02
-0.1 -0.04
-0.15 -0.06
-0.2 -0.08
0 10 20 30 40 0 10 20 30 40
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.31 : Angle de roulis désiré et simulé Figure 3.32 : Angle de braquage désiré et simulé
2000 3
1500 Fyavant derive avant

Forces latérales avant et arrière (N)
Angle de dérive avant et arrière (°)
Fyarr 2
derive arr
1000
1
500
0 0
-500
-1
-1000
-2
-1500
-2000 -3
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.33 : Forces latérales Figure 3.34 : Angle de dérive
2.3.2.1 Virage à vitesse constante

Pour un scénario à vitesse longitudinale constante le couple de propulsion doit assurer une
vitesse longitudinale constante dans le repère lié au véhicule. Ceci est assuré par un
asservissement de la vitesse longitudinale du véhicule dans le repère R1.
92
Sur les figures 3.35 et 3.36, nous présentons l’allure de la vitesse et de l’accélération
longitudinale dans le repère de la base avec et sans asservissement de vitesse. La vitesse
longitudinale décroit en phase de braquage suite à la mobilisation de l’adhérence latérale.
10.2 0.02
Accélération logitudinale du cdg dans R1 (m/s2)

Vitesse longitudinale du cdg dans R1 (m/s)
vitesse libre
10.1 0.01
vitesse constante
0
10
-0.01
9.9
-0.02
9.8
-0.03
9.7
-0.04
9.6
-0.05
9.5
-0.06
9.4 -0.07 vitesse libre
vitesse constante
9.3 -0.08
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.35 : Vitesse longitudinale du véhicule dans le repère Figure 3.36 : Accélération longitudinale du véhicule dans le
R1 repère R1
3. Modèle 4 roues 16 ddl
Le modèle est constitué d’un châssis de masse M, de matrice d’inertie J et de premier moment
MS, d’un train avant et d’un train arrière. Le train avant est constitué de 2 roues avant qui peut
tourner par rapport au châssis autour d’un axe vertical et qui lui sont liés par deux suspensions
selon l’axe vertical. Le train arrière est similaire au train avant mais les axes des roues sont fixes
par rapport au châssis (Figure 3.37).
Figure 3.37 : Schéma du modèle 4 roues à 16 ddl
93
Modèle 4 roues 16 ddl
3.1. Modélisation globale du véhicule
Sous les mêmes hypothèses simplificatrices que celles appliquées au modèle 2 roues à 11 ddl
(section 1.1 de ce chapitre), la structure est modélisée par une base mobile, et 4 branches, deux
à deux identiques. Ceci mène à un modèle à 16 degrés de liberté et 19 corps dont la topologie
est donnée par la figure 3.38. La figure 3.39 représente le modèle articulaire obtenu en
appliquant la démarche décrite dans le chapitre 2. Ceci permet d’écrire le tableau 3-5 des
paramètres géométriques du système, conformément au formalisme DHM.
C7 C2
C10 C8 C3 C5
C1
C9 C4
C11 C16 C12 C6
C18 C17 C13 C14
C19 C15
Figure 3.38 : Topologie du modèle à 16 ddl
z’1 x’1
u2
z7 z2
Lf
z8 z3
z0, z1
z9, z10 z4, z5
Ra x 0, x 1 Ra
x7, x8, x9, x10 x2, x3, x4, x5
z11 x11 z6 x6
Lr
z’’1
u12
zf
z16 xf z12
yf
x10
z17, z18 z13, z14
x16, x17, x18 Ra x12, x13, x14 Ra

z19 x19 z15 x15
Figure 3.39 : Modèle articulaire à 16 degrés de liberté et 19 corps
94
Tableau 3-5 : Paramètres géométriques du modèle à 16 degrés de liberté
1 0 2 0 0 0 0 0 0 Base-châssis
1’ 1 2 0 0 0 Lf 0 0 Articulation bloquée
2 1’ 1 -π/2 0 π d2 π/2 q2 Débattement de suspension AVD
3 2 0 0 0 0 0 q3 0 Braquage roue AVD
4 3 2 0 0 -π/2 0 0 0 Articulation bloquée
5 4 0 0 0 0 0 q5 0 Rotation de la roue AVD
6 4 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (point de contact AVD)
7 1’ 1 -π/2 0 π d2 π/2 q7 Débattement de suspension AVG

8 7 0 0 0 0 0 q8 0 Braquage roue AVG
10 9 0 0 0 0 0 q10 0 Rotation de la roue AVG
11 9 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (point de contact AVG)
1’’ 1 2 0 0 0 -Lr 0 0 Articulation bloquée

12 1’’ 1 -π/2 0 π d12 π/2 q12 Débattement de suspension ARD
14 13 0 0 0 0 0 q14 0 Rotation de la roue ARD
15 13 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (point de contact ARD)
16 1’’ 1 -π/2 0 π d16 π/2 q16 Débattement de suspension ARG

18 17 0 0 0 0 0 q18 0 Rotation de la roue ARG
19 17 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (point de contact ARG)
Soit qe_l le vecteur de configuration des 16 degrés de liberté, composé par le vecteur ξ (6x1) de
posture du véhicule et les coordonnées articulaires (les articulations bloquées sont dépourvue
de coordonnées articulaires) :
T
qe _ l   T q2 q7 q12 q16 q5 q10 q14 q18 q3 q8  ( 3.13 )
Avec :
q2 et q7 représentent respectivement les débattements en translation des suspensions
avant droite et gauche ;

arrière droite et gauche ;
q5, q10 représentent les positions angulaires des roues avant droite et gauche, autour de
leur axe de rotation ;
95
q14 et q18 représentent les positions angulaires des roues arrière droite et gauche,
autour de leur axe de rotation ;
q3 et q8 représente l’angle de braquage des roues avant ;
les repères R1’ et R1’’ sont fixes par rapport au repère R1 ;
d2 = -d7 et d12 = -d16.
T
qve _ l   1V1x 1
V1 y 1
V1z 1
1x 1 y
1
1z q2 q7 q12 q16 q5 q10 q14 q18 q3 q8 
1
(3.14 )
Avec :
q2 q7 q12 q16 q5 q10 q14 q18 q3 q8  le vecteur constitué de la dérivée des
T
positions articulaires q2, q7, q12, q16, q5 , q10 , q14, q18 , q3 et q8.
Soit qae_l le vecteur accélération de configuration des 16 degrés de liberté
T
qae _ l   1V1x 1
V1 y 1
V1z 1
1x 1 y
1 1
1z q2 q7 q12 q16 q5 q10 q14 q18 q3 q8 
( 3.15 )
Avec :
q2 q7 q12 q16 q5 q10 q14 q18 q3 q8  le vecteur constitué de la dérivée

T
seconde des positions articulaires q2, q7, q12, q16, q5, q10, q14, q18, q3 et q8.
Le système est en interaction avec le sol à travers les quatre roues. Les repères correspondants
à ces interactions sont R6, R11, R15 et R19. Chaque torseur est constitué de trois forces et trois
moments suivant les trois axes. Le tableau 3-6 présente les forces et les couples appliqués par la
structure sur l’environnement.
6 -Fx6 -Fy6 -Fz6 -Cx6 -Cy6 -Cz6 Torseur avant droit

11 -Fx11 -Fy11 -Fz11 -Cx11 -Cy11 -Cz11 Torseur avant gauche
15 -Fx15 -Fy15 -Fz15 -Cx15 -Cy15 -Cz15 Torseur arrière droit
19 -Fx19 -Fy19 -Fz19 -Cx19 -Cy19 -Cz19 Torseur arrière gauche
Les moments de contact appliqués par l’environnement sur la structure suivant xj et yj ne sont
pas pris en compte. Les forces suivant zj sont calculées avec le modèle dynamique pour
96
satisfaire les contraintes cinématiques. Les forces suivant xj et yj sont calculées par le modèle de
Pacejka (Pacejka 2006).
Les paramètres dynamiques standards des corps réels du modèle à 16 ddl sont présentés dans
cette section. Tous les paramètres inertiels du châssis sont considérés. Les raideurs, les
coefficients d’amortissement et les masses des suspensions sont pris en compte. Enfin nous
supposons que le centre de masse des roues est le centre géométrique des roues et que les
inerties XXi et YYi sont égales par symétrie.
On aura :
Pour le châssis, corps C1 :
XX1, XY1, XZ1, YY1, YZ1, ZZ1, MX1, MY1, MZ1 et M1.
Pour les roues, corps Ci avec i= 5, 10, 14 et 18 :
 XXi, YYi, ZZi, Mi
Pour les suspensions, corps Ci avec i= 2, 7, 12 et 16 :
 Ki, Fvi, Mi ;
Pour les corps Ci avec i= 3, 8 :
 ZZi, Mi ;
Les paramètres dynamiques après regroupement, sont présentés par le tableau 3-7 :
Tableau 3-7 : Paramètres dynamiques après regroupement du modèle à 16 ddl
2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M2R K2 Fv2 0
3 XX5 0 0 0 0 ZZ3R 0 0 0 0 0 0 0
4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
5 0 0 0 0 0 ZZ5 0 0 0 0 0 0 0
6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M7R K7 Fv7 0
8 XX10 0 0 0 0 ZZ8R 0 0 0 0 0 0 0
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
10 0 0 0 0 0 ZZ10 0 0 0 0 0 0 0
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
97
12 XX14 0 0 0 0 XX14 0 0 0 M12R K12 Fv12 0

13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
14 0 0 0 0 0 ZZ14 0 0 0 0 0 0 0
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
16 XX18 0 0 0 0 XX18 0 0 0 M16R K16 Fv16 0
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
18 0 0 0 0 0 ZZ18 0 0 0 0 0 0 0
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
M 16 R  M 16  M 18 ; M 2 R  M 2  M 3  M 5
M 12 R  M 12  M 14 ; M 7 R  M 7  M 8  M 10
ZZ3 R  ZZ3  XX 5 ; ZZ8 R  ZZ8  XX 10
Les forces verticales sont déduites des quatre contraintes cinématiques aux quatre points de
contact avec le sol. Elles traduisent la nullité des vitesses verticales des points de contacts avec
le sol dans le repère route Rr.
Lf
z1
x1
z11 x11 z6 x6
Lr
zf
xf
yf
z19 x19 z15 x15
Figure 3.40 : Direction des composantes nulles de vitesse et d’accélération du modèle à 16 ddl
Les équations qui traduisent les contraintes sont :
98
f
V6 z  f V6 (3)  f R1 (3,:) 1V6  0
f
V11z  f V11 (3)  f R1 (3,:) 1V11  0
f
V15 z  f V15 (3)  f R1 (3,:) 1V15  0 (3.16 )
f
V19 z  f V19 (3)  f R1 (3,:) 1V19  0
d d r d d
V6 z 
r
( R1 (3,:) 1V6 )  ( r R1 (3,:)) 1V6  r R1 (3,:) ( 1V6 )  0
dt dt dt dt
d d d d
r
V11z  ( r R1 (3,:) 1V11 )  ( r R1 (3,:)) 1V11  r R1 (3,:) ( 1V11 )  0
dt dt dt dt
d d d d (3.17 )
r
V15 z  ( r R1 (3,:) 1V15 )  ( r R1 (3,:)) 1V15  r R1 (3,:) ( 1V15 )  0
dt dt dt dt
d d r d r d
r
V19 z  ( R1 (3,:) V19 )  ( R1 (3,:)) V19  R1 (3,:) ( 1V19 )  0
1 1 r
dt dt dt dt
L’équation (3.16 ) s’écrit sous la forme d’un produit d’une matrice J4 par le vecteur qve_l de
l’équation (3.14 ):
 rV6 z 
r  (3.18 )
 V11z   J qv  0
 rV15 z  4 e_l
r 
 V19 z 
Avec :
J 4 la matrice de dimension (4x16) qui représente la jacobienne par rapport au vecteur

qve_l de l’équation (3.14 ) .
L’équation (3.17 ) ou la dérivée de l’équation (3.18 ) s’écrit sous la forme suivante :

 rV6 z 
r 
d  V11z  dqve _ l
 J4  J 4 qve _ l
dt  rV15 z  dt
r  (3.19 )
 V19 z 
 J 4 qae _ l  4
Avec :
 11z 1V1 y  11 y 1V1z 
 
4  J 4 qve _ l  J 4 (:,1: 3)   11z 1V1x  11x 1V1z 
 11 y 1V1x  11x 1V1 y 
 
Le modèle dynamique du modèle à 16 ddl en considérant les contraintes cinématiques s’écrit :
99
Essais en simulation du modèle 4 roues à 16ddl
(16 x1)  A(16 x16) qae _ l  H (16 x1) (qe _ l , qve _ l )  J 4T v

( 3.20 )
0(4 x1)  J 4(4 x16) qae _ l  4(4 x1)
Avec :
λV est le vecteur de multiplicateurs de Lagrange. Il représente les forces normales

d’interaction roue/sol au niveau des quatre points de contact ;
Ces deux équations forment un système sous la forme :
(16 x1)   A(16 x16) J 4T   qae _ l   H (16 x1) (qe _ l , qve _ l ) 

0    
0(4 x 4)   v  
( 3.21 )
 (4 x1)   J 4 4(4 x1) 
Donc le modèle dynamique direct utilisé pour la simulation permet de calculer au même
instant, le vecteur accélération ainsi que les multiplicateurs de Lagrange comme suit :
1
 qae _ l   A(16 x16) J 4T   (16 x1)   H (16 x1) (qe _ l , qve _ l )  
   J     4(4 x1)   ( 3.22 )
 v   4 0(2 x 2)    0(4 x1)   
Rappelons que :
le torseur d’effort lié au châssis est nul ;
L’élasticité des articulations flexibles est considérée pour (j=2, 7, 12 et 16).
 j   K j (q j  q j 0 )
4. Essais en simulation du modèle 4 roues à 16ddl
Dans cette section, nous simulons le comportement du modèle 4 roues à 16 degrés de liberté.
L’architecture de simulation introduite précédemment est utilisée et les valeurs des paramètres
dynamiques ainsi que les dimensions du véhicule sont celles résultants de l’identification d’un
modèle de véhicule 4 roues Peugeot 406 (Venture 2003). Dans un premier lieu, un scénario de
virage identique à celui appliqué au modèle 11 ddl est présenté puis nous vérifions la
cohérence de la dynamique des modèles à 11 ddl et 16 ddl.
4.1. Essai en virage
Le comportement latéral du véhicule en réponse à des manœuvres de braquage ( Figure 3.28)

est étudié dans cette section. Les entrées du modèle sont :
un couple de braquage identique sur les deux roues avant et résultant de la régulation
PD de l’angle de braquage ;
100
une condition initiale de vitesse longitudinale de 10 m/s avec des couples nuls sur les
2 roues arrière ;
Le couple lié au degré de liberté du roulis est nul. Ceci est possible sans basculement
pour le véhicule 16 ddl à 4 roues au contraire du véhicule 11 ddl à 2 roues.
Les figures 3.41 et 3.42 montrent la trajectoire et l’angle de lacet du véhicule en réponse à la
consigne de braquage.
0 0.2
-20 0
-40 -0.2
Angle de lacet (rd)

-60 -0.4
-80 -0.6
-100 -0.8
-120 -1
-140 -1.2
0 50 100 150 200 250 0 5 10 15 20 25 30
Abcisse du cdg dans Rf/déplacement longitudinal (m) Temps (s)
Figure 3.41 : Trajectoire planaire du cdg Figure 3.42 : Angle de lacet
Quand le véhicule aborde un virage, il apparaît un « transfert de charge » vers l’extérieur du

virage. Ici, le véhicule braque à droite puis à gauche. Le « transfert de charge » s’effectue
d’abord vers la gauche : les forces verticales avant et arrière droite diminuent tandis que les
forces verticales avant et arrière gauche augmentent. Le transfert est inversé quand le véhicule
braque à gauche. Ceci est visible par les figures 3.43 et 343.
5200 3700
3600
5000
3500
Forces verticales avant (N)
Forces verticales arrières
4800
3400
4600 3300
3200
4400
3100
4200 3000
2900
4000 Fz AVD
2800 Fz ARD
Fz AVG Fz ARG
3800 2700
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.43 : Forces verticales avant Figure 3.44 : Forces verticales arrière
101
Le comportement des suspensions dépend de la variation des efforts verticaux associés à

chaque roue. L’allure du débattement des suspensions est présentée sur les figures 3.45 et 3.46
Les forces verticales équilibrent toujours le poids du véhicule, mais la somme de leurs
moments par rapport au centre de gravité du véhicule n’est plus nulle. Un angle de roulis
apparaît vers l’extérieur comme le montre la figure 3.47. Les angles de dérive et les forces
latérales correspondantes sont présentés sur les figures 3.48 et 3.49.
0.175 0.18
susp AVD
Débattement des suspensions arrière (m)

Débattement des suspensions avant (m)
0.17 0.175 susp ARD

susp AVG
susp ARG
0.165 0.17
0.16 0.165
0.155 0.16
0.15 0.155
0.145 0.15
0.14 0.145
0.135 0.14
0.13 0.135
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.45 : Débattements des suspensions avant Figure 3.46 : Débattements des suspensions arrière
0.03 1.5
derive AVD
derive AVG
0.02 1
derive ARD
derive ARG
Angle de roulis (rd)
Angle de dérive (°)
0.01 0.5
0 0
-0.01 -0.5
-0.02 -1
-0.03 -1.5
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.47 : Angle de roulis Figure 3.48 : Angles de dérive
102
1500
Fy AVD
1000 Fy AVG
Fy ARD
Forces latérales (N)

Fy ARG
500
-500
-1000
-1500
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 3.49 : Forces latérales
4.2. Prise en compte de la barre anti-roulis
Une barre anti-roulis est un élément stabilisateur des débattements des véhicules. Elle peut être
modélisée par un ressort dont l’effort s’applique au centre des roues d’un même essieu
(Venture 2003). En considérant que les efforts de part et d’autre de la barre sont identiques et
de signes opposés, l’expression de ces efforts est alors :
Fk  K ar ( zk  zl )   Fl
( 3.23 )
Avec :
K ar représente la raideur de la barre anti-roulis;
zk et zl représentent respectivement les débattements des suspensions d’un même

essieu.
La prise en compte de l’effet de la barre anti-roulis dans le modèle dynamique du véhicule à 16

ddl s’effectue en ajoutant des termes sur les équations des suspensions entre les corps d’indices
j= 2, 7, 12 et 16 et i= 7, 2, 16 et 12 respectivement :
 K j (q j  q j 0 )  Kar (q j  qi )   j
En simulant le même scenario avec les mêmes entrées que dans la simulation (section 4.1),
nous observons un amortissement au niveau de la dynamique de pompage qui se traduit par
une diminution de la variation de débattement des suspensions (Figure 3.50 et Figure 3.51).
103
0.18 0.175
ARD sans barre
0.175 ARG sans barre 0.17
Débattement des suspensions (m)

ARD avec barre

ARD avec barre 0.165
0.17
0.165 0.16
0.16 0.155
0.155 0.15
0.15 0.145
0.145 0.14 AVD sans barre

AVG sans barre
0.14 0.135 AVD avec barre
AVG avec barre
0.135 0.13
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.50 : Débattement des suspensions arrière Figure 3.51 : Débattement des suspensions avant
Sur la figure 3.52 , nous présentons une comparaison entre le roulis du véhicule avec et sans
barre anti-roulis. La barre anti-roulis réduit le roulis ainsi que le débattement des suspensions.
Au niveau du temps de calcul nécessaire pour cette simulation, il s’élève à 18.5 secondes
0.03
sans barre anti-roulis

0.02
avec barre anti-roulis
Angle de roulis (rd)
0.01
-0.01
-0.02
-0.03
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 3.52 : Angle de roulis
4.3. Cohérence des modèles 11 ddl et 16 ddl
Dans cette section, nous allons discuter la cohérence des comportements longitudinaux des
deux modèles. Le scénario proposé est un essai en freinage sur une trajectoire rectiligne. Le
modèle 4 roues possède une symétrie par rapport à l’axe longitudinal du véhicule. Afin de
comparer ces deux modèles de structures cinématiques différentes, nous allons projeter les
paramètres dynamiques de l’un sur l’autre. Tenant compte de la symétrie du modèle 16 ddl, la
projection des paramètres sur le modèle 11ddl se traduit par la conservation des paramètres du
châssis, et la combinaison des branches arborescences gauche et droite de chaque essieu. Les
104
paramètres des 2 branches du 11 ddl sont la somme des paramètres des 4 branches, 2 à 2 par
train avant et arrière, comme indiqué dans le tableau suivant :
Tableau 3-8 : Projection des paramètres inertiels du repère
Modèle à 16 ddl Modèle à 11 ddl
Châssis Châssis
XX1, XY1, XZ1, YY1, YZ1, ZZ1, MX1, MY1, MZ1 XX1, XY1, XZ1, YY1, YZ1, ZZ1, MX1, MY1, MZ1
et M1. et M1.
Suspensions Suspensions
AV :K2, Fv2, M2 ; K7, Fv7, M7 ; AV: 2*K2, 2*Fv2, 2*M2 ;
AR: K12, Fv12, M12 ; K16, Fv16, M16 . AR: 2*K12, 2*Fv12,2* M12 ;
Roues Roues
AV: XX5, YY5, ZZ5, M5 ; XX10, YY10, ZZ10, M10. AV: 2*XX5, 2*YY5, 2*ZZ5, 2*M5;
AR:XX14, YY14, ZZ14, M14 ; XX18, YY18, ZZ18, M18. AR: 2*XX14, 2*YY14, 2*ZZ14, 2* M14.
Fourche Fourche
ZZ3, M3 ; ZZ8, M8. 2*ZZ3, 2*M3 ;
25 0.2
Accélération longitudinale et latérale (m/s2)
v longi 11ddl 0
Vitesse longitudinale et latérale (m/s)
20 v lat 11ddl
v longi 16 ddl -0.2
v lat 16ddl acc longi 16 ddl
15 -0.4 acc lat 16 ddl
acc longi 11ddl
-0.6 acc lat 11 ddl
10
-0.8
5 -1
-1.2
0
-1.4
-5 -1.6
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.53 : Vitesse longitudinale et latérale Figure 3.54 : Accélération longitudinale et latérale
-3
x 10 0.164
7
0.162
6
0.16
Tangage 11 ddl susp avant 11 ddl
Angle de Tangage (rd)
5 Tangage 16ddl susp arr 11ddl

0.158
susp AVD 16 ddl
4 0.156 susp AVG 16 ddl
susp ARD 16 ddl
0.154 susp ARG 16 ddl
3
0.152
2
0.15
1 0.148
0 0.146
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Temps (s) Temps (s)
Figure 3.55 : Angle de tangage Figure 3.56 : Débattement des suspensions
105
Conclusion
Les figures 3.53, 3.54, 3.55 et 3.56 montrent la cohérence de comportement des modèles à 11ddl
et 16 ddl relativement aux dynamiques longitudinales et verticales. L’utilisation du modèle 2
roues pour l’analyse du comportement du véhicule 4 roues est donc justifiée si l’on s’intéresse
qu’à ces dynamiques.
5. Conclusion
Dans ce chapitre, nous avons présenté deux cas d’études de modélisation et simulation
dynamique de véhicules à degré de complexité croissant. Après avoir paramétré le modèle
géométrique associé à chaque modèle et défini les paramètres dynamiques pour chaque corps,
le modèle dynamique a été calculé et le scénario de simulation est défini. Les résultats obtenus
en simulation avec les deux modèles suivant les différents scénarios, ont permis la validation
de leur comportement longitudinal, latéral et vertical. Dans le chapitre suivant nous allons
étudier un véhicule de structure plus complexe et original : celui de la Smera de Lumeneo.
C’est un véhicule étroit inclinable dont la structure cinématique comporte des chaines fermées
planaires et spatiales.
106
Chapitre 4 Véhicule étroit inclinable : SMERA
La société Lumeneo développe un véhicule urbain innovant baptisé SMERA. C’est une voiture
électrique, maniable comme un scooter, confortable et sûre comme une automobile. Avec une
masse faible (500 Kg), une largeur inférieure à la moitié de celle d’une voiture classique (0.96
m) et une propulsion électrique, elle s’incline pour accroitre sa stabilité en virage.
Ce type d’automobile facilite le stationnement et l’agilité dans les embouteillages. Il combine
les avantages d’un deux roues et d’une voiture traditionnelle, avec un impact écologique faible
comparé à celui des véhicules classiques.
Le véhicule étudié dispose d’un système motorisé d’inclinaison simultanée des 4 roues et du
châssis du véhicule. De par la géométrie de ses liaisons au sol, le véhicule peut s’incliner
comme un deux roues.
La motorisation de l’inclinaison est nécessaire pour les raisons suivantes :
l’habitacle étant fermé, le conducteur ne peut balancer son corps comme sur un
véhicule à 2 roues ;
la direction est plus lourde que celle d’un 2 roues classique ;
le véhicule ne doit pas nécessiter d’apprentissage particulier de basculement du

corps ;
la masse importante, comparée à celle d’un « deux roues », rend difficile le

basculement du véhicule sans assistance.
Les études menées récemment sur les véhicules inclinables, se basent sur un modèle bicyclette
simplifié, à 4 ddl, dont les suspensions et l’inertie des roues sont négligées (Gohl & Rajamani
2004), (Gohl et al. 2006), (Kidane et al. 2008). Les travaux de Vieira, Fossas et Roqueiro portent
sur un tricycle modélisé par 4 corps et 9 ddl, utilisant une approche multi-corps basée sur la
méthode de Lagrange (Roqueiro et al. 2010), (Roqueiro & Fossas 2010), (Roqueiro et al. 2011).
Dans ce chapitre nous allons présenter les caractéristiques du véhicule Smera, définir ses
composants mécaniques, et étudier le comportement de son inclinaison. L’approche multi-
corps de la robotique est appliquée pour élaborer son modèle géométrique et résoudre les
107
Description Générale et Caractéristiques de la SMERA
chaines cinématiques fermées qu’il contient. Ensuite le modèle dynamique est calculé et simulé
pour différents types de trajectoires.
1. Description Générale et Caractéristiques de la SMERA
La Smera mesure 2,5 m de long, 0,96 m de large et 1,45 m de haut. Ses dimensions lui
permettent de se déplacer, se faufiler et se garer en zone urbaine. La masse est de 500 Kg
incluant la masse des batteries (Figure 4.1).Un permis auto (B) suffit pour la conduire.
Figure 4.1 : Photo de la Smera
Son habitacle fermé permet le transport de deux personnes en tandem et leur assure confort et
sécurité. Un petit coffre est possible à l’arrière (Figure 4.2).
Figure 4.2 : Architecture intérieure de la Smera
Le système d’inclinaison est entièrement automatisé. Il utilise notamment les signaux fournis
par une centrale inertielle et différents capteurs. Suivant les paramètres dynamiques de la
108
Chapitre 4 : Véhicule étroit inclinable : SMERA
voiture, la courbe de virage, le mode de conduite et l’état de la chaussée, le calculateur

embarqué détermine instantanément l’inclinaison optimale. Le servo moteur à courant continu
piloté par le calculateur, réalise automatiquement cette fonction en agissant sur une pièce
mécanique appelée « lyre » qui incline la cabine et les 4 roues.
1.1. Principe d’inclinaison
La dynamique des véhicules étroits est différente de celle des voitures conventionnelles. En
effet, de par leur étroitesse, et suivant la position de leur centre de gravité, leur dynamique lors
de la prise de virage peut s’avérer plus proche de la dynamique des véhicules deux roues
comme les motos. L’effet des forces centrifuges entraîne le véhicule à basculer vers l’extérieur
du virage. Pour éviter ceci, ces véhicules étroits doivent s’incliner vers l’intérieur des virages
pour que la résultante du poids du véhicule et de la force centrifuge passe par le polygone de
sustentation du véhicule, donc entre les quatre roues (Figure 4.3). Ceci revient à annuler
l’accélération latérale dans l’axe y1 du repère R1 lié au châssis (cf. Chapitre 3, section 2.2).
Figure 4.3 : Inclinaison des véhicules étroits
2. Modèle géométrique de la Smera
L’architecture géométrique de la Smera est composée de deux grandes parties : la première

regroupe le train arrière, les bras de suspensions, la lyre arrière motorisée, et les moteurs de
propulsion. La seconde partie représente l’ensemble du train avant composé des
parallélogrammes, de la lyre avant passive et des suspensions. La figure 4.4 représente le
modèle physique de la moitié gauche de la Smera. La moitié droite est obtenue par symétrie
par rapport à l’axe longitudinal du véhicule.
109
Modèle géométrique de la Smera
Lyre
Lyre avant
arrière
Emplacement Moteur de Batteries

moteur propulsion
d’inclinaison
Figure 4.4 : Schéma de la moitié gauche de la Smera
Le véhicule s’incline par la rotation des « lyres » avant et arrière. Il s’agit de deux pièces
mobiles en rotation assurant la liaison entre les ensembles ressort/amortisseur de chaque train.
La lyre arrière est actionnée par le moteur d’inclinaison qui agit sur la lyre avant par un
couplage mécanique à travers le châssis.
Lyres
arrière avant
Figure 4.5 : Les lyres avant et arrière
La figure 4.6 représente un schéma détaillé illustrant les éléments mécaniques de la Smera. Le
schéma de droite montre les différents corps reliés entre eux par les articulations (cercles
rouges) ; chaque ensemble de corps est associé à une couleur illustré physiquement par les
schémas de gauche.
110
Figure 4.6 : Schéma multi-corps représentatif de la Smera
Ce système peut être décrit comme un robot à chaine arborescente comportant 6 chaines
fermées. L’élaboration des modèles géométriques, cinématiques et dynamiques passe par
l’ouverture de ces chaines fermées pour obtenir une structure arborescente équivalente. Les
variables dépendantes (passives) seront calculées dans un deuxième temps en fonction des
variables indépendantes en écrivant les équations de contrainte de fermeture des boucles (cf.
Chapitre 2, section 2.2). Compte tenu de la complexité du modèle et de sa symétrie, nous allons
analyser chaque train à part et les coupler par la suite.
2.1. Train arrière
Le demi-train arrière gauche (Figure 4.7) est constitué d’une lyre actionnée par un moteur
d’inclinaison dont le stator est solidaire du châssis du véhicule. La partie supérieure de la lyre
est reliée par une liaison rotule à la partie supérieure de l’ensemble ressort/amortisseur. La
partie inférieure de cet ensemble est reliée au bras de suspension par une liaison rotule.
Les deux extrémités du bras de suspension sont reliées d’une part au châssis à travers une
liaison rotoϊde et d’autre part à la roue à travers son axe de rotation. Cette chaine fermée est
décrite par l’angle de rotation de la lyre arrière, les six angles de rotation des deux rotules, le
débattement prismatique de la suspension ainsi que la rotation du bras. Dans la suite nous
regroupons les deux rotations des rotules autour de l’axe de la suspension en une seule
rotation. On obtient alors une rotule à la partie inférieure et un cardan à la partie supérieure et
la chaine fermée est ouverte au niveau de la rotule inférieure résultante.
111
Figure 4.7 : Schéma du demi-train arrière gauche
La même simplification est appliquée au demi-train droit pour constituer une structure
arborescente du train arrière (Figure 4.8) dont les paramètres géométriques sont présentés dans
le tableau 4-1:
z1 x1
x6 L3
x3 z7 u1’
z4
b2
L2 L2 z 6 L4
u2
z9 z3 x7 z13
x4 z1’
x9
L5 x1’ L5 x13
L6 L6
z5 L1
z10, z11 z8
x2 r2 z14, z15
x10, x11 x14, x15
Ra z2 Ra x8
x5
z12 x12 z16
x16
Figure 4.8 : Modèle articulaire du train arrière
Tableau 4-1 : Paramètres géométriques du train arrière

1 0 2 0 0 0 0 0 0 Châssis
2 1 0 π/2 -b2 π/2 0 q2 -r2 Rotation de la lyre arrière
3 2 0 0 0 π/2 L1 q3 L2 Première rotation du cardan G
4 3 0 0 0 π/2 0 q4 0 Deuxième rotation du cardan G
5 4 1 0 0 π/2 0 0 q5 Débattement de suspension ARG
112
6 2 0 0 0 -π/2 L1 q6 L2 Première rotation du cardan D

7 6 0 0 0 -π/2 0 q7 0 Deuxième rotation du cardan D
8 7 1 0 0 π/2 0 0 q8 Débattement de suspension ARD
1’ 1 2 0 -L3 0 -L4 0 2 Articulation bloquée
9 1’ 0 0 0 π/2 0 q9 -L5 Rotation bras gauche
10 9 2 0 0 π L6 0 0 Articulation bloquée
11 10 0 0 0 0 0 q11 0 Rotation roue gauche
12 10 2 q9- π 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (repère point de
contact ARG)
13 1’ 0 0 0 -π/2 0 q13 -L5 Rotation bras droit
14 13 2 0 0 0 L6 0 0 Articulation bloquée
15 14 0 0 0 0 0 q15 0 Rotation roue gauche
16 14 2 π-q13 -L9 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (repère point de
contact ARD)
Avec :
Le repère R1 est lié à la caisse à vide en son centre de gravité ;
le repère R1’ est lié à la caisse et fixe par rapport à R1 ;
q2 est la rotation angulaire de la lyre arrière. C’est une variable motorisée ;

arrière gauche et droite ;
q3 et q4 représentent respectivement la première et la deuxième rotation de la rotule

gauche supérieure ;
q6 et q7 représentent respectivement la première et la deuxième rotation de la rotule

droite supérieure ;
q9 et q13 représentent respectivement les angles de rotation du bras gauche et droit,

q11 et q15 représentent les positions angulaires des roues arrière gauche et droite,
Les repères R10 et R12 sont liés au moyeu gauche et R14 et R16 sont liés au moyeu droit.
Les repères R12 et R16 sont les repères de projection des efforts de contact roue/sol. Ils sont
fixes par rapport aux repères R10 et R14 respectivement et s’inclinent avec la voiture.
Les équations de fermetures des boucles se traduisent par l’égalité des équations de positions
de part et d’autre du point d’ouverture des boucles comme le montre la figure 4.9 .
113
z1 x1
z9 z13
x9
Lp x13
b Lp d
fp
fp a c
= =
gp x8
x5 gp
z5 z8
Figure 4.9 : Coupure des boucles du train arrière
Pour le demi-train gauche, on obtient trois équations à trois inconnues (q3, q4 et q9). Les
variables q2 (variable motorisée représentant la rotation de la lyre arrière) et q5 (variable qui
représente le débattement de la suspension arrière gauche) sont connues par l’intégration du
modèle dynamique qui sera étudié plus tard dans la section (3.6) :
P5( a )  1P5(b ) 
1
b2  q5 sin q3 sin q4   L4  LP cos q9  f p sin q9

(4.1)
L1 cos q2  L2 sin q2  q5 cos q4 sin q2  r5 cos q2 cos q3 sin q4   g p  L5
r2  L2 cos q2  q5 cos q2 cos q4  L1 sin q2  q5 cos q3 sin q2 sin q4   L3  f p cos q9  Lp sin q9
De même, on obtient trois équations à trois inconnues (q6, q7 et q13) pour le demi-train droit. Les
variables q2 et q8 (le débattement de la suspension arrière droite) sont connues.
P8( c )  1P8( d ) 
1
b2  q8 sin q6 sin q9   L4  LP cos q13  f p sin q13

(4.2)
L1 cos q2  L2 sin q2  q8 cos q7 sin q2  r8 cos q2 cos q6 sin q7  g p  L5
r2  L2 cos q2  q8 cos q2 cos q7  L1 sin q2  q8 cos q6 sin q2 sin q7   L3  f p cos q13  Lp sin q13
Avec :
Lp, fp et gp sont des constantes
 Lp   Lp 
  ; 13  
9
P5  cte   f p  P8  cte    f p 
g p   gp 
   
La résolution analytique des équations (4.1) et (4.2) étant compliquée, une solution numérique
(cf. Annexe B) basé sur le modèle différentiel à partir d’une configuration initiale courante a été
développée.
114
2.2. Train avant
Le train avant est constitué d’une lyre, de deux parallélogrammes et de deux ensembles
ressorts/amortisseurs. La lyre avant est passive et liée au châssis à travers un pivot. Sa partie
supérieure et celles des deux ensembles ressorts/amortisseurs sont reliées entre elles par deux
liaisons pivots. De même, les deux extrémités inférieures de ces ensembles sont reliées chacune
au bras du parallélogramme par une liaison pivot. Chaque parallélogramme est lié au châssis
par deux liaisons pivots. Compte tenu de l’architecture du véhicule, la présence des
parallélogrammes assure le parallélisme entre les roues et le châssis.
Lyre
Châssis
Amortisseur
Figure 4.10 : Schéma multi-corps du train avant
Le véhicule a été conçu de telle manière que l’axe longitudinal de la rotation de la lyre avant
soit parallèle et le plus proche possible de l’axe autour duquel le châssis peut s’incliner (D.
Moulène & T. Moulène 2006). De cette manière, la lyre avant reste quasi parallèle à la verticale
au sol (θl=θ) comme le montre la figure 4.11 :
zf
z1
zlyre
θl
Figure 4.11 : Mouvement de la lyre avant lors de l’inclinaison
Nous considérons alors que l’angle de rotation de la lyre est une variable connue pour
résoudre les boucles fermées du train avant.
Afin d’analyser le mouvement de cette structure, le train avant peut être décomposé en quatre
chaines fermées :
115
Le parallélogramme gauche ;
le parallélogramme droit ;
la chaine reliant la lyre, le châssis, l’amortisseur gauche et le bras inférieur du

parallélogramme gauche ;
la chaine reliant la lyre, le châssis, l’amortisseur droit et le bras inférieur du

parallélogramme droit.
2.2.1. Demi-train gauche

Le demi- train gauche est constitué d’un parallélogramme et d’une chaine cinématique
reliant ce dernier à l’amortisseur gauche et à la lyre. Chacune des boucles est coupée sur
une articulation et les équations de fermeture de boucle représentent les équations de
contraintes géométriques qui s’expriment par l’égalité des matrices de transformations
(modèle géométrique direct) de part et d’autre de l’articulation coupée par rapport au
repère de base de la boucle (cf. chapitre 2, section 2.4)
xlg
zpg
L2g L1g
xpg
xch
zcg, z’cg L4g ubg z z
ch, lg
zbg
xbg z L3g ubg
bg
xcg, x’cg xbg
Figure 4.12 : Schéma de représentation du demi-train gauche
Tableau 4-2 : Paramètres géométriques de la boucle gauche reliant le parallélogramme, la suspension et la lyre
lg ch 0 0 0 0 0 θlg 0 Lyre
pg 1g 0 0 0 0 L1g θpg 0 Rotation pivot (liaison lyre-
amortisseur)
bg ch 0 γ3g 0 0 L3g θbg 0 Rotation pivot (châssis- bras
parallélogramme inférieur)
cg pg 0 0 0 0 L2g θcg 0 Articulation « coupure »
c’g cg 2 0 0 0 L4g 0 0 Articulation bloquée
Avec :
Rch est un repère fixé au châssis dont l’origine est sur l’axe de rotation de la lyre avant.
les repères Rlg, Rpg et Rbg désignent respectivement les repères liés à la lyre avant, à la
suspension gauche et au bras inférieur du parallélogramme gauche.
116
les repères Rcg et Rc’g désignent les repères de part et d’autre du point d’ouverture de
la boucle.
Cette structure fermée est planaire et comporte quatre articulations. Il suffit donc d’avoir la
valeur d’une de ces articulations pour calculer les valeurs des autres articulations. Dans la
suite, nous calculons θpg, θbg et θcg en fonction de l’angle de rotation de la lyre θlg et de la
longueur de la suspension L2g.
Les équations de fermeture de la boucle sont :
 3g  lg   pg  bg  cg  0 ( 4.3 )
 L12g  L22 g  L23g  L24 g  2L4 g L2 g coscg  2L1g L3g cos( 3g  lg )  0 ( 4.4 )
L4 g cos bg  L2 g cos(bg  cg )   L3 g  L1g cos( 3 g  lg )

L4 g sin bg  L2 g sin(bg  cg )   L1g sin( 3 g  lg ) ( 4.5 )
A partir de l’équation ( 4.3 ), nous obtenons :
 L12g  L22 g  L23 g  L24 g  2 L3 g L1g cos( 3 g  lg )

 cg  a cos( ) ( 4.6 )
2 L4 g L2 g
L’équation ( 4.5 ) est de la forme :
X cos i  Y cos(i  j )  Z1
( 4.7 )
X sin i  Y sin(i  j )  Z 2
La résolution de ce système conduit aux expressions :
B1Z 2  B2 Z1
sin i 
B12  B22
( 4.8 )
BZ B Z
cos i  1 12 22 2
B1  B2
Avec :
B1=X+Ycosj ; B2=Ysinj ;
X=L4g; Y=-L2g; Z1=-L3g+L1gcos(γ3g-θlg) ; Z2=-L1gsin(γ3g-θlg)
Donc nous obtenons :
( L4 g  L2 g cos cg )( L1g sin( 3 g  lg ))  ( L2 g sin cg )( L3 g  L1g cos( 3 g  lg ))
sin bg 
L24 g  L22 g  2 L2 g L4 g cos cg
( 4.9 )
( L4 g  L2 g coscg )(  L3g  L1g cos( 3 g  lg ))  L2 g sin 4 g L1g sin( 3 g  lg )
cosbg 
L24  L22 g  2 L2 g L4 g coscg
Alors bg  tan 1 (sin bg / cosbg )
117
Enfin nous calculons θpg de l’équation ( 4.3 ) :
 3g  lg  bg  cg   pg
2.2.2. Demi-train droit

Le demi- train droit est constitué d’un parallélogramme et d’une chaine cinématique reliant ce
dernier à la suspension droite et à la lyre (Figure 4.13). Les équations de fermeture des boucles
sont calculées de la même manière que celles du demi-train gauche en fonction de l’angle de
rotation de la lyre θld et du débattement de la suspension droite L2d.
xld
zpd
L1d
xpd L2d
xch
zbd
zch, zld ubd zcd, z’cd xbd
L3d L4d ubd
xbd x x’
zbd cd, cd
Figure 4.13 : schéma de représentation du demi-train droit

Amortisseur
Tableau 4-3 : Paramètres géométriques de la boucle droite reliant le parallélogramme, la suspension et la lyre
j a(j) σj γj b j αj dj θj rj Commentaires
ld ch 0 0 0 0 0 θld 0 Lyre
pd 1d 0 0 0 0 L1d=L1g θpd 0 Rotation pivot (liaison lyre- amortisseur)
bd ch 0 γ3d 0 0 L3d=L3g θbd 0 Rotation pivot (châssis- bras parallélogramme

inférieur)
cd pd 0 0 0 0 L2d θ4d 0 Articulation « coupure »
c’d cd 2 0 0 0 L4d=L4g 0 0 Articulation bloquée
Avec :
les repères Rld, Rpd et Rbd désignent respectivement les repères liés à la lyre avant, à la
suspension droite et au bras inférieur du parallélogramme droit.
les repères Rcd et Rc’d désignent les repères de part et d’autre du point d’ouverture de
la boucle.
Les équations de fermeture de la boucle sont :
118
 3d  ld   pd  bd  cd  0 ( 4.10 )
 L12d  L22d  L23d  L24d  2L4d L2d coscd  2L1d L3d cos( 3d  ld )  0 ( 4.11 )
L4 d cos bd  L2 d cos(bd  cd )   L3d  L1d cos( 3d  ld )

L4 d sin bd  L2 d sin(bd  cd )   L1d sin( 3d  ld )
( 4.12 )
A partir de l’équation ( 4.11 ), nous obtenons :
 L12d  L22 d  L23d  L24 d  2L3d L1d cos( 3d  1d )

cd   cos1 ( ) ( 4.13 )
2 L4 d L2 d
( L4 d  L2 d cos cd )( L1d sin( 3d  ld ))  ( L2 d sin cd )( L3d  L1d cos( 3d  ld ))
sin bd 
L24 d  L22 d  2 L2 d L4 d cos cd
( 4.14 )
( L  L2 d cos cd )( L3d  L1d cos( 3d  ld ))  L2 d sin  4 d L1d sin( 3d  ld )
cos bd  4 d
L24 d  L22 d  2 L2 d L4 d cos cd
Alors bd  tan 1 (sin bd / cos bd )
θpd est calculée de l’équation ( 4.10 ) :
 3d  ld  bd  cd   pd
2.2.3. Modèle articulaire du train avant

Après la résolution des équations de contraintes des boucles du train avant, nous présentons
un modèle articulaire de ce dernier sur la figure ( 4.14 ). Les paramètres géométriques de la
structure arborescente du train avant sont présentés par le tableau 4-4.
x31, x31’ x30

L10 x29 L10
z L14 L14z31’ u30
u29 29 z1’’’ z30
z19 z32 z25 x25
z20, z21 z34
x32 L13 z26, z27
x20, x21 x19 L11 z33 x34 z35 L11
x18 z17 z x24 x26, x27
Ra r33 r35 23 Ra
z31
z22 z18 u17 L12 u23 L10 z28
L 10 z24
x22 z1’’ L9 x28
x17 x33 L9 x35 x23
z1 L8
x1
u1’’
Figure 4.14 : Modèle articulaire du train avant de la Smera
119
Tableau 4-4 : Paramètres géométriques du train avant

1’’ 1 2 0 -L7 π/2 L8 π/2 0 Articulation bloquée
17 1’’ 0 0 -L9 π/2 0 q17 0 Rotation parallélogramme G
18 17 0 0 0 0 L10 q18 0 Rotation parallélogramme G
19 18 0 0 0 π/2 0 q19 L11 Braquage gauche
20 19 2 0 0 π/2 0 0 0 Articulation bloquée
21 20 0 0 0 0 0 q21 0 Rotation roue AVG
22 20 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (repère point de
contact AVG)
23 1’’ 0 0 L9 π/2 0 q23 0 Rotation parallélogramme D
24 23 0 0 0 0 L10 q24 0 Rotation parallélogramme D
25 24 0 0 0 0 0 q25 L11 Braquage droite
26 25 2 0 0 -π/2 0 π 0 Articulation bloquée
27 26 0 0 0 0 0 q27 0 Rotation roue AVD
28 26 2 0 0 -π/2 0 π -Ra Articulation bloquée (repère point de
contact AVD)
1’’’ 1’’ 2 0 0 0 2L11 0 0 Articulation bloquée
29 1’’’ 0 0 -L9 π/2 0 q29 0 Rotation parallélogramme G
30 1’’’ 0 0 L9 π/2 0 q30 0 Rotation parallélogramme D
31 1’’ 0 0 0 π/2 L12 q31 0 Lyre
31’ 31 2 0 0 0 L13 0 0 Articulation bloquée
32 31’ 0 -π/2 0 0 L14 q32 0 Rotation pivot
33 32 1 0 0 π/2 0 0 q33 Débattement de suspension AVG
34 31’ 0 -π/2 0 0 -L14 q34 0 Rotation pivot
35 34 1 0 0 π/2 0 0 q35 Débattement de suspension AVD
Avec :
q17, q18 et q19 représentent les rotations du parallélogramme gauche ;
q23, q24 et q30 représentent les rotations du parallélogramme droit ;
q21 et q27 représentent les positions angulaires des roues avant gauche et droite, autour
de leur axe de rotation ;
q19 et q25 représentent respectivement les angles de braquage des deux roues avant
gauche et droite ;

avant gauche et droite et sont égales respectivement à L2g et L2d ;
q31 représente la rotation de la lyre avant autour de son axe de rotation ;
L1g  L1d  L13

2
 L14
2
L3 g  L3d  L29  L12

2
120
les 3 repères R1, R1’’, R1’’’ sont fixés au châssis (corps C1) ;
La matrice d’orientation des repères de contact avec le sol R22 et R26 par rapport au
repère R1 dépend respectivement de l’angle de braquage q19 ou q25 respectivement.
Les figures suivantes représentent le calcul des coordonnées articulaires du train avant en
fonction des variables utilisés dans les sections 2.2.1 et 2.2.2 :
q17 u17 x31, xch

2*off1
q17 z19,u17
γ3g
q18 θ1g θ1d

x17
θbg
ubg
x18 lg  Klyre  off1
q17   3g  bg x17 q18  q17   / 2 l d  Klyre  off1
off1 u23
xld
xlg off1
θp g
q34 q23
θpd
q32
u32 γ3d
u32
xpg , z32 xpd ,z35

-θbd x23
x32 x34 ubd
q32   pg    off1 q34   pd    off1 q23   3d  bd

q29 q30
z25,u23
x29
x30
q23
q17
q23
q24 x24
x17 x18
x23
q29  q17 q24   / 2  q23 q30  q23
Figure 4.15 : Coordonnées articulaires du train avant
3. Modèle cinématique de la Smera
Le modèle cinématique de la Smera permet de décrire les dérivées des variables dépendantes
cinématiquement en fonction des dérivées des variables indépendantes.
Soit qe_l, le vecteur de configuration des 32 degrés de liberté, composé par le vecteur ξ (6x1) de
posture du véhicule, et les coordonnées articulaires de la structure arborescente de la Smera :
121
Modèle cinématique de la Smera
T
qe _ l  qind
T T
qdep  ( 4.15 )
Avec :
qind   x y z    q2 q5 q8 q33 q35 q21 q27 q11 q15 q19 q25 

T
qdep   q3 q4 q9 q6 q7 q13 q17 q18 q29 q23 q24 q30 q31 q32 q34 
T
Nous notons que les variables indépendantes sont soit motorisées comme la lyre arrière (q2), la
rotation des roues arrières actionnées (q11, q15) , soit obtenues par l’intégration du modèle
dynamique comme les six degrés de liberté du châssis (x, y, z, θ, Φ, ψ), les débattements des
suspensions (q5, q8, q33, q35), les rotations des roues avant (q21, q27) et les angles de braquage sur
les deux roues avant (q19, q25).
T
qve _ l  qvind
T T
qdep  (4.16 )
Avec :
T
qvind   1V1x 1
V1y 1
V1z 1x
1
1y
1
1z q2 q5 q8 q33 q35 q21 q27 q11 q15 q19 q25 
1
T
La résolution des équations de contraintes des boucles (parallélogramme, ….) se ramène à :
q17  bg q18  q17 q32   pg q29  q17 lg  Klyre

q23  bd q24  q23 q34   pd q30  q23 ld  Klyre
Soit qae_l, le vecteur accélération de configuration des 32 degrés de liberté :
T
qae _ l  qaind
T T
qdep  (4.17 )
Avec :
T
qaind   1V1x 1
V1y 1
V1z 1x
1
1y
1
1z q2 q5 q8 q33 q35 q21 q27 q11 q15 q19 q25 
1
T
q17  bg q18  q17 q32   pg q29  q17 lg  Klyre

q23  bd q24  q23 q34   pd q30  q23 ld  Klyre
Dans la suite nous établissons les relations qui calculent respectivement qdep et qdep en fonction
de qvind et qaind à travers les équations de contraintes cinématiques de fermeture des boucles.
122
3.1. Train arrière
Dans cette section, nous présentons le calcul des vitesses articulaires des articulations
dépendantes du train arrière  q3 q4 q9 q6 q7 q13  en fonction des vitesses
articulaires  q2 q5 q8  .
3.1.1. Demi -train arrière gauche

Les repères R5 et R9 sont fixés au bras gauche arrière du véhicule (Figure 4.9 ). La position 9P5
entre les deux origines étant constante, on a :
 Lp 
 
9
P5  cte   f p 
g p 
 
La coupure de la boucle arrière gauche est réalisée au niveau de la rotule inférieure. Son centre
est confondu avec l’origine du repère R5 et sa vitesse linéaire peut être calculée en parcourant
les deux branches (a et b) de part et d’autre de l’articulation coupée (Figure 4.9 ).
Vu que la base de la boucle est le châssis qui est un corps mobile, ses vitesses linéaires et
angulaires vont se propager tout au long des deux branches jusqu’au point de coupure. En
égalisant les vitesses linéaires des extrémités des 2 branches par rapport à la base mobile, la
vitesse de la base mobile est éliminée des relations. Il est donc possible de mettre à zéro les
vitesses linéaires et angulaires du châssis (corps C1) a priori pour le calcul des relations de
contrainte de fermeture.
La vitesse linéaire du repère R5 à travers la branche « a » s’exprime par l’équation
V5( a )  1R5 5V5

1
( 4.18 )
Avec :
1
R5 , la matrice d’orientation entre le repère R1 et R5
 cos q4 sin q3  cos q3 sin q3 sin q4 

 
1
R5  cos q2 cos q3 cos q4  sin q2 sin q4 cos q2 sin q3  cos q4 sin q2  cos q2 cos q3 sin q4 
 
cos q3 cos q4 sin q2  cos q2 sin q4 sin q2 sin q3 cos q2 cos q4  cos q3 sin q2 sin q4 
5
V5 , le vecteur vitesse du repère R5 par rapport au repère R1 exprimé dans le repère R5
cos q4 cos q3 L2 q2  sin q4 L1q2  q5 (q4  cos q3q2 ) 

 
5
V5   L2 q2 sin q3  q5 (q3 sin q4  cos q4 q2 sin q3 ) 
 
 q5  sin q4 cos q3 L2 q2  cos q4 L1q2 
Ceci ramène à l’équation suivante :
123
 
 
 cos q4 sin q3q5 q4  cos q3q5 q3 sin q4  sin q3 sin q4 q5 
 
(cos q cos q cos q q  sin q sin q q ) q  (  sin q L  sin q sin q q cos q  cos q L  cos q q cos q ) q
V5a  
1 2 3 4 5 2 4 5 4 2 1 2 4 5 3 2 2 2 5 4 2
  cos q2 sin q3q5 sin q4 q3  (cos q2 cos q3 sin q4  cos q4 sin q2 )q5  ( 4.19 )
 
 (sin q cos q cos q q  cos q sin q q )q  (cos q L  cos q sin q q cos q  sin q L  sin q q cos q )q 
 2 3 4 5 2 4 5 4 2 1 2 4 5 3 2 2 2 5 4 2

  sin q2 sin q3q5 sin q4 q3  (sin q2 cos q3 sin q4  cos q4 cos q2 )q5 
La vitesse linéaire du repère R5 à travers la branche « b» s’exprime par la relation suivante

(Figure 4.9 ) :
1
V5( b )  1R9 9V5 ( 4.20 )
Avec :
1
cos q9  sin q9 0
1
R9   0 0 1
 
 sin q9 cos q9 0 
9
V5 , le vecteur vitesse du repère R5 exprimé dans le repère R9
9
V5  9V9  99  9 P5
0   0   Lp    q9 f p 
 
 0    0    f p    Lp q9 
     
0   q9   g p   0 
Nous obtenons :
  cos q9 q9 f p  sin q9 Lp q9 
 
1
V5b   0  ( 4.21 )
  sin q9 q9 f p  cos q9 Lp q9 
 
Egalisons 1V5(a) et 1V5(b) et mettons l’équation correspondante sous une forme matricielle telle :
 q3 
q 
S1  q4   N1  5 
 q9   q2  ( 4.22 )
Avec :
124
 cos q3q5 sin q4 cos q4 sin q3q5 cos q9 f p  sin q9 L p 

 
S1    cos q2 sin q3q5 sin q4 cos q2 cos q3 cos q4 q5  sin q2 sin q4 q5 0 
  sin q2 sin q3q5 sin q4 sin q2 cos q3 cos q4 q5  cos q2 sin q4 q5 sin q9 f p  cos q9 L p 

  sin q3 sin q4 0 

N1    cos q2 cos q3 sin q4  cos q4 sin q2 sin q2 L1  sin q2 sin q4 q5 cos q3  cos q2 L2  cos q2 q5 cos q4 
  sin q2 cos q3 sin q4  cos q4 cos q2  cos q2 L1  cos q2 sin q4 q5 cos q3  sin q2 L2  sin q2 q5 cos q4 
3.1.2. Demi -train arrière droit

Les repères R8 et R13 sont fixés au bras droit arrière du véhicule (Figure 4.9). La position 13P8
entre les deux origines étant constante, on a :
 Lp 
 
13
P8  cte    f p 
 gp 
 
D’une façon similaire, la coupure de la boucle arrière droite se situe au niveau de la rotule
inférieure. Son centre est confondu avec l’origine du repère R8 et sa vitesse linéaire peut être
calculée en parcourant les deux branches (c et d) de part et d’autre de l’articulation coupée
(Figure 4.9 ).
La vitesse linéaire du repère R8 à travers la branche « c » s’exprime par l’équation suivante :

1
V8( c )  1R8 8V8
( 4.23 )
Avec :
1
  cos q7 sin q6  cos q6  sin q6 sin q7 


R8  cos q2 cos q7 cos q6  sin q2 sin q7
1
 cos q2 sin q6  cos q7 sin q2  cos q2 cos q6 sin q7 
 
cos q7 cos q6 sin q2  cos q2 sin q7  sin q2 sin q6 cos q2 cos q7  cos q6 sin q2 sin q7 
8
V8 , le vecteur vitesse du repère R8 par rapport au repère R1 exprimé dans le repère R8
  cos q7 cos q6 L2 q2  sin q7 L1q2  q8 (q7  cos q6 q2 ) 

8
V8   L2 q2 sin q6  q8 (q6 sin q7  cos q7 q2 sin q6 ) 

 q8  sin q7 cos q6 L2 q2  cos q7 L1q2 
Ceci ramène à l’équation suivante :
125
 
  cos q7 sin q6 q8 q7  cos q6 q8 q6 sin q7  sin q7 sin q6 q8 
 
 
(cos q7 cos q2 cos q6 q8  sin q7 sin q2 )q7  ( sin q2 L1  sin q7 sin q2 q8 cos q6  cos q2 L2  cos q2 q8 cos q7 )q2 
1
V8( c ) 
  cos q2 sin q7 sin q6 q8 q6  (cos q2 cos q6 sin q7  cos q7 sin q2 )q8 
  ( 4.24 )
( cos q sin q q  cos q cos q sin q q )q  (cos q L  cos q sin q q cos q  sin q L  sin q q cos q )q 
 2 7 8 7 6 2 8 7 2 1 2 7 8 6 2 2 2 8 7 2

  sin q2 sin q7 sin q6 q8 q6  (sin q2 cos q6 sin q7  cos q7 cos q2 )q8 
La vitesse linéaire du repère R8 à travers la branche «d» s’exprime par la relation suivante :
V8( d )  1R13 13V8

1
( 4.25 )
Avec :
1
 cos q13  sin q13 0

1
R13   0 0 1
 
  sin q13  cos q13 0 
13
V8 , le vecteur vitesse du repère R5 exprimé dans le repère R9
V8  13V13  1313  13 P8
13
0   0   Lp   q13 f p 
 
 0    0     f p    Lp q13 
     
0   q13   g p   0 
Nous obtenons :
 cos q13q13 f p  sin q13 Lp q13 
 
1
V8( d )  0  ( 4.26 )
  sin q13q13 f p  cos q13 Lp q13 
 
Egalisons 1V8(c) et 1V5(d) et mettons l’équation correspondante sous une forme matricielle telle
que :
 q6 
q 
S2  q7   N 2  2 
 q13   q8  ( 4.27 )
Avec :
  cos q6 q8 sin q7  cos q7 sin q6 q8  cos q13 f p  sin q13 L p 

 
S2    cos q2 sin q6 q8 sin q7 cos q2 cos q7 cos q6 q8  sin q2 sin q7 q8 0 
  sin q2 sin q6 q8 sin q7 cos q2 cos q7 cos q6 q8  cos q2 sin q7 q8 sin q13 f p  cos q13 L6 p 

126
 0 sin q7 sin q6 

N 2   sin q2 L1  sin q2 sin q7 q8 cos q6  cos q2 L2  cos q2 q8 cos q7  cos q2 cos q6 sin q7  cos q7 sin q2 
  cos q2 L1  cos q2 sin q7 q8 cos q6  sin q2 L2  sin q2 q8 cos q7  sin q2 cos q6 sin q7  cos q7 cos q2 
3.1.3. Relations entre les vitesses et les accélérations du train arrière
Les équations ( 4.22) et ( 4.27) permettent d’écrire :

 q3 
q 
 4 q 
 S1(3 x 3) 0(3 x 3)   q9   N1(3 x 2) 0(3 x1)   5 
0  
S2(3 x 3)   q6   0(3 x1) N 2(3 x 2)   2 
q
 (3 x 3)
 q7   q8 
 
 q13 
 q3 
q 
 4 q   q5 
 q   S 1 0(3 x3)   N1(3 x 2) 0(3 x1)   5 
  9    1 (3 x 3)    q2   Jt1  q2 
 q6   0(3 x 3) S21(3 x 3)   0(3 x1) N 2(3 x 2)  ( 4.28 )
 q7   q8   q8 
 
 q13 
Avec :
 S11(3 x 3) 0(3 x3)   N1(3 x 2) 0(3 x1) 

Jt1   
 0(3 x 3) S21(3 x3)   0(3 x1) N 2(3 x 2) 
La dérivée des équations ( 4.22) et ( 4.27) mène respectivement aux équations ( 4.29) et ( 4.30) :
 q3   q3 
 q5   q5 
S1  q4   N1    N1    S1  q4 
 
 q9   q2   q2   q9 
( 4.29 )
 q6   q6 
 q2   q2 
S2  q7   N 2    N 2    S2  q7 
 
 q13   q8   q8   q13 
( 4.30 )
Avec S1 , N1 , S2 et N2 représentent respectivement les dérivées temporelles des termes des

matrices S1 , N1 , S2 et N 2 .
En combinant les deux équations ( 4.29 ) et ( 4.30 ), nous obtenons :
127
 q3 
q 
 4  q5 
 q9   
   Jt1  q2   Y 1
 q6   q8 
( 4.31 )
 q7 
 
 q13 
  q3  
 q 
 q   4 
Avec :  S11(3 x 3) 0(3 x 3)    N1(3 x 2) 0(3 x1)   5   S1(3 x 3) 0(3 x 3)  q9  

Y1     q    
 0(3 x 3) S21(3 x 3)    0(3 x1) N 2(3 x 2)   2   0(3 x 3) S2(3 x 3)   q6  
 q8 
  q7  
   

  q13  
3.1.4. Relations entre les vitesses et les accélérations du train avant

Dans cette section nous allons calculer les vitesses des articulations dépendantes du train avant
en fonction des vitesses articulaires des débattements des suspensions et de la vitesse de roulis
du véhicule. L’équation (2.43 ) nous permet d’écrire la vitesse de roulis en fonction du vecteur
vitesse angulaire du châssis exprimé dans le repère R1. Ceci se traduit par l’équation ( 4.32):
  x  tg sin  y  tg cosz ( 4.32 )
3.1.5. Demi-train avant gauche

La dérivée des relations de l’équation ( 4.5) conduit à un système d’équations sous la forme :
X 1gbg  Y1g (bg  cg )  Z1g
( 4.33 )
X 2 gbg  Y2 g (bg  cg )  Z 2 g
Avec :
X1g   L4 g sin bg Y1g  q33 sin(bg  cg ) Z1g  L1g sin( 3 g  lg )lg  q33 cos(bg  c g )
X 2 g  L4 g sin bg Y2 g  q33 cos(bg  cg ) Z2 g  L1g cos( 3 g  lg )lg  q33 sin(bg  c g )
La résolution du système précédent donne :

Z Y  Z 2 gY1g
bg  1g 2 g ( 4.34 )
Y2 g X 1g  Y1g X 2 g
Z1g ( X 2 g  Y2 g )  Z 2 g ( X 1g  Y1g )
cg  ( 4.35 )
Y2 g X1g  Y1g X 2 g
A partir de la dérivée de l’équation ( 4.3 ), nous obtenons :
128
 pg  lg  bg  cg

( 4.36 )
La dérivée du système de l’équation ( 4.33 ) s’écrit sous la forme

X 1gbg  Y1g (bg  cg )  M1g
X 2 gbg  Y2 g (bg  cg )  M 2 g ( 4.37 )
Avec :
M1g   X1gb g  Y1g (b g  c g )  Z1g M 2 g   X 2 gb g  Y2 g (b g  c g )  Z2 g
X 2 g  L4 gbg cos bg Y1g  q33 cos(bg  cg )  q33 (bg  cg )sin(bg  cg )
Z1g  L1g cos( 3 g  lg )lg  L1g sin( 3 g  lg )lg2  q33 cos(bg  c g )  q33 (bg  c g )sin(bg  c g )
Z2 g  L1g cos( 3 g  lg )lg  L1g sin( 3 g  lg )lg2  q33 sin(bg  c g )  q33 (bg  c g ) cos(bg  c g )
La résolution de l’équation ( 4.37 ) donne :
M1gY2 g  M 2 gY1g
bg  ( 4.38 )
Y2 g X 1g  Y1g X 2 g
M1g ( X 2 g  Y2 g )  M 2 g ( X 1g  Y1g )
cg 
Y2 g X1g  Y1g X 2 g ( 4.39 )

 pg  lg  bg  cg
( 4.40 )
3.1.6. Demi-train avant droit

La dérivée des relations de l’équation ( 4.12 ) conduit à un système d’équation sous la forme :
X 1dbd  Y1d (bd  cd )  Z1d
X 2 dbd  Y2 d (bd  cd )  Z 2 d ( 4.41 )
Avec :
X1d   L4d sin bd Y1d  q35 sin(bd  cd ) Z1d  L1d sin( 3d  l d )l d  q35 cos(bd  cd )
X 2d  L4d sin bd Y2d  q35 cos(bd  cd ) Z2d  L1d cos( 3d  l d )l d  q35 sin(bd  cd )
La résolution du système précédent donne :

Z Y  Z 2 d Y1d
bd  1d 2 d ( 4.42 )
Y2 d X 1d  Y1d X 2 d
Z1d ( X 2 d  Y2 d )  Z 2 d ( X 1d  Y1d )
cd  ( 4.43 )
Y2 d X 1d  Y1d X 2 d
129

 pd  ld  bd  cd
( 4.44 )
La dérivée du système de l’équation ( 4.41 ) s’écrit sous la forme

X 1dbd  Y1d (bd  cd )  M 1d
X 2 dbd  Y2 d (bd  cd )  M 2 d ( 4.45 )
Avec :
M1d   X1dbd  Y1d (bd  cd )  Z1d M 2d   X 2dbd  Y2d (bd  cd )  Z 2d
X 2d  L4dbd cos bd Y1d  q35 cos(bd  cd )  q35 (bd  cd )sin(bd  cd )
Z1d  L1d cos( 3d  l d )l d  L1d sin( 3d  l d )l2d  q33 cos(bd  cd )  q33 (bd  cd )sin(bd  cd )
Z2d  L1d cos( 3d  l d )l d  L1d sin( 3d  l d )l2d  q33 sin(bd  cd )  q33 (bd  cd ) cos(bd  cd )
La résolution de l’équation ( 4.45 ) donne :

M1d Y2 d  M 2 d Y1d
bd  ( 4.46 )
Y2 d X 1d  Y1d X 2 d
M1d ( X 2 d  Y2 d )  M 2 d ( X 1d  Y1d )
cd 
Y2 d X1d  Y1d X 2 d ( 4.47 )

 pd  ld  bd  cd
( 4.48 )
3.1.7. Train avant

Les équations de vitesses des sections 3.1.5, 3.1.6 et l’équation (4.16 ) permettent d’exprimer les
vitesses articulaires dépendantes du train avant en fonction de la vitesse articulaire des
débattements de suspensions avant ( q33 , q35 ) et de la vitesse du roulis  sous la
forme suivante :
 
 
 q17 q18 q29 q23 q24 q30 q31 q32 q34 
T
 O2  q33 
  ( 4.49 )
 q35 
 
Avec :
O2, la matrice de dimension (9x3) qui dépend des variables articulaire du train avant.
En tenant compte de l’équation ( 4.32 ), l’équation ( 4.49 ) s’écrit sous la forme :
130
 x 
 
 y 
 
 q17 q18 q29 q23 q24 q30 q31 q32 q34 T  Jt2  z 
  ( 4.50 )
 q33 
 
 q35 
Avec : Jt2  O2 (:,1) O2 (:,1)tg sin  O2 (:,1)tg cos  O2 (:, 2 : 3) 
La dérivée de l’équation ( 4.32 ) donne :

  x  tg sin  y  tg cos z  ( sin   tg cos  ) y
cos 2 
 ( 4.51 )
( cos   tg sin  )z
cos 
2
Les équations d’accélérations des sections 3.1.5, 3.1.6 et l’équation (4.17 ) permettent
d’exprimer les accélérations articulaires dépendantes du train avant en fonction des
accélérations articulaires des débattements de suspensions avant ( q33 , q35 ) et de l’accélération
du roulis  sous la forme suivante :
 
 
 q17 q18 q29 q23 q24 q30 q31 q32 q34 
T
 O2  q33   O3
  ( 4.52 )
 q35 
 
Avec :
T
O3  O2  q33 q35 
En tenant compte de l’équation ( 4.51 ), l’équation précédente s’écrit sous la forme :
 x 
 
 y 
 
 q17 q18 q29 q23 q24 q30 q31 q32 q34 
T
 Jt2   z   Y2
  ( 4.53 )
 q33 
 
 q35 
Avec :
 sin  cos
Y2  O3  O2 (:,1)[ y (   tg cos )   z ( 2   tg sin  )]
cos ( )
2
cos ( )
131
3.2. Relation matricielles cinématique entre les variables dépendantes et
indépendantes
Elle exprime la relation entre le vecteur vitesse des articulations dépendantes qdep et celui des
articulations indépendantes qvind . Son expression est :
 0(6 x 6) Jt1 (:, 2) Jt1 (:,1) Jt1 (:,3) 0(6 x8) 

qdep  Jtqvind    qvind
0(9 x3) Jt2 (:,1: 3) 0(9 x3) Jt2 (:, 4 : 5) 0(9 x 6)  ( 4.54 )
La relation suivante exprime la relation entre le vecteur accélération qdep et le vecteur qaind :
Y1 
qdep  Jtqaind     Jtqaind  Y
Y2  ( 4.55 )
 Y1 
Avec : Y   
Y2 
Les paramètres dynamiques standards des corps réels du modèle à 32 ddl sont présentés dans
cette section.
Pour le châssis C1, les bras de suspension arrière C9 et C13, les lyres C2 et C31, les bras des
parallélogrammes C17, C18, C23, C24, C29, C30, les paramètres sont :
XXi, XYi, XZi, YYi, YZi, ZZi, MXi, MYi, MZi et Mi. (i = 1, 2, 9, 13, 17, 18, 23, 24, 29, 30, 31)
Pour les roues, corps C11, C15, C21 et C27:
 XXi, YYi, ZZi, Mi pour i= 11, 15, 21 et 27 (XXi= YYi);
Pour les suspensions, corps C5, C8, C33 et C35 :
 Ki, Fvi, Mi pour i= 5, 8, 33 et 35 ;
Les paramètres dynamiques sont présentés par le tableau suivant :
Tableau 4-5 : Paramètres dynamiques après regroupement du modèle à 32 ddl

132

5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M5 K5 Fv5 0
8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M8 K8 Fv8 0
10 XX11 0 0 XX11 0 0 0 0 0 M11 0 0 0
11 0 0 0 0 0 ZZ11 0 0 0 0 0 0 0
14 XX15 0 0 XX15 0 0 0 0 0 M15 0 0 0
15 0 0 0 0 0 ZZ15 0 0 0 0 0 0 0
20 XX21 0 0 XX21 0 0 0 0 0 M21 0 0 0
21 0 0 0 0 0 ZZ21 0 0 0 0 0 0 0
26 XX27 0 0 XX27 0 0 0 0 0 M27 0 0 0
27 0 0 0 0 0 ZZ27 0 0 0 0 0 0 0
33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M33 K33 Fv33 0
35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 M35 K35 Fv35 0
Nous signalons que les corps qui ne figurent pas dans le tableau 4-5 ont leurs paramètres
dynamiques nuls et les valeurs des paramètres dynamiques du tableau sont calculées avec le
modèle CAO de la Smera. Les valeurs numériques de ces paramètres ne sont pas
communiqués par raison de confidentialité.
Le système est en interaction avec le sol à travers les quatre roues. Les repères correspondants
à ces interactions sont R12, R16, R22 et R28. De façon similaire aux modèles 11 et 16 ddl, chaque
torseur est constitué de trois forces et trois moments suivant les trois axes. Les moments
suivant xj et yj sont négligés dans la suite et les forces suivant xj et yj sont définies par le modèle
de Pacejka. Le tableau 4-6 présente ainsi les forces et les couples appliqués par la structure sur
l’environnement.
133

12 -Fx12 -Fy12 -Fz12 -Cx12 -Cy12 -Cz12 Torseur avant gauche
16 -Fx16 -Fy16 -Fz16 -Cx16 -Cy16 -Cz16 Torseur avant droit

22 -Fx22 -Fy22 -Fz22 -Cx22 -Cy22 -Cz22 Torseur arrière gauche
28 -Fx28 -Fy28 -Fz28 -Cx28 -Cy28 -Cz28 Torseur arrière droit
Elles se représentent par la nullité des vitesses verticales des points de contacts avec le sol dans
le repère galiléen Rr.
r
V12 z  0 ; rV16 z  0 ; rV22 z  0 ; rV28 z  0 ( 4.56 )
L’équation s’écrit sous la forme d’un produit d’une matrice Jsmera et du vecteur qvind de
l’équation (4.16 ):
 rV12 z 
r  ( 4.57 )
 V16 z   J
smera qvind  0
 rV22 z 
r 
 V28 z 
Avec :
J smera la matrice de dimension (4x17) qui représente la jacobienne par rapport au

vecteur qvind .
d r d r d r d r
V12 z  0 ; V16 z  0 ; V22 z  0 ; V28 z  0 ( 4.58 )
dt dt dt dt
De même l’équation ( 4.58 ) s’écrit sous la forme suivante :
 rV12 z 
r 
d  V16 z  dqvind
 J smera  J smera qvind
dt  rV22 z  dt ( 4.59 )
r 
 V28 z 
 J smera qaind  smera
Avec :
134
 11z 1V1 y  11 y 1V1z 

 
smera  J smera qaind  J smera (:,1: 3)   11z 1V1x  11x 1V1z 
 11 y 1V1x  11x 1V1 y 
 
Le modèle dynamique inverse de la structure arborescente de la Smera s’écrit sous la forme (cf
Chapitre 2, section 2.8) :
 indar 
 ar     Aar qae _ l  H ar (qe _ l , qve _ l )
 depar 
( 4.60 )
 Aindar (17 x17) Ainddepar (17 x15)   qaind   H indar (17 x1) 
   
 Adepindar (15 x17) Adepar (15 x15)   qdep   H depar (15 x1) 
Les équations ( 2.37 ), ( 4.54 ), ( 4.55 ) et ( 4.60 ) permettent d’élaborer le modèle dynamique de
la structure fermée de la Smera comme suit (cf. Chapitre 2, section 2.8):
 fermé  ind fermé  indar  J tT  depar

( 4.61 )
 Aind fermé qaind  H ind fermé
Avec :
Aind fermé  Aindar  Ainddepar J t  J tT ( Adepindar  Adepar J t )

Hind fermé  Hindar  Ainddepar Y  J tT ( Adepar Y  H depar )
Pour maintenir les roues en contact avec le sol, les contraintes cinématiques correspondantes
doivent être considérées. Ceci ramène à l’équation suivante :
ind fermé   Aind fermé T

J smera   qaind   H ind fermé 
     ( 4.62 )
 0(4 x1)   J smera 0(4 x 4)  smera  smera (4 x1) 
Donc le modèle dynamique direct utilisé pour la simulation permet de calculer au même
moment, le vecteur accélération ainsi que les multiplicateurs de Lagrange représentant les
forces normales réparties sur les 4 points de contact.
135
Essai de simulation
1
 qaind   Aind fermé J Tsmera   ind fermé   H ind fermé  
        ( 4.63 )
 smera   J smera 0(4 x 4)    0(4 x1)  smera (4 x1)  
   
Rappelons que :
pour prendre en compte l’élasticité des articulations flexibles, un modèle de flexibilité

est mis en place (cf. Chapitre 2, section 2.6.1.1).
Pour (j=5, 8, 33 et 35)
 j   K j (q j  q j 0 )
les efforts liés aux degrés de liberté du châssis sont nuls (cf. Chapitre 2, section 3.4).
4. Essai de simulation
Dans cette section, le modèle dynamique direct de la Smera est simulé suivant plusieurs types
de trajectoires qui montrent un comportement différent du véhicule. L’architecture générale de
simulation détaillée au chapitre 3 est utilisée. Les entrées sont les couples moteurs de
propulsion, les couples générés par l’asservissement de l’angle de braquage ainsi que le couple
d’inclinaison appliqué à la lyre. Le premier scénario sollicite la dynamique longitudinale et le
deuxième la dynamique latérale. Ensuite, nous comparons le modèle de la Smera avec le
modèle 2 roues à 11 degrés de liberté.
4.1. Essai en freinage rectiligne
La Smera est soumise à un couple de freinage appliqué aux roues avant ( Figure 4.16). L’angle
de braquage est maintenue nul pour assurer un déplacement rectiligne. Les figures 4.17 et 4.18
présentent respectivement la vitesse et l’accélération longitudinale du véhicule. Nous
observons une accélération négative (décélération), entrainant le freinage de la Smera. Nous
présentons également l’angle de rotation de la lyre arrière sur la figure 4.19. Il est bien constant
tout au long du scénario, ce qui montre une dynamique d’inclinaison nulle.
136
10 0.1
Accélération longitudinale du véhicule (m/s2)

0 0
-0.1
-10
Couple de freinage (Nm)
-0.2
-20
-0.3
-30
-0.4
-40
-0.5
-50
-0.6
-60 -0.7
-70 -0.8
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.16 : Couple de freinage appliquée aux roues avant Figure 4.17 : Accélération longitudinale de la Smera
10 1.573
1.5725
Vitesse longitudinale du véhicule (m/s)
9
1.572
Angle de la lyre arrière (rd)
8 1.5715
1.571
7
1.5705
6
1.57
5 1.5695
1.569
4
1.5685
3 1.568
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.18 : Vitesse longitudinale du véhicule Figure 4.19 : Angle de la lyre arrière
Les figures 4.20 et 4.21 montrent le débattement des suspensions ainsi que l’angle de tangage
du véhicule. En freinage, nous observons une plongée du véhicule vers l’avant due à la
répartition de la charge sur les quatre points de contacts. La longueur des suspensions avant
diminue et celle de l’arrière augmente. Le glissement des roues avant et les forces
longitudinales correspondantes sont présentés respectivement sur les figures 4.22 et 4.23. Le
temps de calcul nécessaire pour cette simulation s’élève à 66 secondes.
137
Essai de simulation
-3
0.278 x 10
4
0.276
3.5
0.274
3
0.272
Angle de tangage (rd)

susp ARD
2.5
susp ARG
0.27
susp AVD
2
0.268 susp AVG
1.5
0.266
0.264 1
0.262 0.5
0.26 0
0.258 -0.5
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.20 : Débattement des suspensions Figure 4.21 : Angle de Tangage
0.4 50
Glissement longitudinal des roues avant (%)
0.2 glissement AVG 0

Forces longitudinales avant (N)
glissement AVD Fx AVD

0 Fx AVG
-50
-0.2
-100
-0.4
-150
-0.6
-200
-0.8
-1 -250
0 5 10 15 20 0 5 10 15 20
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.22 : Glissement longitudinal des roues avant Figure 4.23 : Forces longitudinales des roues avant
4.2. Essai en virage
Dans cet essai, le comportement latéral du véhicule et la dynamique du roulis sont étudiés en
réponse à des manœuvres de braquage (Figure 4.24). Les entrées du modèle sont :
Le couple de braquage résultant de la boucle de régulation entre la consigne de

référence et l’angle de braquage ;
La vitesse initiale du véhicule est 10 m/s en régime libre sans couple moteur appliqué
aux roues ;
Le couple d’inclinaison résultant de la commande d’inclinaison est appliqué à l’axe de

la lyre arrière.
138
0.025 100

0.02
80
0.015
Angle de braquage (rd)
0.01
60
0.005
0 40
-0.005
-0.01 20
-0.015
0
-0.02
-0.025 -20
0 5 10 15 20 25 30 0 50 100 150 200 250 300
Temps (s) Abcisse du cdg dans Rf/déplacement longitudinal (m)
Figure 4.24 : Angle de braquage Figure 4.25 : Trajectoire planaire du cdg de la Smera
Les figures 4.25 et 4.26 présentent respectivement la trajectoire effectuée par le véhicule dans le
repère Rr ainsi que l’angle de lacet correspondant.
0.8 0.15
0.7
Angle de roulis désirée et simulé (rd)
0.1
0.6
0.05
Angle de lacet (rd)
0.5
0.4 0
0.3 -0.05
0.2 Roulis simulé

-0.1 Roulis désiré
0.1
-0.15
0
-0.1 -0.2
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.26 : Angle de lacet Figure 4.27 : Angle de roulis désiré et simulé
Le couple d’inclinaison résulte de l’asservissement de l’angle d’inclinaison (roulis) à la valeur

de consigne. La figure 4.27 représente l’angle de roulis simulé et désiré. Nous présentons
également les angles de dérive avant et arrière et les forces latérales correspondantes,
respectivement sur les figures 4.28 et 4.29. La figure 4.30 montre la vitesse latérale et
l’accélération latérale du véhicule exprimées dans le repère Rf. Le temps de calcul nécessaire
pour cette simulation s’élève à 101 secondes.
139
Essai de simulation
0.6 600
dérive AVG Fy AVG

0.4 dérive AVD Fy AVD
400
dérive ARG Fy ARG
0.2 dérive ARD Fy ARD
Forces latérales (N)

Angle de dérive (°)
200
0
0
-0.2
-200
-0.4
-400
-0.6
-0.8 -600
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.28 : Angles de dérive Figure 4.29 : Forces latérales
6
Vitesse (m/s) et accélération latérale (m/s2) du véhicule dans Rf
acc lat
5 v lat
-1
-2
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 4.30 : Vitesse latérale et accélération latérale du véhicule dans Rf
4.3. Comparaison des modèles 11ddl et Smera
Dans cette section, nous comparons le modèle de la Smera et le modèle 2 roues à 11 degrés de
liberté. Le scénario proposé est un double virage (Figure 4.24) comme dans l’essai précédent.
Afin de comparer les deux modèles dont les structures cinématiques sont différentes, les
hypothèses de comparaison sont les suivantes :
les régulateurs d’inclinaison et de braquage, de type PD, sont identiques dans les
deux cas ;
un jeu de paramètres dynamiques est défini par des relations de symétrie et

d’homothétie ;
140
La projection des paramètres de la Smera sur le modèle 11ddl se traduit par le tableau
suivant :
Tableau 4-7 : Projection des paramètres inertiels

Modèle Smera Modèle à 11 ddl
Châssis Châssis
XX1, XY1, XZ1, YY1, YZ1, ZZ1, MX1, MY1, MZ1 XX1, XY1, XZ1, YY1, YZ1, ZZ1, MX1, MY1, MZ1
et M1. et M1.
Suspensions Suspensions
AV :K33, Fv33, M33 ; K35, Fv35, M35 ; AV: 2*K33, 2*Fv33, 2*M33 ;
AR: K5, Fv5, M5; K8, Fv8, M8. AR: 2*K5, 2*Fv5,2* M5 ;
Roues Roues
AV : XX21, YY21, ZZ21, M21 ; XX27, YY27, ZZ27, AV: 2*XX21, 2*YY21, 2*ZZ21, 2*M21;
M27.
AR: XX11, YY11, ZZ11, M11; XX15, YY15, ZZ15, M15. AR: 2*XX11, 2*YY11, 2*ZZ11, 2* M11.
L’inclinaison désirée des deux modèles est calculée par l’équation ( 3.12 )
Nous présentons dans les figures suivantes l’angle de roulis, de lacet et la trajectoire des deux
modèles. Pour une même consigne d’angle de braquage (Figure 4.24), nous obtenons deux
angles d’inclinaison désirés semblables, avec un écart maximal de 1.6% (Figure 4.31) ce qui
implique des trajectoires et des angles de lacet quasi égales (Figure 4.32 et Figure 4.33).
0.15 0.8
Roulis 11ddl 0.7 11ddl

0.1
Angle de roulis simulé et désiré (rd)
Roulis désiré 11ddl Smera

Roulis Smera 0.6
0.05 Roulis désiré Smera
Angle de lacet (rd)
0.5
0 0.4
-0.05 0.3
0.2
-0.1
0.1
-0.15
0
-0.2 -0.1
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps(s)
Figure 4.31 : Angle de roulis simulé et désiré Figure 4.32 : Angle de lacet
141
Essai de simulation
100

80
Smera
60 11 ddl
40
20
-20
0 50 100 150 200 250 300
Abcisse du cdg dans Rf/déplacement longitudinal (m)
Figure 4.33 : Trajectoire planaire du cdg
Nous présentons également les vitesses et les accélérations longitudinales, latérales des deux
modèles sur les figures 4.34 et 4.35.
Vitesse (m/s) et accélération (m/s2) longitudinale dans Rf
Vitesse (m/s) et accélération (m/s2) latérale dans Rf
12 7
acc Smera
6 v Smera
10
acc 11ddl
5 v 11ddl
8
4
6 acc Smera 3
v Smera
4 acc 11 ddl 2
v 11 ddl
1
2
0
0
-1
-2 -2
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
temps (s) temps (s)
Figure 4.34 : Vitesse longitudinale et accélération Figure 4.35 : Vitesse latérale et accélération latérale du
longitudinale du véhicule dans Rf véhicule dans Rf
Les couples articulaires appliqués respectivement sur l’axe de roulis du modèle 11ddl et sur
l’axe de la lyre arrière de la Smera sont présentés par la figure 4.36 . Nous observons des
oscillations sur le couple de la lyre qui n’existent pas sur le couple appliqué au modèle 11ddl.
Le système d’inclinaison « élastique »de la Smera composé de la lyre arrière et des deux
suspensions, contribue à l’apparition de ces oscillations. En augmentant donc le frottement
visqueux des suspensions arrière, les oscillations disparaissent comme le montre la figure 4.37 .
Nous remarquons également que le modèle 11ddl nécessite un couple d’amplitude inférieure à
celle du couple de la lyre de la Smera. De plus, l’accélération latérale perçue sur le modèle
11ddl est inférieure à celle perçue sur la Smera (Figure 4.38).
142
200 200
Couple d'inclinaison appliqué à la Smera (N.m)

150 150 frottement Fv
Smera frottement 2*Fv
11 ddl
Couple d'inclinaison (N.m)
100 100
50 50
0 0
-50 -50
-100 -100
-150 -150
-200 -200
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.36 : Couple d’inclinaison résultant de la commande Figure 4.37 : Couple d’inclinaison appliqué à la Smera en
du modèle de la Smera et du modèle 11 ddl augmentant le frottement visqueux des suspensions arrière
0.08
0.06
11 ddl
Accélération latérale perçue (m/s2)
Smera
0.04
0.02
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 4.38 : Accélération latérale perçue des deux modèles
Le modèle 11ddl permet de prédire le couple d’inclinaison de la Smera sur un temps limité de
0.2s après le braquage.
Vu que les deux modèles ont des structures cinématiques différentes (2 roues et 4 roues, action
directe sur l’axe du roulis et action à travers le système d’inclinaison…) et que les couples
d’inclinaison sont appliqués à des endroits différents dans les deux modèles, nous proposons
de prendre en compte ces aspects, en ajoutant au modèle 11 ddl un système virtuel composé de
deux raideurs, d’un frottement et d’une inertie en amont du couple appliqué sur l’axe de roulis
(Figure 4.39).
143
Essai de simulation
Kroulis
Kf  Mj 
Ia
moteur articulation
Fvroulis
Figure 4.39 : Modèle de flexibilité
Avec :
Kroulis est la raideur de torsion au niveau de l’articulation
Fvroulis est le frottement visqueux au niveau de l’arbre de transmission
Ia est l’inertie de l’actionneur exprimé côté articulaire
Kf est la raideur de torsion par rapport à la verticale du véhicule
L’introduction d’une flexibilité articulaire entraine une différence entre la position angulaire de
l’axe de l’actionneur (ddl rigide) et la position articulaire de l’articulation (ddl flexible). La
raideur Kf modélise sur la Smera le moment de rappel vers la position au repos verticale, du è
une déformation différentielle des ressorts de suspension arrière.
L’équation dynamique du couple appliqué au moment de roulis se met sous la forme :
roulis   Kroulis (  M )  Fvroulis (   M ) ( 4.64 )
L’équation dynamique du moteur se met sous la forme :
IaM  Kroulis (   M )  Fvroulis (   M )  K f  M  moteur ( 4.65 )
Nous obtenons donc un système de second ordre dont les paramètres fondamentaux
dépendent des raideurs Kroulis et Kf, du frottement visqueux FVroulis et de l’inertie Ia.
Dans la suite nous allons ajouter ce système flexible au modèle 11ddl et faire une analyse de
sensibilité et le comparer de nouveau au modèle de la Smera.
Dans un premier temps, nous négligeons la raideur Kf de rappel pour ne prendre en compte
que le ressort amortisseur entre le moteur et l’articulation.
La figure 4.40 présente le couple moteur pour une inertie Ia et une raideur Kroulis données en
faisant varier le frottement (Fv1<Fv2<Fv3). La figure 4.41 présente le couple moteur pour une
inertie Ia et un frottement visqueux Fvroulis donnés en faisant varier la raideur (K1<K2<K3).
Nous observons une augmentation de l’amplitude des oscillations lorsque le frottement
visqueux diminue et une diminution de l’amplitude lorsque la raideur diminue. La pseudo
période d’oscillation reste quasi invariable dans les deux cas.
144
200 200
150 150
100 100
Couple moteur (N.m)
Couple moteur (N.m)

50 50
0 0
-50 -50
11ddl Fv1 11ddl K3
-100 Smera -100 Smera
11ddl Fv2 11ddl K2
-150 11ddl Fv3 11ddl K1
-150
-200 -200
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.40 : Couple moteur en variant le frottement Figure 4.41 : Couple moteur en variant la raideur
visqueux
La prise en compte de la raideur Kf permet d’avoir un régime permanent quasi identique à

celui de la Smera, comme le montre la figure 4.42. L’augmentation de la raideur Kf (K1<K2)
augmente les amplitudes des oscillations alors que la pseudo-période reste quasi la même.
200
150 11 ddl K2
11ddl K1
100 Smera
Couple moteur (N.m)
50
-50
-100
-150
-200
0 5 10 15 20 25 30
Temps (s)
Figure 4.42 : Couple moteur en ajoutant la raideur Kf
De plus, nous agissons sur l’inertie Ia et le frottement visqueux Fvroulis pour obtenir une période
d’oscillation proche de celle de la Smera (Figure 4.43). L’augmentation de l’inertie augmente
l’amplitude du couple d’inclinaison appliqué à l’instant du braquage dans le but d’annuler
l’accélération latérale perçue. Celle-ci augmente comme le montre la figure 4.44.
145
Conclusion
400 0.15
11ddl
300 Smera 0.1 smera
Accélération latérale perçue (m/s2)

11ddl
200
0.05
Couple moteur (N.m)
100
0
0
-0.05
-100
-0.1
-200
-300 -0.15
-400 -0.2
0 5 10 15 20 25 30 0 5 10 15 20 25 30
Temps (s) Temps (s)
Figure 4.43 : Couple moteur en agissant sur l’inertie et le Figure 4.44 : Accélération latérale perçue
frottement visqueux
A partir de cette première analyse, nous constatons un couplage entre les raideurs, le
frottement et l’inertie qui agissent sur la réponse en couple à la sortie du correcteur. Le réglage
d’un paramètre affecte les autres d’où la nécessité d’identifier ces paramètres pour s’approcher
le plus possible du modèle de la Smera. L’ajout de ce système virtuel au modèle 11ddl a permis
d’une manière approchée, de reproduire le phénomène observé sur la Smera. Nous prouvons
également la nécessité de prendre en compte les modèles complets non simplifiés, pour étudier
des systèmes complexes. Le
5. Conclusion
Un modèle de la Smera a été élaboré en utilisant le formalisme robotique de Denavit &

Hartenberg modifié. La Smera, comportant 6 chaines fermées, est modélisé et simulé sur
différentes trajectoires. La résolution des équations de fermeture des chaines fermées a été
effectuée analytiquement ou numériquement selon la complexité des équations. Les relations
de vitesse entre les variables indépendantes et les variables dépendantes ont été établies et
utilisées dans l’élaboration du modèle dynamique de la structure fermée. L’interaction avec
l’environnement, à travers les contacts roue/sol, a été modélisée par le modèle de Pacejka. La
répartition de la charge sur les quatre roues a été calculée par des multiplicateurs de Lagrange,
exprimant le contact des roues avec le sol.
Un simulateur du comportement dynamique de la Smera a été réalisé. Il est modulaire et

modifiable et permet l’accès à toutes les variables d’accélération, de vitesse et de position.
146
Conclusion et perspectives
La modélisation et la simulation de la dynamique des véhicules constituent un outil

indispensable pour la réduction des coûts de développement et la limitation des essais
expérimentaux pour développer des véhicules sûrs et confortables. La conception de véhicules
innovants nécessite une modélisation précise de la dynamique du mouvement du véhicule. La
méthode adoptée dans cette thèse s'appuie sur les méthodes de modélisation couramment
utilisées en robotique. La voiture est modélisée par une structure multi-corps arborescente
décrite dans le formalisme de Denavit et Hartenberg modifié. Ce formalisme permet de
calculer de façon systématique et générique, pour tout type de véhicule, le modèle
géométrique, cinématique et dynamique. Nous avons traité le véhicule comme un robot
mobile à architecture arborescente (dans le cas des modèles 2 roues et 4 roues du chapitre 3) et
à architecture fermée contenant des chaines fermées (dans le cas du véhicule inclinable
« Smera » de LUMENEO du chapitre 4). Nous avons proposé des algorithmes simples à mettre
en oeuvre et à calculer que ce soit pour l’obtention du modèle dynamique inverse ou du
modèle dynamique direct. Pour cela, nous avons étendu les algorithmes de Newton-Euler au
cas des robots à base mobile et comportant des chaines fermées. Un simulateur a été conçu et
réalisé afin d’étudier et analyser le comportement dynamique de différents modèles de
véhicules.
Le chapitre 1 a introduit la réflexion sur la recherche de nouveaux moyens de transport pour

les zones urbaines. Ceux-ci doivent être :
peu énergivores ;
écologiques pour diminuer les émissions des gaz nocifs à la santé ;
maniables et étroits pour réduire les encombrements dans les villes et le problème de
stationnement.
Ce chapitre a également présenté différentes caractéristiques d’un véhicule, en termes

d’architecture et de composants, et la manière dont ces caractéristiques affectent son
environnement. La fin du chapitre présente un état de l’art des simulateurs de véhicule du
marché.
147
Dans le deuxième chapitre, nous nous sommes intéressés à la méthodologie de modélisation
des véhicules en utilisant le formalisme de la robotique. Le véhicule est considéré comme un
robot à base mobile dont la structure est constituée par des corps liés entre eux par des
articulations. La description géométrique de Denavit & Hartenberg modifiée a été présentée
ainsi que les algorithmes de calcul du modèle dynamique.
Le troisième chapitre a traité le cas d’étude de deux modèles de complexité croissante : un

modèle 2 roues à 11 degrés de liberté et un modèle 4 roues à 16 degrés de liberté. Les six degrés
de liberté du châssis et les dynamiques longitudinales, latérales et verticales ont été considérés
et le modèle de contact roue/sol utilise le modèle d’effort de Pacejka. Les équations
dynamiques du mouvement sont élaborées à travers l’algorithme de Newton-Euler et simulées
de manière structuée dans l’environnement Matlab/Simulink. Ce simulateur permet de
calculer les sorties du modèle dynamique direct, dont les entrées sont les couples de
motorisation du véhicule, le couple de braquage appliqué directement aux roues et le couple
d’inclinaison pour les véhicules étroits inclinables. Une commande en boucle fermée permet de
générer le couple de braquage nécessaire pour obtenir l’angle de braquage de référence ainsi
que le couple d’inclinaison permettant d’annuler l’accélération latérale perçue par les
occupants du véhicule. Ce chapitre a mis en évidence l’efficacité de la méthodologie de
description pour la simulation des véhicules à structure arborescente.
Le quatrième chapitre a été consacré au véhicule étroit inclinable « Smera », de Lumeneo. Sa

structure est complexe, composée de six chaines fermées. Une structure arborescente
équivalente comportant 32 degrés de liberté est obtenue par l’ouverture des chaines fermées et
par des équations de contrainte de fermeture de boucle. Le système d’inclinaison est piloté par
un moteur situé dans la partie arrière du véhicule et agissant directement sur les chaines du
train arrière par l’intermédiaire de la lyre arrière. Par suite, le châssis s’incline et entraine
l’inclinaison du train avant par l’intermédiaire de la lyre avant. Le modèle dynamique est
calculé en tenant compte les contraintes géométriques et cinématiques de fermeture des
boucles. Sur cette base et reprenant l’architecture de simulation introduite au chapitre 3, nous
avons simulé le comportement de la Smera selon différents scénarios.
La méthodologie de modélisation utilisée dans ce travail permet à partir du modèle

géométrique de décrire des systèmes complexes pour lesquels la description analytique n’est
plus manipulable à la main. Ceci est rendu possible par le caractère systématique et générique
de l’approche et l’utilisation du vecteur de variables descripteurs généralisées « q ». Le modèle
dynamique symbolique calculé d’une manière récursive par l’algorithme de Newton-Euler
possède un nombre d’opérations (+,*) optimisé et ses limites sont uniquement celles du calcul
symbolique (allocation de mémoire, …). De plus le modèle dynamique est linéaire par rapport
aux paramètres dynamiques, ce qui est favorable du point de vue de l’identification et de la
simplification des modèles.
148
Conclusion et perspectives
Au-delà de la description formelle de la démarche, cette thèse a abordé plusieurs cas d’étude,
soit à titre didactique, soit pour illustrer la simplicité de mise en œuvre de la méthodologie,
soit encore pour démontrer sa capacité a traité le cas de véhicules innovants et complexes pour
lesquels aucun simulateur commercial n’existe à ce jour. Enfin, nous avons comparé les
différents modèles simulés en expliquant dans quelle mesure les modèles les plus simples
pouvaient rendre compte, de manière approchée mais incomplète, du comportement de
modèles plus complexes.
Les perspectives liées à ce travail sont les suivantes :
Un travail plus poussé sur la modélisation des pneumatiques et la modélisation de

l’interaction roues-pneu/sol en considérant les efforts d’interaction aire de contact/sol, les
effets inertiels et la flexibilité de l’ensemble jante-pneumatique. La modélisation de
l’ensemble de ces phénomènes peut être réalisée par une chaine sérielle à 7 degrés de
liberté entre les repères du porte fusée et le repère de contact comme proposé dans
(Ripert 2006), (Ripert et al. 2006).
l’intégration d’un modèle dynamique de colonne de direction et d’un modèle

conducteur tenant compte des temps de réaction et les capacités neuromusculaires.
L’identification des paramètres dynamiques du véhicule inclinable en utilisant la

linéarité du modèle dynamique par rapport à ces paramètres. La méthode sera basée sur
les moindres carrées linéaires et l’identification peut se faire par des essais en simulations
ou sur un véhicule réel. Les variables eulériennes de la base mobile pourraient être
mesurées directement par une centrale inertielle fixé sur le châssis du véhicule, les
torseurs d’interaction roue-sol pourraient être mesurées par des roues dynamométriques
(Venture et al. 2006),(Gautier 2001),(Gautier, Vandanjon, et al. 2011), (Gautier, Janot, et al.
2011).
En terme de commande, le travail effectué devrait permettre de faire évoluer les

stratégies de commande à partir des modèles simplifiés et les évaluer sur des modèles
plus précis et complets. Le simulateur édité sous Matlab/simulink pourra être utilisé par
l’équipe commande de l’IRCCyN pour élaborer et tester des lois de commande
d’inclinaison robuste du type STC « Steering Tilt Control » ou DTC « Direct Tilt
Control » ou une combinaison des deux. (Mourad et al. 2011), (Kidane et al. 2006).
Une modélisation plus fine des chaines de transmission des efforts moteurs vers les
roues et vers la lyre.
149
150
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156
A. Annexe : Paramètres de base
Nous présentons dans cette partie, une méthode formelle pour calculer les paramètres
dynamiques d’une chaine poly-articulée. Elle consiste en un calcul du jeu minimal de
paramètres dynamiques, appelés aussi paramètres de base, caractérisant complètement le
modèle dynamique. L'utilisation de ces paramètres dans le calcul du modèle dynamique réduit
sa complexité sans introduire d’erreur. Les paramètres dynamiques de base sont obtenus à
partir des paramètres dynamiques standards en éliminant ceux qui n'ont pas d'effet sur le
modèle dynamique et en regroupant certains paramètres.
Calcul des paramètres de base en utilisant le modèle dynamique
Le modèle dynamique est linéaire par rapport aux paramètres dynamiques. Il s’écrit sous la forme :
  DK ( A.1 )
Avec :
D : matrice (nxNp), fonction de q, q, q et des paramètres géométriques ;
K : vecteur (Npx 1) contenant les paramètres inertiels standard ;
Np=11n
On peut tirer de l’équation (A.1)
a) si la colonne j de D est nulle (Dj = 0), le vecteur Γ ne dépend pas de Kj, donc le paramètre Kj
peut être mis à zéro sans affecter la valeur de Γ.
b) si la colonne Dj peut être exprimée sous forme linéaire des certaines autres colonnes Dp
On dit dans ce cas que le paramètre Kj est regroupé avec les paramètres Kp.
La création du jeu de paramètres KB repose donc sur l'étude des combinaisons linéaires des Dj.
De façon globale, en permutant les colonnes de D et les paramètres du vecteur K, on peut
exprimer la relation (A.1) par :
157
K 
   D1 D2   1 
K2  ( A.2 )
D1 représente les colonnes indépendantes de D pour tout q, q, q ;
D2 représente les colonnes dépendantes de telle sorte que D2 = D1β , avec β étant une
matrice constante.
On montre alors que :
  D1  K1   K 2   D1K B
( A.3 )
Avec KB le vecteur de paramètres de base : KB = [K1 + β K2].
Calcul des paramètres de base en utilisant l’énergie
A partir du modèle dynamique, le calcul des paramètres dynamiques de base s'avère souvent
long et fastidieux. Une méthode formelle est donnée dans (Khalil & Dombre 2002) et (Gautier
1990). Elle conduit aux règles générales simples sans avoir à calculer le modèle dynamique, ni
l'énergie. Cette méthode est basée sur la relation de l'énergie totale du corps j, linéaire par
rapport aux paramètres dynamiques.Les relations de regroupement se résument par les
équations suivantes :
Lorsque l’articulation j est rotoide, les paramètres YYj, MZj et Mj peuvent être
regroupés avec les paramètres des corps Cj et Cj-1 selon les formules suivantes :
XXR j  XX j  YY j
XXR j 1  XX j 1  YY j  2rj MZ j  rj2 M j
XYR j 1  XY j 1  d j S j MZ j  d j rj S j M j
XZR j 1  XZ j 1  d jC j MZ j  d j rj C j M j
YYR j 1  YY j 1  CC jYY j  2rj CC j MZ j  (d 2j  rj2CC j ) M j
YZR j 1  YZ j 1  CS jYY j  2rj CS j MZ j  rj2CS j M j
( A.4 )
ZZR j 1  ZZ j 1  SS jYY j  2rj SS j MZ j  (d  r SS j ) M j
2
j
2
j
MXR j 1  MX j 1  d j M j
MYR j 1  MY j 1  S j MZ j  rj S j M j
MZR j 1  MZ j 1  C j MZ j  rj C j M j
MR j 1  M j 1  M j
158
Annexe : Paramètres de base
Lorsque l’articulation j est prismatique, les paramètres de la matrice d’inertie du corps

j se regroupent avec ceux du corps j-1 selon les relations suivantes :
XXR j 1  XX j 1  CC j XX j  2CS j XY j  SS jYY j

XYR j 1  XY j 1  CS j C j XX j  (CC j  SS j )C j XY j  C j S j XZ j
-CS j C jYY j  S j S jYZ j
XZR j 1  XY j 1  CS j S j XX j  (CC j  SS j )S j XY j  C jC j XZ j
-CS j S jYY j -S j C jYZ j
YYR j 1  YY j 1  SS jCC j XX j  2CS jCC j XY j  2S jCS j XZ j
( A.5 )
+CC j CC jYY j -2C jCS jYZ j  SS j ZZ j
YZR j 1  YZ j 1  SS jCS j XX j  2CS jCS j XY j  S j (CC j  SS j ) XZ j
+CC j CS jYY j +C j (CC j  SS j )YZ j  CS j ZZ j
ZZR j 1  ZZ j 1  SS j SS j XX j  2CS j SS j XY j  2S jCS j XZ j
+CC j SS jYY j +2C jCS jYZ j  CC j ZZ j
Avec SS(.) = S(.)S(.) ; CC(.) = C(.)C(.) ; CS(.)=C(.)S(.)
Lorsque l’articulation j est bloquée, tous les paramètres inertiels du corps j se

regroupent avec ceux du corps j-1.
En outre, il existe des méthodes numériques permettant de déterminer les paramètres de base
(Gautier 1991). Le modèle minimal est obtenu par simplification du modèle complet, sans perte
d'information et sans approximation
159
B. Annexe : Algorithme de calcul numérique du
modèle géométrique inverse
Lorsqu'il n'est pas possible de trouver une forme explicite au modèle géométrique inverse, on
peut utiliser le modèle cinématique pour calculer itérativement une solution locale numérique
qd correspondant à une situation désirée 0Tnd
L'algorithme se résume par les étapes suivantes :
définir une configuration articulaire initiale qc (aléatoire ou courante) dans le domaine

articulaire accessible,
calculer la situation correspondante 0Tnc du repère outil en utilisant le modèle

géométrique direct ;
T
calculer l'écart dX  dX Tp dX Tr  entre la situation désirée 0Tnd et la situation

initiale T , tel que dX p  Pnd  Pnc et dX r  u
0
n
c
Avec : u et α désignant l'axe et l'angle correspondant à la rotation 0 Rnd  rot (u, )0 Rnc Pour
rester dans le domaine de validité du modèle cinématique, qui représente un développement
du premier ordre, on doit introduire à chaque pas de calcul des seuils Sp et Sr respectivement
sur dXp et dXr de sorte que :
dX p
 si dX p  S p , alors dX p  Sp
dX p
dX r
 si dX r  Sr , alors dX r  Sr
dX r
Lorsque dX est suffisamment petit, arrêter le calcul et prend qd  qc ;

0
calculer numériquement la matrice jacobienne directe J n (qc ) et sa pseudo inverse
J;
161
calculer la variation articulaire correspondante dq  J  dX ;
mettre à jour la configuration articulaire courante : qc  qc  dq ;
retourner à la deuxième étape.
Cet algorithme est rapide et se calcul en temps réel. Lorsque l'algorithme ne converge pas
après un nombre d'itérations prédéfini, il faut recommencer le calcul avec une nouvelle valeur
initiale.
162
C. Annexe : Paramètres Symoro+ modèles 11 ddl, 16
ddl et Smera
Modèle 11 ddl
(* General parameters *)
(* Robotname = 'modele11ddl' *)
NF = 10
NL = 10
NJ = 10
Type = 1 (* Tree *)
Ant = {0,1,2,3,4,4,1,7,8,8}
Sigma = {2,1,0,2,0,2,1,2,0,2}
B = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
d = {0,Lf,0,0,0,0,-Lr,0,0,0}
R = {0,r2,0,0,0,-Ra,r7,0,0,-Ra}
gamma = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
Alpha = {0,Pi,0,-Pi/2,0,-Pi/2,Pi,-Pi/2,0,-Pi/2}
Mu = {0,1,1,0,1,0,1,0,1,0}
Theta = {0,Pi,t3,0,t5,Pi,Pi,0,t9,Pi}
(* Dynamic parameters and external forces *)

XX = {XX1,0,0,0,XX5,0,0,0,XX9,0}
XY = {XY1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
XZ = {XZ1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
YY = {YY1,0,0,0,XX5,0,0,0,XX9,0}
YZ = {YZ1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
ZZ = {ZZ1,0,ZZ3,0,ZZ5,0,0,0,ZZ9,0}
MX = {MX1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
MY = {MY1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
MZ = {MZ1,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
M = {M1,M2,M3,0,M5,0,M7,0,M9,0}
IA = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
FV = {0,FV2,0,0,0,0,Fv7,0,0,0}
FS = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
FX = {0,0,0,0,0,-FX6,0,0,0,-FX10}
FY = {0,0,0,0,0,-FY6,0,0,0,-FY10}
FZ = {0,0,0,0,0,-FZ6,0,0,0,-FZ10}
CX = {0,0,0,0,0,-CX6,0,0,0,-CX10}
CY = {0,0,0,0,0,-CY6,0,0,0,-CY10}
CZ = {0,0,0,0,0,-CZ6,0,0,0,-CZ10}
163
(* Joints velocity and acceleration *)
QP = {0,QP2,QP3,0,QP5,0,QP7,0,QP9,0}
QDP = {0,QDP2,QDP3,0,QDP5,0,QDP7,0,QDP9,0}
(* Speed and acceleration of the base *)

W0 = {wx,wy,wz}
WP0 = {wpx,wpy,wpz}
V0 = {vx,vy,vz}
VP0 = {vpx,vpy,vpz}
(* Matrix Z *)
Z = {1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1}
(* Acceleration of gravity *)
G = {Gx,Gy,Gz}
Modèle 16 ddl
(* Robotname = 'modele16ddl' *)
NF = 19
NL = 19
NJ = 19
Type = 1 (* Tree *)
Ant = {0,1,2,3,4,4,1,7,8,8,10,1,12,13,13,15,16,17,17}
Sigma = {2,1,0,2,0,2,1,0,2,0,2,1,2,0,2,1,2,0,2}
B = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
d = {0,d2,0,0,0,0,d7,0,0,0,0,d12,0,0,0,d16,0,0,0}
R = {0,r2,0,0,0,-Ra,r7,0,0,0,-Ra,r12,0,0,-Ra,r16,0,0,-Ra}
gamma = {0,-off2,0,0,0,0,off2,0,0,0,0,-off12,0,0,0,off12,0,0,0}
Alpha = {0,Pi,0,-Pi/2,0,-Pi/2,Pi,0,-Pi/2,0,-Pi/2,0,-Pi/2,
0,-Pi/2,0,- Pi/2,0,-Pi/2}
Mu = {0,1,1,0,1,0,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0}
Theta = {0,-off2 + Pi,t3,0,t5,Pi,off2 + Pi,t8,0,t10,
Pi,-off12 + Pi,0,t14,Pi,off12 + Pi,0,t18,Pi}

XX = {XX1,0,0,0,XX5,0,0,0,0,XX10,0,0,0,XX14,0,0,0,XX18,0}
XY = {XY1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
XZ = {XZ1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
YY = {YY1,0,0,0,XX5,0,0,0,0,YY10,0,0,0,YY14,0,0,0,YY18,0}
YZ = {YZ1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
ZZ = {ZZ1,0,ZZ3,0,ZZ5,0,0,ZZ8,0,ZZ10,0,0,0,ZZ14,0,0,0,ZZ18,0}
MX = {MX1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
MY = {MY1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
MZ = {MZ1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
M = {M1,M2,M3,0,M5,0,M7,M8,0,M10,0,M12,0,M14,0,M16,0,M18,0}
IA = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
164
Annexe : Paramètres Symoro+ modèles 11 ddl, 16 ddl et Smera
FV = {0,FV2,0,0,0,0,FV7,0,0,0,0,FV12,0,0,0,FV16,0,0,0}
FS = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
FX = {0,0,0,0,0,-FX6,0,0,0,0,-FX11,0,0,0,-FX15,0,0,0,-FX19}
FY = {0,0,0,0,0,-FY6,0,0,0,0,-FY11,0,0,0,-FY15,0,0,0,-FY19}
FZ = {0,0,0,0,0,-FZ6,0,0,0,0,-FZ11,0,0,0,-FZ15,0,0,0,-FZ19}
CX = {0,0,0,0,0,-CX6,0,0,0,0,-CX11,0,0,0,-CX15,0,0,0,-CX19}
CY = {0,0,0,0,0,-CY6,0,0,0,0,-CY11,0,0,0,-CY15,0,0,0,-CY19}
CZ = {0,0,0,0,0,-CZ6,0,0,0,0,-CZ11,0,0,0,-CZ15,0,0,0,-CZ19}

QP = {0,QP2,QP3,0,QP5,0,QP7,QP8,0,QP10,0,QP12,0,QP14,0,QP16,0,QP18,0}
QDP =
{0,QDP2,QDP3,0,QDP5,0,QDP7,QDP8,0,QDP10,0,QDP12,0,QDP14,0,QDP16,0,QDP18,0}

W0 = {wx,wy,wz}
WP0 = {wpx,wpy,wpz}
V0 = {vx,vy,vz}
VP0 = {vpx,vpy,vpz}
(* Matrix Z *)
Z = {1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1}
G = {Gx,Gy,Gz}
Smera
(* Robotname = 'smera35ddl' *)
NF = 35
NL = 35
NJ = 35
Type = 1 (* Tree *)
Ant = {0,1,2,3,4,2,6,7,1,9,10,10,1,13,14,14,1,17,18,19,
20,21,1,23,24,25,26,26,1,1,1,31,32,33,34}
Sigma = {0,0,0,0,1,0,0,1,0,2,0,2,0,2,0,2,0,0,0,2,
0,2,0,0,0,2,0,2,0,0,0,0,1,0,1}
B = {0,b2,0,0,0,0,0,0,-L3,0,0,0,-L3,0,0,-L9,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
d = {0,0,L1,0,0,L1,0,0,-L4,L6,0,0,-L4,L6,0,0,d17,L10,0,0,
0,0,d23,L10,0,0,0,0,d9,d30,d31,d32,0,d34,0}
R = {0,r2,L2,0,r5,L2,0,r8,-L5,0,0,-Ra,-L5,0,0,-Ra,0,0,L11,0,
0,-Ra,0,0,L11,0,0,-Ra,0,0,0,0,r33,0,r35}
gamma = {0,Pi/2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-Pi + q9,0,0,0,Pi - q13,off17a,0,0,0,
0,0,off23a,0,0,0,0,0,off29a,off30a,off31a,off32a,0,off34a,0}
Alpha = {0,Pi/2,Pi/2,Pi/2,Pi/2,-Pi/2,-Pi/2,Pi/2,Pi/2,Pi,
0,-Pi/2,-Pi/2,0,0,-Pi/2,off17b,0,Pi/2,Pi/2,
165
0,-Pi/2,off23b,0,0,-Pi/2,0,-Pi/2,off29b,off30b,
off31b,0,Pi/2,0,Pi/2}
Mu = {1,1,1,1,1,1,1,1,1,0,1,0,1,0,1,0,1,1,1,0,
1,0,1,1,1,0,1,0,1,1,1,1,1,1,1}
Theta = {t1,t2,t3,t4,0,t6,t7,0,t9,0,
t11,Pi,t13,0,t15,Pi,off17c + t17,t18,t19,0,
t21,Pi,off23c + t23,t24,t25,Pi,t27,Pi,off29c + t29,off30c + t30,
off31c + t31,off32b + t32,0,off34b + t34,0}

XX = {XX1,XX2,0,0,0,0,0,0,XX9,XX11,
0,0,XX13,XX15,0,0,XX17,XX18,0,XX21,
0,0,XX23,XX24,XX26,XX27,0,0,0,0,
XX31,0,0,0,0}
XY = {XY1,XY2,0,0,0,0,0,0,XY9,0,
0,0,XY13,0,0,0,XY17,XY18,0,0,
0,0,XY23,XY24,0,0,0,0,0,0,
XY31,0,0,0,0}
XZ = {XZ1,XZ2,0,0,0,0,0,0,XZ9,0,
0,0,XZ13,0,0,0,XZ17,XZ18,0,0,
0,0,XZ23,XZ24,0,0,0,0,0,0,
XZ31,0,0,0,0}
YY = {YY1,YY2,0,0,0,0,0,0,YY9,XX11,
0,0,YY13,XX15,0,0,YY17,YY18,0,XX21,
0,0,YY23,YY24,XX26,XX27,0,0,0,0,
YY31,0,0,0,0}
YZ = {YZ1,YZ2,0,0,0,0,0,0,YZ9,0,
0,0,YZ13,0,0,0,YZ17,YZ18,0,0,
0,0,YZ23,YZ24,0,0,0,0,0,0,
YZ31,0,0,0,0}
ZZ = {ZZ1,ZZ2,0,0,0,0,0,0,ZZ9,0,
ZZ11,0,ZZ13,0,ZZ15,0,ZZ17,ZZ18,0,0,
ZZ21,0,ZZ23,ZZ24,0,0,ZZ27,0,0,0,
ZZ31,0,0,0,0}
MX = {MX1,MX2,0,0,0,0,0,0,MX9,0,
0,0,MX13,0,0,0,MX17,MX18,0,0,
0,0,MX23,MX24,0,0,0,0,0,0,
MX31,0,0,0,0}
MY = {MY1,MY2,0,0,0,0,0,0,MY9,0,
0,0,MY13,0,0,0,MY17,MY18,0,0,
0,0,MY23,MY24,0,0,0,0,0,0,
MY31,0,0,0,0}
MZ = {MZ1,MZ2,0,0,0,0,0,0,MZ9,0,
0,0,MZ13,0,0,0,MZ17,MZ18,0,MZ20,
0,0,MZ23,MZ24,0,0,0,0,0,0,
MZ31,0,0,0,0}
M = {M1,M2,0,0,M5,0,0,0,M9,M11,
0,M12,M13,M15,0,0,M17,0,0,M21,
0,0,M23,M24,M26,M27,0,0,0,0,
M31,0,M33,0,M35}
IA = {0,IA2,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
FV = {0,0,0,0,FV5,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,FV33,0,FV35}
FS = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0}
FX = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-FX12,0,0,0,-FX16,0,0,0,0,
0,-FX22,0,0,0,0,0,-FX28,0,0,0,0,0,0,0}
FY = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-FY12,0,0,0,-FY16,0,0,0,0,
166
Annexe : Paramètres Symoro+ modèles 11 ddl, 16 ddl et Smera
0,-FY22,0,0,0,0,0,-FY28,0,0,0,0,0,0,0}
FZ = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-FZ12,0,0,0,-FZ16,0,0,0,0,
0,-FZ22,0,0,0,0,0,-FZ28,0,0,0,0,0,0,0}
CX = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-CX12,0,0,0,-CX16,0,0,0,0,
0,-CX22,0,0,0,0,0,-CX28,0,0,0,0,0,0,0}
CY = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-CY12,0,0,0,-CY16,0,0,0,0,
0,-CY22,0,0,0,0,0,-CY28,0,0,0,0,0,0,0}
CZ = {0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-CZ12,0,0,0,-CZ16,0,0,0,0,
0,-CZ22,0,0,0,0,0,-CZ28,0,0,0,0,0,0,0}

QP = {QP1,QP2,QP3,QP4,QP5,QP6,QP7,QP8,QP9,0,
QP11,0,QP13,0,QP15,0,QP17,QP18,QP19,0,
QP21,0,QP23,QP24,QP25,0,QP27,0,QP29,QP30,
QP31,QP32,QP33,QP34,QP35}
QDP = {QDP1,QDP2,QDP3,QDP4,QDP5,QDP6,QDP7,QDP8,QDP9,0,
QDP11,0,QDP13,0,QDP15,0,QDP17,QDP18,QDP19,0,
QDP21,0,QDP23,QDP24,QDP25,0,QDP27,0,QDP29,QDP30,
QDP31,QDP32,QDP33,QDP34,QDP35}

W0 = {wx,wy,wz}
WP0 = {wpx,wpy,wpz}
V0 = {vx,vy,vz}
VP0 = {vpx,vpy,vpz}
(* Matrix Z *)
Z = {1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1}
G = {Gx,Gy,Gz}
Valeurs paramètres dynamiques modèle 11 ddl
Châssis
XX1= 622.15 Kg.m2 ; XY1= -76 Kg.m2 ;YY1= 2041 Kg.m2 ; XZ1= 20 Kg.m2
ZZ1= 2342 Kg.m2 ; YZ1= 13 Kg.m2; M1 =1508 Kg
Suspensions:
M2 =M7= 2*1.32 Kg
K2 =2*30000 N/m
K7 =2*21012 N/m
Fv2 = Fv7 =2*3200 N/m/s
Roues :
M5 =M9 =2*20 Kg
XX5= XX9= YY5= YY9=2* 0.415 Kg.m2
ZZ5= ZZ9= 2*0.756 Kg.m2
167
Valeurs paramètres dynamiques modèle 16 ddl
Châssis
XX1= 622.15 Kg.m2 ; XY1= -76 Kg.m2 ;YY1= 2041 Kg.m2 ; XZ1= 20 Kg.m2
ZZ1= 2342 Kg.m2 ; YZ1= 13 Kg.m2; M1 =1508 Kg
Suspensions:
M2 =M7= M12 =M16 =1.32 Kg
K2 = K7 =30000 N/m
K1 2= K16 =21012 N/m
Fv2 = Fv7=Fv12 = Fv16=3200 N/m/s
Roues :
M5 =M10= M14 =M18 =20 Kg
XX5= XX10= XX14= XX18= YY5= YY10= YY14= YY18= 0.415 Kg.m2
ZZ5= ZZ10= ZZ14= ZZ18= 0.756 Kg.m2
168
Salim Maakaroun
Modélisation et simulation dynamique d’un véhicule urbain innovant en
utilisant le formalisme de la robotique
Résumé Abstract
La modélisation et la simulation numérique sont des Modeling and simulating are fundamental tools to
outils fondamentaux pour la conception et le develop new vehicles.
développement de nouveaux véhicules. The aim of this thesis is to model and simulate an urban
Les travaux de cette thèse portent sur la modélisation narrow tilting car whose structure contains closed
et la simulation d’un véhicule innovant, étroit et mechanical chains. Hence the goal is to build a physical
inclinable, en appliquant une description systématique model more precise and realistic than the bicycle model
et générique du véhicule considéré comme un robot or quarter vehicle model used usually for some control
dont la base est mobile et les roues sont les organes purposes. The modeling approach is based on the
terminaux. Le système d’inclinaison motorisé entraîne modified Denavit&Hartenberg description, commonly
une cinématique complexe et comporte des chaines used in robotics, by considering the vehicle as a multi-
fermées. Le but du travail est de construire un modèle body poly-articulated system where the terminal links
physique, au contraire des modèles simplifiés de type are the wheels. This description allows calculating
bicyclette ou quart de véhicule utilisés habituellement automatically the symbolic expression of the geometric,
pour l’étude de la commande des véhicules. L’approche kinematic and dynamic models, by using robotics
procède à la description de l’architecture mécanique du techniques and a symbolic software package named
véhicule, le considérant comme un système multi-corps SYMORO+. The dynamic model is calculated
poly-articulés, s’appuyant sur le formalisme de la recursively thanks to the Newton-Euler algorithm.
robotique et précisément sur la représentation Simulations of different dynamical model of vehicles
géométrique de Denavit-Hartenberg modifié. Cette have been performed, analyzed and compared. They
approche permet de calculer automatiquement les validate in some sense the modeling methodology
expressions symboliques des modèles géométriques, presented as an efficient way to get realistic model of
cinématiques et dynamiques des structures simples et non-standard vehicles.
arborescentes. Les modèles qui en résultent comportent
un nombre minimum d’opérations par la mise à profit du Key Words
calcul symbolique itératif et des techniques de Modeling, simulation, urban tilting vehicle, modified
simplification de modèles propres à la robotique. Ces Denavit&Hartenberg formalism, mobile robot
techniques sont implémentées dans le logiciel de calcul
symbolique SYMORO+. Le modèle dynamique est
calculé d’une manière récursive à l’aide de l’algorithme
de Newton-Euler. La simulation dynamique utilise un
simulateur édité sous Matlab/Simulink qui intègre le
modèle dynamique direct calculé automatiquement à
partir du modèle inverse. Des simulations réalisées sur
des modèles de complexité croissante, pour des
scénarios de freinage ou d’accélération, en ligne droite
ou en virage, valident la méthodologie de modélisation
mécanique proposée.
Mots clés
Modélisation, simulation, véhicule urbain inclinable,
formalisme de Denavit&Hartenberg modifié, robot
mobile

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Modélisation et simulation dynamique d’un véhicule

urbain innovant en utilisant le formalisme de la

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HAL Id: tel-00664283

HAL is a multi-disciplinary open access L’archive ouverte pluridisciplinaire HAL, est

Soutenue le 02 Décembre 2011

simulation dynamique CO DIRECTEUR DE THESE :

innovant en utilisant le RAPPORTEURS DE THESE :

formalisme de la Basset Michel, Professeur, ESSAIM Mulhouse

Je remercie en premier lieu mes directeurs de thèse Wisama KHALIL, Maxime

J’adresse également mes remerciements à Pierre-Olivier VANDANJON pour son soutien

Je remercie l’Ecole des Mines de Nantes ainsi que l’Institut de Recherche en

Je remercie en particulier Philippe LEMOINE, Fabien CLAVEAU, Michael CANU,

Merci à toute personne qui a participé de près ou de loin pour l’accomplissement de ce

Liste des tableaux .................................................................................................................................................. v

Tableau 1-1 : Coefficient de Burckhardt en fonction de type de chaussée ............................................ 21

A(q) : matrice d’inertie du système

Le développement et l’étude de différents moyens de transport passionnent l’être humain

Le travail présenté est organisé de la manière suivante :

Le premier chapitre présente la motivation pour la mobilité individuelle dans le transport du

Le troisième chapitre est dédié à la modélisation de 2 types de véhicules intermédiaires, un

Résolution des contraintes cinématiques des chaines fermées ;

Elaboration des modèles dynamiques à partir des structures arborescentes et fermées ;

Calcul des modèles dynamiques inverse et direct ;

Simulation du véhicule étroit, inclinable.

Dans l’histoire de l’automobile, il y a eu plusieurs projets de véhicules innovants pour réduire

L'impact sur l'environnement s'accroît avec l'augmentation de la masse de la voiture. En effet

Avec l'effet de serre, la température moyenne à la surface de la Terre pourrait augmenter de

Visite hopital/ médicale 3 personnes

Tout type de trajet

Figure 1.1: Diagramme de pourcentage du nombre de passagers par type de trajet

Figure 1.2 : Distance parcourue d’un conducteur citadin en ile de France

CARVER One (Pays-bas), est né du concept de véhicule caréné aérodynamique mais

BMW Simple (Allemagne), tricycle en cours de développement, les 3 roues

Tilter (France), un engin électrique à 3 roues inclinables et en propulsion, en

Figure 1.3 : City Mobil Figure 1.4 : Clever

Figure 1.5 : Carver Figure 1.6 : Piaggio

Figure 1.7 : Tilter Figure 1.8 : BMW Simple

Citons maintenant quelques véhicules à 4 roues ( Figure 1.9 - Figure 1.16):

SMERA (France) de Lumeneo, constructeur automobile de voitures électriques, est

VOLVO Tandem (Suède), en mai 2004, le centre de conception et de contrôle

Twizy Renault (France), bi place tandem 4 roues à habitacle partiellement fermé,

Next-Ere (France), un concept car électrique à 4 roues, présenté au mondial de l’auto

Figure 1.9 : Tango Figure 1.10 : Toyota PM

Figure 1.11 : Smera Figure 1.12 : Volvo Tandem

Figure 1.13 : Land Glider Nissan Figure 1.14 : Twizy Renault

Figure 1.15 : Prodrive Naro Figure 1.16 : Next-Ere

2. Description du véhicule et de son environnement

2.1. La caisse ou châssis

Dans la suite, les définitions d’angle et de position correspondent à un véhicule à l’arrêt ou en

Les efforts principaux qui agissent sur la caisse sont :

Les efforts aérodynamiques d’interaction du véhicule avec l’air qui sont

2.2. Les trains

Figure 1.19 : Train avant

2.4. Les suspensions

On représente la partie « élastique et amortisseur » de la suspension par un système composé

Figure 1.22 : Barre anti-roulis

2.5. Direction, angle de braquage, pince, voie et empattement

La direction se compose du volant, de la colonne de direction et de la crémaillère qui