Université Mohamed V de Rabat

Faculté des sciences juridiques, économiques et sociales

- Souissi –

Module : Finance d’entreprise et Risque

Master CCA
Niveau : M1

Responsable du module

Pr : Meryem CHIADMI

Support 2: Gestion du portefeuille

Réalisé par les étudiants de la promotion 2020-21

1
Après une analyse du marché boursier, nous abordons les grands thèmes de la gestion de
portefeuille. D’abord, nous discutons des différentes mesures de rendement et de risque
applicables aux titres individuels et aux portefeuilles. Nous montrons que, par le biais de
diversification, un investisseur peut réduire de façon importante le risque associé aux titres
individuels. Ensuite, nous abordons la sélection d'un portefeuille optimal de valeurs
mobilières en exposant le modèle de Markowitz.

Rentabilité et Risque d’un actif financier

Actif et titre : quelle différence ?

Un actif financier est un titre ou un contrat, la plupart du temps transmissible et
négociable, qui confère à son détenteur des revenus ou un gain en capital.
Un titre financier est un titre représentatif d'une partie du capital d'une société (actions)
ou d'une partie de sa dette (titres de créances négociables). Un titre financier peut
également être émis par un Etat sous la forme d'un bon ou d'une obligation. Un titre
financier rapporte une rémunération certaine (intérêts) ou aléatoire (dividendes).
Cela englobe à la fois les valeurs mobilières (action, obligation...) mais également les
OPCVM (fond commun de placements collectifs en valeurs mobilières).
Le rendement et la rentabilité d’un actif risqué :
Un actif risqué est un actif qui ne peut garantir, de manière certaine, les flux de
rémunération et de remboursement d'un investisseur (particuliers ou institutionnels).

Une valeur mobilière de type action ou un produit dérivé (contrats ou options) correspond
à un actif risqué.
Le rendement comprend uniquement les revenus du capital investi alors que la
rentabilité comprend à la fois les revenus du capital investi et la variation du capital
investi.
Le rendement est le rapport entre le revenu obtenu et la mise de fonds initiale. Un
rendement d’une action est donc son dividende divisé par le cours de l'action à l'achat. Soit
T=D/C

La rentabilité d'une action se calcule en ajoutant au dividende la +/-value (variation du

capital).
(𝑷𝒕−𝑷𝒕−𝟏)+𝑫
Soit : 𝑹𝒕 = 𝑷𝒕−𝟏
Une Action vaut 100DHs en début de période, paie un dividende de 50 DH et vaut 110 DH
en fin de période

Donc 𝑹𝒕 = (( 𝟏𝟏𝟎 – 𝟏𝟎𝟎 ) + 𝟓𝟎) / 𝟏𝟎𝟎 = 𝟔𝟎%

2
La rentabilité moyenne annuelle :
La rentabilité moyenne annuelle est la moyenne simple d’une série de rendements
périodiques qui peut être calculé afin d'apprécier la performance d'un titre sur des années.
Rt moyenne = R1+R2+R2+…/N (N : nombre d’années)
La rentabilité espérée ou attendue :
Il s’agit de la rentabilité du rendement espéré d’un titre que réalisera Un investisseur sur un
placement incertain.
E(x) = (P1 x R1) + (P2 x R2) +… (Pn x Rn)
La rentabilité historique :
C'est la rentabilité réalisée au titre des années précédentes, et celle que l’on compare avec la
rentabilité espérée ou attendue.
EXEMPLE de la société marocaine des boissons :

La rentabilité (en 2012) se calcule comme suit :

Rt(2012) = (2144.15 - 2016.27) / 2016.27=0.063424

Et pour calculer la rentabilité annuelle moyenne on doit d’abord calculer la somme de

toutes les rentabilités et puis la diviser sur le nombre d’année.
Rt moyenne= 0.0060.008969+0.0035+…./8=0.04795

Risque d’un actif financier

En finance le risque signifie la perte de l’argent suite à une opération financière (sur actif
financier), ainsi il tient à la présence d’une dette dans la structure de financement de
l’entreprise.

3
Pour l’investisseur, ce qui compte plus que le risque, c’est la perte effective et réalisée, qui
n’émerge que lorsqu’il vend dans une situation de dévaluation de l’investissement.
Toutes les actions n’ont pas la même sensibilité aux risques du marché. Elles vont varier
plus ou moins fortement que le marché.

Le prix du risque :
Le prix du risque est la différence entre le taux de rendement attendu du portefeuille de
marché, et la rentabilité de l'actif sans risque.

Le risque d’un titre est lié à l’incertitude sur sa valeur future et à sa variabilité dans le
temps.
Le risque total d’un titre est mesuré par la variance de de ses rentabilités

La variance :
Selon la définition classique, la variance est la moyenne des carrés des écarts par rapport à
la moyenne. En termes plus mathématiques elle peut être considérée comme une mesure
servant à caractériser la dispersion d’une distribution ou d’un échantillon.
𝑛
(𝑋𝑖 − 𝑋̅)2
𝑉 (𝑋) = 𝔼((𝑋 − 𝔼(𝑋))2 ) = ∑
𝑁
𝑖=0

Exemple :

Soit l'actif Société Générale dont on a téléchargé ses cotations de clôture à chaque fin de
mois durant une année.

4
La moyenne des variations = -0,4775%.

Sa variance est donc: Var = (-

0,0517+0,004775)²+(0,1587+0,004775)²+(0,2477+0,004775)²+…+(-
0,1324+0,004775)²/12=0,01684

Comme la variance est proche de 0 cela signifie que le cours de l’actif ne s’écarte pas
énormément de sa moyenne et donc que les variations ne sont pas trop importantes.

Ainsi on dit que la variance traduit la notion d’incertitude. Plus la variance est élevée et plus
le cours de l’actif est susceptible de s’éloigner de sa moyenne.

La volatilité :
Une mesure des amplitudes des variations du cours d’un actif financier.

Ainsi, plus la volatilité d’un actif est élevée et plus l’investissement dans cet actif sera
considéré comme risqué et par conséquent plus l’espérance de gain (ou risque de perte)
sera important.

A l’inverse, un actif sans risque ou très peu risqué (par exemple les Bons du Trésor) aura
une volatilité très faible car son remboursement est quasiment certain. En réalité la
volatilité d’une obligation correspond à l’évolution du cours suite à une variation de 1% des
taux d’intérêt.

Couramment utilisée pour désigner les oscillations à court terme d’un actif financier, la
notion de volatilité concerne tous les horizons (court, moyen et long terme) et ne se soucie
pas du sens du mouvement (seule l‘amplitude des mouvements est pris en compte).

La volatilité mathématique d’une action correspond à l’écart type ; 𝛔 =√V(x)

5
 Décomposition du risque total d’un actif financier
Le risque global d’une action se compose du risque systématique et du risque spécifique à
l’action.

Risque systématique :
Risque systématique est le risque inhérent à la liaison des titres avec le marché dans la
mesure où les événements macro-économiques ou mondiaux influencent l’ensemble des
valeurs.
Exemples du risque systématique :
Mouvement général du marché
Inflation
Evolution de l’économie
Evolution du taux d’intérêt….
Risque spécifique:
Le risque spécifique est propre à chaque action. Il est dû à l’influence de facteurs spécifiques
à l’entreprise sur le taux de rentabilité.
Exemples du risque spécifique :
Erreurs de gestion
Ecarts importants
Perte de clientèle
Grève….
Le risque spécifique peut être réduit par l’effet de diversification. En effet, en combinant les
titres le risque est inférieur à la moyenne des risques de chacun des titres.
Prenons l’exemple d’un portefeuille qui se compose de 5 valeurs, la baisse d’une entre elle
aura une grande influence sur la valeur globale du portefeuille : soit une baisse de 20% (si
une des sociétés fait faillite et les cours des autres restent identiques). Alors que dans le cas
d’un portefeuille diversifié de 20 valeurs, la valeur du portefeuille va subir une baisse de

5% seulement.

6
Plus le nombre de valeurs composant le
portefeuille est élevé, plus le risque
spécifique tend à diminuer, voire même
s’annuler. À un certain niveau de
portefeuille, la diversification entraîne la
suppression du risque spécifique.

Le portefeuille ainsi diversifié́ n’est plus

soumis qu’au risque systématique.

Selon cette équation Ri= αi+ßiRM+Ɛi , le rendement Ri varie pour deux raisons.
1
1- L’influence de marché 2(risque spécifique) qui peut être mesuré par le Béta
𝒄𝒐𝒗(𝑹𝒊 , 𝑹𝒎)
ß= 𝒗𝒂𝒓(𝑹𝒎)
2- Le risque spécifique qui se calcul par la différence entre le risque total et le risque
systématique.

Exemple : Cas de Maroc télécom

mois Ri Rm RmxRi
décembre 1,08% 2,70% 0,03%
novembre 1,38% 5,07% 0,07%
octobre 4,04% 4,73% 0,19%
septembre -2,51% -1,45% 0,04%
août 0,72% -0,91% -0,01%
juillet -0,36% 0,58% 0,00%
juin 4,12% 3,21% 0,13%
mai 3,73% 4,81% 0,18%
avril 1,34% -3,13% -0,04%
mars -14,54% -20,85% 3,03%
février -4,44% -2,16% 0,10%
janvier 1,63% 2,96% 0,05%
12 -3,81% -4,44% 3,76%

7
 o On calcule le risque total par la variance :
∑(𝑹𝒊∗𝑹𝒓𝒊)²
V(Ri)= = 0,24%
𝒏

o Le risque systématique est calculé comme suit :

∑(𝑹𝒎∗𝑹𝒎)² 𝒄𝒐𝒗(𝑹𝒊 , 𝑹𝒎)
Rs= V(Rm)*ß^2= ( )^2 =0,214%
𝒏 𝒗𝒂𝒓(𝑹𝒎)

o Le risque spécifique est donc calculé par la différence du risque total V(Ri) et le
Risque systématique Rs. Soit de 0,029%

Le Béta : sensibilité d'un actif; Béta et volatilité quelle différence?

Qu’est-ce que le coefficient Bêta ?

Le Béta ou coefficient Béta mesure la volatilité ou la sensibilité d’un titre par rapport aux
fluctuations du marché. Son calcul nécessite de faire appel à des données historiques sur le
titre et sur le marché.
Le principe de cet outil est de comparer les mouvements effectués par un actif par rapport à
son marché de référence, ce qui permet de déterminer son niveau de risque par rapport aux
autres actifs de référence. La mesure est effectuée en comparant la rentabilité de l'actif à
celle du marché.
Volatilité et coefficient bêta :
- La volatilité indique la dispersion moyenne des fluctuations boursières au cours d'une
certaine période.
- Le coefficient béta indique le rapport entre cette volatilité d'un actif financier et celle de
l'ensemble du marché.
La volatilité et le coefficient bêta sont utilisés couramment pour mesurer l'amplitude
moyenne des fluctuations boursières.
De la manière la plus simple de calculer un Bêta est la méthode historique. On
comparera donc les données de rentabilité historique de l'actif à celles du marché.
𝒄𝒐𝒗(𝑹𝒂 , 𝑹𝒎)
ß= 𝒗𝒂𝒓(𝑹𝒎)

Avec Ra : rentabilité de l'actif et Rm : rentabilité du marché

8
 Cas pratique : Société ‘Maghreb Oxygène’
2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019
Année

Rentabilité - -0,298340 -0,206682 0,230339 -0,492880 0,266427 0,301886 0,231884 0,134705

du titre
(action
Maghreb
Oxygène)

Rentabilité - -0,1512978 -0,0261828 0,0555148 -0,0721821 0,3045707 0,0639458 -0,082696 0,0730039

Indice
(Masi)

1
Rendement moyen annuel de l’actif= ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑅𝑎𝑐𝑡𝑖𝑓 = 9 𝛴 (Ra) = 0,02091
1
Rendement moyen annuel de l’indice = ̅̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑅𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 = 9 𝛴 (Ra) =0,02058
1
La variance du rendement du marché : Var (R marché) = 𝛴 (Ra - ̅̅̅̅̅̅̅̅
𝑅𝑎𝑐𝑡𝑖𝑓 )² = 0,01964
8

La covariance du rendement de l’actif et du rendement de l’indice :

1
Cov(Ra, Rm) = 8 𝛴 (Ra - ̅̅
𝑅̅̅ ̅̅̅̅
𝑎 )(Rm - 𝑅𝑚 ) = 0,02332

𝑐𝑜𝑣(𝑅𝑎𝑐𝑡𝑖𝑓 , 𝑅𝑚𝑎𝑟𝑐ℎé) 0,02332

𝜷= = 0,01964 = 1,1873
𝑉𝑎𝑟(𝑅𝑚𝑎𝑟𝑐ℎé)

Que signifie un Bêta = 1,19 ?

Cela signifie que pendant la période observée, notre actif a varié en moyenne de 1,19 %
pour une variation de 1% de l’indice.
D’une façon générale :
Le cours d’un actif est plus sensible aux variations du cours du marché lorsque son Béta est
supérieur à 1.
Il est moins sensible aux variations du cours du marché lorsque son Béta est inférieur à 1.
Le Bêta négatif :
Un actif dont le béta est négatif varie inversement aux fluctuations du marché.
- Si l’indice du marché augmente de 1% le cours de l’actif baisse de 𝛽 %.

9
- Si l’indice du marché baisse de 1% le cours de l’actif augmente de 𝛽 %.
Le Bêta unité :
Un actif dont le béta égale à 1 suit parfaitement les fluctuations du marché.
De ce fait le béta du marché égale toujours à 1 car la covariance du marché avec lui-même
est elle-même la variance du marché.
Le Bêta unité négatif :
Un actif dont le béta égale à -1 suit parfaitement mais dans le sens inverse les
fluctuations du marché, si le marché augmente de 1% le cours de l’actif baisse de 1% et
vice-versa.

Arbitrage et loi du prix unique

L’arbitrage
Le modèle d'évaluation par l'arbitrage a été conçu à l'origine par Ross en 1976 comme une
alternative au modèle d'équilibre des actifs financiers.
Dans le domaine de la finance, le terme arbitrage renvoie à une pratique qui donne un choix
rationnel entre plusieurs alternatives, indépendamment de tout jugement de valeur.
L'arbitrage va servir de mécanisme d’ajustement qui consiste à :
• vendre un actif financier et acheter un autre sur la même place, correspondant
mieux au prix du marché et dans les perspectives que recherche l'investisseur en
matière de rendement et de risque acceptable.

• vendre et acheter un même actif financier, mais sur deux marchés, entre lesquels
une différence de prix susceptible de dégager un gain monétaire est constatée.

L'opération d’arbitrage est effectuée par les arbitragistes qui sont des professionnels
constamment à l'affût des opportunités que présentent ces différences de prix, leur rôle
contribue à effacer les distorsions du marché.
Une opportunité d'arbitrage se définit comme une stratégie d'investissement financier qui,
en combinant plusieurs opérations, assure un profit sans risque et sans mise de fonds
initiale.
Il y’a donc 3 conditions:
 L’investissement doit être nul
 L'opération doit être de risque nul
 L'opération doit être profitable

10
Une opportunité d’arbitrage est un projet à VAN positive.

11
 Exemple d’arbitrage à l'évaluation des actifs financiers :
Si une obligation nous procure de façon certaine 1000 MAD dans exactement un an et que le
taux d'intérêt à un an est de 5%, que sera son prix actuel ?
Cours = 1000 / 1,05 = 952,38 MAD
Quels sont les opérations d'arbitrage à faire si le cours de l’obligation dans le marché
A est 940 MAD et dans le marché B 960 MAD ?
Achat d’obligation par l’endettement : Vente (à découvert) de l'obligation avec un placement
bancaire :

A Flux
d’aujourd’hui
Flux
dans un an
B Flux Aujd Flux
dans un an

Achat de -940 +1000 Vente de +960 -1000

l’obligation l’obligation
Emprunt +952,38 -1000 Placement -952,38 +1000
bancaire
bancaire
Flux net de +12,38 0 Flux net de +7,62 0
trésorerie trésorerie

La loi du prix unique

La loi du prix unique est une théorie économique stipulant que dans un marché efficient,
chaque bien identique doit avoir le même prix en tout point de ce marché.
Cette loi a été énoncée par Gustav Cassel qui dicte le principe de l'unicité du pouvoir d'achat
de chaque unité de monnaie.
Le prix d'un bien en un pays doit être égal au prix du même bien dans l'autre pays après
avoir tenu compte du taux de change entre les deux pays.
Cette loi du prix unique est conçue comme le mécanisme assurant la réalisation de la parité
du pouvoir d’achat, qui consiste à exprimer que dans une unité commune les prix de deux
biens identiques d’un pays A et d’un pays B sont égaux.
On compare un niveau de prix général.
Ceci s’exprime donc :

e = P/P’

• P: le prix du bien x dans le pays A,

• P’: est le prix du même bien x dans le pays B,

• e: le taux de change de parité du pouvoir d’achat.

12
Exemple:
Un Big Mac coûte 4,00 $ aux États-Unis et le taux de change au comptant actuel du livre
sterling au Royaume-Uni (GBP / USD) est de 1,37 USD.
Selon la loi du prix unique, le prix d'équilibre du Big Mac au Royaume-Uni devrait être:
PUSD / e = PGBD
4,00 $ / 1,37 $ = 2,92 £
À ces deux prix en monnaie locale (4,00 $ et 2,92 £) et compte tenu du taux de change au
comptant (1,37), il n'y a pas de différence dans les prix ajustés du taux de change pour
un Big Mac aux États-Unis et au Royaume-Uni.
Avantages et inconvénients de la loi du prix unique
• Avantage : Bonne approche quand les clients sont homogènes, le prix unique
apporte de la clarté.

• Inconvénients : Politique peu adaptée à des clients ayant des valeurs perçues très
diverses.

Le prix unique devient alors peu efficace pour toucher des segments de clientèle différente.
Le processus de recherche d’information peut être caractérisé par des imperfections. Soit
que l’information à disposition des individus n’est que parcellaire, soit que des
consommateurs diversement informés se retrouvent simultanément sur le marché,
permettant à certaines firmes de proposer un prix plus élevé en ne vendant qu’aux
individus les moins informés.

Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)

Définition/Historique :
Le modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF) aussi appelé CAPM (Capital Assets
Pricing Model) est un outil qui permet de prévoir le taux de rentabilité attendu par le
marché pour un actif, ceci en se basant sur son risque systémique.
Ce modèle a été initié par Markowitz sur ces travaux de la diversification.
En 1990 Markowitz reçoit avec Miller et Sharp le prix Nobel en économie.

13
Pour que l’évaluation d’un actif selon le model MEDAF soit correcte, les hypothèses
suivantes doivent être réalisé afin que le résultat obtenu ne soit pas biaisé par des
paramètres et variables non prises en compte par le model en question.
1- Les investisseurs peuvent acheter ou vendre n’importe quel actif financier à son
prix de marché sans prise en compte des coûts de transaction ou des impôts et
prêter ou emprunter au taux d’intérêts sans risque.
2-Tous les investisseurs détiennent un portefeuille efficient (Portefeuille
Markowitz), un portefeuille offrant la rentabilité espérée la plus grande pour une
volatilité donnée.
3-Les investisseurs font des prévisions homogènes par rapport à la rentabilité
espérée, les volatilités et les corrélations de tous les actifs financiers (Loi du prix
unique) ce qui permet d’identifier le portefeuille efficient (Ratio de Sharp le plus
élevé).
Présentation du modèle MEDAF :
Le MEDAF ne mesure pas un niveau de risque mais s’attache au risque relatif d’un titre ou
d’un portefeuille par rapport au marché, c’est-à-dire à son bêta. Ainsi, la prime de risque
d’un actif i est égale à son bêta multiplié par la prime de marché.

La relation fondamentale du MEDAF correspond à l’égalité entre la prime de risque d’un

actif i ou d’un portefeuille en particulier et celle du marché multiplié par le bêta de l’actif
(ou du portefeuille).
Ei = r + β (Em – r)
• (Em – r) : prime du risque du marché.
• β : Risque systématique
• r : taux sans risque
• Em : espérance de rentabilité du marché
• Ei : espérance de rentabilité du titre i

(Em – r) : prime du risque du marché

Cette composante représente la prime du risque du marché c’est-à-dire le surplus de

rentabilité exigé par les investisseurs lorsque ces derniers placent leurs argents sur le
marché boursier plutôt que sur un actif sans risque.
Prenant l’exemple du dow Jones comme marché de référence en 2019 le dow Jones
enregistre un taux de rendement 22.34 % d’autre part le taux de rendement des actifs sans
risque est de 0.55%.

Pr = Em - r = 22,34% - 0,55% = 21,79

14
 Le taux exigé par les investisseurs américains par rapport au marché sans
risque est de 21,79%

Β : Risque systématique

Il s’agit du risque que prennent tous les investisseurs en entrant sur le marché et qui n’est
pas propre à l’entreprise.

Microsoft une compagnie qui opère sur le secteur informatique, elle est donc à première
vue immuniser contre la crise des subprimes et encore plus contre celle de la dette publique
grecque.
Microsoft réalise de bonnes performances boursières depuis 1987. Cependant on peut
constater une mauvaise performance dans les années 2000,2008 2010 2011.
Si on fait un lien avec l’actualité de ces années on constate que l’année 2000 a été marquée
par l’éclosion de la bulle internet, une crise financière en 2008, et la crise de la dette
grecque en 2010 et 2011.

Cet exemple montre l’ampleur du risque systémique et son impact sur la rentabilité
de l’action
E(m) : espérance du marché

Em Représente le taux de rendement espéré du marché de l’année N, généralement on

utilise le rendement espéré de l’indice de référence.

R ou rf :
Représente le taux sans risque (on choisit le taux obligataire).

Calcul de la rentabilité de l’action Microsoft/ l’action Google :

• β(g) = 1,04 E(m) = 13%

• β(m) = 1,19 r = 0,55%

En appliquant le model MEDAF, on trouve :

Eg = r + β(g) (Em – r) = 0,0055 + 1,04 x (0,13 – 0,0055) = 13,49%

Em = r + β(m) (Em – r) = 0,0055 + 1,19 x (0,13 – 0,0055) = 15,63%
Intérpretation :
Eg<Em (13.49%<15.63): Selon le model MEDAF, La rentabilité attendue de l’action Google
est inférieure à celle de l’action Microsoft.
L’action Microsoft génère plus de gain que l’action Google, et est le meilleur choix
d’investissement.

15
 La gestion du portefeuille de titres : rentabilité et risque

• Un portefeuille désigne un ensemble d’actifs financiers détenus par un individu ou

un organisme financier dans le but d’optimiser son rendement tout en minimisant le
risque. Les différents titres qui composent le portefeuille sont choisis de manière à
obtenir un rendement global qui soit le plus élevé et le moins risqué possible
• Un portefeuille de titres est composé de valeurs mobilières telles que des actions,
obligations, ou encore des OPCVM…
Hypothèse de départ :
Nous raisonnerons sur un portefeuille composé de deux actions (T1 et T2) pour lesquelles on a :
Espérance de rentabilité E(R1) Espérance de rentabilité E(R2)

T1 T2

Risque : V(R1); σR1 Risque : V(R2); σR2

Rentabilité d’un portefeuille des titres

Rentabilité espérée : E(Rp)

• C’est la moyenne pondérée des espérances de rentabilité des titres composant le
portefeuille:
Avec :
• P1 : La proportion de T1
E(Rp) = p1.E(R1) +
• P2 : La proportion de T2 p2.E(R2)
Mesure du risque d’un portefeuille :
Dans le calcul du risque d’un portefeuille, on doit tenir compte :
De la variabilité du rendement de chaque titre : la variance Var(Ri) ; Et du degré de
dépendance existant entre les rendements des différents titres : la covariance Cov(Ri ,Rj).
La covariance entre les taux de rendement de deux titres et une mesure absolue du degré
d’association entre leurs rendements.
La covariance peut être :

16
Positive : les taux de rendement des deux titres ont tendance à varier dans le même sens ;
Négative : les taux de rendement des deux titres ont tendance à varier en sens contraire ;
Nulle : les taux de rendement des deux titres varient indépendamment l’un de l’autre.
La covariance est calculée comme suit :

Avec :

Rik : Rendement du titre i étant donné

la conjoncture k ;
Rjk : Rendement du titre j étant
donné la conjoncture k ;
Pk : Probabilité de réalisation de la
conjoncture k ;

Calcul de risque :

Risque Du portefeuille V(Rp)

Rentabilité des titres Rentabilité des titres non

Indépendantes Indépendantes

V(Rp)= p²1.V(R1)+p²2.V(R2) V(Rp)=p²1.V(R1)+p²2.V(R2)+2.p1.p2.Cov ( R1,R2)

Exemple :
• On donne:
E(R1) = 0,08 ; σr1= 0,17 ; P1 = 0,6
E(R2)=0,11 ; σr2 = 0,32 ; P2 = 0,4 ; Cov(R1,R2)= -0,02
TAF : Calculez la rentabilité espérée et le risque du portefeuille dans les deux hypothèses .
• Espérance de rentabilité :
E(Rp) = 0,6 x 0,08 + 0,4 x 0,11 = 0,092 ( ou 9,20%)
• Risque :
 Hypothèse d’indépendance :
V(RP) = 0,6²x 0,17²+0,4² x 0,32² = 0,0268

17
 σRp = 0,1636
 Hypothèse de non indépendance :
0,6²x0,17²+0,4² x 0,32² + 2 x 0,6 x 0,4x (-0,02 )= 0,0172

Les bénéfices de la diversification d’un portefeuille

« Il ne faut pas mettre tous ses œufs dans le même panier » est un proverbe célèbre
dans le monde de l'investissement. Sa signification est simple : en tant qu'investisseur, il
faut penser à diversifier ses placements pour répartir le risque entre ses différentes
participations.
La diversification de portefeuille est une stratégie d’investissement basique qui consiste à
créer un portefeuille d’actifs différents dans l’objectif de diminuer le risque lié au
portefeuille.
On estime qu’en investissant sur divers produits, le retour sur investissement sera meilleur
et la prise de risque moindre. Le but de la diversification de portefeuille est d’annuler les
performances négatives d’un investissement grâce aux performances positives des autres
investissements.
Pourquoi diversifier ?
La diversification ne vise pas nécessairement à obtenir un rendement exceptionnel.
La diversification du portefeuille permet d’en réduire la volatilité, en gérant les risques qui
y sont associés.
La diversification peut être réalisée sur différents plans :
 Classes d’actif
 Répartition géographique
 Secteurs économiques
 Styles de gestion
 Capitalisation boursière
Les bénéfices de la diversification d’un portefeuille
La diversification réduit le risque de portefeuille
La mécanique derrière cette stratégie est assez simple, et peut être démontrée d’une
manière intuitive. Si l’on possède un seul actif, on est exposé à 100% de la variation de cet
actif, à la hausse comme à la baisse. Mais si l’on possède deux actifs, on est exposé
seulement à une part de la variation de la valeur des actifs en questions. Ainsi, si l’un de nos
deux actifs perd 10%, alors notre portefeuille (si l’actif numéro 2 ne baisse pas) ne va

18
baisser que de 5% (10% x 50% = 5%). Au contraire, si l’on ne possède que cet actif qui perd
10%, alors notre portefeuille entier perd 10%

La diversification augmente le
rendement
Prenons un exemple simple et purement
théorique afin de comprendre le
fonctionnement de la diversification de
portefeuille.
Choisissons un portefeuille A, composé
uniquement d’une action Volkswagen et un
portefeuille B composé d’une action Renault, une action Peugeot-Citroën et une action
Volkswagen.
Si un scandale de fraude sur les émissions polluantes des véhicules Volkswagen venait à
éclater, il est normal d’imaginer une chute drastique des ventes de leurs véhicules. En
revanche, cela ferait les affaires de ses concurrents, Renault et Peugeot-Citroën, qui
profiteraient des clients de Volkswagen. Le cours des actions de Renault et de Peugeot-
Citroën seraient donc en hausse, au contraire de celle de Volkswagen. Le portefeuille A
subirait donc une baisse importante, en revanche le portefeuille B connaîtrait lui une baisse
moins significative. En effet Renault et Peugeot-Citroën “compenseraient” les pertes liées à
Volkswagen. Il s’agit ici d’une diversification au sein du même secteur, des mêmes classes
d’actifs et dans une même zone géographique, la diversification de portefeuille peut avoir
une ampleur beaucoup plus importante.
Illustration :

En optant pour un portefeuille composé à la fois de liquidités, d’actions et d’obligations,

vous pouvez diminuer votre risque, mais obtenir quand même les rendements qui vous

19
permettront de réaliser vos objectifs de placement. Rendements sur dix ans au
31 décembre 2016 Cet exemple montre qu’un portefeuille entièrement composé d’actions
aurait dégagé un rendement trop faible pour le niveau de risque assumé (écart-type de
14 %), alors qu’un portefeuille diversifié a généré un rendement plus élevé et présenté un
risque moindre (écart-type de 6 %).
Cas RCAR(Régime collectif d’allocation de retraite)

Avec un portefeuille global de 126 milliards de dirhams (en valeur marché à fin 2019), le
RCAR détient 5,48% du capital de la BCP, 5,8% du capital de Maroc Telecom, 6,9% du
capital de Cosumar, plus de 8% du capital d’Alliances, 5% du capital d’Addoha, 9,2% du CFG
BANK ou encore 16,88% dans Eqdom…
Grace à cette diversification opter, la RCAR a pu dégager une préférence exceptionnelle
durant l’année 2019 de 9,07% qui s’explique principalement par le contexte favorable des
marchés des Taux qui a connu une forte détente des segments Moyen et Long terme et
l’évolution positive de la bourse de Casablanca.

20
 Portefeuille Efficient : MARKOWITZ

Un portefeuille efficient est un portefeuille d'actifs financiers permettant d'optimiser le

couple rendement /risque grâce à une diversification judicieuse.
La théorie moderne du portefeuille, développée par Harry Markowitz en 1950, définit le
processus de sélection de titres pour créer le portefeuille le plus efficient possible, c'est à
dire qui possède la rentabilité maximum pour un niveau de risque minimum.
Donc le portefeuille efficient définit le mécanisme de sélection de titres constituant un
portefeuille boursier idéal sur le papier.
Le rendement attendu d’un portefeuille
Le rendement d'un portefeuille est égal à la somme des rentabilités des
différents actifs contenus dans ce portefeuille, que l'on va pondérer par leur
poids.

E(Rp) = Espérance de rentabilité du portefeuille

wi = poids de l'actif dans le portefeuille
E(Ri) = Espérance de rentabilité de l'actif

Soit les titres A et B qui ont les caractéristiques suivantes :

– Rendement (A) = 12%
Poids de du titre A dans le portefeuille : 60%
– Rendement (B) = 15%
Poids de du titre B dans le portefeuille : 40%
Le rendement attendu du portefeuille sera donc égal à :
E (R ) = (12%*60%) + (15%*40%)=13,2%

21
Le risque d’un portefeuille :
Le risque est défini par la volatilité du portefeuille qui correspond à son écart-type :

: La variance que l'on calcule de la manière suivante, pour un portefeuille composé de deux actifs

Plus concrètement, il faut calculer la covariance qu’il y a entre actifs, deux à deux et la
multiplier par le poids de chacun des deux actifs dans le portefeuille. Enfin pour avoir le
risque total du portefeuille, il faudra cumuler l’ensemble des résultats obtenus. Le plus
simple reste donc de présenter ces calculs dans ce que l’on appelle une matrice de
variances-covariances.
Prenons l’exemple suivant : soit les titres A et B pour lesquels nous avons les données
suivantes :
– Variance (A) : 0,002
– Variance (B) : 0,004
– Covariance (A, B) : 0,0004 avec les pondérations suivantes A (60%) et B (40%).
La matrice de variances-covariances sera la suivante :

La variance du portefeuille est donc égale à 0,001552 et son écart-type égal à

0,039395.

22
Frontière efficiente de Markowitz

Markowitz a également introduit la notion de frontière efficiente. Chaque actif possède un

couple risque/rendement qu'il est possible de représenter graphiquement. Pour chaque
rendement, il existe un portefeuille qui minimise le risque. À l'inverse, pour chaque niveau
de risque, on peut trouver un portefeuille maximisant le rendement attendu. L'ensemble de
ces portefeuilles est appelé frontière efficiente.

Selon Markowitz :
- Les points situés sous la courbe ne doivent pas intéresser les investisseurs
- Les points situés sur la courbe sont les portefeuilles recherchés par les investisseurs

Les hypothèses du modèle de MARKOWITZ :

• 1. Il part pour cela de l'hypothèse que les marchés sont efficients et que les
différents acteurs sont rationnels. Il soutient donc la théorie forte de l'efficience
selon laquelle les cours reflètent l'ensemble des informations disponibles pour
chaque actif.
• 2. Comportements des Investisseurs : est l'aversion au risque des
investisseurs. Un investisseur acceptera de prendre plus de risque seulement si un
supplément de rentabilité lui est proposé. Tous les investisseurs auront toutefois un
ratio rendement/risque différent selon leur profil investisseur et leur aversion au
risque.
L'étude de MARKOWITZ reste cependant très théorique, car elle prend l'hypothèse
que l'on connaît le couple espérance de gain et risque de chaque titre.

23
 Portefeuille tangent: Ratio de SHARPE

Principe et raisonnement du ratio de SHARPE :

Le ratio de Sharpe permet de mesurer la rentabilité d’un portefeuille en fonction du risque
pris par un investisseur. Cet indicateur financier est fréquemment utilisé pour classer des
OPCVM appartenant à la même catégorie.
Créé en 1866 par l’économiste américain William Forsyth Sharpe, le ratio éponyme a été
créé pour mesurer le couple rendement/risque d’un investissement. Son point de départ
repose sur l’idée qu’un investisseur n’acceptera de prendre un risque financier que si la
performance attendue est supérieure à celle qu’il obtiendrait avec un placement sans
risque, par exemple un produit monétaire. Pour estimer ce différentiel, Sharpe a mis au
point une formule de calcul du pourcentage de performance gagné en fonction du
pourcentage de volatilité d’un actif (rentabilité marginale).
Le raisonnement effectué par Sharpe est basé sur une logique d’arbitrage entre les actifs
présents sur le marché monétaire (bon de trésor) et le marché boursier (action).
Donc pour qu’un investisseur choisisse d’acheter un actif risqué, il faut que celui-ci lui
génère une rentabilité composé d’une première partie qui est égale au rendement généré
par les actifs non risque et une deuxième partie égale à la prime de risque modélisé sous
forme de ratio de Sharpe.
Démonstration et Définition du ratio de Sharpe :
- On prend Un actif risqué représenté par le titre B et un actif sans risque représenté par le
bon de trésor.
- Nous notons le taux « r f » la rentabilité de l'actif sans risque et elle correspond
généralement au taux d'intérêt généré par l’achat des bons de trésor.
On aura donc les propriétés suivantes :
-E[rf ] = r f
-VAR(rf ) = 0
-cov(RB, r f ) = 0
-Ce qui permet de dégager le système D’équation suivant :

24
Si on note xB le poids investit dans l'action B, alors xf = 1-XB, donc La rentabilité du
portefeuille est:
𝐸 (𝑅𝑝) = 𝑥𝐵 × 𝐸 (𝑅𝐵 ) + (1 − 𝑥𝐵)𝑟𝑓
𝐸(𝑅𝑝) = xB(E(RB )− r f ) + r f
-(E(RB )− r f ) est la rentabilité excessive par rapport à l'investissement sans risque, cette
différence récompense la prise de risque. Cette prime peut être exprimée par la relation
suivante :
E(RP)− r f = xB(E(RB )− r f )
-On remarque que Plus nous investissons dans les actifs B plus la prime de risque sur le
portefeuille est forte
- Concernant le risque de ce portefeuille constitue d’un actif risqué et un actif sans risque, il
s'écrit sous la forme suivante :

En remplaçant (1) dans la forme de la rentabilité du portefeuille on trouve que :

𝐸(𝑅𝑝)− 𝑟 𝑓
E(RB ) = r f + ( )× 𝜎(𝑅𝐵)
𝜎(𝑅𝑝)

-Cette équation représente la droite du Marché ou CML ( capital market line)

-Le rapport et le coefficient directeur dans la relation précédente est nommé le ratio de
«Sharpe» qui mesure la prime de risque par unité d'écart type.
Définition :
Le ratio de Sharpe mesure l'écart de rentabilité d'un portefeuille d'actifs
financiers (actions par exemple) par rapport au taux de rendement d'un placement sans
risque (autrement dit la prime de risque, positive ou négative), divisé par un indicateur
de risque, l'écart type de la rentabilité de ce portefeuille, autrement dit sa volatilité.

25
 Le choix du portefeuille optimal (portefeuille tangent) :
Un portefeuille est efficient s’il maximise la rentabilité attendue pour un niveau de
Risque donné. La frontière efficiente est l’ensemble des portefeuilles efficients.
Règle : Parmi tous les portefeuilles risqués possibles, seuls les portefeuilles efficients
Doivent être considérés.
S’il est possible d’emprunter ou de prêter au taux d’intérêt sans risque, il existe un
portefeuille risqué optimal P∗, qui maximise le ratio de Sharpe et qui est indépendant des
préférences de l’investisseur. Ce dernier choisira l’un des couples Risque-Rentabilité situés
sur la droite du marché.

26
Interprétation du ratio de Sharpe :
-Le ratio de Sharp permet d'aboutir à l’un des 3 résultats suivants :
-Si le ratio de Sharpe est inférieur à 1 : la performance du portefeuille est inférieure à celle
d’un placement sans risque. Le résultat est donc négatif, l’espérance de gain étant inférieure
au risque, malgré une forte volatilité.
𝐸(𝑅𝑃)− 𝑟 𝑓
( = −1) → 𝐸(𝑅𝑃) − 𝑟 𝑓= -1𝜎(𝑅𝑃)
𝜎(𝑅𝑃)

-Si le ratio de Sharpe est compris entre 0 et 1 : l’enjeu ne vaut pas la chandelle, car le gain
n’est pas suffisant pour compenser le risque pris par l’investisseur.
𝐸(𝑅𝑃)− 𝑟 𝑓
( = 0,5) → 𝐸(𝑅𝑃) − 𝑟 𝑓= 0,5*𝜎(𝑅𝑃)
𝜎(𝑅𝑃)

-Si le ratio de Sharpe est supérieur à 1: le résultat est positif : la performance excède celle
du placement au taux sans risque et génère davantage de rentabilité.
𝐸(𝑅𝑃)− 𝑟 𝑓
( = 2) → 𝐸(𝑅𝑃) − 𝑟 𝑓= 2𝜎(𝑅𝑃)
𝜎(𝑅𝑃)

Si Par exemple le ratio de Sharpe d’une Sicav est de 2, cela signifie que 1 % de volatilité a
permis de générer un surplus de performance de 2 % par rapport à un OPCVM sans risque.
Le couple rendement/risque est favorable.
Donc plus le ratio est élevé et plus le portefeuille est performant.

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L’IMPACT DE LA DIVERSIFICATION SUR LE RATIO DE SHARPE :
-La diversification de portefeuille est une stratégie d’investissement basique qui consiste à
créer un portefeuille d’actifs différents dans l’objectif de diminuer le risque lié au
portefeuille.
-Donc La diversification n’est possible que si les variations de prix des actifs ne sont pas
entièrement corrélées c.-à-d :
-Si on prend deux titres risque I et J On aura :
𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖 ; 𝑅𝑗 )
𝑟= <0
𝜎(𝑅𝑖)𝜎(𝑅𝑗)
Plus le coefficient est proche de −1, plus la relation linéaire négative entre les variables est
forte.
-On sait que le risque
d’un portefeuille s’écrit
comme suit :

𝐶𝑜𝑣(𝑅𝑖 ;𝑅𝑗 )
Puisqu’on a 𝑟 = < 0 donc 𝐶𝑜𝑣 (𝑅𝑖 ; 𝑅𝑗) < 0 .
𝜎(𝑅𝑖)𝜎(𝑅𝑗)

-Donc 𝜎(𝑅𝑃(𝑖; 𝑗)) va diminuer ce qui va impacter le ratio de Sharpe de façon contraire parce
qu’ils ont une relation inversement proportionnelle:
𝐸(𝑅𝑃)− 𝑟 𝑓
Si 𝜎(𝑅𝑃(𝑖; 𝑗)) diminue alors ( 𝜎(𝑅𝑃(𝑖;𝑗)) ) augmente

-THEORIQUEMENT Pour maximiser le ratio de Sharpe il faut tout simplement diminuer le

risque du portefeuille comme on remarque ici plus la limite De l’écart type du portefeuille
𝐸(𝑅𝑝)− 𝑟 𝑓
tend vers 0 et plus le ratio de Sharpe tend vers l’infinie. ( ) = +∞
𝜎(𝑅𝑝)

-Donc si on veut maximiser le ratio de Sharpe il est nécessaire de diversifier notre

portefeuille avec des titres risqués qui ont des corrélations négatives afin de dégager des
gains de diversification de covariance.
Bibliographie ET webographie
Rentabilité et Risque d’un actif financier
Le cas de la société des boissons (Casablanca-bourse.com)
La rentabilité: baronpatrimoine.com
La différence entre la rentabilité et le rendement : (Speedqueeninvestor.com)

28
Risque d’un actif financier
https://www.abcbourse.com/apprendre
Décomposition du risque total d’un actif financier
https://www.disnat.com/centre-apprentissage/articles-experts/charles-k-langford/prix-
nobel-et-risques-systematiques-et-specifiques-dun-titre
http://financedemarche.fr/finance/differences-entre-risque-systematique-et-risque-
specifique
https://fr.investing.com/equities/itissalat-al-maghrib-historical-data
Le Béta : sensibilité d'un actif; Béta et volatilité quelle différence?
https://www.abcbourse.com/apprendre/19_beta.html
https://youtu.be/oMxbfpp2LYc
http://www.casablanca-bourse.com/bourseweb/index.aspx
Arbitrage et loi du prix unique
https://fr.wikipedia.org/wiki/Mod%C3%A8le_d%27%C3%A9valuation_par_arbitrage
http://www.ressources-actuarielles.net/EXT/ISFA/fp-
isfa.nsf/2b0481298458b3d1c1256f8a0024c478/063a577cf80dcbbbc125735000356c88/$
FILE/PolyMathFi.pdf
https://www.e-marketing.fr/Definitions-Glossaire/Prix-unique-politique-238660.htm
https://fr.slideshare.net/sakanor/learning-unit-16
Modèle d’évaluation des actifs financiers (MEDAF)
https://www.economie.gouv.fr/facileco/comment-crise-s-est-elle-propagee
http://www.nsenterprises.ca/
http://www.vernimmen.net/ftp/Memoire_Victor_Stevenard.pdf
https://www.economie.gouv.fr/facileco/comment-crise-a-t-elle-commence
http://www.vernimmen.net/ftp/Memoire_Victor_Stevenard.pdf
https://www.cairn.info/revue-regards-croises-sur-l-economie-2015-2-page-227.htm
Finance d'entreprise - Pierre vernimmen
Finance le nouveau paradigme - Philippe Herlin
La gestion du portefeuille de titres : rentabilité et risque

29
La gestion de portefeuille *Robert COBBAUT Roland GILLET Georges HÜBNER*2e édition-
Chapitre 2 Le risque d’un placement en actions.
Cours de Gestion de Portefeuilles _ LIII - Dr. BIDIASSE Honoré- Chapitre 1 Le critère de
l’espérance mathématique du gain.
Les bénéfices de la diversification d’un portefeuille
https://sowefund.com/glossaire/diversification-de-portefeuille

https://blog.nalo.fr/diversification-de-portefeuille/

https://www.leboursier.ma/Actus/7527/2020/05/18/Voici-pourquoi-le-RCAR-est-entre-
dans-le-capital-de-CFG-Bank.html

https://telquel.ma/2019/06/25/le-rcar-acquiert-plus-de-16-millions-dactions-maroc-
telecom_1642950

Rapport de l’activité de CDG 2019

Portefeuille Efficient : MARKOWITZ

https://www.abcbourse.com/apprendre/19_theorie_moderne_du_portefeuille.html
https://www.centralcharts.com/fr/gm/1-apprendre/3-bourse/5-gestion-
portefeuille/211-theorie-du-portefeuille-selon-markowitz
http://opcvm.info/theorie-moderne-du-portefeuille/
Portefeuille tangent: Ratio de SHARPE
https://www.abcbourse.com/apprendre/19_ratio_de_sharpe.html
https://www.google.com/url?sa=t&source=web&rct=j&url=http://biblos.hec.ca/biblio/me
moires/m2015NO100.pdf&ved=2ahUKEwj4pcqK-
PXuAhWFwuYKHaFdBsQQFjACegQIGRAC&usg=AOvVaw32UiPHE5gv_E_eZzyfp2L9
Le cours de l'année dernière de la finance de marché.

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