Exo 5

UNIVERSITE PAUL SABATIER
L2 Physique et Sciences Physiques et Chimiques

Année Universitaire 2011–2012
Electromagnétisme
Examen Mai 2012 (Durée 2h00)
I. Questions de cours : loi d’ohm dans les métaux

On considère un milieu conducteur linéaire, isotrope et non dispersif, de conductivité
électrique γ. On applique à l’instant t=to un champ électrique alternatif E = E0 cos(2πνt)e z
( E = E0 exp(i2πvt)e z en notation complexe) de fréquence v.
1. A partir de la loi de conservation de la charge électrique et de l’équation de Maxwell-Gauss,

écrire l’équation différentielle à laquelle obéit la densité volumique de charge ρ(M, t) en un point M
à l’instant t sachant que la densité volumique de charge à l’instant t0 est ρ(M, t0)= ρ0.
2. Montrer que dans le cas d’un conducteur ohmique en cuivre (γ=5.9 107 S.m-1), ρ(M, t) tends très
rapidement vers zéro avec un temps relaxation τ=ε0/γ dont on donnera la valeur numérique.
3. Calculer le rapport r des amplitudes du courant volumique de conduction J et du courant
volumique de déplacement JD pour une fréquence ν de 1 MHz. Quelle conclusion peut –on tirer de
la valeur de r ?
4. Quelle est la condition à laquelle la fréquence maximale νmax du champ électrique appliqué doit
obéir pour que ce dernier soit considéré comme statique à l’intérieur du conducteur ? Dans quelle
approximation alors se place t-on?
5. Ecrire alors en tenant compte des questions 2 et 3 les quatre équations de Maxwell pour un milieu
conducteur.
On considère que le milieu conducteur est un fil de cuivre, assimilé à un cylindre d’axe Oz et
μ0 Jρ
de rayon a, soumis aux champs électrique E et magnétique B( ρ ) = eφ approximés maintenant
2
comme statiques.
6. Donner en régime permanent l’équation exprimant la conservation de l’énergie
électromagnétique dans le fil de cuivre. Montrer que le flux du vecteur de Poynting entrant dans le
fil de cuivre est égal à la puissance dissipée par effet joule.
Rappel : permittivité du vide ε0=8.85 10-12 F.m-1

II. Propagation guidée dune onde électromagnétique transverse électrique
On considère un guide d’ondes de section rectangulaire (voir figure ci-dessous) d’axe parallèle à
Oz. C’est un tube métallique creux rempli d’air de section rectangulaire de dimensions a suivant x
et b suivant y. Le métal du guide d’ondes est supposé parfaitement conducteur (conductivité
électrique γ→∞). Les ondes électromagnétiques se propagent suivant l’axe Oz perpendiculaire à la
1
figure. On assimilera l’air au vide (ε0, μ0 et c = ). x
ε0 μ0
a
air
o
y
b
Partie A.
Une onde TE01 (transverse électrique zéro-un) de pulsation ω se propage dans le guide. Son
champ électrique E (y, z,t) s’écrit à l’instant t et au point de coordonnées x, y, z (0<x<a, 0<y<b) :
πy πy
E (y, z, t) = E 0 sin( ) cos( wt − kz ) e x ( E (y, z, t) = E 0 sin( ) exp[i ( wt − kz ] e x )
b b
où E0 et k sont des constantes réelles strictement positives.
1. Préciser le sens de propagation et la nature de la polarisation de l’onde électromagnétique.
Justifier le nom « transverse électrique » donné à l’onde étudiée.
2. Vérifier l’équation de Maxwell-Gauss.
3. Montrer que E (y, z, t) vérifie les conditions aux limites en x= 0, x=a ; y=0 et y=b.
4. Donner l’équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle doit satisfaire le champ
π2 ω2
− −k + 2 =0
2
électrique. Montrer que l’équation de propagation se réduit à : b 2 c .
5. En déduire que la propagation de l’onde électromagnétique dans le guide n’est possible que pour
des pulsations ω supérieures à une pulsation de coupure ωc que l’on déterminera.
6. Déterminer les vitesses de phase Vφ et de groupe Vg de l’onde TE01 dans le guide. Représenter
leur variation respective en fonction de ω.
7. A l’aide de l’équation de Maxwell-Faraday, montrer que le champ magnétique B(y, z, t) de

l’onde TE01 dans le guide s’écrit :
k E0 πy Eπ πy
B(y, z,t) = sin( ) cos( wt − kz ) e y + 0 cos( ) sin( wt − kz ) e z
ω b ωb b
8. Vérifier l’équation de Maxwell-flux. Vérifier que B(y, z,t) vérifie les conditions aux limites.
9. Pourquoi l’onde électromagnétique guidée n’est pas une onde transverse électrique magnétique
TEM ?
Partie B.
1. Calculer le vecteur de Poynting R et sa valeur moyenne < R > T dans le temps.
2. Déterminer le flux moyen <P>T de < R >T à travers une section droite (ab) du guide (z=cte) en
fonction de E0, a, b, μ0, k et ω.
On montre que l’énergie électromagnétique moyenne par unité de longueur de guide <ξem>T /dz
< ξ em > T ε0 E02 ab
=
s’écrit: dz 4
3. Montrer que la vitesse de propagation Ve de l’énergie électromagnétique dans le guide d’ondes
s’identifie à la vitesse de groupe Vg.
Rappels :
a) rot( rot E ) = div( grad E ) − Δ E
b) Equations de passage:
Conservation de la composante normale du champ magnétique : n12 . ( B2 - B1 ) = 0
Conservation de la composante tangentielle du champ électrique n12 ∧ ( E2 - E1 ) = 0

πy πy b
< sin 2 ( ) > =< cos 2 ( )> =
c) b b 2
d) Vφ Vg = c2.

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( E = E0 exp(i2πvt)e z en notation complexe) de fréquence v.

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1. Calculer le vecteur de Poynting R et sa valeur moyenne < R > T dans le temps.

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