Td1 Enpc Final Corrige

Module « Construction Métallique et Mixte »
TD N°1 Résistance des Sections

01 0ctobre 2018
CORRIGE
Année Scolaire 2018 – 2019

1. Exercice 1 : Traction
Préambule : dans les projets de construction, il est impératif de prendre en compte dans les calculs la
variation de la limite d’élasticité de l’acier en fonction de l’épaisseur de la tôle (cf mode d’élaboration
de l’acier)
Dans les différents exercices ci-après on adoptera par simplification une limite d’élasticité en
conformité avec la nuance de l’acier sans se préoccuper de la réduction due à l’effet de l’épaisseur.
On s’intéresse à une diagonale de la membrure du portique treillis principal.
Question 1 : Déterminer la résistance à la traction d’une diagonale de la poutre treillis en tube carré
SHS 150x6mm en acier S235JRH. (fy = 235 MPa, fu = 360MPa)
150
6 150
01 Octobre 2018 Page 2 sur 15

Extrait catalogue ARCELOR MITTAL des profilés avec les caractéristiques mécaniques :
Corrigé :
Résistance plastique de la section brute (en l’absence de perçages) :
, = , =A / =33,63.10-4x235.103/1,0 =790 kN

Question 2 : On s’intéresse à l’assemblage de la diagonale sur la membrure de la poutre treillis :
Déterminer l’épaisseur nécessaire e en mm du plat d’attache pour résister à l’effort max résistant
attaché par 8 boulons diamètre 20mm (M20) en supposant une disposition de trous ci-après :
40 4 x 50
40
200 2 x 60
40
Corrigé :
• Résistance plastique de la section brute (en l’absence de perçages, mode de rupture ductile) :
, = , = / =200.10-3xe.10-3x235.103/1,0 ≥790 kN
D’où e ≥ 790 x 1,0 x 103 / (200.10-3 x 235.103 ) = 16,8 mm

• Résistance plastique de la section nette (en prenant en compte les perçages, mode de rupture
fragile) :
, = , =0,9 / ≥790 kN
Avec
section nette minimum calculée suivant les différentes lignes de rupture possibles.
Ce deuxième mode de rupture étant un mode de rupture fragile, il ne doit pas être prépondérant par
rapport au mode de rupture ductile correspondant à la ruine par plastification de la section brute, en
cas de structure soumise aux effets de fatigue ou à des efforts alternés type séisme.
La vérification de la résistance de la section nette par rapport à la limite à la rupture de l’acier s’explique
par le comportement local de l’acier au droit des trous : après atteinte de la limite d’élasticité, les
déformations plastiques sont cantonnées dans cette section particulière et au voisinage du bord des
trous jusqu’à l’intervention de l’écrouissage.
Sous réserve que la contrainte dans la section brute courante, réputée uniforme, reste inférieure à la
limite d’élasticité, le processus de chargement de la section nette peut suivre les étapes suivantes :
Source : « Formulaire de la Construction Métallique » auteur Pierre Maitre, éditeur Groupe Moniteur.

Lignes de rupture possibles :
P
b
P
L1 L3 L2 L4
Diamètre des trous pour boulon M20 d0 = 20 + 2 = 22mm (normalisé)
Anet 1 = e x (200 – 2 x 22) = e x 156 mm²
Anet 2 = e x (200 – 1 x 22) = e x 178 mm²
Anet 3 = Abrute – Ared = e x b – e x (n x d - ∑ ) = e x 200 – e x (3 x 22 – 2 x ) = e x 154,8 mm²
Anet 4 = Abrute – Ared = e x b – e x (n x d - ∑ ) = e x 200 – e x (2 x 22 – ) = e x 166 mm²
La section nette dimensionnante est la section 3.
, = , =0,9 / = 0,9 x e x 154,8.10-6 x 360.103 / 1,25 ≥790 kN
D’où e ≥ 790 x 1,25 / (0,9 x 154,8.10-6 x 360.103 ) = 19,7 mm
Epaisseur du gousset e minimum nécessaire e = 20mm.

2. Exercice 2 : Flexion et Effort normal dans les membrures de la palée principale de stabilité en
PRS 500 x 15 / 400 X 25 de la façade nord
A’ A’

V VENT
Plan de
contreventement
toiture
Section à
vérifier
V/2 V/2
NEd = +/-2055 kN MyEd =1020 kNm
Fonctionnement et efforts simplifiés de la poutre au vent du long pan nord
PRS 500 x 15 / 400 x 25 en acier S235 J0 (fy = 235 MPa, fu = 360MPa)

Caractéristiques mécaniques
A = 275 cm2
Iy = 153 541 cm4 Wely = 5583 cm3 Wply = 6187 cm3
Iz = 26 680 cm4 Welz = 1334 cm3 Wplz = 2028 cm3
Question 1 : Calculer la résistance de la section du PRS à la compression seule (sans risque d’instabilité
de flambement)
Corrigé :
• Classification de la section transversale :
La classification de la section traduit la capacité d’un profilé composé de parois minces à développer
pleinement (ou non) sa résistance. Cette dernière est en effet conditionnée par la possibilité
d’apparition d’un voilement local d’une paroi comprimée totalement ou partiellement en fonction des
sollicitations décomposées dans ces parois.
fy fy
fy
σ < fy
Source : « Formulaire de la Construction Métallique » auteur Pierre Maitre, éditeur Groupe Moniteur.
Pour classifier la section, on classe chacune de ses parois en fonction de son élancement géométrique
et de l’état de sollicitation de la section. La classe de la section du profilé correspond à celle de ses
parois la plus défavorisée du point de vue du voilement local.
Cf tableau de classification des sections dans le poly.

- Classification de la semelle comprimée (paroi avec un bord libre et un bord appuyé) :
c/t = (200-15/2)/25 = 7,7 <9 ε =9 Classe 1
Nota : la dimension des cordons de soudure n’étant pas connue, ils ne sont pas pris en compte dans le
calcul de c. Cela place en sécurité)
- Classification de l’âme comprimée (paroi avec deux bords appuyés) :
c/t = 500/15 = 33,33 ≈ 33 ε =33 Classe 1
La section est donc de classe 1.
Nota : effet de la nuance d’acier sur la classification de la section – coefficient ε :
Les limites fixées aux élancements de parois dans l’Eurocode 3 sont corrigées en fonction de la limite
d’élasticité de l’acier, quand celle-ci diffère de 235 MPa (acier S235). Cette correction résulte des
considérations suivantes :
La mesure de l’incidence de l’instabilité sur la résistance est fournie par le rapport fy/ σcr ou fy est la
limite d’élasticité et σcr la contrainte critique de voilement.
Cette dernière est inversement proportionnelle au carré de l’élancement géométrique c/t

.
( é = × )
× ).
.(
Pour qu’un élancement c1/t1 associé à fy1 soit équivalent du point de vue du voilement local à un
élancement c2/t2 associé à fy2, il faut que la relation suivante soir satisfaite :
. = .
Soit
= .
Les élancements limites sont donc tous corrigés par le rapport =ε quand une autre nuance de
limite élastique fy est utilisée.
• Calcul de la résistance à l’effort axial en compression :
Pour les sections transversales de classe 1,2 et 3 :
Nc,Rd = Npl,Rd = Afy/ƳM0
Nc,Rd = 275.10-4 x 235.103 / 1,0 =6462 kN

Question 2 : Calculer la résistance de la section du PRS à la flexion seule (sans risque d’instabilité de
déversement).
Corrigé :
• Classification de la section transversale :
La classification de la section transversales n’est pas nécessaire puisque sous effort de compression
uniforme, la section est de classe 1.
Nota : si on ne connait pas exactement les sollicitations les plus défavorables d’une section et de ses
parois vis-à-vis du voilement local, on classe la section de manière la plus sécuritaire, c’est-à-dire en
supposant ses parois complétement comprimées. C’est ce qui est fait le plus souvent dans la pratique.
• Calcul de la résistance à la flexion :
Pour les sections transversales de classe 1 et 2 :
Mc,Rd = Mpl,Rd = Wplyfy/ƳM0
Mc,Rd = 6187.10-6 x 235.103 / 1,0 =1454 kNm
Question 3 : Vérifier la section du PRS à la flexion compte tenu de la présence de l’effort normal (sans
risque d’instabilité de déversement)
Corrigé :
Pour les sections transversales de classe 1 et 2
MEd ≤ MN,Rd
Avec MEd valeur de calcul du moment fléchissant et MN,Rd le moment résistant plastique de calcul réduit
par l’effort normal NEd .
Pour les sections bi symétriques en I ou en H, il n’est pas nécessaire de considérer l’influence de l’effort
normal sur le moment résistant plastique autour de l’axe yy lorsque les 2 critères suivants sont
satisfaits.
(1) NEd ≤ 0,25 Npl,Rd = 0,25 x 6462 =1615 kN FAUX (NEd = 2055 kN)
,
(2) NEd ≤ =(0,5 x 500.10-3 x 15.10-3 x 235.103) / 1,0 =881 kN FAUX (NEd = 2055 kN)
Il faut donc vérifier l’interaction M et N et calculer MN,Rd.
MN,y,Rd. = Mpl,y,Rd. (1-n)/(1-0,5a) mais MN,y,Rd. ≤ Mpl,y,Rd

Où : n = NEd / Npl,Rd =2055 / 6462 = 0,32
a = (A – 2btf)/A = (27500 – 2 x 400 x 25) / 27500 = 0,27 (mais a≤0,5)
MN,y,Rd. = 1454 x (1-0,32)/(1-0,5 x 0,27) = 1454 x 0,79 = 1143 kNm > MyEd la section est vérifiée.
,
Avec = = 0,89 ≤ 1
, ,
Les formules d’interaction permettent de prendre en compte de la répartition des contraintes d’effort
axial et de flexion dans des parois de la section. En effet si on fait une combinaison linéaire des rapports
sollicitation/résistance (qui est toujours possible et qui place en sécurité) pour vérifier la résistance de
la section :
,
+ ≤1
,
+ = 0,32 + 0,70 = 1,02 > 1
La section ne serait donc pas vérifiée !
Les interactions concernent toutes les combinaisons d’actions N, My, Mz et V.

3. Exercice 3 (hors TD): vérification d’une section soumise à un moment de flexion et un effort
de cisaillement
On demande de vérifier au cisaillement la section S de la poutre suivante :
(Les charges sont pondérées et on négligera le poids propre de la poutre).
• Vérification au cisaillement
- Effort tranchant sollicitant à l’ELU au droit de la section S :

VEd = 300 kN.
- Vérification de l’absence du voilement de cisaillement
Pour les âmes dépourvues de raidisseurs intermédiaires, la vérification au voilement de cisaillement

n’est pas requise lorsque :
hw/tw ≤ 72 ε/ƞ

On a hw/tw = 196/8 = 24,5 (on considère ici la partie droite de l’âme) < 72 x 1/ 1,2 = 60 donc : il n’y a
pas lieu de vérifier le voilement de cisaillement.
- La vérification au cisaillement se fait alors selon l’expression : ≤1

,
⁄√ ⁄√
Avec Vc,Rd = Vpl,Rd = =[9726 – 2x280x13+13x(8+2x24)]x = 430,6kN
,
VEd = 300 kN < Vc,Rd = 430,6 kN la section est vérifiée
• Vérification à la flexion
- Moment sollicitant à l’ELU au droit de la section S
MEd,y = 300x0,8 = 240 kN.m.
- Calcul du moment résistant
Classification
Semelle comprimée : c/t = (140 - 4 - 24)/13 = 8,61 < 9 x 1 Semelle de classe 1
Âme en flexion : distribution plastique des contraintes pour la classification (la section est
doublement symétrique) d/tw + 24,5 < 72ε = 72x1 l’âme est de classe 1
La section est de classe 1. Donc : résistance plastique
Résistance à la flexion Mc,Rd
Mc,Rd = Mpl,y,Rd = Wpl,y,fy/ƳM0.
Wpl,y = 1,112.106 mm3
Mc,Rd = Mpl,y,Rd = 1,112.106 x 235/1,0 = 261,3 kN.m
A ce stade il ne faut pas se limiter à la vérification MEd,y ≤ Mc,Rd car il faut examiner l’effet de la
présence de l’effort tranchant.
• Interaction flexion-cisaillement
VEd = 300 kN > 0,5 Vpl,Rd = 0,5 x 430,6 = 215,3 kN.
Il faut donc prendre en compte la réduction du moment résistant compte tenu de la présence
d’effort tranchant.

Calcul du moment résistant à la flexion en présence de l’effort tranchant :
, −
4
, , = ×
Avec = −1
,
et Aw = hw tw
Wpl,y = 1,112.106 mm3

= (2 x 300/430,6 – 1)2 = 0,155
Aw = (270 – 2x13) x 8 = 1952 mm²
Mv,y,Rd = [1,112.106 - 0,155 x (1952)2/(4 x 8)] x 235/1,0 = 257 kN.m
Et on vérifie bien que : MEd,y = 240 kN

01 0ctobre 2018
ENONCE

1. Introduction au TD :
L’un des objectifs des 3 prochains TD est d’amener les élèves à comprendre la philosophie de
justification, conformément à l’Eurocode 3, d’une structure métallique en passant en revue puis en
justifiant certains de ses éléments assurant sa stabilité.
Les principes enseignés, centrés pour les besoins de ce cours uniquement sur la charpente principale
d’un bâtiment, sont à étendre à tout l’ouvrage et à ses composantes depuis les fondations, jusqu’aux
facades et à la couverture, en passant par les ouvrages d’équipement comme les ponts roulants ou
les portes par exemple.
En quelques lignes un court rappel du développement d’un projet de structure avant d’arriver à la
justification de ses éléments de charpente métallique ou mixte :
• A la demande d’un client qui a un besoin particulier (de nouveaux bureaux, d’une nouvelle
usine, d’un simple auvent…), un binôme associant architecte et ingénieur va concevoir un
ouvrage complet, qui assure les fonctions demandées par le client et qui évidemment résiste
aux différentes actions, intérieures ou extérieures, qui vont le solliciter pendant toute sa
durée de vie : la gravité (les « actions permanentes »), les personnes/véhicules qui vont
utiliser le bâtiment (les « actions d’exploitation ») la neige, le vent (les « actions
climatiques »), et parfois des actions accidentelles comme le séisme.
Toutes ses actions sont décrites dans l’Eurocode 1 « Actions sur les structures ».
• Ces actions sont combinées entre elles pour créer les effets les plus défavorables (mais
probables) sur la structure de l’ouvrage et assurer ainsi une justification des éléments qui
place en sécurité.
Toutes ces combinaisons d’actions sont définies ans l’Eurocode 0 « Bases de calcul des
structures»
• La conception de la structure, prévue pour supporter ces actions, inclue la conception de la

stabilité globale et des différents éléments structuraux primaires et secondaires (les poteaux,
les poutres, les contreventements, les pannes, les solives… cf cours de conception des
structures).
• Les efforts dans la structure sont ensuite calculés plus finement (à la main rarement, avec un
calcul par éléments finis plus sûrement !)
• La capacité de la structure, de ses éléments et de ses assemblages doit ensuite être vérifiée
en utilisant les efforts issus des calculs pour assurer la résistance aux efforts sollicitant : c’est
le dimensionnement définitif. Le choix des sections et des organes d’assemblage doit assurer
la constructibilité et l’efficacité économique dans la plus part des cas. C’est souvent un
processus itératif.
C’est l’objet de l’Eurocode 3 « Calcul des structures en acier »

2. Vérification de la capacité d’une structure et de ces éléments :
A partir des efforts dimensionnant obtenus dans chacun des éléments (ou pour des familles
d’éléments) les vérifications suivantes sont nécessaires :
• Vérification des barres :

 Résistance des barres: traction, compression, flexion, cisaillement (actions le
plus souvent combinées).
 Stabilité des barres: flambement, déversement, voilement.
• Vérification des assemblages entre les barres
• Vérification de la stabilité globale des éléments composés (exemple poutres treillis) et de la
structure dans son ensemble.
Les 3 premiers TD concernent essentiellement la vérification des barres et des assemblages en

suivant les règles de l’Eurocode 3.
L’Eurocode 3 est une norme de calcul: c’est donc un « moyen » qui permet de calculer les structures
en acier, ce n’est pas une « fin en soi ». L’objectif de ce TD est, dans la mesure du possible, de faire
comprendre aux étudiants ce qu’il y a derrière les concepts et les formules afin de pouvoir les
comprendre et les utiliser en Ingénieur.
3. La Halle Airbus à Saint Nazaire :
Les 3 prochains TD (vérification de sections, des barres et des assemblages) s’appuie sur des cas
extraits d’une halle industrielle construite en 2014 : le bâtiment FLY 10 000 AIRBUS à Saint Nazaire– Il
s’agit d’une extension d’une usine existante qui a un rôle de plateforme logistique pour des pièces
d’avions de ligne dont une partie de l’assemblage se fait à Saint Nazaire.
En l’occurrence ce nouveau hall permet d’assurer le déchargement en toute sécurité des avions de
transport Beluga qui transportent des morceaux d’avion plus petits.

BATIMENT FLY 10 000 AIRBUS Saint Nazaire– Déchargement Beluga


Section horizontale au niveau du sol fini
Section horizontale au niveau toiture

Coupe transversale file 3’ (on retrouve le portique principal files 1, 2’, 3’, 4’ et 5’)
Long pan Nord File A’
Long pan Sud File B’

4. Exercice 1 : Traction
Préambule : dans les projets de construction, il est impératif de prendre en compte dans les calculs la
variation de la limite d’élasticité de l’acier en fonction de l’épaisseur de la tôle (cf mode d’élaboration
de l’acier)
Dans les différents exercices ci-après on adoptera par simplification une limite d’élasticité en
conformité avec la nuance de l’acier sans se préoccuper de la réduction due à l’effet de l’épaisseur.
On s’intéresse à une diagonale de la membrure du portique treillis principal.
Question 1 : Déterminer la résistance à la traction d’une diagonale de la poutre treillis en tube carré
SHS 150x6mm en acier S235JRH. (fy = 235 MPa, fu = 360MPa)
150
6 150

Extrait catalogue ARCELOR MITTAL des profilés avec les caractéristiques mécaniques :

Question 2 : On s’intéresse à l’assemblage de la diagonale sur la membrure de la poutre treillis :
Déterminer l’épaisseur nécessaire e en mm du plat d’attache pour résister à l’effort max résistant
attaché par 8 boulons diamètre 20mm (M20) en supposant une disposition de trous ci-après :
40 4 x 50
40
200 2 x 60
40

5. Exercice 2 : Flexion et Effort normal dans les membrures de la palée principale de stabilité en
PRS 500 x 15 / 400 X 25 de la façade nord
A’ A’

V VENT
Plan de
contreventement
toiture
Section à
vérifier
V/2 V/2
NEd = +/-2055 kN MyEd =1020 kNm
Fonctionnement et efforts simplifiés de la poutre au vent du long pan nord
PRS 500 x 15 / 400 x 25 en acier S235 J0 (fy = 235 MPa, fu = 360MPa)

A = 275 cm2
Iy = 153 541 cm4 Wely = 5583 cm3 Wply = 6187 cm3
Iz = 26 680 cm4 Welz = 1334 cm3 Wplz = 2028 cm3
Question 1 : Calculer la résistance de la section du PRS à la compression seule (sans risque

d’instabilité de flambement)
Question 2 : Calculer la résistance de la section du PRS à la flexion seule (sans risque d’instabilité de
déversement).
Question 3 : Vérifier la section du PRS à la flexion compte tenu de la présence de l’effort normal
(sans risque d’instabilité de déversement)

TD N°3 Assemblages
5 Novembre 2018
CORRIGE

TD N°3 Assemblages
Exercice 1 : Assemblage de la diagonale sur la membrure de la poutre treillis :
Dans le premier TD nous avions dimensionné l’épaisseur du plat d’attache e=20mm en S235 JR
(fy=235 MPa et fu=360MPa) de la diagonale (tube carré SHS 150x6mm en acier S235JRH) sur le
gousset soudé à la membrure et au montant de la poutre treillis pour résister à l’effort max résistant
de cette diagonale (790kN) attaché par 8 boulons diamètre 20mm (M20).
Après calcul, l’effort de traction ELU réel dans la diagonale est FEd=450kN.
40 4 x 50
40
200 2 x 60
FEd=450kN FEd=450kN
40
Vue de dessus
5 Novembre 2018 Page 2 sur 24

TD N°3 Assemblages
Plat d’attache tp =20mm, acier S235
Gousset tg =20mm, acier S235
Coupe 2
Question 1 : Tracer le chemin de l’effort au travers de l’assemblage et énumérer les composants à

vérifier.
1. Soudure du tube de la diagonale sur le plat d’attache

2. Section brute du plat d’attache
3. Section nette du plat d’attache (la section nette du gousset n’est pas dimensionnante :
même épaisseur que le plat d’attache et largeur plus importante)
4. Boulons
5. Section nette du gousset : elle n’est pas dimensionnante car elle a la même épaisseur que
le plat d’attache mais une largeur plus importante.
6. Soudure du gousset sur la membrure et sur le montant
7. Flexion locale du tube du montant sollicité par le gousset soudé en traction
Question 2 : Déterminer la classe de qualité minimum des boulons (assemblage par boulons
ordinaires).
a. Dimensionnement au cisaillement :
Caractéristiques géométriques d’un boulon M20 :

d = 20 mm (diamètre de la partie lisse de la vis)
d0 = 22 mm (diamètre du perçage = d+2mm)

TD N°3 Assemblages
A = 314 mm2 (section de la partie lisse de la vis)

As = 245 mm2 (section résistante de la partie filetée de la vis)
Résistance au cisaillement d’un boulon :
× ×
, =
Avec = 0,6 pour les classes de qualité 4.6, 5.6 et 8.8 (classes les plus ductiles)
= 0,5 pour les classes de qualité 4.8, 5.8, 6.8 et 10.9 (classes les moins ductiles)
= 1,25
Résistance de l’assemblage composé de 8 boulons, 1 plan de cisaillement :
× ×
, , =8× ≥ = 450
En supposant que les boulons sont choisis parmi les plus ductiles avec = 0,6 :
1,25 × 450
≥ = 478. 10 ⁄ = 478 / ²
8 × 0,6 × 245. 10
= 500 / ² pour les boulons de classe 5.6 et au-delà.
Résistance au cisaillement d’un boulon M20 classe 5.6

0,6 × 500. 10 × 245. 10
, = = 59
1,25
b. Vérification de la pression diamétrale :
La tôle du plat d’attache et du gousset étant de même épaisseur t=20mm et du même matériau (S235),
on a donc besoin de faire qu’une justification :
× × × ×
, =
Ou est la plus petite valeur de ; ; 1,0
Dans la direction des efforts :

• Pour les boulons de rive :
=
3
• Pour les boulons intérieurs :

1
= −
3 4
Perpendiculairement à la direction des efforts :

TD N°3 Assemblages
• Pour les boulons de rive, est la plus petite des valeurs de (2,8 × − 1,7); (1,4 × −
1,7) 2,5
• Pour les boulons intérieurs, est la plus petite des valeurs de (1,4 × − 1,7) 2,5.
Dans notre cas : dans la direction des efforts e1=40mm ; p1=100mm ; perpendiculairement à la
direction des efforts e2=40mm ; p2=60mm
Application numérique :
Ou est la plus petite valeur de 0,61; = = 1,39; 1,0 d’où = 0,61.
Avec dans la direction des efforts :

40
= = = 0,61
3 3 × 22

1 100 1
= − = − = 1,27
3 4 3 × 22 4

• Pour les boulons de rive, est la plus petite des valeurs de (2,8 × − 1,7 = 2,8 × −
1,7 = 3,39); (1,4 × − 1,7 = 1,4 × − 1,7 = 2,12) 2,5
• Pour les boulons intérieurs, est la plus petite des valeurs de (1,4 × − 1,7 =
2,12) 2,5.
d’où = 2,12.

TD N°3 Assemblages
Résistance à la pression diamétrale pour 1 boulon :
2,12 × 0,61 × 360. 10 × 20. 10 × 20. 10

, = = 149
1,25
On a bien
450
, > , = = 56,25
8
Question 3 : déterminer la longueur l des cordons de soudure d’angle de gorge a=3mm nécessaire
pour assembler le plat d’attache sur le tube carré de la diagonale.
l
a=3mm
Coupe 1 Vue du dessus
Nota : l’épaisseur du tube étant 6mm il ne sert à rien de l’attacher sur le plat avec une soudure dont
l’épaisseur totale (2xa) serait supérieure. D’un autre côté, la gorge utile d’une soudure d’angle ne
peut pas être inférieure à 3 mm pour assurer une qualité minium de réalisation.
La résistance d’une soudure d’angle est donnée par :
, .
+ 3( + ∥) ≤ et ≤
.

TD N°3 Assemblages
Avec
• contrainte normale perpendiculaire à la gorge a;

• ∥ contrainte normale parallèle à l’axe de la soudure (cette composante n’intervient pas) ;
• contrainte tangente (dans le plan de la gorge a) perpendiculaire à l’axe de la soudure ;
• ∥ contrainte tangente (dans le plan de la gorge a) parallèle à l’axe de la soudure.
Et
• = 0,8 pour l'acier S 235

• = 1,0 pour l'acier S 420 et S 460
Dans notre cas, pour 4 cordons de soudures qui reprennent la charge horizontale FEd=450kN :
=0
=0
∥ =
4× ×
+3 + ∥ = √3 × ≤
4× × .
.
≥ √3 × ×
4×
450 0,8 × 1,25

≥ √3 × × = 0,180 = 180
4 × 3. 10 360. 10
Nota : le début et la fin d’une soudure n’étant pas toujours de bonne qualité, il est courant de
considérer comme longueur de soudure efficace leff la longueur totale l moins 2 fois la gorge a de la
soudure.

TD N°3 Assemblages
Question 4 : vérifier la gorge a=5mm du cordon de soudure du gousset soudé à la membrure et au

montant de la poutre treillis.
Nota : compte tenu de l’orientation de la barre, et afin de simplifier l’exercice tout en se plaçant en
sécurité, on considère que seul le cordon supérieur de longueur l=500mm reprend la charge FEd.
3
Partie de la soudure considérée
l=500
α=40°
FEd
Membrure
(HEA 300)
Gousset
FEd
Section verticale 3

TD N°3 Assemblages
On décompose l’effort en une composante parallèle et une composante perpendiculaire au cordon

de soudure :
l=500mm
b=100mm e=150mm
α=40° FEd∥
FEd⊥ FEd
• Composante parallèle à la soudure :
∥ = × cos 40 = 450 × cos 40 = 345
• Composante perpendiculaire à la soudure :
= × sin 40 = 450 × sin 40 = 289
Le point d’application de l’effort FEd sur la soudure n’est pas au centre de gravité de la soudure
(excentricité e).
Hypothèse de calcul 1 : on ne vérifie la soudure que sur une longueur totale de 2x100mm pour laquelle
l’effort à reprendre est centré. Une fois de plus on se place en sécurité en choisissant de manière
délibérée une zone de soudure bien définie qui, si elle est capable de reprendre l’effort appliqué,
confirme le dimensionnement de l’ensemble de la soudure.
l=500mm
b b
FEd∥
FEd⊥ FEd

pour le calcul

TD N°3 Assemblages
Calcul des contraintes dans chaque cordon de soudure :
∥ /2 345/2
∥ = = = 173. 10 / = 173
2× × 2 × 0,1 × 5. 10
• Composante perpendiculaire à la soudure : décomposition sur le cordon d’angle de

l’effort
a=5mm
√2
( /2) × éé
2
/2 /2
√2
( /2) × éé
2
D’où le calcul de sur un cordon de soudure :
√2 289 √2
( /2) × ×
= = 2 = 2 2 = 102. 10 ⁄ ² = 102
2× × 2 × 0,1 × 5. 10
Vérification de la soudure :
360
+3 + ∥ = 102 + 3(102 + 173 ) = 362 ≈ = = 360
. 0,8 × 1,25
La soudure est vérifiée de manière très limite. Cependant les hypothèses de calcul sont très
défavorables. Le léger dépassement est donc acceptable.

TD N°3 Assemblages
Hypothèse de calcul 2 : on prend en compte toute la longueur de la soudure (l=500mm) tout en

prenant en compte le moment généré par l’excentricité e=150mm entre le CdG de la soudure et le
point d’application de l’effort FEd.
∥ 345
∥ = = = 69. 10 / = 69
×2 0,5 × 2 × 5. 10
• Composante perpendiculaire à la soudure : la section de la soudure peut être assimilée à une

double section rectangulaire soumise aux contraintes de flexion et d’effort axial induites :
a=5 a=5
= 2 × 5. 10 × 0,5 = 5000
l=500mm × × × . ×( , )
ANE = = = 10 417. 10
y y .
= ⁄
= = 417. 10
,
Le moment engendré par l’excentricité est égal à = × = 289 × 0,15 = 43
La contrainte normale engendrée sur la section par le moment M est égale à
43
= = = 103. 10 / = 103
417. 10
La contrainte normale engendrée sur la section par l’effort est égale à
289
= = = 57,8. 10 / = 57,8
5000. 10
a=5 a=5
l=500mm
ANE
y y

TD N°3 Assemblages
Décomposition sur le cordon d’angle des contraintes de flexion et axiale∶
√2
( + )× éé
2
√2
( + )× éé
+ 2
D’où le calcul de :
√2 √2 √2 √2
= = × + × = 57,8 × + 103 ×
2 2 2 2
= 41 + 73 = 114
Vérification de la soudure :
360
+3 + ∥ = 114 + 3(114 + 69 ) = 257 ≤ = = 360
. 0,8 × 1,25
La soudure est vérifiée.
Nota : il y a plusieurs façons de répartir l’effort dans le cordon. Comme pour tout calcul d’assemblage,
ce qui est important est que la répartition choisie des efforts intérieurs entre les cordons soit cohérente
et compatible avec la rigidité et la résistance des éléments composant l’assemblage.

TD N°3 Assemblages
Exercice 2 : Assemblage de continuité de la membrure inférieure de la poutre treillis :
On veut assurer la continuité de la membrure basse de la poutre treillis HEA 300 en acier S355J0, par
deux couvre-joints (d’épaisseur 6mm, de hauteur 190mm) de part et d’autre de l’âme et un couvre-
joint (d’épaisseur 14mm et de largeur 300mm) sur chaque semelle. Les efforts à transmettre à l’état
limite ultime sont :
M = 40 kNm ; N = 320 kN (traction) ; V = 150 kN.
On utilise des boulons précontraints à serrage contrôlé et les surfaces des pièces en contact sont
simplement brossées.
Question 1 : On adopte pour les couvre-joints de semelles des boulons HR 10.9 de diamètre 20 mm.
Déterminer le nombre de boulons nécessaires.
Caractéristiques de la section HEA 300 : A=112,5 cm²

TD N°3 Assemblages
Nous devons d’abord déterminer les sollicitations et donc la part du moment de flexion M et la part
de l’effort axial N qui va transiter par ces couvre-joints de semelles.
a. Moment de flexion M : il y a 3 possibilités de répartir le moment de flexion :
i. Dans les couvre joints de semelles uniquement
NMf
NMf
On admet que le moment est entièrement repris par les couvre-joints de semelles. Dans ce cas l'effort
à reprendre par chaque couvre-joint de semelle est égal à
NMf= M/(h-tf)=40/(0,29-0,014)= 145kN.
C'est ce cas qui est utilisé le plus couramment dans le cas d'un assemblage soumis à une combinaison
d'effort tranchant V et de moment M: les couvre-joints d'âmes assurent le transfert de l'effort
tranchant V pendant que les couvre-joints de semelles assurent le transfert du moment de flexion M.
Dans notre cas nous considérons ce schéma de répartition du moment et donc NMf= 145kN pour le
calcul.
ii. De manière élastique dans les couvre joints d’âme et de semelle
On admet que le moment de flexion M se répartit entre l'âme Mw et les semelles Mf de façon élastique.
Les efforts dans les couvre-joints sont proportionnels à la distance de l'axe neutre de la poutre.
• Les couvre-joints d'âme sont sollicités par un moment Mw avec

=
et l'inertie des couvre-joints d'âme, inertie de l'ensemble des couvre-joints.

TD N°3 Assemblages
b=300mm
eCJf=14mm
eCJw=6mm
hCJw=190mm
Dans notre cas

2× × (ℎ ) 2 × 6 × (190)
= = = 686. 10
12 12
× ℎ+
= +2× + × ×
12 2
300 × (14) 290 + 14
= 686. 10 + 2 × + 300 × 14 ×
12 2
= 20 107. 10
Les couvre-joints d’âme sont donc sollicités par un moment = = × 40 = 1,4
Les couvre-joints de semelles sont sollicités par un moment Mf=M-Mw = 40-1,4=38,6kNm qui produit
un effort normal à reprendre par couvre-joint de NMf =Mf/(h-tf)= 38,6/(0,29-0,014)=139kN.
iii. De manière plastique dans les couvre joints d’âme et de semelle
On admet que le moment de flexion M se répartit entre l'âme Mw et les semelles Mf de façon plastique.
La méthode de justification est la même que pour le calcul élastique mais avec une valeur du moment
Mw repris par les couvre-joints d'âme égal à
,
=
,
avec , module plastique des couvre-joints d'âme et , module plastique de l'ensemble des
couvre-joints.

TD N°3 Assemblages
Dans notre cas

2× × (ℎ ) 2 × 6 × (190)
, = = = 108. 10
4 4
ℎ+
, = , +2× × ×
2
290 + 14
, = 108. 10 + 2 × 300 × 14 ×
2
, = 1385. 10
,
Les couvre-joints d’âme sont donc sollicités par un moment = = × 40 = 3,1 .
,
Les couvre-joints de semelles sont sollicités par un moment Mf=M-Mw = 40-3,1=36,9kNm qui produit
un effort normal à reprendre par couvre-joint NMf =Mf/(h-tf)= 36,9/(0,29-0,014)=134kN.
b. Effort axial N :
La répartition se fait au prorata de la section des semelles par rapport à la section globale du profilé.
Dans une semelle :

×
=
0,3 × 0,014
= × 320 = 119
112,5. 10
c. effort normal total dans chaque semelle :
En compression: Nf = -NMf + NNf=-145 + 119 = - 26 kN
En traction : Nf = NMf + NNf= 145 + 119 = 264 kN
d. Calcul de la résistance d’un boulon HR 10.9 de diamètre 20 précontraint
• Caractéristiques d’un boulon HR 10.9 de diamètre 20 :

d0 = 22 mm (diamètre du perçage = d+2mm)
fub = 10 x 100 = 1000 MPa (contrainte minimale de rupture de l’acier)
Effort de précontrainte
Fp,C = 0,7 As fub
Fp,Cd = 0,7 x 245. 10 x 1000. 10 = 171,50 kN

TD N°3 Assemblages
• Résistance au glissement par boulon
Fs,Rd = ks x n x μ Fp,C / γM3

Fs,Rd = 1 x 1 x 0,3 x 171,50 / 1,10
Fs,Rd = 46,77 kN
ks = 1 pour des perçages normalement dimensionnés
n = 1 nombre de plans de frottement de l’assemblage
μ = 0,3 coefficient de frottement entre surfaces brossées
γM3 = 1,10 facteur partiel de sécurité sur la résistance au frottement à l’état limite ultime.
• Nombre de boulons nécessaires

264
= = = 5,64
, 46,77
On prendra donc 6 boulons. On disposera 3 boulons de chaque côté de l’âme pour chaque demi
couvre-joint, soit au total 12 boulons par semelle.
45 2 x 90 45
60
300 180
60
VUE DE DESSUS
e=14mm
45 2 x 90 45
50
190 90 e=6mm
50
ELEVATION

TD N°3 Assemblages
• Vérification de la résistance des pièces à la pression diamétrale d’un boulon
Dans notre cas les valeurs des pinces sont : dans la direction des efforts e1=45mm ; p1=90mm ;
perpendiculairement à la direction des efforts e2=60mm ; p2=180mm .
× × × ×
, =

=
3

1
= −
3 4

1,7) 2,5
Ou est la plus petite valeur de 0,68; = = 2; 1,0 d’où = 0,68.

45
= = = 0,68
3 3 × 22

1 90 1
= − = − = 1,11
3 4 3 × 22 4

1,7 = 5,9); (1,4 × − 1,7 = 1,4 × − 1,7 = 9,75) 2,5
9,75) 2,5.
d’où = 2,5.

TD N°3 Assemblages
2,5 × 0,68 × 500. 10 × 20. 10 × 14. 10

, = = 190
1,25
On a bien
, > , = 46,77
e. vérification des pièces assemblées
Il s’agit de vérifier la résistance de la section nette (avec les trous) de la semelle du profil et du
couvre-joint.
Pour des boulons de diamètre 20 mm, on pratique des perçages de diamètre 22 mm.
Anet = (b– 2 x d0) x tf

Anet = (300 – 2 x 22) x 14
Anet = 3584 mm2
La résistance de la section nette s’écrit :
3584. 10 × 355. 10
, = = = 1272 > = 264
1,0

TD N°3 Assemblages
Question 2 : On adopte pour les couvre-joints d’âme des boulons HR 8.8. Déterminer le diamètre de
boulons nécessaire.
On considère que ces couvre-joints assurent la transmission :
• de la totalité de l’effort tranchant V,
• de la part de l’effort normal repris par l’âme NNw.
Chaque assemblage est constitué de 6 boulons disposés symétriquement par rapport à l’axe
longitudinal du profil, en 3 files verticales. Le centre de rotation d’un demi couvre-joint est supposé
confondu avec le centre de gravité des boulons d’un assemblage.
a. Torseur d’effort sollicitant l’assemblage (côté poutre) au droit des couvre-joints d’âme :
45 2 x 90 45
50
M
M N
N
190 90 G
NNw
V V
V
50
e=135

TD N°3 Assemblages
b. Torseur résultant au centre de rotation G d’un demi couvre-joint :
45 2 x 90 45
50
190 90 Fi’
V
50
45 2 x 90 45
50 1 5 3
c z
zi
ri
190 90 M=Vxe xi Fi’’
x
50 2 6 4
45 2 x 90 45
50
c
190 90 NNw
50 Fi’’’

TD N°3 Assemblages
On a:
V = 150 kN
M = V x e = 150 x 0,135 = 20,25 kNm
NNw== N – 2 x NNf = 320 – 2 x 119 = 82 kN
L’effort tranchant et l’effort normal se répartissent uniformément entre les 6 boulons de l’assemblage.
Ils donnent lieu à des composantes respectivement verticale et horizontale :
Fi’ = V / 6 = 150 / 6 = 25 kN (suivant z)

Fi’’’ = NNw / 6 = 82 / 6 = 14 kN (suivant x)
Dans l’hypothèse d’un fonctionnement élastique du système, chaque boulon i subit, du fait du moment
appliqué, un effort proportionnel à son éloignement ri par rapport au centre de rotation et orienté
perpendiculairement au rayon joignant ce boulon au centre de rotation.
Les composantes verticales et horizontales de ces efforts s’écrivent donc en fonction des distances
horizontale xi et verticale zi entre chaque boulon i et le centre de rotation :
×
=
∑ ( + )
×
=
∑ ( + )
Boulons 1,2,3 et 4 :
20,25 × 45. 10
= = 20,5
(4 × ((90. 10 ) + (45. 10 ) ) + 2 × (0 + (45. 10 ) ))
20,25 × 90. 10
= 41
(4 × ((90. 10 ) + (45. 10 ) ) + 2 × (0 + (45. 10 ) ))
Boulons 5 et 6 :
20,25 × 45. 10
= = 20,5
(4 × ((90. 10 ) + (45. 10 ) ) + 2 × (0 + (45. 10 ) ))
20,25 × 0
= =0
(4 × ((90. 10 ) + (45. 10 ) ) + 2 × (0 + (45. 10 ) ))
Efforts max dans les boulons 1,2,3 et 4 :
= ( + ) +( + )
= (14 + 20,5) + (25 + 41) = 74,5
c. Choix du diamètre des boulons HR 8.8 :

On essaie des boulons de diamètre 22 mm.

TD N°3 Assemblages

d0 = 24 mm (diamètre du perçage d+2mm)
fub = 8 x 100 = 800 MPa (contrainte minimale de rupture de l’acier)
Effort de précontrainte
Fp,C = 0,7 As fub
Fp,C = 0,7 x 303.10-6 x 800.103 = 170 kN
d. Résistance au glissement d’un boulon
Fs,Rd = ks x n x μ Fp,C / γM3

Fs,Rd = 1 x 2 x 0,3 x 170 / 1,10
Fs,Rd = 93 KN > Fi=74,5kN
ks = 1 pour des perçages normalement dimensionnés

n = 2 nombre de plans de frottement de l’assemblage
μ = 0,3 coefficient de frottement entre surfaces brossées
γM3 = 1,10 facteur partiel de sécurité sur la résistance au frottement à l’état limite ultime.
Les boulons diamètre 22 en classe HR 8.8 sont satisfaisants.
e. Vérification de la pression diamétrale d’un boulon (sur l’âme du profilé dont l’épaisseur
8,5mm est inférieure à l’épaisseur totale des couvre-joints de 2x6mm).
Les efforts sont dans les deux directions : on choisit donc des valeurs égales et sécuritaires pour les
pinces (e1,p1) et (e2,p2). Dans notre cas les valeurs des pinces intérieures pi sont toutes les deux
égales à 90mm, les pinces extérieures ei sont égales à soit 45mm soit 50mm. On choisit donc
e1=e2=45mm et p1=p2=90mm.
× × × ×
, =

=
3

1
= −
3 4

1,7) 2,5

TD N°3 Assemblages
Ou est la plus petite valeur de 0,63; = = 1,6; 1,0 d’où = 0,63.

45
= = = 0,63
3 3 × 24

1 90 1
= − = − = 1,0
3 4 3 × 24 4

1,7 = 3,55); (1,4 × − 1,7 = 1,4 × − 1,7 = 3,55) 2,5
3,55) 2,5.
d’où = 2,5.
2,5 × 0,63 × 500. 10 × 22. 10 × 8,5. 10

, = = 118
1,25
On a bien
, > , = 93 > Fi = 74,5kN
f. vérification des pièces assemblées
Il s’agit de vérifier la résistance de la section nette (avec les trous) du couvre-joint.
Pour des boulons de diamètre 22 mm, on pratique des perçages de diamètre 24 mm.
Anet = (b– 2 x d0) x t

Anet = (190 – 2 x 24) x 6
Anet = 852 mm2
La résistance de la section nette s’écrit :
852. 10 × 355. 10 150

, = = = 302 > = = 75
1,0 2 2

TD N°3 Assemblages
5 Novembre 2018
ENONCE

TD N°3 Assemblages
Exercice 1 : Assemblage de la diagonale sur la membrure de la poutre treillis :
Dans le premier TD nous avions dimensionné l’épaisseur du plat d’attache e=20mm en S235 JR
(fy=235 MPa et fu=360MPa) de la diagonale (tube carré SHS 150x6mm en acier S235JRH) sur le
gousset soudé à la membrure et au montant de la poutre treillis pour résister à l’effort max résistant
de cette diagonale (790kN) attaché par 8 boulons diamètre 20mm (M20).
Après calcul, l’effort de traction ELU réel dans la diagonale est FEd=450kN.
40 4 x 50
40
200 2 x 60
FEd=450kN FEd=450kN
40
Vue de dessus

TD N°3 Assemblages
Plat d’attache tp =20mm, acier S235
Gousset tg =20mm, acier S235
Coupe 2
Question 1 : Tracer le chemin de l’effort au travers de l’assemblage et énumérer les composants à

vérifier.
Question 2 : Déterminer la classe de qualité minimum des boulons (assemblage par boulons
ordinaires).
Question 3 : déterminer la longueur l des cordons de soudure d’angle de gorge a=3mm nécessaire
pour assembler le plat d’attache sur le tube carré de la diagonale.
l
a=3mm
Coupe 1 Vue du dessus

Question 4 : vérifier la gorge a=5mm du cordon de soudure du gousset soudé à la membrure et au
montant de la poutre treillis.
Nota : compte tenu de l’orientation de la barre, et afin de simplifier l’exercice tout en se plaçant en
sécurité, on considère que seul le cordon supérieur de longueur l=500mm reprend la charge FEd.
3
l=500
α=40°
FEd

TD N°3 Assemblages
Exercice 2 : Assemblage de continuité de la membrure inférieure de la poutre treillis :
On veut assurer la continuité de la membrure basse de la poutre treillis HEA 300 en acier S355J0, par
deux couvre-joints (d’épaisseur 6mm, de hauteur 190mm) de part et d’autre de l’âme et un couvre-
joint (d’épaisseur 14mm et de largeur 300mm) sur chaque semelle. Les efforts à transmettre à l’état
limite ultime sont :
M = 40 kNm ; N = 320 kN (traction) ; V = 150 kN.
On utilise des boulons précontraints à serrage contrôlé et les surfaces des pièces en contact sont
simplement brossées.
Question 1 : On adopte pour les couvre-joints de semelles des boulons HR 10.9 de diamètre 20 mm.
Déterminer le nombre de boulons nécessaires.
Caractéristiques de la section HEA 300 : A=112,5 cm²

TD N°3 Assemblages
Question 2 : On adopte pour les couvre-joints d’âme des boulons HR 8.8. Déterminer le diamètre de
boulons nécessaire.
Chaque assemblage est constitué de 6 boulons disposés symétriquement par rapport à l’axe
longitudinal du profil, en 3 files verticales. Le centre de rotation d’un demi couvre-joint est supposé
confondu avec le centre de gravité des boulons d’un assemblage.
45 2 x 90 45
50
190 90 G
50
e=135

TD N°4 Assemblages (suite et fin) et ELS
12 Novembre 2018
CORRIGE

TD N°4 Assemblages et ELS
Exercice 1 : Assemblage par platine d’about / tronçon T équivalent
On s’intéresse à l’assemblage par platine d’about soudées des barres constituant la stabilité de la file B’ du
bâtiment Airbus:
n=e=50 w=110 tp=20mm

Profilé HEA 180 acier S355J0.
b=180mm ex=45
mx=40
tf=9,5mm
r=15mm m2=32
h=171mm
tw=6mm p=73
m=45

A l’ELU la barre est sollicitée par un effort de traction seul FEd = 512kN.
Vérifier l’assemblage boulonné par platines d’about soudées en utilisant l’analogie du tronçon en T. (La section
raidie du côté du nœud central reprend la même configuration que le profilé en HEA 180 : le gousset est
d’épaisseur 6mm, les raidisseurs de 10mm et la platine d’about d’épaisseur 20mm).
Les boulons utilisés sont des boulons ordinaires M18 classe 6.8.

Les vérifications à mener suivent l’Eurocode 3 partie 1.8 sont:
A - § 3.4.2 Attaches tendues et tableau 3.2 Catégories d’attaches boulonnées
Avec Tableau 3.4 : Résistante de calcul individuel pour les fixations sollicitées au cisaillement et / ou à la
traction

B – § 6.2.6.5 Platine d’about fléchie
Avec :


Et § 6.2.4 Tronçon en T équivalent tendu et tableau 6.2 Résistance de calcul d’une semelle de tronçon en T

a. Vérification de la résistance des boulons à la traction (implicitement vérifié par le mode 3 de la vérification
en tronçon en Té),
• d = 18 mm (diamètre de la partie lisse de la vis)

• d0 = 20 mm (diamètre du perçage d+2mm)
• A = 254 mm2 (section de la partie lisse de la vis)
• As = 192 mm2 (section résistante de la partie filetée de la vis)
0,9 × ×
, =
0,9 × 600. 10 × 192. 10 512

, = = 83 > = = 63
1,25 8 8
b. Vérification des boulons au poinçonnement
0,6 × × × ×
, =
0,6 × × 29,1. 10 × 20. 10 × 500. 10 512
, = = 439 > = = 63
1,25 8 8
Avec dm caractéristique géométrique (diamètre moyen calculé entre les cercles inscrits de la tête de vis ou de
l’écrou).

c. Vérification du tronçon en T équivalent tendu
• Calcul des longueurs efficaces pour la platine d'about :
Rangée de boulons prises séparément :
Rangée de boulons située sur la partie débordante de la platine d’about :
é
, = min(2 ; + ; +2 )
Remarque : pour info, dans ses formations, le CTICM (Centre Technique Industriel de la Construction Métallique)
ajoute le mécanisme πmx + 2ex
Exemple mécanisme circulaire
é
, = min(4 + 1,25 ; + 2 + 0,625 ; 0,5 ; 0,5 + 2 + 0,625 )
Exemple mécanisme non circulaire

Première rangée de boulons sous la semelle de poutre tendue :
é
, =2
é
, = αm
Rangée de boulons considérée comme partie d'un groupe de rangées de boulons :
é
, = +
é
, = 0,5 + − (2 + 0,625 )
Avec :


• Calcul des longueurs efficaces par mode de ruine :
Mode 1 : , = , , ≤ ,
Mode 2 : , = ,
Mode 1 : , = , , ≤ ,
Mode 2 : , = Σ ,
• Application numérique du calcul des longueurs efficaces pour la platine d'about et par mode de ruine :
Rangée de boulons située sur la partie débordante de la platine d’about :
é
= min(2
, ; + ; +2 )
, = min(2 × 40; × 40 + 110; × 40 + 2 × 50)
, = min(251; 236; 226) = 226
é
, = min (4 + 1,25 ; +2 + 0,625 ; 0,5 ; 0,5 + 2 + 0,625 )
, = min(4 × 40 + 1,25 × 45; 50 + 2 × 40 + 0,625 × 45 ; 0,5 × 210; 0,5 × 110 + 2 × 40 + 0,625 × 45)
, = min(216; 158 ; 105; 163) = 105
D’où , = 105 et , = 105
é
, =2
, = 2 × 45 = 282

, = αm = 2π × 45 = 282
45 32
α = 2π avec = = = 0,47 = = = 0,33
+ 45 + 50 + 45 + 50
D’où , = 282 et , = 282
é
, = +
, = × 45 + 73 = 214
é
, = 0,5 + − (2 + 0,625 )
, = 0,5 × 73 + 2 × 45 − (2 × 45 + 0,625 × 50) = 198
D’où , = 2 × 198 = 396 et , = 2 × 198 = 396 (2 rangées de boulons entre les semelles)
• Résistance de calcul d’une semelle de tronçon en T
L’effet de levier est à prendre en compte si Lb ≤ Lb* avec :
Lb=longueur du boulon soumise à allongement, prise égale à la longueur de serrage (épaisseur totale du matériau
=2x20mm dans notre cas), plus la moitié de la somme de la hauteur de la tête (15mm pour un M18) et de la
hauteur d’écrou (15mm pour un M18) :
Lb=2x20+15=55mm.
En considérant uniquement les mécanismes individuels :
∗
8,8 × × ×
=
× ,
∗
8,8 × 45 × 192 × 4
= = 99
(2 × 105 + 2 × 282) × 20
En considérant le mécanisme de groupe pour les boulons intérieurs:
∗
8,8 × 45 × 192 × 4
= = 127
(2 × 105 + 396) × 20

nb nombre de rangée de boulons (2 boulons par rangée)

tf épaisseur de la platine d’about
On a bien Lb ≤ Lb* l’effet de levier est à prendre en compte.
Résistance mode 1 (sans contreplaque) méthode 1 :
4 , ,
, , =
Avec par rangée avec les rangées de boulons prises séparément :
0,25 ,
, , =
Avec pour un groupe de rangées de boulons
0,25 ,
, , =
Résistance mode 2 :
2 , , + ∑ ,
, , =
+
0,25 ,
, , =
Avec pour un groupe de rangées de boulons
0,25 ,
, , =
Résistance mode 3 : résistance des boulons seuls. Déjà fait plus haut.
F , , = ΣF ,
Nota : pour la partie débordante de la platine d'about, utiliser ex et mx à la place de e et m pour déterminer la
résistance de calcul de la semelle du tronçon en T équivalent.

• Application numérique pour le calcul de la résistance de calcul d’une semelle de tronçon en T
Rangée extérieure sur la partie débordante : , = ,
0,25 , 0,25 × 105. 10 × (20. 10 ) × 355. 10

, , = , , = = = 3,7
1,0
4 , , 4 × 3,7
, , = = = 370
40. 10
2 , , + ∑ , 2 × 3,7 + 45. 10 × 2 × 83
, , = = = 175
+ 40. 10 + 45. 10
D’où, pour les 2 parties débordantes :

FT,Rd = 2*min(FT,1,Rd ; FT,2,Rd ; FT,3,Rd) = 2*min(370kN ;175kN ;2*83kN) = 332 kN
Rangée intérieure: , = ,
0,25 , 0,25 × 282. 10 × (20. 10 ) × 355. 10
, , = , , = = = 10
1,0
4 , , 4 × 10
, , = = = 888
45. 10
2 , , + ∑ , 2 × 10 + 50. 10 × 2 × 83
, , = = = 298
+ 45. 10 + 50. 10
Avec pour un groupe de rangées de boulons :
2 rangées intérieures , = ,
0,25 , 0,25 × 396. 10 × (20. 10 ) × 355. 10

, , = , , = = = 14.1
1,0
4 , , 4 × 14.1
, , = = = 1253
45. 10

2 , , + ∑ , 2 × 14.1 + 50. 10 × 4 × 83
, , = = = 472
+ 45. 10 + 50. 10
Pour le mode 1, le mécanisme de groupe est plus dimensionnant que les mécanismes individuels puisque
1253kN<2*888kN.
D’où F , , = 1253kN
Pour le mode 2, le mécanisme de groupe est plus dimensionnant que les mécanismes individuels puisque
472kN<2*298kN.
D’où F , , = 472kN
Pour le mode 3 : F , , =4×F, = 4 × 83 = 332kN
D’où, pour la partie intérieure :

FT,Rd = min(FT,1,Rd ; FT,2,Rd ; FT,3,Rd) = min(1253kN ;472kN ;332kN) = 332 kN
Pour la partie débordante ainsi que pour les parties intérieures, le mode de ruine est la rupture des boulons en
traction.
, = , , ( é ) + , , ( é é ) = ∗ = > =
L’assemblage est vérifié.

Exercice 2 : Etats limites de service
Question 1 : Nous regardons une panne de toiture (cf plan de structure de toiture du bâtiment).
La panne est un treillis dont les membrures haute et basse sont des HEA 100. Sa portée est L=19.65m entre
portiques, sa hauteur structurelle h=2.51m. La bande de charge de couverture reprise par la panne est a=3.10m.
La panne est assimilée à une poutre sur 2 appuis.

Les charges sont les suivantes :
o Charge de poids propres de la panne

o Complexe de couverture : qCPc = 0,45 kN/m².
o Equipements techniques suspendus : qCPt = 0,15 kN/m².
o Vent dépression : qw↑ = 0,85 kN/m².
o Neige : qS = 0,36 kN/m²
Caractéristiques du profil suivant catalogue ARCELOR :
Calculer la flèche ELS maximale et la vérifier vis-à-vis des critères de flèches Eurocodes.

Rappel critères de flèches verticales EC3 (annexe nationale § 7.2.1 et tableau 1) :

En pression :
qELS = qPP + (qCPc + qCPt )x a + qs x a = 0.199 + (0.45+0.15) x 3.1 + 0.36 x 3.1= 3.18 kN/ml
nota : on néglige l’effet de la pente.
En dépression :
qELS = qPP + qCPc x a – qw↑ x a = 0.199 + 0.45 x 3.1 - 0.85 x 3.1= -1.04 kN/ml
nota : on ne considère pas les charges d’équipements techniques suspendus dans le cas de soulèvement car cela
ne va pas dans le sens de la sécurité. Les équipements peuvent effectivement être enlevés à tout moment.
Inertie équivalente de la panne treillis :
L’inertie de la panne treillis est assimilable à une section dont les « semelles » sont les membrures écartées de la
distance h.
I = 2 x IyHEA100 + 2 x AHEA100 x (h/2)² = 2 x 349,2 + 2 x 21,2 x (251/2)² = 1048 + 667 810 = 668 859 cm4
Afin de tenir compte de la déformée d’effort tranchant (allongement des diagonales) et de manière approchée
on diminue l’inertie de 30%.
Iéquivalent = 668 859 x 0,7 = 468 201 cm4
Déformations dans la panne :
En pression :
5× × 5 × 3,18 × 19.65
= = = = 6,2
384 384 × 210000. 10 × 468 201. 10
5×( × )× 5 × (0,36 × 3,1) × 19.65

= = = = 2,2
384 384 × 210000. 10 × 468 201. 10
En dépression :
5× × 5 × 1.04 × 19.65
= = = = 2,1
384 384 × 210000. 10 × 468 201. 10
5×( ↑× )× 5 × (0,85 × 3,1) × 19.65

= = = = 5,2
384 384 × 210000. 10 × 468 201. 10

Vérification de la flèche :
Suivant Eurocode3 partie 1.1 Annexe Nationale, pour un élément supportant une toiture est :
On a :
= 6,2 < 19650/200 = 98mm
= 5,2 < 19650/250 = 78mm
Le profil est OK vis à vis de la vérification de la déformation. Les flèches sont faibles car les hauteurs structurelles
des pannes sont importantes ; elles ont la même hauteur que les traverses des portiques qui portent environ
45m.

Question 2 : nous regardons de nouveau les montants de la façade Ouest (cf TD n°2) qui sont des profilés IPE 500
en acier S355 J0, suspendues, qui portent sur 14m environ tous les 6,2m. On considère qu’elles ne sont sollicitées
que par un moment de flexion (l’effort de traction liée à la part de poids propre suspendue est négligé). Le
montant est assimilé à une poutre sur 2 appuis.
La charge de vent maximale sur la façade est de qW= 1,12kN/m². Calculer la flèche ELS maximale et la vérifier vis-
à-vis des critères de flèches Eurocodes.
A = 115,5 cm2 h = 500mm b = 200 mm tf = 16 mm tw = 10,5 mm r = 21 mm
Iy = 48 200 cm4 Wel,y = 1928 cm3 Wpl,y = 2194 cm3
Iz = 2 142 cm4 Wel,z = 214 cm3 Wpl,z = 336 cm3
It = 89,3 cm4 Iw = 1 249.109 mm6

Rappel critères de flèches horizontales EC3 (annexe nationale § 7.2.2 tableau 2) :
qELS = qW x l = 1,12 x 6,2 = 6,94 kN/ml
Déformation dans la lisse :
5× × 5 × 6,94 × 14
= = = 34
384 384 × 210000. 10 × 48200. 10
On a = 34 < 14000/150 = 93mm
Le profil est OK vis à vis de la vérification de la déformation.

TD N°4 Assemblages (suite et fin) et ELS
12 Novembre 2018
ENONCE

Exercice 1 : Assemblage par platine d’about / tronçon T équivalent
On s’intéresse à l’assemblage boulonné par platines d’about des barres constituant la stabilité de la file B’ du
bâtiment Airbus:
n=e=50 w=110 tp=20mm

Profilé HEA 180 acier S355J0.
b=180mm ex=45
mx=40
tf=9,5mm
r=15mm m2=32
h=171mm
tw=6mm p=73
m=45

A l’ELU la barre est sollicitée par un effort de traction seul FEd = 512kN.
Vérifier l’assemblage boulonné par platines d’about soudées en utilisant l’analogie du tronçon en T. (La section
raidie du côté du nœud central reprend la même configuration que le profilé en HEA 180 : le gousset est
d’épaisseur 6mm, les raidisseurs de 10mm et la platine d’about d’épaisseur 20mm).
Les boulons utilisés sont des boulons ordinaires M18 classe 6.8.
Annexe 1 : extraits Eurocode 3 partie 1.8
Exercice 2 : Etats limites de service
Question 1 : Nous regardons une panne de toiture (cf plan de structure de toiture du bâtiment).
La panne est un treillis dont les membrures haute et basse sont des HEA 100. Sa portée est L=19.65m entre
portiques, sa hauteur structurelle h=2.51m. La bande de charge de couverture reprise par la panne est a=3.10m.
La panne est assimilée à une poutre sur 2 appuis.

Les charges sont les suivantes :
o Charge de poids propres de la panne

o Complexe de couverture : qCPc = 0,45 kN/m².
o Equipements techniques suspendus : qCPt = 0,15 kN/m².
o Vent dépression : qw↑ = 0,85 kN/m².
o Neige : qS = 0,36 kN/m²
Caractéristiques du profil HEA 100 suivant catalogue ARCELOR :
Calculer la flèche ELS maximale et la vérifier vis-à-vis des critères de flèches Eurocodes.

Question 2 : nous regardons de nouveau les montants de la façade Ouest (cf TD n°2) qui sont des profilés IPE 500
en acier S355 J0, suspendues, qui portent sur 14m environ tous les 6,2m. On considère qu’elles ne sont sollicitées
que par un moment de flexion (l’effort de traction liée à la part de poids propre suspendue est négligé). Le
montant est assimilé à une poutre sur 2 appuis.
La charge de vent maximale sur la façade est de qW= 1,12kN/m². Calculer la flèche ELS maximale et la vérifier vis-
à-vis des critères de flèches Eurocodes.
Caractéristiques mécaniques :
A = 115,5 cm2 h = 500mm b = 200 mm tf = 16 mm tw = 10,5 mm r = 21 mm
Iy = 48 200 cm4 Wel,y = 1928 cm3 Wpl,y = 2194 cm3
Iz = 2 142 cm4 Wel,z = 214 cm3 Wpl,z = 336 cm3
It = 89,3 cm4 Iw = 1 249.109 mm6
Annexe 2 : extraits Eurocode 3 Annexe Nationale – Critères de flèches.

TD N°5
Pont mixte
Dimensionnement des sections
17 Décembre 2018
Corrigé
1/22
TD N°4 Pont bi-poutre mixte
Question 1
1 Introduction
La première étape consiste à évaluer le moment sollicitant à mi-portée, sous la combinaison

de charges de l’état limite ultime définie par l’Eurocode, à savoir 1,35 G + 1,35 Q où :
- G représente les actions permanentes appliquées au pont :
 Poids propre de l’acier
 Poids propre du hourdis en béton armé
 Poids propre des superstructures et équipements (revêtement de
chaussée, corniche, caniveau, barrières de sécurité,…)
- Q représente les actions variables appliquées pendant la durée de vie du pont :
 Le trafic routier
 Les actions climatiques (vent, neige, température,…)
Dans le TD, par simplification, Q est limité au trafic routier.

Pour calculer le moment, il faut estimer approximativement la valeur de la charge à
appliquer sur la structure.
La deuxième étape consiste à choisir la matière à mettre en œuvre (la nuance de l’acier et
les dimensions de la section de la poutre principale en I) pour reprendre le moment
sollicitant obtenu.
Ces deux premières étapes constituent le pré-dimensionnement de la structure. Il faut

ensuite reprendre l’ensemble de la démarche avec les données géométriques et matérielles
choisies, pour vérifier la résistance de la section.
Ce raisonnement doit être mené pour toutes les sections du pont, et itéré autant de fois
que nécessaire pour optimiser la conception et la répartition des matières le long des
poutres.
2/22
2 Rappel sur les lignes d’influence
2.1 Définition
Une ligne d’influence est associée à une sollicitation (par exemple, le moment M) dans une
section donnée de la structure (par exemple, à mi-portée x0 = L/2 de l’ouvrage).
Une force unitaire F appliquée dans une section quelconque d’abscisse x, conduit à une
valeur Mx0(x) de la sollicitation étudiée (M) dans la section étudiée (x=x0).
La ligne d’influence du moment M en x0 correspond au tracé de la fonction Mx0(x) le long de

l’ouvrage. Par exemple, la figure ci-dessous illustre la ligne d’influence du moment à mi-
portée de l’ouvrage étudié pendant le TD.
Il est possible de tracer des lignes d’influence longitudinale ou transversale, pour M, V ou

une réaction d’appui, une contrainte, etc…
2.2 Utilisation pratique
L’étude des lignes d’influence permet :

- d’identifier la position la plus défavorable de la force unitaire F le long de l’ouvrage,
pour la sollicitation étudiée,
- de combiner linéairement les valeurs de la sollicitation étudiée en x0 lorsque
plusieurs forces Fi sont présentes simultanément sur l’ouvrage à des positions xi
différentes.
3/22
3 Estimation des charges
3.1 Estimation des charges permanentes
3.1.1 Estimation du poids d’acier
Le poids d’acier de la charpente en kilogrammes par mètre carré de surface en fonction de

la portée déterminante de l’ouvrage peut être évalué en première approximation à partir de
l’expression suivante :
P = 0,105× x1,6 + 100 (P en daN/m2 et x en mètres)
Pour un pont à deux travées égales :
L L
x = 1,4×L = 1,4×30 = 42 m.
Soit P = 0,105×421,6 + 100 = 141,5 daN/m²
La surface à prendre en compte correspond au total de la largeur roulable plus un fraction

des trottoirs.
b2 b1 b3
bu = b1 + 0,6 (b2+b3)
Dans notre projet, la largeur roulable est égale à 9 mètres, soit bu = 9 m pour les deux
poutres.
Poids propre par poutre = 141,5 × 4,5 = 636,8 daN/ml/poutre

G1 = 6,4 kN/ml/poutre
3.1.2 Dalle BA
La dalle est en BA de poids volumique 2500 daN/m3
Soit G2 = 2500×5×0,25 = 3125 daN/ml/poutre = 31,25 kN/ml/poutre
4/22
3.1.3 Superstructure
Par simplification nous avons assimilé ces charges à un revêtement de 14 cm d’épaisseur.
Soit G3 = 2200×4,5×0,14 = 1386 daN/ml/poutre = 13,86 kN/ml/poutre
Soit G = 6,4 + 31,25 + 13,86 = 51,5 kN/ml/poutre
G = 51,5 kN/ml/poutre
3.2 Estimation des charges de trafic routier
Le modèle de charge routière à considérer est celui de l’EC1 partie 2, composé de charges
concentrées TS et de charges réparties UDL.
Pour estimer la part de charges routières reprise par une poutre principale longitudinale, il
convient d’analyser le positionnement transversal des modèles de charge TS et UDL, et de
répartir cette charge entre les 2 poutres principales.
Les règles de positionnement transversal des charges sont imposées par l’EC1, notamment :
- Les charges doivent être positionnées suivant un découpage de la largeur roulable bu
en voies de circulation conventionnelles
- Elles doivent être placées dans la position la plus défavorable transversalement et
longitudinalement sur la chaussée du pont
- Largeur des voies conventionnelles : w = 3 m
- La voie i est plus chargée que la voie i+1, elle est placée en premier dans la largeur
roulable, dans la position la plus défavorable pour la poutre étudiée
- Un essieu TS circule centré dans sa voie, et ne peut pas être scindé en 2 forces
indépendantes
- Le modèle UDL peut être disposé partiellement dans la largeur d’une voie de
manière à obtenir un cas de chargement plus défavorable
3.2.1 Système TS (Tandem System)
Le système statique transversal est modélisé en considérant que la dalle est appuyée
ponctuellement au niveau des deux poutres principales. Les charges de trafic sont
transmises aux poutres sous forme de réactions d’appuis. On cherche à maximiser la
réaction d’appui afin d’avoir les sollicitations maximales dans la poutre à étudier.
On obtient la valeur maximale de la réaction en centrant le système TS sur la première voie

(Charge 300 kN/essieu)
5/22
RTS = 2×300 + 200 = 800 kN

Largeur roulable
Voie 3 Voie 2 Voie 1
25 cm
2m 1m 2m 1m 2m
300 kN 300 kN
100 kN 100 kN 200 kN 200 kN
1,5 m 6m 1,5 m
RTS
3.2.2 Système UDL (Uniform Design Load)
La charge UDL sur la voie 3 peut être fractionnée. On ne prend que la partie située dans la
zone positive de la ligne d’influence de la réaction d’appui sur la poutre longitudinale
calculée.
1,25
1,0
L.I pour RUDL
0,5
0,125 9kN/m²
2,5kN/m²
1,5 m 6m 1,5 m
RUDL
RUDL = 9×1,0×3 + 2,5×0,5×3 + 2,5×0,125×1,5 = 31,22 kN/ml/poutre
Soit les charges de trafic ou d’exploitation suivantes :

Q = 800 kN/poutre ; q = 31,22 kN/ml/poutre
Ces réactions RTS et RUDL sont à disposer le long de l’ouvrage afin de produire les
sollicitations maximales.
6/22
4 Détermination simplifiée du moment sollicitant à l’ELU à mi-

travée
4.1 Moment dû aux Charges permanentes G

En utilisant le formulaire de RDM fourni, on obtient :
- Repris par un comportement de la poutre en acier seul (après bétonnage en une
seule fois de la dalle, mais avant sa prise) :
MEd,a,G = 0,07×(6,4+31,25)×30² = 2372 kN.m
- Repris par un comportement mixte de la poutre (après prise du béton de la dalle) :

MEd,c,G = 0,07×13,86×30² = 873 kN.m
4.2 Moment dû aux Charges UDL

Cette charge est à appliquer à la partie positive de la ligne d’influence longitudinale du
moment à mi-portée.
MEd,c,UDL = 0,096×31,22×30² = 2698 kN.m
4.3 Moment dû aux Charges TS

Cette charge est à appliquer au droit de la valeur maximale de la ligne d’influence
800 kN
L.I pour
M
0,203L
L/2 L/2
M
MEd,c,TS = 0,203×800×30 = 4872 kN.m
4.4 Combinaison ELU
MEd = 1,35 x (2372+873) + 1,35x(2698 + 4872) = 14 600 kN.m
7/22
5 Détermination simplifiée de l’effort tranchant VEd à l’ELU sur

appui central
5.1 Effort tranchant dû aux Charges permanentes
Par référence au formulaire de RDM : VEd,G = 1,35×0,625×51,5×30 = 1304 kN
5.2 Effort tranchant dû aux Charges UDL
VEd,UDL = 1,35×0,625×31,22×30 = 790 kN
5.3 Effort tranchant dû aux Charges TS
VEd,TS = 1,35×800 = 1080 kN
VEd = 1304 + 790 + 1080 = 3174 kN
6 Prédimensionnement de la section à mi-travée
6.1 Hauteur des poutres
Les poutres sont à hauteur constante. Les élancements h/L sont donnés au tableau suivant.
Poutre à hauteur constante
L L/22
ψL ψL
L L/28
Dans ce projet L = 30 m. soit h = 30/28 = 1,1m.
Hauteur des poutres h = 1100 mm
8/22
6.2 Semelles
6.2.1 Largeur des semelles

Les semelles sont déterminées par les conditions de résistance et de stabilité pour les
différentes phases : lancement de la charpente, bétonnage du hourdis et exploitation en
service.
En outre, les conditions d'usinage et de voilement local conduisent en général à limiter la

largeur à :
- 400 mm ≤ b ≤ 1300 mm ,
- par ailleurs on limite le rapport b/t pour des raisons de voilement local (c/t = b/2t < 14ε
pour avoir une semelle de classe 3)
A titre indicatif, pour un ouvrage continu, d'élancement courant et largeur moyenne 10 m,

le tableau suivant donne les largeurs des semelles en fonction de la plus grande portée.
portée largeur de la semelle largeur de la semelle

(m) supérieure inférieure
(mm) (mm)
< 30 400 500
30 à 50 500 500 – 700
50 à 70 600 800
70 à 85 700 900
85 à 100 800 1000
On adopte :
Largeur semelle supérieure = 500 mm
Largeur semelle inférieure = 600 mm
6.2.2 Epaisseur de la semelle inférieure

Elle est dimensionnée par le moment à L’ELU.
9/22
1,2 m
Fsemelle inférieure × 1,200 = M = 14600 kN.m ,

bf × tf × fy = 14 600/1,2 ; tf = 14600/(1,2×600×355) = 60 mm
Epaisseur de la semelle inférieure = 60 mm
6.2.3 Epaisseur de la semelle supérieure
L’épaisseur de la semelle supérieure sera déterminée par les phases de construction (ELU)
- Lancement de la charpente seule : vérification non faite ici

- Bétonnage de la dalle : attention au déversement
- En phase d’exploitation la semelle supérieure travaille peu à mi-portée
(elle est connectée à une dalle en béton comprimée)
On peut faire le prédimensionnement suivant :
Le moment M1 au bétonnage est approximativement de 1,35 x 2372 = 3202 kN.m

F1
1,05 m
F1
Avec F1 = M1/1,05m = 3050 kN
Sous le cas de charge de superstructure (n = 18 pour le fluage du béton), le moment M3 vaut

1,35x873 = 1178 kN.m
Alors F2 = M2/1,2m = 982,3 kN
10/22
5000/18
250
1,2 m
F2
Sous les charges de trafic (n = 6 pour le fluage du béton), le moment M3 vaut

1,35x(2698+4872) = 10 220 kN.m
Alors F3 = M3/1,2m = 8 517 kN
5000/6
250
1,2 m
F3
En écrivant la contrainte de compression dans la semelle supérieure mixte homogénéisée,

on déduit :
F1/(500×tfs) + F2/(500×tfs + 250×5000/18) + F3/(500×tfs + 250×5000/6) = 355 MPa
On remarque que 500xtfs est négligeable devant la section de béton 250x5000/18, ce qui
permet de simplifier l’équation précédente et de déduire facilement tfs = 20,3 mm.
On garde une marge de 10% pour tenir compte du déversement de la poutre métallique
sous le poids du bétonnage de la dalle (justification à faire ensuite, non traitée dans ce TD).
On pourrait retenir une épaisseur de 25 mm. La suite du corrigé est conduite avec une
valeur excessive de 30 mm.
Epaisseur de la semelle supérieure = 30 mm
Pour maintenir la hauteur totale de la poutre à 1100 mm avec les épaisseurs choisies pour
les semelles, on ajuste finalement la hauteur d’âme à hw = 1100 -60 -30 = 1010 mm.
11/22
6.3 Âme
L’épaisseur de l’âme dépend :
- de l'usinage (difficultés d'usinage si l'âme est trop mince),
- des phénomènes de voilement (ajout éventuel d’un raidissage),
- de l'esthétique (déformations des âmes au niveau des raidisseurs visibles de l'extérieur).
Pour le pré-dimensionnement, l’épaisseur de l’âme est dimensionnée sur appui, puis

supposée constante sur la portée. Le voilement sous effort tranchant est dimensionnant
pour les panneaux proches des appuis, mais pas en travée. Il peut conduire soit à augmenter
l’épaisseur, soit à ajouter un raidissage sur l’âme.
élancement inférieur à 200 –

t w ≥ 0,005 h w
Manutention en atelier
tw hw V
≤
fy
en état limite ultime
hw t w 3
pour les âmes des poutres

t w ≥ 12 mm
principales
Dans notre cas, hw = h – tfi – tfs = 1010 mm, VEd, ELU = 3174 kN, donc :
tw = 3174000/(1010×0,577×355) = 15,3 mm.
On considère une épaisseur d’âme de 16 mm.
tw = 16 mm
12/22
Question 2 : Résistance à la flexion de la section à mi-portée
Matériaux
Béton : fck = 30 N/mm² ; Acier : nuance S355
Vérification simplifiée
Effort de compression dans la dalle :

Fc = (0,85×30/1,5)×5000×250/1000 = 21250 kN
Effort de traction dans la poutre en acier :
Fa = ( 500×30 + 600×60 + 16×1010 ) × 355 = 23842 kN
L’Axe Neutre Plastique (ANP) est presque à l’interface acier-béton, et situé dans la semelle
supérieure. La poutre en acier est tendue et la section est au moins de classe 2. Elle peut
être justifiée par une analyse plastique, MEd < Mpl,Rd.
En première approche, on peut négliger la contribution de la semelle supérieure au moment

résistant et on vérifie :
MRd = [21250×0,125 + (600×60×355 /1000)×1,070 + (16×1010×355/1000)×0,535]/1,1

= (2 656 + 13 675 + 3 069)/1,1 = 17 636 kN.m > MEd = 14 600 kN.m
Le coefficient 1,1 est introduit à ce stade pour prendre en compte certaines simplifications.
Entre autres, la non réduction de la limite d’élasticité de l’acier en fonction de l’épaisseur.
Les dimensions adoptées au pré-dimensionnement sont satisfaisantes vis-à-vis de la

résistance à la flexion à mi-travée.
Résistance de section plastique en flexion
- Traînage de cisaillement dans la dalle à mi-portée :

On suppose b0 = 0 par simplification (distance entre les rangées extérieures de connecteurs
goujons).
Portée équivalente : Le = 0,85 L = 25,5 m
Largeur réelle à l’extérieur des poutres principales : b1 = 2 m
Elle est réduite à la valeur be1 = min (Le/8 ; b1) = min (3,1875 ; 2) = 2 m = b1
Largeur réelle entre poutres : b2 = 6m/2 = 3 m

Elle est réduite à la valeur be2 = min (Le/8 ; b2) = min (3,1875 ; 3) = 3 m = b2
On en déduit que le traînage de cisaillement est sans effet à mi-portée et que la largeur
totale de dalle en béton participe à la résistance de la section C’est très souvent le cas
13/22
compte tenu de la faiblesse du gradient de moment dans cette zone de la poutre

longitudinale.
- Dégressivité de la limite d’élasticité fy en fonction de l’épaisseur des tôles

utilisées
Dans les structures d’ouvrages d’art, les épaisseurs mises en œuvre sont souvent
importantes et la dégressivité de fy en fonction de t a de l’influence dans la vérification de la
résistance des sections. Cela peut être expliqué par le fait que plus la tôle est épaisse, et
moins le grain de l’acier qui la compose, est affiné durant le laminage (nombre de passes de
laminage moindre et conditions de refroidissement différentes).
épaisseur (mm) fy (MPa)

t ≤ 16 355
16 < t ≤ 40 345
40 < t ≤ 63 335
63 < t ≤ 80 325
80 < t ≤ 100 315
100 < t 295
- Position de l’Axe Neutre Plastique (ANP)

Fc = 5000x250x0,85x30/1,5 = 21 250 kN
Ffs,a = 500x30x345/1,0 = 5 175 kN
Fw,a = 1010x16x355/1,0 = 5 736,8 kN
Ffi,a = 600x60x335/1,0 = 12 060 kN
Comme Fc < Ffs,a + Fw,a + Ffi,a et Fc + Ffs,a > Fw,a + Ffi,a, on déduit que l’ANP est dans la semelle
supérieure à la distance d de l’interface acier/béton.
Fc + 500 d 345/1,0 = 500 (30-d) 345/1,0 + Fw,a + Ffi,a

D’où d = 5 mm (et zANP = 255 mm par rapport à la référence retenue en face supérieure du
hourdis en béton)
- Moment résistant plastique Mpl,Rd
On choisit de calculer les bras de levier d par référence à la position de l’ANP.
résistance de
A (mm²) F (kN) d (mm) Fd (kN.m)
calcul (MPa)
hourdis béton comprimé 1 250 000 17 21 250 130.0 2 762.3
semelle sup. comprimée 2 495 345 861 2.5 2.1
semelle sup. tendue 12 505 345 4 314 12.5 53.9
âme tendue 16 160 355 5 737 530.0 3 040.6
semelle inf. tendue 36 000 335 12 060 1 065.0 12 844.0
14/22
Mpl,Rd = Σ Fd = 18 703 kN.m
On vérifie bien MEd = 14 600 kN.m < Mpl,Rd.
Résistance de section élastique
Pour vérifier la section par une analyse élastique (toujours possible dans le cas d’une section
de classe 1), il faut cumuler les diagrammes de contraintes correspondants aux cas de
charges élémentaires et en respectant le phasage de construction du tablier mixte.
Pour calculer les contraintes de flexion, il faut connaître le module de flexion élastique
Wel = I/v de la section résistante lors de l’application d’un cas de charge donné.
Cas de charge Section résistante Fluage

Poids propre acier Acier seul /
Poids propre béton Acier seul /
Superstructures Mixte n = 18
Trafic routier Mixte n=6
Caractéristiques mécaniques de la section « acier seul » :
b (mm) e (mm) A (mm2) d (mm) Ad (mm3) I0 (mm4) H (mm4)

semelle sup 500 30 15 000 265 3 975 000 1 125 000 7 154 697 873
âme 1010 16 16 160 785 12 685 600 1 373 734 667 470 532 057
semelle inf 600 60 36 000 1 320 47 520 000 10 800 000 4 779 366 795
Aa = 67 160 mm²
Moment statique par rapport à la face supérieure du hourdis :
µa = Σ Aada = 64,2 106 mm3
Position du centre de gravité par rapport à la face supérieure du hourdis:
Za = µa/Aa = 956 mm
15/22
va,sup = 706 mm (position de la fibre sup par rapport au centre de gravité)

va,inf = -394 mm (position de la fibre inf par rapport au centre de gravité)
Ia = 13,79 109 mm4
Caractéristiques mécaniques de la section « béton seul » :
Ac = 1 250 000 mm²

zc = 250/2 = 125 mm
µc = Ac zc = 156,25 106 mm3
Ic = 5000 x 2503 /12 = 6,51 109 mm4
Caractéristiques mécaniques de la section mixte n=18 :
Amixte = Aa + Ac / n = 136 604 mm²

Aa za + Ac/n zc = Amixte zmixte
D’où zmixte = 533 mm (dans l’âme principale)
Imixte = Ia + Aa (zmixte – za)2 + [ Ic + Ac (zmixte – zc)2 ]/n

D’où Imixte = 37,7 109 mm4
vc,sup = 533 mm
vc,inf = va,sup = 283 mm
va,inf = -817 mm
Caractéristiques mécaniques de la section mixte n=6 :
Amixte = Aa + Ac / n = 275 493 mm²

Aa za + Ac/n zc = Amixte zmixte
D’où zmixte = 327 mm (dans l’âme principale)
Imixte = Ia + Aa (zmixte – za)2 + [ Ic + Ac (zmixte – zc)2 ]/n

D’où Imixte = 49,9 109 mm4
vc,sup = 327 mm
vc,inf = va,sup = 77 mm
va,inf = -1 023 mm
16/22
Détermination des contraintes
v
Dans la charpente : σ = MEd
Imixte
v 1
Dans le hourdis en béton : σ = MEd
Imixte n
Contraintes (MPa)
Cas de charge M (kN.m) acier inf acier sup béton inf béton sup
poids propre acier 403 -11.5 20.6
poids propre béton 1 969 -56.3 100.7
superstructures 873 -18.9 6.6 0.4 0.7
udl 2 698 -55.3 4.2 0.7 3.0
ts 4 872 -99.8 7.6 1.3 5.3
Combinaison ELU 14600 -326.4 188.6 3.1 12.1

Résistance 18 703 335 345 17 17
Taux de travail 0.78 0.97 0.55 0.18 0.71
On en conclut que le pré-dimensionnement de la section en travée est aussi justifié par une
analyse élastique de la résistance de section.
Elle pourrait être optimisée pour profiter de ses capacités de résistance plastique.
L’analyse des contraintes dans la semelle supérieure métallique confirme l’hypothèse de

comportement faite lors du pré-dimensionnement. Cette semelle est dimensionnée lors du
bétonnage du hourdis, elle ne travaille presque pas en comportement mixte.
17/22
Question 3 : Résistance à la flexion de la section sur appui interne
Pré-dimensionnement de la section sur appui
La hauteur de la poutre (1,1 m) et la largeur des semelles (bfi = 600 mm et bfs = 500 mm)
sont constantes tout le long de l’ouvrage.
L’effort tranchant sur appui a été utilisé pour dimensionner l’épaisseur de l’âme à la
question n°1. Donc tw = 16 mm est inchangé.
Le moment ELU sur appui vaut :

MEd = 1,35x(-720-3516-1560) + 1,35x(-2309-3511) = - 15 682 kN.m
Au stade du pré-dimensionnement, ce moment est supposé repris par les semelles seules.
La distance entre les centres de gravité de ces semelles est estimée en première approche à
e = 1,0 m (en négligeant les armatures passives).
-15682/1.0 = 15 682 kN en compression dans la semelle inférieure, et en traction dans la

semelle supérieure
Semelle inférieure :
Elle doit reprendre une compression de MEd/e = 15 682 kN = bfi tfi fy/γM0
En retenant fy = 335 MPa (semelle de forte épaisseur), on obtient 15 682/335 = 46 810 mm²
Et avec bfi = 600 mm, on déduit tfi = 78 mm.
Epaisseur de la semelle inférieure = 80 mm
Semelle supérieure :
Elle est mixte fissurée, composée de la semelle supérieure de la poutre métallique et de la
nappe d’armatures passives, et soumise à une traction de – MEd/e = - 15 682 kN.
As fsk/γS + Afs fyf/γM0 = 15 682 kN
As est l’aire des armatures participant à la résistance de la section, c’est à dire les armatures
comprises dans la largeur efficace de hourdis, réduite pour effet de traînage de cisaillement
par rapport à la largeur réelle.
Portée équivalente : Le = 0,25 (2x30m) = 15 m

Par simplification, b0 = 0 (distance entre les rangées extérieures de goujons).
be1 = min (Le/8 ; b1 ) = min (15/8 ; 2 m) = 1,875 m
be2 = min (Le/8 ; b2 ) = min (15/8 ; 6 m/2) = 1,875 m
On en déduit que la largeur efficace du hourdis vaut 2x1,875 = 3,75 m, soit une réduction de
25% de la largeur réelle.
18/22
Ce résultat est logique compte tenu du fort gradient de moment existant dans la zone
entourant l’appui intermédiaire.
As = 1% Ac,eff = 1% x 3750 x 250 mm² = 9 375 mm²
On en déduit :
9 375 mm² x 500 /1.15 + 500 x tfs x 335 / 1.0 = 15 682 kN
d’où tfs = 69,3 mm
Epaisseur de la semelle supérieure = 70 mm
3750
250
500×70
16
950
600×80
19/22
Justification en flexion
- Position de l’Axe Neutre Plastique (ANP)
Fs = 9375 x 500/1,15 = 4 076 kN

Ffs,a = 500x70x325/1,0 = 11 375 kN
Fw,a = 950x16x355/1,0 = 5 396 kN
Ffi,a = 600x80x325/1,0 = 15 600 kN
Comme Fs + Ffs,a < Fw,a + Ffi,a et Fs + Ffs,a + Fw,a > Ffi,a, on déduit que l’ANP est dans l’âme,
créant une hauteur d’âme ht tendue au contact de la semelle supérieure de la poutre
métallique.
Fs + Ffs,a + ht 16 x355/1,0 = (950- ht) x16 x355/1,0 + Ffi,a

D’où ht = 488 mm
- Classification de la section
Pourcentage d’âme comprimée : α = (950-488)/950 = 0,486 < 0,5

hw/tw = 950/16 = 59,4 < 36ε/α = 60,3
donc l’âme est de classe 1
c/t = (600-16)/(2*80) = 3,65 < 9ε = 7,65

donc la semelle inférieure comprimée est de classe 1
On en déduit que la section sur appui est de classe 1 et peut être justifiée par une analyse
de section plastique.
- Calcul du moment résistant plastique
On choisit de calculer les bras de levier d par référence à la position de l’ANP.
résistance de
A (mm²) F (kN) d (mm) Fd (kN.m)
calcul (MPa)
armature tendue 9 375 435 4 076 683.1 2 784.4
semelle sup. tendue 35 000 325 11 375 523.1 5 950.4
âme tendue 7 810 355 2 772 244.1 676.6
âme comprimée 7 390 355 2 624 230.9 605.9
semelle inf. comprimée 48 000 325 15 600 501.9 7 829.5
Mpl,Rd = Σ Fd = 17 847 kN.m
On vérifie bien que MEd = 15 682 kN.m < 17 847 kN.m et le dimensionnement de la section
sur appui est justifié.
20/22
Justification sous effort tranchant
VEd = 3 174 kN à l’ELU

fyw 1
VRd = Aw = 3 115 kN
3 γ M0
Le fait d’avoir épaissi les semelles, a diminué la hauteur libre de l’âme de 1010 mm en
travée à 950 mm sur appui central. Le critère d’effort tranchant est alors dépassé de 2%.
Ce dépassement est admissible dans la mesure où il est possible d’écrêter l’effort tranchant
pour tenir compte du fait qu’en pratique, l’appui n’est pas ponctuel.
Interaction M-V
L’âme est complètement épuisée par la reprise de l’effort tranchant. Donc le moment
résistant plastique se limite à la contribution des semelles seules.
La position de l’ANP évolue légèrement. Nous avons déjà calculé précédemment :

Fs = 9375 x 500/1,15 = 4 076 kN
Ffs,a = 500x70x325/1,0 = 11 375 kN
Ffi,a = 600x80x325/1,0 = 15 600 kN
Comme Fs + Ffs,a < Ffi,a, on déduit que l’ANP est dans la semelle inférieure à la distance d de
sa face inférieure.
Fs + Ffs,a + bfi (80-d) 325/1,0 = bfi d 325/1,0
D’où d = 79.6 mm
On considère que l’ANP est juste sur la face supérieure de la semelle inférieure de la poutre
métallique.
Mf,pl,Rd = Fs (250/2 + 1100 – 80) mm + Ffs,a (1100 – 70/2 – 80) mm + Ffi,a (80/2) mm
= 4076 x 1,145 + 11375 x 0,985 + 15600 x 0,04
= 16 495 kN.m
On vérifie toujours que MEd = 15 682 kN.m < 16 495 kN.m.
21/22
Justification en flexion par une analyse élastique
- Caractéristiques mécaniques de la section « acier seul » :
b (mm) e (mm) A (mm2) d (mm) mu (mm3) I0 (mm4) H (mm4)

semelle sup 500 70 35 000 285 9 975 000 14 291 667 11 772 346 290
âme 950 16 15 200 795 12 084 000 1 143 166 667 74 393 345
semelle inf 600 80 48 000 1 310 62 880 000 25 600 000 9 506 940 202
Aa = 98 200 mm²
za = 615 mm (position de l’ANE par rapport à la face supérieure de la semelle supérieure)
Ia = 22,54 109 mm4
- Caractéristiques mécaniques de la section mixte fissurée :

L’inertie propre d’une barre HA de diamètre φ vaut I0 = π φ2/64. Elle est négligeable.
b (mm) e (mm) A (mm2) d (mm) mu (mm3) I0 (mm4) H (mm4)

armatures 3 750 250 9 375 125 1 171 875 583 4 277 471 940
semelle sup 500 70 35 000 285 9 975 000 14 291 667 9 299 931 806
âme 950 16 15 200 795 12 084 000 1 143 166 667 455 284
semelle inf 600 80 48 000 1 310 62 880 000 25 600 000 12 461 656 285
Amixte = 107 575 mm²

zmixte = 800,5 mm (position de l’ANE par rapport à la face supérieure du hourds fissuré,
quasiment à mi-hauteur de la poutre métallique)
Imixte = 27,22 109 mm4
- Contraintes :
Contraintes (MPa)
Cas de charge M (kN.m) acier inf acier sup armatures
poids propre acier -720 15.5 -19.6
poids propre béton -3 516 75.7 -95.9
superstructures -1 560 31.5 -31.5 -38.7
udl -3 511 70.9 -71.0 -87.1
ts -2 309 46.6 -46.7 -57.3
Combinaison ELU -15682 324.2 -357.5 -247.2

Résistance 16 495 325.0 325.0 434.8
Taux de travail 0.95 1.00 1.10 0.57
La section d’armatures passives (1%) est sur-dimensionnée pour la résistance en section à l’ELU. Le
critère qui la dimensionne est en fait la maîtrise de la fissuration du béton du hourdis sous ELS.
La semelle supérieure n’est pas vérifiée et le recours à la résistance plastique est bien nécessaire
pour justifier le pré-dimensionnement réalisé.
22/22
TD N°5
Pont mixte
Dimensionnement des sections
17 Décembre 2018
Enoncé

L’ouvrage à étudier est un pont routier à deux travées égales de portée L = 30 m.

30 m 30 m
Le tablier est constitué de 2 poutres métalliques en I espacées de 6 mètres, connectées à

une dalle en béton armé de 23 à 27 cm d’épaisseur. La coupe transversale est donnée à la
figure ci-dessous.
Largeur roulable = 9 m
10 m
Par simplification, on considère que la dalle a une épaisseur constante de 25 cm et que la

largeur roulable du tablier est égale à 9 mètres comportant 2 voies de circulation de 3.5 m
de large bordées par une bande dérasée droite de 1 m de large.
Coupe simplifiée
25 cm
h poutre
2m 6m 2m
Matériaux
L’acier de charpente est de nuance S 355.

Le béton est de classe C30/37.
Les armatures passives sont en acier B 500 B.
3/9
Question 1
Faire le pré-dimensionnement de la section transversale d’une poutre principale soumise au

moment positif maximal (≈ à mi-travée de chaque portée) en considérant pour les charges
de trafic, le système de charges TS et UDL défini par l’Eurocode 1 Partie 2 (voir annexe).
Pour la charge de superstructure, on considère un revêtement équivalent à 14 cm

d’épaisseur (densité = 2,2).
Pour le calcul des sollicitations, on utilisera par simplification le formulaire de RDM ci-
dessous.
- Charge uniformément répartie sur les 2 travées

q
L/2 L/2 L
R = 0,375qL R = 0,375qL
M = 0,07qL² R = 1,25qL
- Une seule travée chargée

q
L/2 L/2 L
R = 0,438qL M = 0,096qL² R = 0,625qL
- Ligne d’influence du moment à mi-portée
L.I pour
M
0,203L
L/2 L/2
M
4/9
Question 2
Vérifier la résistance en flexion de la section à mi-portée pré-dimensionnée à la question

précédente, en supposant une connexion complète des 2 matériaux.
Déterminer le diagramme des contraintes de flexion sollicitant la section en utilisant les

coefficients d’équivalence n=6 et n=18. Justifier la section à mi-portée sous la combinaison
de l’Etat Limite Ultime par une analyse élastique.
Question 3
Par simplification, on considère que le ferraillage longitudinal de la dalle est constitué d’une
seule nappe à mi-épaisseur du hourdis en béton. Cette nappe est constituée de barres HA
25 tous les 20 cm (soit 1% de la section de béton) en acier B 500 B.
On donne les sollicitations dans la section d’une poutre longitudinale sur appui
intermédiaire pour les différents cas de charge élémentaires (non pondérés).
Cas de charge MEd (kN.m) VEd (kN)

Poids propre acier - 720 120
Poids propre - 3 516 586
béton
Superstructures - 1 560 260
TS - 2 309 800
UDL - 3 511 585
Pré-dimensionner la section sur appui central.

Justifier sa résistance en flexion et sous interaction M,V.
5/9
Annexe :
Extrait de l’Eurocode 1 partie 2, Définition du modèle de trafic routier LM1
6/9
7/9
8/9
9/9
TD N°6
Pont mixte
Connexion - Retrait
7 Janvier 2019
Corrigé

Connexion - Retrait
Question 1 : Connexion
1 Résistance d’un goujon à tête

1.1 Paramètres géométriques liés au goujon
Diamètre de la tige : d = 22 mm
Hauteur totale du goujon : hsc = 180 mm
= 0,2 + 1 si 3 ≤ ≤4
= 1 si >4
Dans notre cas (très courant), = 8,2 et alors = 1.
1.2 Paramètres liés aux matériaux

La résistance ultime de l’acier du goujon vaut fu = 450 MPa (dans les cas, elle ne doit pas être prise
supérieure à 500 MPa pour appliquer les formules de calcul de la résistance d’un goujon qui sont
d’origine expérimentale, calibrée à partir d’essais push-out).
Le béton entourant le connecteur a une résistance caractéristique à la compression fck = 30 MPa. Son
module de Young vaut :
,
= 22000 = 32 837 MPa
1.3 Formulation de la résistance

Le premier mode de ruine observé expérimentalement est celui de la rupture de la tige du goujon pour
lequel la résistance caractéristique s’écrit :
, = 0,8
4
Le deuxième mode de ruine observé est celui de la rupture du béton au pied du goujon par écrasement
(excès de compression qui réduit le béton en poudre, il ne retient plus la tige du goujon alors libre de
se déformer et donc de libérer le glissement). La résistance caractéristique correspondante s’écrit :
, = 0,29
La résistance de calcul d’un goujon à un effort de glissement entre acier et béton vaut, avec = 1,25 :
1
= , ; ,
On obtient , = 136,8 kN , , = 139,3 kN et enfin = 109,5 kN.
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Connexion - Retrait
2 Effort de glissement à l’interface et nombre de goujons

2.1 Principe (rappel de cours)
La résistance de la section mixte en flexion est séparée en 2, la partie reprise par la poutre en acier (Fa)
et la partie reprise par la dalle en béton armé (Fc). Dans l’idéal d’un comportement mixte, l’Axe Neutre
Plastique (ANP) est à l’interface entre les 2 matériaux, c’est-à-dire Fa = Fc. C’est presque le cas pour des
sections où le béton est comprimé (flexion positive en travée), mais pas pour des sections mixtes sur
appui interne en flexion négative où le béton est fissuré et sa résistance réduite à celle de ses
armatures passives.
L’objectif de la connexion étant de reprendre le glissement à l’interface des 2 matériaux pour

solidariser les 2 parties de la section, elle est dimensionnée pour résister à la variation de cet effort (le
maximum entre ∆Fa et ∆Fc) entre 2 sections distantes de ∆x le long de la poutre mixte.
Le nombre minimal N de connecteurs à disposer sur la longueur ∆x pour développer une connexion
complète entre acier et béton s’obtient par :
(Δ ; Δ )
=
Le choix des longueurs ∆x des tronçons de poutre mixte est guidé par l’identification des sections
particulières (appelées aussi critiques) de la poutre mixte sur appuis :
- Les sections où l’effort tranchant s’annule, c’est-à-dire où le moment de flexion atteint un

maximum (en travée)
- Les sections de discontinuité de l’effort tranchant, c’est-à-dire les sections sur appuis
(d’extrémité ou interne)
Le fait de raisonner sur l’effort tranchant traduit la notion de « glissement » à l’interface qui est, en
théorie RDM, un flux de cisaillement calculé sur la face supérieure de la semelle supérieure de la poutre
métallique (aire reprenant un effort tranchant égal à ):
∙
∙ = =
Où :
- est l’effort tranchant sollicitant la poutre mixte à l’abscisse x

- est l’inertie de la section mixte calculée en supposant que le béton n’est pas fissuré (la
connexion doit toujours l’attacher à la poutre métallique même s’il est tendu)
- est le moment statique calculé à l’interface acier/béton en supposant que le béton n’est
pas fissuré (coefficient de fluage ) :
4/15
Connexion - Retrait
avec l’aire du béton participant à la résistance (dans la largeur efficace de dalle pour le traînage de
cisaillement) et la distance entre le centre de gravité de l’aire et le centre de gravité de la
section mixte non fissurée (axe neutre élastique).
2.2 Application au pont bi-poutre mixte
2.2.1 Effort de glissement – Résistance plastique des sections

Voir TD n°4 pour le détail des valeurs numériques synthétisées sur la figure ci-dessous.
Nota : La position de la section B de moment maximum n’est pas à mi-portée mais décalée vers la culée
(x=3L/8= sous une charge répartie), du fait de la continuité de la poutre sur appui. La « simplification
de la mi-portée » a toutefois été admise pour les TD.
Les sections critiques (notées A, B, C) et les efforts associés sont :
- Sur appui d’extrémité (culée, x = 0 m, section A) :

MEd = 0 et donc l’effort sollicitant dans la dalle (et dans l’acier) est nul
VEd = 3174 kN et le glissement est maximum dans cette section
- A mi-portée (x = 30 m /2 = 15 m, section B) :
VEd = 0 et le glissement est nul dans cette section
MEd = 14 600 kN.m < MRd = Mpl,Rd = 18 703 kN.m
La section mixte est de classe 1 et l’ANP est situé dans la semelle supérieure en acier à
5 mm de l’interface acier/béton, l’ensemble du béton est comprimé et la largeur
5/15
Connexion - Retrait
efficace de dalle est égale à la largeur réelle. L’effort sollicitant dans la dalle est majoré
du côté de la sécurité en considérant l’effort résistant max que peut reprendre la dalle,
à savoir :
,
= ∙ = 5 x 0,25 x 0,85 x 30/1,5 = 21 250 kN
- Sur appui interne (x = 30 m, section C) :

VEd = 3174 kN et le glissement est maximum dans cette section
MEd = - 15 682 kN.m > MRd = Mpl,Rd = - 17 847 kN.m
La section est de classe 1 et l’ANP est situé dans l’âme métallique à 558 mm sous
l’interface acier/béton. L’ensemble du béton est tendu et la largeur efficace de dalle
est réduite à 3,75 m (au lieu de 5 m) pour tenir compte du traînage de cisaillement.
L’effort sollicitant dans la dalle est majoré du côté de la sécurité en considérant l’effort
résistant max des armatures passives tendues, à savoir :
= ∙ = 1% x (3,75 x 0,25) x 500/1,15 = - 4 076 kN
2.2.2 Nombre de goujons

Entre les sections A et B, sur une longueur de 15 m, il faut disposer = = 194 goujons. En
,
imaginant qu’ils sont au nombre de 2 par rangée, le pas entre les rangées sera de 15m/(194/2) =
155 mm.
( )
Entre les sections B et C, sur une longueur de 15 m, il faut disposer = = 232 goujons.
,
Cela correspond à un pas de 15m/(232/2) = 130 mm entre les rangées.
Le nombre total de goujons mis en œuvre est de 426 par travée de 30 m et par poutre métallique. Ils
sont régulièrement répartis par moitié de travée.
6/15
Connexion - Retrait
2.2.3 Flux de glissement – Résistance élastique des sections
Si la résistance des sections mixtes est limitée à leur comportement élastique, alors il est possible
d’optimiser le nombre de connecteurs en revenant au calcul élastique du flux de glissement à
l’interface.
2.2.3.1 Répartition des matières
Deux sections ont été pré-dimensionnées lors du précédent TD, en travée et sur appui interne. Le joint
de raboutage se situe au niveau du point de moment nul sous ELU, soit à une distance d’environ 0,25 L
de l’appui interne. On retient un positionnement dans la section d’abscisse x = 22,5 m.
Le raboutage se fait par soudage bout à bout et à pleine pénétration (reconstitution de la matière sur
toute l’épaisseur des tôles) des semelles et de l’âme, avec un délardage (pente ¼) de l’épaisseur la plus
forte.
de x = 0 (culée) de x = 0,25 L de x = 0,75 L

à x = 0,25L à x = 0,75 L à x = L (mi-portée)
Largeur efficace de dalle Linéairement variable Constante, Linéairement variable de
(m) de 4,0 m à 5 m égale à 5 m 5 m à 3,75 m
Semelle sup (mm) 500 x 30 500 x 80 (*)
Ame (mm) 1010 x 16 940 x 16
Semelle inf (mm) 600 x 60 600 x 80
(*) L’épaisseur de la semelle sup a été augmentée à 80 mm au lieu des 70 mm du pré-dimensionnement
(voir TD 4) pour justifier une analyse de section élastique.
Nota : pour mémoire, les efforts M et V devraient être recalculés avec cette distribution des matières,
et pas en considérant un module EI constant.
Largeur efficace sur culée
La largeur efficace de dalle en travée et sur appui interne a déjà été calculée lors du TD 4. Il manque
celle dans la section sur culée (appui d’extrémité).
Sur l’extérieur d’une poutre principale (partie de dalle en encorbellement) :

,
= 0,55 + 0,025 = 0,55 + 0,025 = 0,87
Sur l’intérieur d’une poutre principale (partie de dalle entre les poutres métalliques) :
,
= 0,55 + 0,025 = 0,55 + 0,025 = 0,76
On en déduit la largeur efficace sur culée, associée à une poutre métallique :
= + + = 0 + 0,87x2 m + 0,76 x 3 m = 4,0 m
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Connexion - Retrait
2.2.3.2 Flux de glissement
Une partie de l’effort tranchant de l’ELU est appliqué de façon permanente sur la structure mixte (cas
de charge de superstructures). Le flux de glissement associé doit donc tenir compte du fluage du béton
et son calcul fait appel aux caractéristiques de section mixte non fissurées obtenues avec n=18.
, = 1,35 x 0,625 x 13,86kN/m x 30m = 351 kN
Le reste de la charge (trafic routier) est appliqué de façon très ponctuelle sans tenir compte du fluage
du béton avec n=6.
, = 1,35 x (800 + 585) = 1870 kN
La distribution du flux de glissement le long du tablier s’obtient donc par :
( ) ( )
( ) = ( )= , ( ) + , ( )
( ) ( )
en considérant systématiquement la participation du béton dans les caractéristiques mécaniques de

section (moment statique et inertie).
Par simplification pour le TD (écart très faible), le calcul ne sera fait qu’avec les dimensions de la
section à mi-portée, en considérant n=6 et n=18, ainsi qu’une variation linéaire de l’effort tranchant
(et donc du flux) par travée.
Les résultats du TD 4 sont réutilisés comme suit :
I6 = 49,9 109 mm4 et zANE,6 = 327 mm entre la face supérieure de la dalle et l’ANE de la section mixte
= [5000x250 mm²]/6 x (327-250/2) mm = 42,1 106 mm3
,
= 1870 kN x 0,0421 / 0,0499 = 1578 kN/m
I18 = 37,7 109 mm4 et zANE,18 = 533 mm entre la face supérieure de la dalle et l’ANE de la section mixte
= [5000x250 mm²]/18 x (533-250/2) mm = 28,3 106 mm3
,
= 351 kN x 0,0283 / 0,0377 = 264 kN/m
Le flux de glissement à l’ELU à reprendre par les connecteurs varie donc linéairement de
1 842 kN/m sur culée à -1 842 kN/m sur appui central.
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Connexion - Retrait
2.2.3.3 Optimisation du nombre de goujons
/
Le nombre de goujons nécessaire varie de = = 17 goujons par ml de poutre sur les
,
appuis à 0 à mi-portée. En pratique, la connexion sera réalisée par tronçons de densité de goujons
constante. Autrement dit, la courbe du flux sollicitant ( ) est enveloppée par une courbe du flux
résistant ( = ) constant par paliers.
Les goujons sont disposés par rangées de 2.
De façon à garantir un comportement mixte de la poutre en flexion longitudinale, l’espacement

maximum entre 2 rangs successifs de goujons est donné par :
= (800 ;4 ) = 800
Pour valider l’hypothèse qu’une semelle comprimée en acier connectée à une dalle en béton est de
classe 1 ou 2, l’espacement maximum entre 2 rangs successifs de goujons est donné par :
235
= 22 = 22 ∙ 30 ∙ 0,81 = 535
On retient = 500 et donc = 4 goujons/m au minimum soit 4 x 109,5 kN/m = 438 kN/m pour
le flux résistant minimum (palier central).
Cette valeur est atteinte par dans la section d’abscisse x = 15 m - 438/1842 x 15 m = 15 - 3,5 = 11,5
m.
Pour des raisons de mise en œuvre pratique, il ne faut faire trop de paliers différents de résistance
constante. Une longueur de 3 ou 4 m par palier est un minimum.
Avec = 200 , on passe à = 10x109,5 = 1095 kN/m, valeur qui est atteinte par dans la
section d’abscisse x = 15 m – 1095/1842 x 15 m = 6,1 m. Le deuxième palier a donc une longueur de
11,5-6,1 = 5,4 m.
L’espacement longitudinal minimal entre 2 rangs successifs est imposé pour permettre un soudage
correct de 2 goujons trop proches :
= 5 = 5 ∙ 22 = 110
On retient cette valeur pour le dernier palier de 6,1 m de long adjacent à la section sur culée, c’est-à-
dire 55 rangs de 2 goujons. Et on vérifie :
= 1842 kN/m < = 55 x 2 x 109,5 kN / 6,1 m = 1974,6 kN/m
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Connexion - Retrait
Le graphique suivant illustre la courbe du flux sollicitant et celle du flux résistant avec une densité
constante de connecteurs par paliers. La courbe en pointillé représente le flux résistant correspondant
aux goujons mis en œuvre dans le cas où on considère que la résistance plastique est atteinte dans
toutes les sections du tablier (calcul du § 2.2.2).
Le flux sollicitant peut dépasser localement le flux résistant déterminé par équilibre de la partie
en béton de la section mixte. Il y a une redistribution (admise en calcul plastique) de la reprise du
glissement entre les goujons proches des appuis (pas assez nombreux) et ceux en travée (trop
nombreux). On doit tout de même s’assurer que globalement, sur la longueur de 15 m, l’effort de
glissement (intégration du flux) sollicitant reste inférieur à l’effort de glissement résistant. Autrement
dit, graphiquement, l’aire du triangle bleu est inférieure à l’aire du rectangle pointillé rouge.
Le nombre de goujons obtenu par un calcul élastique est de 2 x (55 + 27 + 7) = 178 rangs de 2
connecteurs, soit 356 goujons par travée et par poutre (au lieu des 426 du calcul plastique). Ils sont
mieux répartis sur la poutre, sans redistribution plastique.
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Connexion - Retrait
Disposition transversale des 2 goujons dans une rangée :
- Distance entre le bord de la tige du goujon et le bord libre de la semelle :
235
25 ≤ ≤9 = 223
La valeur minimale est destinée à garantir un soudage correct du goujon sur la semelle. La valeur
maximale permet de vérifier que l’élancement de la partie en console de la semelle au-delà de l’attache
que constitue le goujon, permet toujours de classer la semelle connectée en classe 1 ou 2. On
remarquera qu’il s’agit en fait de la limite entre les classes 1 et 2 d’une paroi en console.
- Espacement transversal minimum entre 2 goujons (pour assurer un soudage correct de 2

goujons très proches) :
≥ 2,5 = 2,5 ∙ 22 = 55
Dans la largeur = 500 mm de la semelle supérieure, on retient par exemple un espacement de 250
mm d’axe à axe des tiges des 2 goujons du même rang.
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Connexion - Retrait
Question 2 : Retrait du béton dans une poutre mixte
1 Rappel sur le retrait du béton
Le retrait du béton a 3 origines physiques :
- Retrait endogène dû à la réaction de prise du béton qui entraîne une diminution du volume
initial du béton mis en œuvre,
- Retrait de dessiccation dû à l’évaporation progressive de l’eau contenue dans le béton,
- Retrait thermique dû à la différence de température entre le béton et la charpente métallique
pendant la réaction exothermique de prise.
Les déformations de retrait endogène et de dessiccation peuvent se calculer par application de

l’Eurocode 2. Le retrait thermique correspond à un écart de température mesuré de 20°C, soit une
déformation du béton de = ∙ ΔT = 10 20 qui s’applique pendant que la section devient
progressivement mixte. En France, on considère que la moitié de seulement est à appliquer sur la
section en comportement mixte.
Pour le TD, par simplification, on considère une déformation globale de retrait = 2 ∙ 10 appliquée
de manière durable (n=18) à la dalle en béton.
= = 11 670 MPa
2 Effets isostatiques du retrait
2.1 Sollicitations isostatiques

Pour les calculer, on considère que l’appui central est supprimé. Le pont devient isostatique. L’action
du retrait se traduit par :
- Une traction appliquée à la seule dalle en béton sur toute sa largeur réelle : =
- Le même effort (relâché) appliqué en compression au niveau du centre de gravité de la
dalle en béton, et remis par un comportement mixte de la section du tablier
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Connexion - Retrait
Le stade 3 de la figure ci-dessus équivaut à l’application de et , au centre de gravité de la

section mixte (calculée avec n=18).
Du point de vue de la section mixte avec sa connexion complète, ces efforts sont internes à la poutre
c’est-à-dire qu’ils ne créent aucune distribution de sollicitations, mais uniquement des contraintes
longitudinales , auto-équilibrées :
, =0
et une flèche à mi-longueur des 2L = 2 x 30 m = 60 m de tablier supposé isostatique :
, (2 )
, =
8
Comme pour le calcul de la connexion à la question précédente, nous allons supposer que la poutre a
une inertie constante obtenue à partir de son dimensionnement à mi-travée de la portée de 30 m.
= I18 = 37,7 109 mm4
zANE,18 = 533 mm entre la face supérieure de la dalle et l’ANE de la section mixte
soit = 533 - 250/2 = 408 mm
= = 11670 MPa 2 10-4 5000 x 250 mm2 = 2 917 kN
, = = 2917 kN x 0,408 m = 1 190 kN.m
, ( )
, = = 1190 106 x 60 0002 / (8 x 210 000 x 37,7 109) = 67,6 mm
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Connexion - Retrait
2.2 Contraintes auto-équilibrées
Dans la dalle en béton (283 ≤ ≤ 533 ), elles s’écrivent :
− 1 ,
( )= + + ∙
,
Dans la poutre métallique (−817 ≤ ≤ 283 ), elles s’écrivent :
,
( )= + ∙
, = = 5m x 0,25m = 1,25 m2 en tenant compte de la largeur efficace de traînage de

cisaillement dans la dalle
= A18 = 0,137 m2
, (533) = - 0,21 MPa
, (283) = - 0,65 MPa
, (283) = + 30,3 MPa
, (−817) = - 4,4 MPa
3 Effets hyperstatiques du retrait
L’appui central s’oppose à la prise de flèche du tablier supposé isostatique sur 60 m de long. Sa
présence génère une réaction d’appui qui est une action extérieure à la poutre mixte dans sa
configuration hyperstatique sur 3 appuis.
,
= = 6 x 1190 kN.m / 60 m = 119 kN
, = -1,5 * 1190 = - 1785 kN.m
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Connexion - Retrait
, (533) = - 1,4 MPa
, (283) = - 0,75 MPa
, (283) = - 13,5 MPa
, (−817) = + 38,7 MPa
Ces contraintes hyperstatiques (ou secondaires) s’ajoutent aux contributions isostatiques (ou
primaires) pour obtenir la distribution de contraintes due au retrait dans la section sur appui central.
= +
Si toutes les sections de la poutre mixte sont de classe 1 ou 2 et vérifiées par une analyse de section
plastique ( ≤ , ), alors les effets isostatiques du retrait sont sans incidence. Les auto-
contraintes se redistribuent dans la section par plastification.
4 Connexion et retrait (hors séance)
= donc le moment isosatique qui est constant ne crée pas d’effort tranchant, alors que le
moment hyperstatique qui varie linéairement sur une portée de 30 m conduit à un effort tranchant
constant Vhyper = Mhyper,max / L = 1785/30 = 59,5 kN
Cet effort tranchant Vhyper s’ajoute à VELU (en le pondérant par 1,2) et doit être repris par l’âme de la
poutre métallique. Il crée également un flux de cisaillement à l’interface acier/béton qui doit être pris
en compte dans la détermination de la distribution des goujons (voir question 1) lorsque celle-ci est
établie par un calcul élastique (§ 2.2.3).
L’effort isostatique = 2917 kN appliqué uniquement à la dalle en béton (stade 2 du schéma au

§ 2.1) doit être attaché en extrémité de dalle, à la poutre métallique, par ajout de connecteurs goujons
dédiés. Le modèle de calcul habituellement utilisé (Eurocode) consiste à supposer que le flux de
cisaillement créé a une distribution triangulaire de = = 1458 kN/m à 0, sur une longueur
de diffusion égale à la largeur efficace de la dalle en béton sur culée, (soit beff = 4 m dans l’exemple
traité).
Il faut donc ajouter 1458/109,5 = 14 goujons sur 4 m
Dans cette zone, l’espacement des rangées est déjà minimal à 110 mm. On peut ajouter un goujon par
rangée au milieu de la semelle supérieure, une rangée sur 2 :
4000 / (2*110) = 18 goujons ajoutés sur 4 m
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TD N°6
Pont mixte
Connexion - Retrait
7 Janvier 2019
Enoncé

Les questions suivantes portent sur le pont bi-poutre mixte à 2 travées égales de 30 m, qui a
été dimensionné lors de la séance de TD précédente.
Question 1 : Connexion acier/béton
La connexion complète est réalisée à l’aide de connecteurs « goujons à tête » de diamètre

22 mm, soudés sur la semelle supérieure.
Hauteur nominale hors-tout du goujon : hsc = 180 mm

fu = 450 MPa (acier des goujons)
Déterminer le nombre de connecteurs nécessaires pour chaque poutre principale en

supposant que la résistance plastique des sections (à l’ELU) est atteinte en travée et sur
appui intermédiaire.
En supposant que la poutre a une section uniforme (avec ses dimensions à mi-portée),
déterminer la distribution longitudinale du flux de cisaillement (ou glissement). Optimiser la
distribution des goujons en respectant les dispositions constructives liées à la mise en
œuvre pratique des connecteurs, et à la garantie des hypothèses de calcul de la résistance
des sections mixtes.
Question 2 : Retrait du béton
Déterminer la distribution des contraintes dues au retrait dans la section sur appui interne
du pont. On séparera les effets isostatiques et hyperstatiques.
Par simplification, on retiendra une déformation due au retrait εr = 2 10-4.
Analyser l’influence du cas de charge de retrait sur la répartition des goujons établie à la
question précédente.
TD N°7
Pont mixte
Voilement - Fatigue
14 Janvier 2019
Corrigé
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Voilement, raidissage – Fatigue
Exercice 1 : Voilement sous cisaillement
1 Introduction
Les raidisseurs verticaux sont utiles pour découper l’âme de la poutre principale en panneaux de
longueur finie (souvent notée « a »). Un raidisseur vertical bien conçu doit être suffisamment rigide
pour former une ligne nodale pour l’âme, c’est-à-dire que la ligne tracée par le raidisseur sur l’âme
reste rectiligne pendant la durée de vie de la structure.
Les raidisseurs verticaux sont disposés en vis-à-vis sur les 2 poutres principales du pont. Ils permettent
l’assemblage des entretoises en I sur les poutres principales. L’ensemble des 2 montants verticaux et
de l’entretoise constitue le cadre transversal. Ces cadres sont régulièrement espacés. Associés avec la
dalle en béton armé du hourdis, les cadres doivent être suffisamment rigides en flexion transversale
pour garantir l’hypothèse des « sections indéformables » de la Résistance des Matériaux pour la
section complète du tablier du pont. Cette hypothèse a par exemple été utilisée implicitement lors de
l’étude de la répartition transversale des charges entre les poutres principales dans le TD n°4.
Sur appui, les montants verticaux permettent de descendre les charges en provenance du tablier, vers
les appuis (piles et culées), par l’intermédiaire des appareils d’appui.
2 Risque de voilement
hw = 1100 – 30 – 60 = 1010 mm
tw = 16 mm
Critère pour identifier s’il y a risque de voilement par cisaillement ou pas :

hw ε
≤ 31 kτ
tw η
235 235
avec ε = = = 0,81 et η = 1,0 par simplification
f yw 355
(il serait possible de considérer l’effet favorable de l’écrouissage de l’acier avec η = 1,2 pour un acier
de nuance inférieure ou égale à S460)
kτ est le coefficient de voilement sous cisaillement :

2 2
h  a h 
kτ = 5,34 + 4 w  si ≥ 1 et kτ = 4 + 5,34 w  sinon
 a  hw  a 
On en déduit kτ = 5,503 pour le coefficient de voilement, et par suite, on constate que l’âme est trop
élancée et qu’elle risque de voiler sous cisaillement. En effet :
2/17
hw ε
= 63,1 > 31 k τ = 59,2
tw η
3 Résistance au voilement sous cisaillement
Sans risque de voilement, le panneau d’âme pourrait résister à un effort tranchant de :

f yw 355
V pl ,Rd = hw t w = 1010 ⋅ 16 ⋅ = 3312 kN
γ M0 3 1,0 ⋅ 3
Cette valeur est bien supérieure à VELU = 3174 kN (voir le TD n°4), mais la vérification rapide du
paragraphe précédent nous indique qu’il faut réduire cette valeur pour tenir compte du voilement
sous cisaillement.
Contrainte critique de cisaillement

2
π 2 E  tw 
τ cr = kτ σ E avec σ E =  
12(1 − ν 2 )  hw 
σ E est appelée contrainte critique d’Euler.
τ cr = 5,503 x 47,6 = 262,1 MPa
Elancement réduit
f yw 355
λw = = = 0,884.
τ cr 3 262,1 ⋅ 3
Coefficient de réduction
L’expression du coefficient de réduction pour voilement sous cisaillement de l’âme est donnée par :
0,83
- Si λ w ≤ = 0,83 alors χ w = η = 1,0
η
0,83 0,83
- Si ≤ λ w ≤ 1,08 alors χ w =
η λw
1,37
- Si λ w > 1,08 alors χ w = dans le cas où les montants verticaux sont rigides, sinon
0,7 + λ w
0,83
χw = (montants verticaux pas suffisamment rigides)
λw
0,83
Le coefficient de réduction pour le voilement de cisaillement s’élève donc à χ w = = 0,94
λw
3/17
Résistance au cisaillement
f yw
Valeur caractéristique : Vbw,Rk = χ w hw t w = 3109 kN
3
sur laquelle il faut appliquer un coefficient de sécurité γ M 1 = 1,1 pour les ouvrages d’art.
Vbw,Rk
Vbw,Rd = = 2826 kN < VELU = 3174 kN
γ M1
4 Conclusions
Le critère n’est pas vérifié. Plusieurs solutions sont envisageables :
- épaissir le premier panneau d’âme en travée :

Passer à 17 mm au lieu de 16 suffit ( Vbw,Rd = 3191 kN)
- rajouter un montant vertical intermédiaire (a = 2,5 m au lieu de a = 5 m) adjacent à l’appui

interne, est moins efficace (et plus couteux que d’épaissir l’âme) : Vbw,Rd = 2949 kN
- rajouter un raidisseur horizontal à mi-hauteur pour couper la cloque de voilement de

cisaillement (calculs non développés ici, voir Eurocode 3 partie 1-5 par exemple)
- ajouter la contribution Vbf ,Rd de l’effet de cadre (semelles de la poutre principale + raidisseurs
verticaux) dans la résistance du voilement sous cisaillement Vb,Rd = Vbw ,Rd + Vbf ,Rd :
o cette contribution est souvent négligeable, de l’ordre de 3 à 4 % de la résistance totale,

o sa prise en compte suppose que les semelles de la poutre principale ne sont pas
épuisées par la reprise de la flexion (ce qui est le cas pour le pont traité).
4/17
Exercice 2 : Fatigue
1 Classes de fatigue
On se limite à la vérification de l’attache de l’âme du raidisseur transversal en Té sur la semelle
inférieure.
La classe de fatigue du détail constructif est : ∆σc = 80 N/mm2
Il est intéressant de remarquer qu’habituellement, la semelle du montant en Té n’est pas soudée sur
la face supérieure de la semelle inférieure de la poutre principale. En effet, cette soudure créerait un
détail de catégorie 56 (pour une largeur de semelle du Té de 200 mm) très pénalisant en fatigue. Le
fait de découper la base de la semelle du Té et de ne pas la souder ne remet pas en cause la capacité
du montant à raidir l’âme de la poutre principale.
Cette découpe inférieure de la semelle du montant en Té ne doit pas être pratiquée sur appui car le
montant du cadre sert alors aussi à descendre les charges du tablier vers les appuis.
Une fissure de fatigue se propagera dans la semelle inférieure si celle-ci est en traction. La semelle
inférieure est en traction en travée (et pas dans la zone d’appui intermédiaire). La suite de l’exercice
est donc conduite pour un montant en travée.
2 Etendue de contrainte au passage du convoi FLM3
Les contraintes sont à calculer au niveau de la fibre intérieure de la semelle inférieure, c’est-à-dire au
point d’amorçage de la potentielle fissure de fatigue que l’on cherche à éviter.
5/17
Calcul du moment positif maximum au passage de FLM3
Mmax = [2×120kN]×0,203×30 + [2×120kN]×0,100×30 = 1461,6 + 720,0 = 2181,6 kN.m
Mmax = 2181,6 kN.m

Calcul du moment négatif maximum au passage de FLM3
Mmin = [2×120kN]×(-0,048)×30 + [2×120kN]×(-0,038)×30 = -345,6 -273,6 = -619,2 kN.m
Mmin = -619,2 kN.m
Donc :
∆M = Mmax - Mmin = 2181,6 – (- 619,2) = 2800,8 kN.m

Calcul de l’étendue de contrainte ∆σ avec les caractéristiques de la section mixte non fissurée (section
en travée) et un coefficient d’équivalence = 6 (charge variable de trafic routier). Voir corrigé du TD n°4.
Amixte = 275 493 mm²

ZANE mixte = 327 mm
Imixte = 49,9 ×109 mm4
Module de flexion de la fibre intérieure de la semelle inférieure
Imixte /v = 4,99×1010 / (1010+30+250-327) = 51,9×106 mm3
Etendue de contrainte normale:
∆σFLM3 = 2800,8 / 51,9 = 54,0 N/mm²
6/17
3 Coefficient d’équivalence de dommage (hors séance)
λ = λ1 λ2 λ3 λ4 ≤ λmax
Calcul de λ1
λ1 = 2.55 – 0.7*(L-10)/70 avec L = 30 m (car détail situé en travée), donc λ1 = 2.35
Calcul de λ2
avec Q0 = 480 kN, N0 = 500 000 poids lourds par an et par voie lente
Nobs = 500 000 poids lourds par an et par voie lente (hypothèse, voir tableau 4.5 extrait de l’Eurocode
1 Partie 2 ci-joint)
Poids moyen des camions du trafic « longue distance » (voir tableau 4.7 extrait de l’Eurocode
1 partie 2 ci-joint) :
7/17
(70 + 130) + (70 + 120 + 120) + (70 + 150 + 90 + 90 + 90) + (70 +

⁄
140 + 90 + 90) + (70 + 130 + 90 + 80 + 80) = 445,4 kN avec m = 5
Donc λ2 = 0.928
Calcul de λ3
avec tLd = 100 ans (durée de vie du pont)

λ3 = 1 (durée de vie du pont : 100 ans)
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Calcul de λ4
λ4 = [ 1 + (N2/N1) x (η2Qm2/η1Qm1)5 ]1/5
En supposant une voie lente dans chaque sens de circulation de la RN portée par le projet, et le même
trafic sur chaque voie, N1 = N2 et Qm1 = Qm2.
Dans la largeur chargeable de 9 m, on dispose 2 voies de 3.5 m de large avec une BAU de 1 m de large
de chaque côté, symétriquement dans la largeur de la dalle.
Coefficients de répartition transversale :

η1 = (8.5-3.5/2-2)/6 = 0.792
η2 = (1.5+3.5/2-2)/6 = 0.208
λ4 = [ 1 + (0,208/0,792)5 ]1/5
λ4 ≈ 1
1m Voie 1 = 3.5 m Voie 2 = 3.5 m 1m
η1 η2
1 0
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Calcul de λmax
λmax = 2 pour L = 30 m et un détail en travée

Au final, le coefficient d’équivalence de dommage vaut :
λ = 2.35*0.928*1*1 = 2.18 ≤ 2
Donc λ =2
11/17
4 Vérification
Majoration dynamique de FLM3 :
Φ=1
Etendue de contrainte équivalente à 2 millions de cycles :
∆σE,2 = λΦ∆σ(FLM3) = 108 MPa
Coefficient de sécurité :
Concept de durée de vie sure avec une conséquence importante pour le bi-poutre si ruine du détail
(semelle inférieure non redondante) : γMf = 1.35
Comparaison
« Sollicitation » : ∆σE,2 = 108 N/mm2
« Résistance » : ∆σC / γMf = 80 / 1,35 = 59,2 N/mm2

Donc : La résistance à la fatigue n’est pas assurée pour ce détail !!!
Il existe plusieurs possibilités pour aboutir à des dimensions satisfaisantes à la fatigue. Au stade de pré-
dimensionnement, on peut proposer les dimensions suivantes :
En passant à une semelle inférieure de 800x85 mm² (au lieu de 600x60 mm²), la vérification devient :
Im / v = 95,4 106 mm3
∆σE,2 = 2 x 2800,8 / 95,4 = 58,7 MPa ≤ ∆σC / γMf = 80/1,35 = 59,25 MPa
Au final, la fatigue augmente la section d’acier à mi-travée de l’ordre de 40%.
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Exercice 3 : Voilement sous contraintes directes
1 Analyse de la section sous N seul
Sous l’effort normal, la section est en compression pure.
1.1 Semelle supérieure

/ = (500-10)/(2*10) = 24,5 ≥ 14 = 11,4 donc de classe 4
Il s’agit d’une paroi en console uniformément comprimée.
Coefficient de voilement : = 0 ,43
Contrainte critique de voilement : = ( )
= 0,43 . 189000 . (1/24,5)2 = 136 MPa
Elancement réduit : ̅ = = (355/136)0,5 = 1,615

,
Coefficient de réduction : = = 0,547
La largeur de la semelle en console (245 mm) est donc réduite à une largeur efficace de 0,547 x 245 =
134 mm.
1.2 Semelle inférieure

Le raisonnement est identique à celui de la semelle supérieure.
/ = (600-10)/(2*10) = 29,5 ≥ 14 = 11,4 donc de classe 4
= 0 ,43
= 93,8 MPa
̅ = 1,945
= 0,464
La largeur de la semelle en console (295 mm) est donc réduite à une largeur efficace de 0,464 x 295 =
137 mm.
1.3 Ame
/ = 1080/10 = 108 ≥ 42 = 34,2 donc de classe 4
Il s’agit d’une paroi interne uniformément comprimée.
Coefficient de voilement : =4
= 4 . 189000 . (1/108)2 = 65,1 MPa
Elancement réduit : ̅ = = (355/65,1)0,5 = 2,335

, ( )
Coefficient de réduction : = = 0,388 avec =1 en compression uniforme
La hauteur de l’âme (1080 mm) est donc réduite à une hauteur efficace de 0,388 x 1080 = 419 mm.
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La figure suivante illustre la section efficace qui résiste à l’effort NEd de compression, en tenant compte
des effets du voilement des parois qui la composent.
1.4 Vérification
L’aire efficace de cette section vaut donc = 9 810 mm².

On vérifie :
= 1500 ≤ = 9810 x 355/1,0 = 3 482 kN
Taux de travail sous N seul : = 1500/3482 = 0,43
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2 Analyse de la section sous M seul

Sous l’action du moment de flexion autour de l’axe fort yy, la semelle supérieure est comprimée ainsi
que la partie supérieure de l’âme. La semelle inférieure est tendue et ne risque pas de voiler.
2.1 Voilement de la semelle supérieure
La semelle supérieure est en compression uniforme. Sa réduction pour voilement local a déjà été
étudiée ci-dessus.
Cette réduction de la semelle doit être prise en compte pour étudier le voilement local de l’âme. Pour
déterminer l’axe neutre élastique dans l’âme et la classifier (classe 3 ou 4), on raisonne donc avec la
section efficace de la figure suivante.
Position du centre de gravité par rapport à la face inférieure de la semelle inférieure :

= 460 mm = −
= 1100 – 460 = 640 mm (bras de levier de la fibre sup)
Le ratio entre la traction minimale et la compression maximale sur les fibres extrêmes de l’âme vaut
donc : -460/640 = - 0,72
2.2 Voilement de l’âme

/ = 1080/10 = 108 ≥ = 79 donc de classe 4
, ,
Coefficient de voilement : = 7,81 − 6,29 + 9,78 = 17,4

= 17,4 . 189000 . (1/108)2 = 283,2 MPa
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Elancement réduit : ̅ = = (355/283,2)0,5 = 1,12

, ( )
Coefficient de réduction : = = 0,793
La hauteur comprimée de l’âme (640-10 = 630 mm) est donc réduite à une hauteur efficace de 0,793
x 630 = 500 mm répartie pour 40 % au contact de la semelle supérieure (soit 200 mm) et pour 60 % au
contact de l’axe neutre élastique déterminé au paragraphe 2.2 ci-dessus (soit 300 mm).
2.3 Inertie efficace
L’ANE indiqué sur la figure ci-dessus ne tient pas compte du voilement de l’âme. Pour obtenir l’inertie
efficace résistante, il faut calculer les caractéristiques mécaniques de la section ci-dessus en tenant
compte des 2 réductions, celle de la semelle supérieure et celle de l’âme.
Position du centre de gravité de la section efficace par rapport à la face inférieure de la semelle
inférieure :
= 434 mm = −
= 1100 – 434 = 666 mm (bras de levier de la fibre sup)
Inertie efficace : , , = 3 313,5 106 mm4
Module de résistance élastique :

3 3
, = 4 975 10 mm pour la fibre supérieure de la section
3 3
, = 7 627 10 mm pour la fibre inférieure de la section
16/17
Initialement le centre de gravité de la section brute est situé à = 525 mm de la face inférieure
de la semelle inférieure.
On en déduit un décalage = -(525-434) = - 91 mm du point d’application de l’effort normal NEd.

Cela crée un moment qui comprime la semelle inférieure de la section.
3 Détermination du moment maximum admissible
Il s’obtient en écrivant le critère de vérification élastique des contraintes sur la fibre extrême
supérieure de la section (face supérieure de la semelle supérieure).
+
+ =
avec = 9 810 mm² et = 4 975 103 mm3
On en déduit = 1142 kN.m pour le moment maximum admissible dans la section.
17/17
TD N°7
Pont mixte
Voilement - Fatigue
14 Janvier 2019
Enoncé

Les 2 premiers exercices portent sur le pont bi-poutre mixte à 2 travées égales de 30 m, qui
a été étudié lors des séances de TD n°4 et n°5.
La poutre de portée 30 m est raidie verticalement par des montants en Té régulièrement

espacés tous les 5 m. Le raidisseur vertical en Té est composé d’une âme de dimension
150x10 mm2 et d’une semelle de dimension 200x10 mm2, fabriqué avec le même acier que
la charpente principale.
Par simplification, on admet que les épaisseurs de semelle dimensionnées en travée,

s’appliquent aussi dans la zone d’appui intermédiaire.
Elévation d’une demi-poutre longitudinale du pont :
Coupe A-A du montant vertical en Té :
Rappel des sollicitations ELU dans la section sur appui intermédiaire (voir TD n°4) :
MELU = - 15 680 kN.m

VELU = 3 175 kN
3/10
Exercice 1 : Voilement sous cisaillement

Vérifier le voilement du premier des 6 panneaux d’âme en travée, adjacent à l’appui interne
(grisé sur l’élévation ci-dessus).
Exercice 2 : Fatigue
Vérifier à la fatigue, le détail d’assemblage du montant vertical en Té sur la semelle
inférieure de la poutre principale.
Le coefficient de dommage équivalent λ est pris égal à 2 (correspondant à une composition

du trafic de type « longue distance » et un nombre Nobs = 500 000 camions par an et par
voie lente).
Pour simplifier les calculs, on donne les ordonnées de la ligne d’influence pour le moment
fléchissant à mi-travée (x = 15 m) au droit des essieux du modèle de charge de fatigue n°3
de l’Eurocode (FLM3).
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Ligne d’influence du moment à mi-portée (x = 15 m) et positions défavorables du modèle FLM3
Coefficient partiel de sécurité
5/10
Classification des principaux détails de pont métallique selon l’Eurocode 3 (Extrait du Guide SETRA de Juillet 2007)
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Exercice 3 : Voilement sous contrainte directe (classe 4)
La section métallique en acier S355 est soumise à un effort de compression NEd = 1500 kN.
Déterminer la valeur maximale du moment de flexion d’axe fort comprimant la semelle
supérieure, que cette section est capable de reprendre.
Les cordons de soudure sont négligés.
Pour rappel, les élancements limites des plats entre les classes de section, les coefficients de
voilement et la géométrie des aires efficaces de voilement sont rappelés ci-dessous (extrait
de l’Eurocode 3).
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8/10
9/10
10/10

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Module « Construction Métallique et Mixte »

TD N°1 Résistance des Sections

Année Scolaire 2018 – 2019

On s’intéresse à une diagonale de la membrure du portique treillis principal.

01 Octobre 2018 Page 2 sur 15

Résistance plastique de la section brute (en l’absence de perçages) :

01 Octobre 2018 Page 3 sur 15

Question 2 : On s’intéresse à l’assemblage de la diagonale sur la membrure de la poutre treillis :

D’où e ≥ 790 x 1,0 x 103 / (200.10-3 x 235.103 ) = 16,8 mm

01 Octobre 2018 Page 4 sur 15

01 Octobre 2018 Page 5 sur 15

Lignes de rupture possibles :

Diamètre des trous pour boulon M20 d0 = 20 + 2 = 22mm (normalisé)

Anet 1 = e x (200 – 2 x 22) = e x 156 mm²

Anet 2 = e x (200 – 1 x 22) = e x 178 mm²

Anet 3 = Abrute – Ared = e x b – e x (n x d - ∑ ) = e x 200 – e x (3 x 22 – 2 x ) = e x 154,8 mm²

Anet 4 = Abrute – Ared = e x b – e x (n x d - ∑ ) = e x 200 – e x (2 x 22 – ) = e x 166 mm²

La section nette dimensionnante est la section 3.

, = , =0,9 / = 0,9 x e x 154,8.10-6 x 360.103 / 1,25 ≥790 kN

D’où e ≥ 790 x 1,25 / (0,9 x 154,8.10-6 x 360.103 ) = 19,7 mm

Epaisseur du gousset e minimum nécessaire e = 20mm.

01 Octobre 2018 Page 6 sur 15

01 Octobre 2018 Page 7 sur 15

Fonctionnement et efforts simplifiés de la poutre au vent du long pan nord

PRS 500 x 15 / 400 x 25 en acier S235 J0 (fy = 235 MPa, fu = 360MPa)

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Iy = 153 541 cm4 Wely = 5583 cm3 Wply = 6187 cm3

Iz = 26 680 cm4 Welz = 1334 cm3 Wplz = 2028 cm3

• Classification de la section transversale :

Cf tableau de classification des sections dans le poly.

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- Classification de la semelle comprimée (paroi avec un bord libre et un bord appuyé) :

c/t = (200-15/2)/25 = 7,7 <9 ε =9 Classe 1

- Classification de l’âme comprimée (paroi avec deux bords appuyés) :

c/t = 500/15 = 33,33 ≈ 33 ε =33 Classe 1

La section est donc de classe 1.

Nota : effet de la nuance d’acier sur la classification de la section – coefficient ε :

Cette dernière est inversement proportionnelle au carré de l’élancement géométrique c/t

limite élastique fy est utilisée.

• Calcul de la résistance à l’effort axial en compression :

Pour les sections transversales de classe 1,2 et 3 :

Nc,Rd = Npl,Rd = Afy/ƳM0

Nc,Rd = 275.10-4 x 235.103 / 1,0 =6462 kN

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• Classification de la section transversale :

• Calcul de la résistance à la flexion :

Pour les sections transversales de classe 1 et 2 :

Mc,Rd = Mpl,Rd = Wplyfy/ƳM0

Mc,Rd = 6187.10-6 x 235.103 / 1,0 =1454 kNm

Pour les sections transversales de classe 1 et 2

Il faut donc vérifier l’interaction M et N et calculer MN,Rd.

MN,y,Rd. = Mpl,y,Rd. (1-n)/(1-0,5a) mais MN,y,Rd. ≤ Mpl,y,Rd

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Où : n = NEd / Npl,Rd =2055 / 6462 = 0,32

a = (A – 2btf)/A = (27500 – 2 x 400 x 25) / 27500 = 0,27 (mais a≤0,5)

+ = 0,32 + 0,70 = 1,02 > 1

La section ne serait donc pas vérifiée !

Les interactions concernent toutes les combinaisons d’actions N, My, Mz et V.

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On demande de vérifier au cisaillement la section S de la poutre suivante :