Determinant en Beamer PDF
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Plan
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Déterminants
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Déterminants
Motivation
Déterminants
f (· · · , ui + vi , · · · ) = f (· · · , ui , · · · ) + f (· · · , vi , · · · )
f (· · · , λui , · · · ) = λf (· · · , ui , · · · ).
C'est à dire, f est linéaire par rapport à chaque composante.
1 Si p = 2, on dit que f est une forme bilinéaire.
2 Si p = 3, on dit que f est une forme trilinéaire.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants
Dénition
1 Une forme p-linéaire f sur E est dite alternée, si pour tous
ui , uj ∈ E avec 1 ≤ i, j ≤ p, on a
f (· · · , ui , · · · , uj , · · · ) = −f (· · · , uj , · · · , ui , · · · ).
Déterminants
Déterminants d'ordres 2
Dénition
Soit E un K -espace vectoriel de dimension 2, relativement à une base B
de E , considérons v1 = (α1 , α2 ), v2 = (β1 , β2 ) ∈ E . Alors
α1 β1
1 détB (v1 , v2 ) =
= α1 β2 − α2 β1 , s'appelle déterminant
α2 β2
de v1 , v2 dans la base B .
2 détB est une forme bilinéaire alternée.
Dénition
a c
Soit A = ∈ M2 (K), on appelle déterminant de A, le
b d
déterminant
de ses vecteurs colonnes et on note
a c
dét(A) = = ad − bc.
b d
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants
Déterminants d'ordre 3
Dénition
Soient E un K -espace vectoriel de dimension 3, relativement à une
base B de E , considérons
v1 = (α1 , α2 , α3 ), v2 = (β1 , β2 , β3 ), v3 = (γ1 , γ2 , γ3 ) ∈ E . Alors
α1 β1 γ1
1 détB (v1 , v2 , v3 ) = α2 β2 γ2 =
α3 β3 γ3
α1 β2 γ3 + α2 β3 γ1 + α3 β1 γ2 − α3 β2 γ1 − α1 β3 γ2 − α2 β1 γ3 ,
s'appelle déterminant de v1 , v2 , v3 dans la base B .
2 détB est une forme trilinéaire alternée.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants
Déterminants d'ordre 3
Dénition
α1 β1 γ1
Soit A = α2 β2 γ2 ∈ M3 (K), on appelle déterminant de
α3 β3 γ3
A, le déterminant
de ses vecteurs colonnes et on note
α1 β1 γ1
dét(A) = α2 β2 γ2 =
α3 β3 γ3
α1 β2 γ3 + α2 β3 γ1 + α3 β1 γ2 − α3 β2 γ1 − α1 β3 γ2 − α2 β1 γ3 .
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants
Déterminants d'ordre 3
Exemple
1 2 3
Considérons la matrice A = 4 5 6 . Alors
8 8 9
1 2 3
dét(A) = 4 5 6
8 8 9
= (1×5×9)+(4×8×3)+(2×6×8)−(8×5×3)−(1×8×6)−(4×2×9)
= 45 + 96 + 96 − 120 − 48 − 72 = −3.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants
Règle de Sarrus
Cette règle est valable seulement en dimension 3. Il s'agit de
recopier les deux premières lignes au dessous de la matrice, puis on
additionne les produits de trois termes en les regroupant selon les
diagonales descendantes, et on soustrait ensuite les produits de
trois termes regroupés selon les diagonales montantes.
α1 β1 γ1
α2 β2 γ2
détB (v1 , v2 , v3 ) = α3 β3 γ3
α1 β1 γ1
α2 β2 γ2
= α1 β2 γ3 + α2 β3 γ1 + α3 β1 γ2 − α3 β2 γ1 − α1 β3 γ2 − α2 β1 γ3 .
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants
Proposition
Soient E un R-espace vectoriel de dimension n > 1 et
v1 , v2 , v3 ∈ E .
1 Si n = 2. Alors |dét(v1 , v2 )| est l'aire du parallélogramme
déterminé par v1 et v2 .
2 Si n = 3. Alors |dét(v1 , v2 , v3 )| est le volume du
parallélépipède déterminé par v1 , v2 et v3 .
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants d'ordre n
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Déterminants d'ordre n
Déterminants d'ordre n
Dénition
Soient E un K -espace vectoriel de dimension n, relativement à une
base B de E . Considérons les vecteurs v1 = (α11 , α21 , · · · , αn1 ),
v2 = (α12 , α22 , · · · , αn2 ), · · · , vn = (α1n , α2n , · · · , αnn ). Alors
α11 α12 · · · α1n
α21 α22 · · · α2n
détB (v1 , · · · , vn ) = . .. .. .. , s'appelle
..
1
. . .
αn1 αn2 · · · αnn
déterminant de v1 , v2 , · · · , vn dans la base B .
2 détB est une forme n-linéaire alternée.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants d'ordre n
Déterminants d'ordre n
Dénition
Soient E un K -espace vectoriel de dimension n, relativement à une
base B de E . Considérons les vecteurs v1 = (α11 , α21 , · · · , αn1 ),
v2 = (α12 , α22 , · · · , αn2 ), · · · , vn = (α1n , α2n , · · · , αnn ). Alors
α11 α12 · · · α1n
α21 α22 · · · α2n
détB (v1 , · · · , vn ) = . .. .. .. , s'appelle
..
1
. . .
αn1 αn2 · · · αnn
déterminant de v1 , v2 , · · · , vn dans la base B .
2 détB est une forme n-linéaire alternée.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Déterminants d'ordre n
Déterminants d'ordre n
Dénition
Soit A ∈ Mn (K), le déterminant de A c'est le déterminant de ses
vecteurs colonnes dans la base canonique de K n .
Opérations élémentaires
Déterminants d'ordre n
Déterminants d'ordre n
Exemple
Calculons le déterminant
1 2 3 1 2 3
4 5 6 = 0 −3 −6 L2 ← L2 − 4L1
8 8 9 0 −8 −15 L3 ← L3 − 8L1
−3 −6 1 2
= = −3
−8 −15 −8 −15
1 2
= −3 = −3.
0 1
Cours d'algèbre II (SMPC)
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Corollaire
Soit A ∈ Mn (K), on a :
1 A est inversible ⇔ détB (A) 6= 0.
2 Si une colonne de A est nulle le déterminant de A est nulle.
3 Si deux colonnes sont égales où proportionnelles le
déterminant est nul.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Théorème
Soit A ∈ Mn (K), alors dét(A) = dét(At ).
Cours d'algèbre II (SMPC)
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Dénition
Soit E un K -espace vectoriel de dimension nie de base
B = {e1 , · · · , en } et f ∈ LK (E). On appelle déterminant de f
qu'on note détB (f ) = dét(M at(f ; B)).
Proposition
Soient E un K -espace vectoriel de dimension nie et B une base
de E . Alors, pour tous f, g ∈ LK (E) et λ ∈ K on a :
détB (λf ) = λn détB (f ).
détB (gof ) = détB (g).détB (f ).
Cours d'algèbre II (SMPC)
Corollaire
Soient M, N ∈ Mn (K) et λ ∈ K, on a :
dét(λM ) = λn détB (M ).
dét(M × N ) = dét(M ).dét(N ).
Si A est inversible, alors dét(A−1 ) = (dét(A))−1 .
Cours d'algèbre II (SMPC)
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Corollaire
Soit A = (αij ) ∈ Mn (K) une matrice carrée triangulaire supérieure (ou
inférieure). Alors
n
Y
dét(A) = αii .
i=1
Cours d'algèbre II (SMPC)
Exemple
−1 2 3
Si A = 2 −3 1 , on a :
1 3 −2
−1 2 3 −1 2 3 −1 2 3
dét(A) = 2 −3 1 = 0 1 7 = 0 1 7 = 34.
1 3 −2 0 5 1 0 0 −34
Cours d'algèbre II (SMPC)
Exemple
Calculons le déterminant
1
1 2 1
1 1 2 1
3
1 4 5
= 0 −2 −2 2 L2 ← L2 − 3L1
7
6 1 2
0 −1 −13 −5 L3 ← L3 − 7L1
1
1 3 4 0 0 1 3 L4 ← L4 − L3
1 1 2 1
1 1
2 1
0 1 1 −1 = −2 0 1
1 −1
= −2
0 −1 −13 −5
0 0
−12 −6 L3 ← L3 + L2
0 0 1 3 0 0 1 3
1 1 2 1 1 1 2 1
0 1 1 −1 0 1 1 −1
= (−2) × (−6) = 12 = 60.
0 0 2 1 0 0 2 1
5
0 0 1 3 0 0 0 2
Cours d'algèbre II (SMPC)
Dénition
Soit A = (αij ) ∈ Mn (K) une matrice carrée. On note Aij la
matrice obtenue en supprimant la ième ligne et la j ème colonne de
A.
Le scalaire Mij (A) = dét(Aij ) est dit le (i, j)ème -mineur de A.
Le scalaire Cij (A) = (−1)i+j Mij (A) est dit le
(i, j)ème -cofacteur de A.
Si aucune confusion n'est à craindre, on note Mij (A) par Mij
et Cij (A) par Cij .
Cours d'algèbre II (SMPC)
Théorème
Soit A = (αij ) ∈ Mn (K). Alors
dét(A) = ni=1 αij Cij (A), pour tout j = 1, 2, · · · , n
P
(Développement suivant la j ème colonne).
dét(A) = nj=1 αij Cij (A), pour tout i = 1, 2, · · · , n
P
Remarque
Il est clair que, pour chaque coecient αij le signe (−1)i+j est
donné selon sa place dans la matrice en commençant par le signe +
pour α11 et en changeant le signe pour chaque changement de
ligne ou de colonne.
+ − + − + ···
− + − + − ···
+ − + − + ···
.. .. .. .. .. ..
. . . . . .
Cours d'algèbre II (SMPC)
La matrice adjointe
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
La matrice adjointe
La matrice adjointe
La matrice adjointe
La matrice adjointe
Exemple
1 2 3
Considérons la matrice A = 4 5 6 , alors
8 8 9
C11 C21 C31 −3 6 −3
adj(A) = C12 C22 C32 = 12 −15 6 .
C13 C23 C33 −8 8 −3
Cours d'algèbre II (SMPC)
La matrice adjointe
Formule de l'inverse
Théorème
Soit A = [αij ] ∈ Mn (K). Alors,
Corollaire
Si dét(A) 6= 0, alors A est inversible et on a :
1
A−1 = .adj(A)
dét(A)
Cours d'algèbre II (SMPC)
La matrice adjointe
Règle de Cramer
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Règle de Cramer
Règle de Cramer
Le système linéaire de n équations et n indéterminées x1 , x2 , · · · , xn .
a11 x1 + · · · + a1n xn = b1
a21 x1 + · · · + a2n xn = b2
..
.
an1 x1 + · · · + ann xn = bn
Règle de Cramer
D'abord on a :
−2 3 −1
∆ = 1 2 −1 = −2 6= 0.
−2 −1 1
Donc, on peut appliquer la règle de Cramer pour résoudre ce
système linéaire.
∆x ∆y ∆z
x= , y= , z= .
∆ ∆ ∆
Avec :
Cours d'algèbre II (SMPC)
Règle de Cramer
1 3 −1 1 3 −1 1 3 −1
∆x = 4 2 −1 = 4 2 −1 = 3 −1 0 = −4.
−3 −1 1 1 1 0 1 1 0
−2 1 −1 −2 1 −1 −2 −1 −1
∆y = 1 4 −1 = 1 4 −1 = 1 5 −1 = −6.
−2 −3 1 −1 1 0 −1 0 0
−2 3 1 −2
3 1 −2
1 1
∆z = 1 2 4 = 1 2 4 = 1 3 4 = −8.
−2 −1 −3 −8 8 0 −8 0 0
Par suite, x = 2, y = 3, z = 4.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Plan
1 Déterminants
2 Déterminants d'ordre n
6 La matrice adjointe
7 Règle de Cramer
Théorème
Soient A ∈ Mn (K) une matrice carrée et λ ∈ K . Alors
λ est une valeur propre de A si et seulement si dét(A − λIn ) = 0.
Corollaire
Les matrices semblables ont les mêmes valeurs propres.
Cours d'algèbre II (SMPC)
Exemple
0 1
Considérons la matrice A = . On a
−1 0
−λ 1
= λ2 + 1.
dét(A − λI2 ) =
−1 −λ