polyBA IUP3 PDF
polyBA IUP3 PDF
polyBA IUP3 PDF
Olivier Gagliardini
IUP Génie Civil et Infrastructures,
UJF-Grenoble I
TABLE DES MATIÈRES 3
1 Avant-propos 11
1.1 Notations (Annexe C) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.1 Majuscules Romaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.2 Minuscules Romaines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.1.3 Minuscules Grecs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Unités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Conventions de signes en BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4 Domaine d’application du BAEL . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
OG 2004
4 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
4.3.1 Hypothèses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.3.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.3 Equations de l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.4 Compatibilité des déformations . . . . . . . . . . . . . . 41
4.3.5 Contraintes limites dans les matériaux . . . . . . . . . . 41
4.3.6 Dimensionnement et vérification . . . . . . . . . . . . . 41
4.4 Section en T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.1 Pourquoi des sections en T ? . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.4.2 Fonctionnement des sections en T . . . . . . . . . . . . 42
4.4.3 Calcul des vrais sections en T . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.5 Condition de non fragilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.6 Choix du dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
10 Fondations superficielles 89
10.1 Généralités et définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.1.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.1.2 Profondeur hors-gel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
10.1.3 Dimensions minimales-maximales . . . . . . . . . . . . . 89
OG 2004
6 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
OG 2004
8 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
OG 2004
10 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
1 Avant-propos
1.1 Notations (Annexe C)
1.1.1 Majuscules Romaines
OG 2004
12 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
1.2 Unités
Les unités utilisées en béton armé sont celles du système international (USI) et
leurs multiples :
m, (cm, mm) : Longueur, dimension, portée
cm2 : Section d’acier
m 2 : Section
kN , (N , M N ) : Charge ponctuelle
kN m−1 , (N m−1 ,M N m−1 ) : Charge linéique
kN m−2 , (N m−2 , M N m−2 ) : Charge surfacique
kN m−3 , (N m−3 , M N m−3 ) : Charge volumique
kN m, (N m, M N m) : Moment
M P a, (P a, kP a) : Contrainte
Une conversion bien utile : 1 M P a = 1 M N m−2 = 1 N mm−2 = 106 P a.
On rencontre encore parfois le bar comme unité de contrainte : 1 bar =
1 kgcm−2 et 10 bar ≈ 1 M P a.
d Mz (x)
Vy (x) = − .
dx
OG 2004
14 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
implique que les fibres inférieures (du coté de y − ) sont tendues (déformation
positive et contrainte négative).
Avec ces conventions, la contrainte normale dans la section droite est donnée
par :
Mz (x) N
σxx (x, y) = y+ .
Izz S
où Izz est le moment quadratique de la section par rapport à Gz et S sa surface.
On distingue :
- les constructions courantes ayant une charge d’exploitation Q modérée Q <
2G ou Q < 5 kN m−2 .
- les constructions industrielles à charge d’exploitation relativement élevée :
Q > 2G ou Q > 5 kN m−2 .
- les constructions spéciales pour lesquelles certaines parties sont assimilées
à des éléments de construction courante, d’autres à des éléments de construc-
tion industrielle et d’autres relèvent de l’application des règles générales (par
exemple un parking de voitures couvert par un plancher sous chaussée).
2.1 Le béton
On se limitera ici aux aspects relatifs au comportement mécanique du béton.
Pour les aspects relatifs à sa composition et à sa mise en œuvre, on se référera
au cours sur les bétons.
Essais de traction Il est beaucoup plus difficile de faire des essais en traction.
On distingue :
- Les essais de traction directe avec des éprouvettes collées,
- Les essais de traction indirecte tels que l’essai Brésilien ou l’essai en flexion
quatre points.
Pour les essais en traction indirecte, la déduction du comportement en traction
nécessite une interprétation de l’essai via un modèle. Par exemple, pour l’essai
Brésilien qui consiste à fendre une éprouvette cylindrique comme indiqué sur la
Figure 3, la résistance à la traction est donnée par :
2F
Rt =
πDh
OG 2004
16 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Pour se protéger des désordres liés au retrait, on adoptera les dispositifs construc-
tifs suivants :
- utiliser des bétons à faible chaleur d’hydratation,
- maintenir les parements en ambiance humide après coulage,
- disposer des armatures de peaux de faible espacement pour bien répartir les
fissures de retrait,
- éviter de raccorder des pièces de tailles très différentes,
- utiliser des adjuvants limitant les effets du retrait.
OG 2004
18 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
que la montée en résistance des bétons à performances élevées est plus rapide
que pour les bétons classiques. Cette propriété rend les bétons à performances
élevées très intéressants en phase de construction.
Dans la plupart des calculs réglementaires des pièces soumises à des contraintes
normales, la résistance mécanique du béton tendu sera négligée. Pour les calculs
relatifs aux contraintes de cisaillement et à l’adhérence, on adoptera les valeurs
données ci-dessus.
Eij = 3Evj .
Il est évident que cette approche est simplificatrice et que le fluage d’un matériau
ne vérifie pas la loi de Hooke d’un matériau élastique (la loi de fluage est une
relation entre les contraintes et les vitesses de déformation). Néanmoins, cette
approche permet d’estimer les déformations cumulées dues à la déformation
instantanée élastique et au fluage à un temps infini.
Le module de Young différé du béton dépend de la résistance caractéristique à
la compression du béton :
1/3
Evj = 3 700fcj si fc28 ≤ 60 M P a (A.2.1,2)
1/3
Evj = 4 400fcj si fc28 > 60 M P a, sans fumée de silice (annexe F)
Evj = 6 100fcj si fc28 > 60 M P a, avec fumée de silice (annexe F)
Pour les bétons à performances élevées, la part des déformations de fluage est
plus faible, de 1.5 à 0.8 fois les déformations instantanées pour des bétons sans
ou avec fumée de silice, respectivement. La Figure 7 présente l’évolution de Evj
en fonction de la résistance caractéristique à la compression du béton.
OG 2004
20 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
où
- le coefficient de sécurité partiel γb vaut 1.5 pour les combinaisons fondamen-
tales et 1.15 pour les combinaisons accidentelles,
- θ est un coefficient qui tient compte de la durée d’application des charges :
θ = 1 si la durée est supérieure à 24h, θ = 0.9 si la durée est comprise entre
1h et 24h et θ = 0.85 sinon.
2.2 Les aciers d’armature 21
1. Les aciers doux, sans traitement thermique ayant une valeur caractéristique
de la limite élastique garantie de 125 ou 235 M P a. Ce sont les ronds lisses
(noté φ), qui ne sont plus utilisés que pour faire des crochets de levage
en raison de leur très grande déformation à la rupture (allongement de
22%).
2. Les aciers laminés à chaud, naturellement durs, dit aciers à haute adhérence
de type I. Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 400 M P a
et un allongement à la rupture de 14%.
4. Les aciers laminés à chaud par tréfilage (forte réduction de section), for-
tement écrouis, utilisés pour fabriquer les treillis soudés et fils sur bobines.
Ce type d’acier a une limite d’élasticité garantie de 500 M P a et un allon-
gement à la rupture de 8%.
OG 2004
22 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
5 - 6 - 8 - 10 - 12 - 14 - 16 - 20 - 25 - 32 - 40
Les fils Les armatures sous forme de fils sont stockées sur des bobines. Les fils
servent principalement à la réalisation de treillis soudés, de cadres, d’épingles
et d’étriers en usine de façonnage d’armatures, ou pour le ferraillage d’éléments
préfabriqués tels que les prédalles BA ou BP. On trouve des diamètres de 5 à
12 mm et se sont généralement des aciers à haute adhérence.
Les treillis soudés Les TS sont utilisés pour ferrailler rapidement des éléments
plans, tels que les voiles, dalles et dallages. Ils sont disponibles en rouleaux
ou en panneaux et sont composés d’aciers à haute adhérence. L’association
technique pour le développement et l’emploi du TS (ADETS) propose 5 treillis
antifissuration et 11 treillis de structure standards (voir Figure 11). On peut
imaginer de faire fabriquer un TS spécial si aucun des TS standards proposés par
l’ADETS ne correspond (réservé à des gros chantiers pour de grandes quantités).
On notera qu’un seul modèle est utilisé pour décrire le comportement des quatre
types d’acier, ce modèle étant fonction de la limite d’élasticité garantie fe .
2.2 Les aciers d’armature 23
fe
fsu = .
γs
et γs est un coefficient de sécurité partiel qui vaut 1.15 sauf pour les combinai-
sons accidentelles où il vaut 1.
OG 2004
24 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Les cadres, épingles et étriers Pour les cadres, étriers et épingles, les rayons
de courbures r sont :
(
r ≥ 2φ pour un rond lisse de diamètre φ
r ≥ 3φ pour un HA de diamètre φ
OG 2004
26 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
- du type d’acier (HA et rond lisse, comme on le voit clairement d’après les
courbes de l’essai ci-dessus),
- de la qualité du béton,
et ainsi de déterminer la valeur de la contrainte d’adhérence en fonction des
conditions de l’essai.
On observe plusieurs types de rupture :
- rupture par traction de l’acier (ancrage parfait),
- glissement de la barre dans le béton,
- destruction du béton par arrachement d’un cône de béton.
On définit un bon ancrage comme un ancrage où lorsque la barre commence à
glisser celle-ci vient d’atteindre la limite d’élasticité (²s ≥ ²e ou F/As ≥ fe )
OG 2004
28 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
φfe
ls = .
4τs
où le coefficient de scellement ψs vaut 1 pour des ronds lisses et 1.5 pour des
aciers HA. On retiendra que la longueur de scellement droit ls dépend du type
d’acier (via fe et ψs ) et de la qualité du béton (via ftj ).
Le BAEL propose d’adopter les valeurs forfaitaires suivantes (A.6.1,22, déconseillé) :
(
40φ pour un HA feE400
ls =
50φ pour un HA feE500 ou un rond lisse
Pour des aciers HA, on utilisera le tableau ci-dessous pour calculer la longueur
de scellement droit ls ou la Figure 17.
fcj [M P a] 20 25 30 35 40 45 50 55 60
fe E 400 ls /Φl = 41 35 31 27 25 22 21 19 18
fe E 500 ls /Φl = 51 44 39 34 31 28 26 24 22
Chaque barre d’un paquet de barres sera ancrée individuellement. Pour ancrer
les barres d’un paquet de deux barres il faudra prévoir 2 × ls et pour un paquet
de trois barres (2 + 1.5) × ls , puisque la troisième barre a un périmètre utile de
seulement 2πφ/3.
2.3 L’adhérence acier-béton 29
Par manque de place, comme aux appuis de rives par exemple, on est obligé
d’avoir recourt à des ancrages courbes afin de diminuer la longueur d’encom-
brement de l’ancrage. On pourrait aussi penser au gain d’acier, mais celui-ci est
plus faible que le coût de la main d’œuvre nécessaire au façonnage de l’ancrage.
Donc, quand il n’y a pas de problème pour placer un ancrage droit, c’est cette
solution qu’il faut adopter.
Un ancrage courbe est composé de deux parties droites AB et CD de lon-
gueurs µ et λ, respectivement, et d’une partie courbe BC de rayon de courbure
R et d’angle θ (voir Figure 18).
Efforts repris par les parties droites Par analogie à la partie précédente, on
en déduit que FA − FB = µπφτsu et FC − FD = FC = µπφτsu . FD = 0 car
au bout le l’ancrage l’effort est nul.
Effort repris par la partie courbe On s’intéresse ici à l’effort repris par la
partie courbe. Pour cela, isolons un tronçon élémentaire d’ancrage dθ, comme
indiqué sur la Figure 19.
On distingue :
- F l’effort axial dans l’armature au point N ,
- F + dF l’effort axial au point M ,
- dT et dN les efforts de contact entre l’armature et le béton, tels que dT =
ϕ dN , où ϕ est le coefficient de frottement acier-béton (ϕ ≈ 0.4),
- dA l’action due à l’adhérence le long de ds = R d θ, soit dA = τsu πφR d θ en
supposant que la contrainte d’adhérence est constante le long de l’ancrage.
L’équilibre du tronçon élémentaire conduit aux deux équations suivantes en
OG 2004
30 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Comme d θ est très petit, on en déduit que cos(d θ/2) ≈ 1, sin(d θ/2) ≈ d θ/2
et dF d θ ≈ 0. Les équations de l’équilibre se réduisent à :
(
τsu πφR d θ + ϕdN = dF sur x
dN = F d θ sur y
On en déduit une équation différentielle (du premier ordre avec second membre)
vérifiée par F :
dF
− ϕF = τsu πφR
dθ
où
exp ϕθ − 1
α = exp ϕθ et β =
ϕ
qui permet de calculer l’effort repris pas la partie courbe de l’ancrage de rayon
de courbure R et d’angle θ.
2.3 L’adhérence acier-béton 31
Effort total de l’ancrage courbe L’effort total repris par l’ancrage courbe
vaut donc :
F = FA = α πφτsu λ + βπφτsu R + πφτsu µ.
Si cet ancrage est un bon ancrage, on doit avoir F = FA = πφ2 fe /4, d’où la
formule permettant de calculer les dimensions d’un ancrage courbes λ, µ, R et
θ:
φfe
αλ + βR + µ = = ls ,
4τsu
où ls est la longueur de scellement droit de l’ancrage droit équivalent. On ne
confondra pas ls à la longueur développée de l’ancrage courbe ld donnée par :
(
µ + λ + 5.5φ pour un HA
ld = µ + λ + Rθ =
µ + λ + 3φ pour un rond lisse
OG 2004
32 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
OG 2004
34 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
OG 2004
36 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Fig. 24 : Définition de la portée d’une poutre selon qu’elle repose sur des
appareils d’appuis, des éléments en maçonnerie ou en béton armé.
0.85fcj
fbu = ,
θγb
avec
- fcj la résistance caractéristique requise en compression à j jours du béton,
- θ un coefficient qui tient compte de la durée d’application des charges.
- γb = 1.5 dans les cas courants.
4.2.2 Notations
Pour les calculs aux ELU, on utilise les notations de la Figure 26, où:
X b et h sont la largeur et la hauteur de la section de béton.
X As est la section d’acier, dont le centre de gravité est positionné à d de la
4.2 Flexion simple à l’ELU 37
Fig. 26: Notations utilisées pour les calculs de flexion simple à l’ELU.
OG 2004
38 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
²bcmax ²st
= ,
yu d − yu
yu
Pivot A: ²bcmax = 10 ◦/◦◦ ,
d − yu
4.2.6 Adimensionnement :
yu
On définit les quantités adimensionnées suivantes : αu = la hauteur réduite
d
Mu
et µu = le moment ultime réduit.
bd2 fbu
Il vient d’après les équations de l’équilibre :
µu = 0.8αu (1 − 0.4αu ).
Fig. 28 : Valeurs de αu , du pivot et des la contrainte dans les aciers tendus σst
en fonction de la valeur du moment ultime réduit µu .
Mu
As = .
σst d(1 − 0.4αu )
4.2.8 Pré-dimensionnement
Pour un pré-dimensionnement rapide de la hauteur du coffrage, on se place sur
la droite de déformation AB (µu ≈ 0.2), d’où
Mu
bd2 ≈ ,
0.2fbu
4.3.1 Hypothèses
Les principales hypothèses du calcul des sections en BA soumises à de la flexion
simple aux ELS sont les suivantes :
X les sections planes restent planes,
X il n’y a pas de glissement à l’interface béton-armatures,
X le béton et l’acier sont considérés comme des matériaux élastiques,
X le béton tendu est négligé,
X l’aire des aciers n’est pas déduite de celle du béton,
OG 2004
40 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
4.3.2 Notations
Pour les calculs aux ELS, on utilise les notations définies sur la Figure 29, où:
X b et h sont la largeur et la hauteur de la section de béton.
X As est la section d’acier, dont le centre de gravité est positionné à d de la
fibre la plus comprimée du coffrage.
X y1 est la position de l’axe neutre par rapport à la fibre la plus comprimée du
coffrage.
X σst = Es ²st est la contrainte de calcul des aciers, définie à partir du module
d’Young de l’acier Es et de la déformation dans les aciers ²st .
X σbcmax = Eb ²bcmax est la contrainte de calcul du béton comprimé, définie à
partir du module d’Young du béton Eb et de la déformation maximale du béton
comprimé ²bcmax .
Fig. 29: Notations utilisées pour les calculs en flexion simple à l’ELS.
1
selon N : Nser = by1 σbcmax − As σst = 0
2
1 y1
selon M : Mser = by1 σbcmax (d − ) en y = −(d − y1 )
2 3
y1 2
= As σst (d − ) en y = y1
3 3
1
= by12 σbcmax + As σst (d − y1 ) en y = 0
3
Notons que les trois expressions du moment fléchissant en trois points différents
de la section sont rigoureusement identiques puisque l’effort normal est nul
(sollicitation de flexion simple).
4.4 Section en T 41
σst ≤ σ̄st
où
σ̄st = fe si la fissuration est considérée peu préjudiciable (FPP) à la tenue de
l’ouvrage dans le temps, p
σ̄st = Min{2fe /3; Max{0.5fe ; 110 ηftj }} si la fissuration est préjudiciable
(FP), p
σ̄st = 0.8 Min{2fe /3; Max{0.5fe ; 110 ηftj }} si la fissuration est très préjudiciable
(FTP).
Dans ces formules η est un coefficient qui dépend du type d’acier : η = 1.6
pour des HA > 6 mm, η = 1.0 pour des ronds lisses et η = 1.3 pour des HA
< 6 mm.
4.4 Section en T
4.4.1 Pourquoi des sections en T ?
Les poutres en béton armé d’un bâtiment supportent souvent des dalles. Il est
alors loisible de considérer que la dalle supportée par la poutre reprend une partie
des contraintes de compression induites par la flexion de la poutre. Attention,
ceci n’est vrai que si la dalle est comprimée, c’est-à-dire si la poutre subit un
OG 2004
42 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Dimensionnement Vérification
Données Mser , b, h, fcj , fe Mser , As , b, h, d, fcj , fe
Inconnues As , y1 , σbcmax , σst , d y1 , σbcmax , σst
Equations d ≈ 0.9h
comp. σst = σ̄st
0 1
Résolution Mser = by1lim σ̄bc (d − y1lim /3) y1 solution de
2
nσ̄bc 1 2
avec y1lim = d by − nAs (d − y1 ) = 0
nσ̄bc + σ̄st 2 1
0
X si Mser ≤ Mser continuer calcul de :
0 1
X si Mser > Mser augmenter b I1 = by13 + nAs (d − y1 )2
3
et/ou h ou placer des aciers com-
primés (mauvais)
y1
on pose α = Vérifier :
d
nMser Mser
calcul de µser = 2 X σbcmax = y1 ≤ σ̄bc
bd σ̄st I1
nMser
α solution de X σst = (d − y1 ) ≤ σ̄st
I1
α3 − 3α2 − 6µser (α − 1) = 0
section d’acier :
Mser
As =
σ̄st d(1 − α/3)
moment positif. Donc, pour une poutre continue, seule la partie en travée est
concernée et sur appui il faudra considérer une poutre rectangulaire de largeur
la largeur de l’âme.
Le BAEL (A.4.1,3) définit la largeur du débord à prendre en compte de façon
forfaitaire (voir la Figure 32), comme au plus égale à :
- le dixième de la portée de la poutre,
- les deux tiers de la distance de la section considérée à l’axe de l’appui le plus
proche,
- la moitié de la distance entre deux poutres supportant la même dalle.
OG 2004
44 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
On distinguera deux cas, selon que l’axe neutre est compris dans la table de
compression ou non :
X L’axe neutre est dans la table de compression. On a donc yu ≤ h1 (ou
y1 ≤ h1 à l’ELS). Le béton tendu étant négligé, la poutre en T se calcule
exactement comme une poutre rectangulaire de largeur b, à l’ELU ou à l’ELS.
X L’axe neutre est sous la table de compression. On a donc yu > h1 (ou
y1 > h1 à l’ELS). Une partie de la contrainte normale est reprise par la table
de compression de largeur b, l’autre par une partie de l’âme de largeur b0 et de
hauteur 0.8yu − h1 à l’ELU (y1 − h1 à l’ELS).
OG 2004
46 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Mutable Mu − Mutable
Atable = et Aame =
σst (d − h1 /2) σst d(1 − 0.4αu )
A l’ELS A l’ELS le problème est un peu plus complexe puisque les contraintes
dans le béton varient linéairement. Ainsi, on ne peut pas connaı̂tre a priori
la valeur de la résultante du béton comprimé qui dépend de la position de
l’axe neutre y1 . Pour résoudre ce problème, on décompose la résultante des
contraintes de compression du béton en deux résultantes fictives : Nbc1 et Nbc2
comme indiqué sur la Figure 35. Nbc1 est la résultante de la poutre fictive
rectangulaire équivalente et Nbc2 est la partie reprise par le béton fictif sous la
table de compression. En notant K la pente de la droite des contraintes dans
la section σ(y) = Ky, on a :
1 2
Nbc1 = Kby1
2 s’appliquant en y1
2 3
1 2
Nbc2 = K(b − b0 )(y1 − h1 )2 s’appliquant en (y1 − h1 )
2 3
De plus, comme pour le calcul d’un section rectangulaire, on adoptera σst = σ̄st
pour minimiser la section d’acier. Comme pour les sections rectangulaires,
l’équation de compatibilité des déformations fournit une équation supplémentaire
reliant les contrainte via la pente K de la droite des contraintes σst = nK(d−y1 )
et σbcmax = Ky1 . On a donc trois inconnues y1 , σbcmax et As pour trois
équations, et on peut résoudre ce système. On prendra garde de vérifier en fin
de calcul que σbcmax ≤ σ̄bc = 0.6fcj .
où Ib = bh3 /12 est le moment quadratique de la section de béton non armé
non fissuré. On en déduit :
ftj bh2
Mf iss = .
6
La condition de non fragilité suppose que lorsque la section de béton armé est
soumise à Mf iss , alors la contrainte dans les aciers vaut au plus fe , soit comme
le moment dans la section est égale à :
M = As fe zb ,
ftj bh2
= Amin fe zb .
6
OG 2004
48 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
At γs (τu − 0.3ftj k)
≥ ,
b0 st 0.9fe (cos α + sin α)
où
X b0 est la largeur de l’âme,
X fe est la limite d’élasticité garantie des armatures transversales,
X γs le coefficient de sécurité partiel sur les armatures (en général γs = 1.15),
X α est l’angle d’inclinaison des armatures transversales (α = 90◦ si elles sont
droites),
X ftj est la résistance caractéristique du béton à la traction à j jours,
X k est un coefficient qui vaut: - k = 1 en flexion simple,
- k = 1 + 3σcm /fcj en flexion composée avec compression (σcm contrainte
moyenne),
- k = 1−10σtm /fcj en flexion composée avec traction (σtm contrainte moyenne),
- k = 0 si la fissuration est considérée très préjudiciable ou si il y a une reprise
de bétonnage non traités,
- k ≤ 1 si la reprise de bétonnage est munie d’indentations dont la saillie atteint
au moins 5 mm.
At VU VU
≥ = ,
st 0.9dfsu zb fsu
0.2fcj
en FPP : τu ≤ Min{ ; 5 M P a}
γb
0.15fcj
en FP et FTP : τu ≤ Min{ ; 4 M P a}
γb
- dans le cas où les armatures sont inclinées à 45◦ :
0.27fcj
τu ≤ Min{ ; 7 M P a}
γb
Si les armatures sont disposées de façon intermédiaire (45◦ < α < 90◦ ), il est
loisible de procéder à une interpolation linéaire pour fixer la valeur de τu .
où ns est le nombre de barres ancrées. Si l ≤ a alors un ancrage droit est suffi-
sant, sinon il faut prévoir des crochets (voir la Figure 37 pour la définition de a).
Dimension de l’appui :
La contrainte de compression dans la bielle doit vérifier :
2Vu0 fcj
σbc = ≤ 0.8 ,
ab0 γb
OG 2004
50 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Ru 1.3fcj
≤ .
section d’appui γb
• Pour des raisons de mise en œuvre, les espacements st sont choisis dans
la suite de Caquot (non obligatoire, conseillé) :
7 - 8 - 9 - 10 - 11 - 13 - 16 - 20 - 25 - 35 - 40
Cet effort de traction Nsti doit être équilibré par la contrainte d’adhérence
d’entraı̂nement τse entre l’armature et le béton sur une longueur zb (hypothèse
OG 2004
52 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Asi
τse zb ui = Vu ,
As
Il faut vérifier pour chaque paquet de barres que la contrainte d’adhérence τse
reste inférieure à la valeur limite ultime τse,u (A.6.1,3):
Tout plan soumis à un effort de cisaillement doit être traversé par des armatures
de couture totalement ancrées de part et d’autre de ce plan, faisant un angle
d’au moins 45◦ avec lui et inclinées en sens inverse de la direction probable des
fissures du béton. Si les actions tangentes sont susceptibles de changer de sens,
les armatures de couture doivent être normales au plan sur lequel s’exercent les
actions.
OG 2004
54 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Pour β = 45◦ , on obtient la même formule que celle proposée par le BAEL en
A.5.3,12. Dans les cas habituellement rencontrés en BA, on a aussi α = 90◦
(armatures de couture perpendiculaires au plan [P ]), ce qui conduit à la formule
simplifiée (commentaire du A.5.3,12 ) :
At fe
= τu − σu
p st γs
Hypothèse : Les calculs suivants sont menés en supposant que les matériaux
travaillent dans le domaine élastique (hypothèse des calculs aux ELS), puis
transposés aux ELU sans modifications.
Mser + d Mser 0
mG
I1
V 0
mG = τ h1
I1
Vu b − b0 st
At ≥
zb 2b fsu
Comme pour tous les calculs à l’effort tranchant, on adopte comme bras de levier
zb = 0.9d. L’espacement st des aciers de couture est généralement identique à
celui des cadres de l’âme.
OG 2004
56 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Fig. 43: Notations pour le calcul des aciers de couture à la liaison talon/âme.
Cette formule est celle donnée dans le commentaire de l’article A.5.3,2 du BAEL.
La section d’acier de couture à mettre en place pour la liaison talon/âme est
donnée par :
Vu Al1 st
At ≥
zb Al fsu
57
où les coefficients µx et µy sont des fonctions du rapport des portées lx /ly et
du type d’état limite considéré (puisque la valeur du coefficient de Poisson n’est
pas identique à l’ELU et à l’ELS). La valeur de la charge surfacique dépend
aussi de l’état limite considéré (p = pu à l’ELU et p = pELS à l’ELS).
En raison de l’article A.8.2,41, qui stipule que le rapport de la section des
aciers armant la direction la moins sollicitée sur celle armant la direction la plus
sollicitée doit être supérieur à 1/4, la valeur du coefficient µy est limitée à 0.25.
OG 2004
58 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Fig. 44 : Abaques de Mougin pour le calcul des moments dans une dalle de
dimensions lx /ly = 0.5 supportant une charge uniforme sur un rectangle de
dimensions a × b. Voir le texte pour l’utilisation.
OG 2004
60 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Fig. 45: Exemple de valeurs pour les moments en travée et sur appuis.
- les moments en travée peuvent être réduits de 25% au maximum par rapport
aux moments de la dalle articulée, selon les conditions de continuité aux appuis,
- les moments d’encastrement sur les grands cotés sont évalués à au moins 40
ou 50% du moment de la dalle articulée M0x ,
- les moments d’encastrement sur les petits cotés prennent des valeurs du même
ordre que sur les grands cotés,
- dans la portée principale lx , on doit respecter :
Mwx + Mwy
Mtx + > 1.25M0x et Mtx ≤ M0x
2
Ce qui conduit à adopter les valeurs suivantes pour le moment en travée Mtx ,
en fonction des valeurs des moments sur appuis :
Ce même tableau est utilisé pour déterminer les moments dans la direction y.
- lorsque deux dalles ont un appui commun, on garde la plus grande des deux
valeurs des moments calculés sur l’appui, sans changer la valeur des moments
en travée.
La Figure 45 présente, à partir d’un exemple, les moments en travée et sur
appui à adopter.
6.5 Ferraillage des dalles 61
OG 2004
62 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
et
2bdx
Asx ≤ ,
fe
avec b = 1.00 m et f e en MPa.
Dans ces formules, Mtx est le moment en travée dans la direction x (petite
direction), M0x le moment en travée de la dalle articulée de référence et lx la
petite portée.
Si ces conditions n’étaient pas vérifiées, le calcul des flèches est présenté à la
Section 8 de ce cours.
OG 2004
64 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Pour une poutre élastique, ce problème peut être résolu par l’utilisation de
la formule des trois moments (ou méthode de Clapeyron) qui fournie n − 2
équations reliant les moments sur appuis (où n est le nombre d’appuis). Sachant
que sur les deux appuis de rive les moments sont nuls, il est alors possible de
résoudre ce système et ainsi d’obtenir les moments sur appuis. Une fois connus
les moments sur appuis Mw et Me , chaque travée peut être étudiée séparément
comme une poutre isostatique soumise à deux moments à ces extrémités, comme
indiqué sur la Figure 47b.
Le théorème de superposition permet alors de résoudre ces trois chargements
(chargement sur la travée, moments à l’appui gauche et à l’appui droit) séparément,
comme indiqué sur la Figure 47c.
Finalement, en notant µ(x) le moment de la travée isostatique de référence
dû au chargement sur la poutre (qui peut être plus compliqué que la charge
répartie tracée sur la Figure 47), on obtient le moment fléchissant et l’effort
7.1 Particularités liées au Béton Armé 65
x x
M (x) = µ(x) + Mw (1 − ) + Me
l l
d µ(x) Mw − Me
V (x) = − +
dx l
Pl
M= .
4
Aw + Ae
At + ≥ A0 ,
2
OG 2004
66 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Sous charge de longue durée, ce qui est généralement le cas pour des ouvrages
de Génie Civil au moins pour les charges permanentes, le béton armé est un
matériau qui flue. C’est à dire qu’il continue à se déformer au cours du temps
même si la charge reste constante. Cette déformation de fluage est loin d’être
négligeable pour le béton armé puisqu’elle peut représenter jusqu’à trois fois la
déformation instantanée, pour une charge constante et un temps infini.
Pour les poutres continues, le fluage entraı̂ne que l’amortissement est beau-
coup plus rapide que pour une poutre élastique. Par conséquent, on supposera
que le moment sur un appui ne dépend que des charges supportées par les deux
travées adjacentes de l’appui considéré, comme indiqué sur la Figure 50.
OG 2004
68 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
c) les portées successives sont dans un rapport compris entre 0.8 et 1.25
(25%).
XSi a est vérifiée mais une ou plus des trois conditions b, c et d ne le sont
pas, on appliquera la méthode de Caquot minorée (Annexe E2 du BAEL).
Fig. 51 : Conditions données par la méthode forfaitaire à vérifier par les mo-
ments sur appui et en travée pour des poutres à deux travées et plus de deux
travées.
Remarque : lorsque, sur l’appui de rive, la poutre est solidaire d’un poteau ou
d’une poutre, il convient de disposer sur cet appui des aciers supérieurs pour
équilibrer Ma = −0.15M0 .
OG 2004
70 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Lorsqu’il n’est pas possible de réaliser l’arrêt forfaitaire des barres, il faut tracer
la courbe enveloppe des moments fléchissants (voir la méthode de Caquot).
Valeurs des moments sur appui Pour le cas de charges réparties, les mo-
ments sur appui intermédiaire sont donnés par :
pw l0 3w + pe l0 3e
Ma = − ,
8.5(l0 w + l0 e )
OG 2004
72 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Fig. 54 : Notations pour le calcul des moments sur appui par la méthode de
Caquot dans le cas de charges réparties.
Fig. 55 : Notations pour le calcul des moments sur appui par la méthode de
Caquot dans le cas de charges ponctuelles.
Le moment total est obtenu comme la somme des moments sur appui des
différents chargements.
x x
M (x) = µ(x) + Mw (1 − ) + Me ,
l l
l Mw − Me
xMtmax = − .
2 pl
Fig. 56 : Définition des trois cas de charge à prendre en compte. Chacun de ces
trois cas correspond à une valeur extrême des moments de la deuxième travée
et des appuis 2 et 3. A l’ELU C = 1.35g + 1.5q et D = 1.35g et à l’ELS
C = g + q et D = g.
On prendra garde de bien travailler avec les bonnes valeurs des moments sur
appuis et de la charge p en fonction du cas de charge considéré.
d µ(x) Mw − Me
V (x) = − + .
dx l
Sur l’appui i, les valeurs à gauche et à droite de l’effort tranchant sont donc :
Mai − Mai−1
Vwi = V0w − ,
li−1
Mai+1 − Mai
Vei = V0e − ,
li
où
OG 2004
74 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Pour illustrer cette partie, nous prendrons l’exemple d’une poutre à 4 travées
de portées identiques (l = 5.00m), supportant une charge permanente g =
20kN/m et une charge d’exploitation q = 25kN/m, correspondant à une charge
surfacique de 6kN/m2 .
Fig. 59 : Tracé des moments fléchissants des trois cas de charge et de la courbe
enveloppe.
OG 2004
76 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
• la = 0.6ls pour un ancrage avec crochet normal s’il s’agit d’un rond lisse.
OG 2004
78 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Mt
h ≥ Max[1/16; ]l,
10M0
4.2b0 d
Asx ≤ ,
fe
et
l ≤ 8.00 m,
avec f e en MPa.
Dans ces formules, Mt est le moment en travée, M0 le moment en travée de la
travée isostatique de référence et l la portée.
Si ces conditions n’étaient pas vérifiées, le calcul des flèches est présenté à la
Section 8 de ce cours.
7.5 Déformation des poutres (BAEL B.6.5,1 ) 79
OG 2004
80 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
OG 2004
82 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
I0
If = 1.1 ,
1 + λµ
où I0 est le moment d’inertie de la section non fissurée homogénéisée par rapport
au béton,
λ = λi = 0.05bft28 /[(2b + 3b0 )ρ] pour les déformations instantanées,
λ = λv = 2/5λi pour les déformations de longue durée,
µ = Max [0; 1 − (1.75ft28 )/(4ρσst + ft28 )].
Dans ces expressions :
- I0 est le moment quadratique de la section totale homogénéisée par rapport
au béton calculé avec un coefficient d’équivalence n = 15,
- les résistances caractéristiques ft28 et σst sont exprimées en M P a,
- ρ = As /(b0 d) le pourcentage d’armatures tendues.
Mt l2
f= pour les poutres et dalles,
10Eb I
Mt l2
f= pour les consoles,
4Eb I
avec
- Eb = Ebi et I = Ifi si la charge est de courte durée,
- Eb = Ebv et I = Ifv si la charge est de longue durée.
8.2 Evaluations des flèches 83
Calcul plus précis Il est possible de faire un calcul plus précis (mais plus
compliqué) en intégrant les courbures le long de la poutre. Pour le béton armé,
la courbure dans une section est donnée par :
1 ²st + ²bc M
= = ,
r d EI
OG 2004
84 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Fig. 68: Valeurs des longueurs de flambement des poteaux d’un bâtiment.
où σs2 ◦/◦◦ = Es × 2 ◦/◦◦ est la contrainte dans les aciers pour une déformation
de 2 ◦/◦◦ correspondant au Pivot C du diagramme de déformation.
En fait, les règles BAEL apportent de nombreuses corrections qui:
• pénalisent les poteaux de faible section en remplaçant B par une section
réduite Br , obtenue en enlevant 1cm de béton sur toute la périphérie de
la section ,
• supposent que les charges sont appliquées bien après 28 jours (1.1 × fc28 ),
• tiennent compte du fait que les effets du second ordre (flambement) sont
négligés, en minorant l’effort normal résistant par un coefficient de flam-
bement α fonction de l’élancement λ,
OG 2004
86 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
· ¸
Br fc28 fe
Nu ≤ Nulim =α +A
0.9γb γs
λ 0 −→ 50 −→ 70
0.85
α 0.85 0.6 0.6(50/λ)2 0.31
1 + 0.2(λ/35)2
Lorsque plus de la moitié des charges est appliquée avant 90 jours, il faut
remplacer α par α/1.10.
Lorsque la majeure partie des charges est appliquée avant 28 jours, fc28 est
remplacée par fcj et α par α/1.20.
La Figure 69 donne l’évolution de α en fonction de l’élancement λ. Etant donné
la forte décroissance de α en fonction λ, il convient de choisir une valeur de
l’élancement inférieure à λ = 50 et, si possible, proche de λ = 35.
1.0
0.8
0.6
α
0.4
0.2
PSfrag replacements
0.0
0 20 40 60 80 100
λ
• 10% pour les poteaux intermédiaires voisins des poteaux de rive dans le
cas d’une poutre comportant au moins 3 travées.
Fig. 70 : Effort normal à prendre en compte dans les poteaux supportant une
poutre continue.
La plus petite dimension de la section d’un poteau doit être supérieure à 25cm
et sa section supérieure à 625cm2 (Règle PS92, article 11.331).
OG 2004
88 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
10 Fondations superficielles
10.1 Généralités et définitions
Il s’agit des ouvrages de transition entre les éléments porteurs de la structure
et le sol. Les fondations superficielles font l’objet des DTU 13.11 (Cahier des
clauses techniques et spéciales) et 13.12 (règles de calcul) publiés en 1988, ainsi
que de la partie B.9 du BAEL.
10.1.1 Notations
La base de la fondation est arrêtée à un niveau tel que l’eau incluse dans le sol
ne gèle pas. Selon la région 50 cm ≤ D ≤ 90 cm et il faut ajouter 5 cm/200 m
pour des altitudes supérieures à 150 m. Par exemple, en Isère D ≥ 50 cm, donc
pour une construction en Isère à 1000 m : D ≥ 75 cm.
OG 2004
90 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
OG 2004
92 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
x Nu x(b0 − b)
dF (x) = dx = Nu dx
h0 b0 db02
L’effort dans les aciers varie de façon parabolique et sa valeur est maximal au
milieu de la fondation (x = 0). L’effort de traction dans les aciers à l’ELU est
limité à As fsu , par conséquent, la section maximale (en x = 0) d’acier à mettre
en place est donnée par :
Nu (b0 − b)
As =
8dfsu
Fig. 81 : Evolution de l’effort normal dans les aciers F (x) et de l’effort normal
0
résistant NRs des barres en fonction du rapport ls /b .
OG 2004
94 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
0 l 0 (b0 − b)
Nu0 = Nu0 et Nu1 = Nu1 − Nu0
2l − (b0 − b) 2l − (b0 − b)
Pour remplir son rôle, la longrine doit être rigide et on adopte h ≥ l/10.
0
Le calcul des aciers de la semelle 1 se fait sous la charge réduite Nu1 de façon
classique.
Le calcul des aciers de la semelle excentrée dans le sens transversal se fait par
la méthode des bielles. Dans le sens longitudinal, il faut faire le calcul de la
poutre de redressement sous le chargement donné sur la Figure 83.
10.7 Semelles excentrées 95
OG 2004
96 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Remarques :
• Ces deux cas sont bien sûr identiques.
• Il existe, peut-être, un effort tranchant non nul, mais comme pour la flexion
simple le calcul est mené par ailleurs.
• Lorsque l’excentricité e0 de l’effort normal N est selon les deux directions, on
parle de flexion déviée composée.
Selon les valeurs de l’effort normal Nu et de l’excentricité e0 , la section est :
• soit entièrement tendue : Nu < 0 et le centre de pression est entre les arma-
tures,
• soit entièrement comprimée Nu > 0 et le centre de pression est dans le noyau
central,
11.2 Section entièrement tendue 97
Attention, dans ces équations, σs et σs0 sont négatifs. Une solution économique
consiste à faire travailler au mieux les aciers, c’est-à-dire dans le domaine plas-
tique σs = σs0 = −fsu , d’où :
Nu (d − d0 − va − e0 ) Nu (va + e0 )
A= et A0 =
(d − d0 )fsu (d − d0 )fsu
OG 2004
98 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Condition de non-fragilité :
La condition de non-fragilité impose de mettre en place une section minimale
d’acier telle que A + A0 ≥ Bft28 /fe .
Nu
A=A+ et A0 = A0
σs
Par conséquent :
• si Nu > 0 (compression) alors Nu /σz < 0 et il y a diminution . . .
• si Nu < 0 (traction) alors Nu /σz > 0 et il y a augmentation . . .
. . . de Nu /σz de la section d’acier tendu par rapport au calcul en flexion simple.
Pour le calcul de A et A0 , deux cas sont à considérer :
• les aciers comprimés ne sont pas nécessaires, alors A0 = 0 et A = −MuA /(zσs ),
11.3 Section partiellement comprimée (tendue) 99
1/ On fait une hypothèse sur la valeur de la contrainte σs0 dans les aciers
supérieurs (σs0 = fsu est une bonne hypothèse de départ)
2/ On pose Mu2 = A0 σs0 (d − d0 ) (le moment repris par les aciers supérieurs)
et on travaille avec le moment Mu1 = MuA − Mu2 = Nbc z comme sur une
section sans acier comprimé (calcul de µu = Mu1 /(bd2 fbu ) ⇒ α ⇒ Pivot
A ou B ⇒ ²s et ²0s ⇒ σs et σs0 et on vérifie l’hypothèse sur σs0 ⇒ si elle est
vérifiée on passe au point suivant, sinon il faut modifier σs0 ).
3/ L’équation de l’équilibre des efforts normaux 0 = Nbc + A0 σs0 + Aσs
permet alors de calculer la section d’acier A :
d0 − αd
²s = 10 ◦/◦◦ et ²0s = 10 ◦/◦◦
d(1 − α)
1−α d0
²s = 3.5 ◦/◦◦ et ²0s = 3.5 ◦/◦◦ (α − 1)
α d
Attention aux signes dans ces expressions : une déformation est positive en
traction. Puis les contraintes sont obtenues par :
σs = −Es ²s si − ²l ≥ ²s ≤ ²l (élastique)
σs = fsu si ²s < −²l (plastique en compression)
σs = −fsu si ²s > ²l (plastique en traction)
Condition de non-fragilité :
La sollicitation provocant la fissuration du béton de la section supposée non-
armée et non fissurée doit entraı̂ner dans les aciers tendus de la section réelle
une contrainte au plus égale à sa limite d’élasticité fe .
Les matériaux travaillent dans le domaine élastique (ELS avec, dans un premier
temps, le béton tendu non négligé). La section est soumise à un effort normal
OG 2004
100 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
Nf Nf e0 (−h) bh3
σt = −ft28 = + avec Iz = et B = bh
B Iz 2 12
d’où l’expression de l’effort de fissuration Nf :
2BIz ft28
Nf =
Be0 h − 2Iz
• Les équation de l’équilibre de la section réelle soumise à Nf excentré de e0
sont :
(
Nf = Nbc + Aσs pour l’effort normal
MA = Nf (e0 + va ) = Nbc z pour le moment fléchissant en A.
La condition de non-fragilité, |σs | ≤ fe , entraı̂ne :
Nf (e0 + va ) Nf
A≥ −
zfe fe
Sachant que va = d − h/2, d ≈ 0.9h et z ≈ 0.9d, il vient :
ft28 e0 − 0.455d
A ≥ 0.23bd
fe e0 − 0.185d
Remarque
Lorsque N = 0, e0 → ∞ et on retrouve la formule A ≥ 0.23bdft28 /fe obtenue
pour le cas de la flexion simple .
Lorsque l’excentricité risque de s’inverser, cette solution n’est pas très satisfai-
sante puisque on préfère placer des sections d’acier identiques. Il vaut mieux,
alors, avoir recours à des Abaques (diagrammes d’interaction).
11.5 Diagrammes d’interaction 101
(
Nu (α) = Nbc + A0 σs0 (²0s ) + Aσs (²s )
MuG0 (α) = Nbc (z − va ) + A0 σs0 (²0s )(d − va − d0 ) − Aσs (²s )va
Attention, dans ces équations, Nu , MuG0 , σs0 et σs sont des valeurs algébriques
(Nu ou σ > 0 en compression et Mu > 0 si la fibre inférieure est tendue).
Les inconnues dans ces équations sont calculées en fonction de α :
• Nbc et z ont des expressions différentes sur 3 domaines de α :
OG 2004
102 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
αlIII →
α < αlI (< 0) αlI → αlII αlII → αlIII > αlIV
αlIV
Pivot A A→B B B→C C
−²l →
²0s > ²l ²l → −²l < −²l < −²l
−2 ◦/◦◦
σs0 −fsu −Es ²0s fsu fsu −Es ²0s
²l → −1.76 ◦/◦◦ →
²s 10 ◦/◦◦ 10 ◦/◦◦ 10 ◦/◦◦ → ²l
−1.76 ◦/◦◦ −2 ◦/◦◦
σs −fsu −fsu −fsu −Es ²s −Es ²s
où pour un f eE500, ²l = fsu /Es = 2.17 ◦/◦◦ , et en faisant les hypothèses
d0 ≈ 0.1h, d ≈ 0.9h nous avons :
X αlI = (10d0 − 2.17d)/[(10 − 2.17)d] ≈ −0.14, ce qui correspond au Pivot A
et A0 à la limite élastique en traction,
X αlII = 3.5d0 /[(3.5 − 2.17)d] ≈ 0.292, ce qui correspond au Pivot A et A0 à
la limite élastique en compression,
X αlIII = 3.5/(3.5 + 2.17) = 0.617, ce qui correspond au Pivot B et A à la
limite élastique en traction,
X αlIV = (2.17.3h/7 − 2d0 )/[(2.17 − 2)d] ≈ 4.77, ce qui correspond au Pivot
C et A0 revient à la limite élastique.
Ces quatre droites de déformation sont tracées sur la Figure 88. Les formules
permettant de calculer les valeurs des déformations dans les aciers ²s et ²0s ont
été données au Paragraphe 11.3.
OG 2004
Fig. 89: Exemple de diagramme d’interaction.
104 Béton Armé IUP GCI3 - Option OS - 2004/05
12 Ouvrages de référence
• Cours de Béton Armé de Christian Joris.
• Cours de béton armé. BAEL91. Calcul des éléments simples et des struc-
tures de bâtiments. J.P. Mougin. Edition Eyrolles, 1992.