1/28/2014 Mini-Projet

Stabilité des pentes

Réalisé par : Encadré par :

- BELLAFT Nabil
- JAA EL Habib
- M. BENBOUZIYANE Jamal
- NAZOULI Hamza
2GC3
Sommaire :

Calcul du facteur de sécurité de la pente étudiée

1- Par Excel ……………………………………………………………………………………………………………...3
2- Par programmation ………………………………………………………………………………………………6
3- Par le logiciel ‘Slide’(Rocscience) ............................................................................. 8

Isocontours ....................................................................................................... 9

Cercle critique ..........................................................................................................................................11

1
 Présentation du projet :

Les rejets d’une cimenterie sont déversés du haut d’une éminence. Le matériau,
épousant son angle de frottement interne, est à priori à la limite de l’équilibre. Dans le plan
de réaménagement de la carrière, il est estimé qu’en profondeur, le matériau risque d’être
siège de glissement avec la persistance de son caractère pulvérulent. Le choix est arrêté
sur un confortement simple qui consiste à aménager une banquette de pied.

Dans ce mini projet, nous allons travailler sur les points suivants :
- Calculer du facteur de sécurité Fs
- Tracer les isocontours
- Positionner le cercle critique

2
 I- Calcul du facteur de sécurité de la pente étudiée :

Matériaux Poids volumique Angle de Cohésion (kPa) Porosité % Poids apparent

(kN/m3) frottement (kN/m3)
Stérile 20 30 0 ------- -------
Calcaire du substratum 22 45 100 ------- -------
Enrochement 22 45 0 30 15.4
Terre végétale 17 26 5 ------- -------

Première méthode : en utilisant Excel :

Nous avons réalisé un fichier Excel qui donne le facteur de sécurité par la méthode de Bishop simplifiée (six
itérations) en fonction des coordonnées du cercle saisies : (XC ;YC)

Nous avons fixé un nombre de tranches égal à 20 :

La surface de chaque tranche est la somme des surfaces d’un trapèze et d’une portion de secteur :

𝑏𝑖 (𝜃𝑖 − sin(𝜃𝑖 ))𝑅2

𝑆𝑖 = (ℎ𝑖 + ℎ𝑖+1 ) +
2 2

3
Avec :
𝑃1𝑀
𝜃𝑖 = 2𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛( )
2𝑅
M étant le milieu du segment P1P2.

Les distances sont calculées grâce aux coordonnées des points.

Les angles alpha i sont calculés comme suit :

𝑂𝑀
𝛼𝑖 = 2𝐴𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛( )
2𝑅
Avec R le rayon du cercle.

En fonction de la position de M par rapport à O, 𝛼𝑖 peut être soit positif soit négatif.

La condition pour que le cercle soit tangent au substratum rocheux est : R=Yc

Les 15 premières tranches ont la même largeur: espacement 1

Les 5 tranches restantes : selon la position du dernier point :

- S’il est situé au niveau de la baquette : les cinq tranches ont une largeur constante : espacement 2
- S’il est situé au niveau de l’enrochement : les quatre premières tranches ont une largeur : espacement 2
la cinquième a une largeur égale à la différence positive entre les abscisses des points d’intersection du
cercle avec les flancs de l’enrochement.

En saisissant plusieurs valeurs de Xc et YC, et avec un pas de maillage égal à 1, nous avons pu obtenir le tableau 3

(voir fichier Excel,page3).

La valeur minimale de Fs retenue est :

Fs=1.4634
4
Le tableau suivant contient les différentes quantités qui ont permis de calculer cette valeur
alpha i Wi W i *sin(alpha i)

Tr 1 1,0905 213,4572 189,3112

Tr 2 0,9623 525,4165 431,1053

Tr 3 0,8543 679,5413 512,4578

Tr 4 0,7584 776,5528 534,0696

Tr 5 0,6705 836,9559 520,0552

Tr 6 0,5883 868,4258 481,9642

Tr 7 0,5105 875,8049 427,9245

Tr 8 0,4359 862,3511 364,1089

Tr 9 0,3638 830,3469 295,4782

Tr 10 0,2937 781,4292 226,2004

Tr 11 0,225 716,7802 159,9073

Tr 12 0,1574 637,2439 99,8638

Tr 13 0,0905 543,3977 49,0868

Tr 14 0,024 435,5974 10,4343

Tr 15 -0,0424 314,0029 -13,3215

Tr 16 -0,108 231,7214 -24,9843

Tr 17 -0,1731 204,0881 -35,1507

Tr 18 -0,2389 163,2769 -38,6387

Tr 19 -0,3058 108,7287 -32,7336

Tr 20 -0,3741 39,6448 -14,489

4142,6496

5
La valeur du moment résistant (/R) correspondant à ce cercle obtenue à la sixième itération est :
(𝑏𝑖 . 𝑐 ′ 𝑖 + 𝑊𝑖 . tan(𝜑𝑖 ))
∑ = 6062.4525
𝑚(𝛼𝑖 )
6062.4525
𝐹𝑠 = = 1.4634
4142.6494
(Voir fichier Excel joint, Métode 1)

Le cercle correspondant à cette valeur est de centre (40 ; 47)

Calcul de Fs par programmation : langage C :

Nous avons créé un petit programme en langage C qui permet de calculer le facteur de sécurité en fonction des
coordonnées du cercle saisies, et du nombre de tranches voulues :

Le code du programme est le suivant :

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <math.h>
main()
{
float m,Xc,Yc,Xk,X,Y,p,a,b,I,J,S,D=0,N=0,c,d,si,co,ta,Fs=1.5,err;
int i,Nt;
printf("Nt= ");
scanf("%d",& Nt);
printf("Xc= ");
scanf("%f",& Xc);
printf("Yc= ");
scanf("%f",& Yc);
X=sqrt(59*Yc-29.5*29.5);
Y=sqrt(8*Yc-16);
p=(X+Y)/Nt;

6
 do
{
for(i=1;i<=Nt;i++)
{
b=Xc-X+i*p;
a=Xc-X+(i-1)*p;
if(b<0)
I=29.5*(b-a);
else
if(a<0) I=29.5*b-29.5*a-0.28865*b*b;
else
if(b<44.17) I=29.5*(b-a)-0.28865*(b*b-a*a);
else
if(a<44.17) I=29.5*(44.17-a)-0.28865*(44.17*44.17-a*a)+4*(b-44.17);
else I=4*(b-a);
c=(b-Xc)/Yc;
d=(a-Xc)/Yc;
J=Yc*(b-a)-0.5*Yc*Yc*(c*sqrt(1-c*c)+asin(c)-d*sqrt(1-d*d)-asin(d));
S=I-J;
Xk=Xc-X+(i-0.5)*p;
si=(Xc-Xk)/Yc;
co=sqrt(1-si*si);
ta=si/co;
m=co*(1+ta/(Fs*sqrt(3)));
N+=20*S/(m*sqrt(3));
D+=20*S*si;
}
err=abs(N/D-Fs);
Fs=N/D;
} while(err>0.0001);
printf("Fs= %f ", Fs);
system("PAUSE");
}

7
Calcul de Fs par le logiciel ‘Slide’ de Rocscience :
Nous avons également déterminé le facteur de sécurité à l’aide du logiciel ‘Slide’ spécialisé dans le calcul de la
stabilité des pentes. Nous avons pu obtenir les résultats suivants :

Analysis Method: bishop simplified

FS 1,46842
X Y
Center 40,7813 48,4723
Radius 48,4723
Circle_Endpoint_1 -3,82382 29,5
Circle_Endpoint_2 60,0628 4
Surface_Intercept_1 -3,82382 29,5
Surface_Intercept_2 60,0628 4

8
 II- Isocontours :

1- Visualisation en 3-D des isocontours :

A l’aide d’Excel nous avons pu obtenir la représentation en 3D suivante, donnant le facteur de sécurité (z) en
fonction des coordonnées des cercle (Xc ,Yc) : Xc variant entre 35 et 44 m et Yc variant entre 37 et 54 m :

9
 1,51

1,5

1,49

1,48

1,47

1,46
37
39
41
43
35 36 45
37 38 47
39 40 49
41 42 51
43 44 53

(Voir fichier Excel joint, Métode 1, page3)

2- Représentation en 2-D des isocontours :

45
44
43
42
41
40
39
38
37
36
35
34
33
32
37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53

Fs = 1.4634

10
 III- Représentation du cercle critique dans le repère imposé :
Le centre du cercle correspondant à la valeur minimale du facteur de sécurité obtenue : 1.4638 a pour
coordonnées dans le repère imposé : (40,5 ; 48,5)

60,00

50,00
40,5; 48,5

40,00

30,00

20,00

10,00

0,00
-10,00 0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00

11