Alimentation Par Convertisseurs Statiques
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Les convertisseurs fournissent, pour les machines à courant continu, une ten-
sion qui est la superposition d’une valeur continue et d’une fonction périodique
et, pour les moteurs à courant alternatif, des tensions périodiques équilibrées,
mais non sinusoïdales en fonction du temps.
Dans ces conditions, ces moteurs fonctionnent en permanence en régime
transitoire : le courant des moteurs à courant continu n’est pas continu et les
D 3 562
courants des moteurs à courant alternatif ne sont pas sinusoïdaux. Cela engendre
des couples pulsatoires dans la ligne d’arbres et un accroissement des pertes
par effet Joule.
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Les thyristors de l’onduleur sont conducteurs pendant une On pourrait écrire de même les expressions pour les autres ten-
demi-période. Si f est la fréquence d’alimentation de la machine, sions par phase et entre phases.
ω = 2 π f la pulsation, t le temps, en posant τ = ω t, la séquence de Toutes les tensions varient par paliers et sont des fonctions f (τ )
commande des thyristors pour les courants circulant dans la phase du temps telles que f (τ + π) = – f (τ ). Les valeurs des tensions v OA ,
A au cours d’une période est : v OB , v OC , v NA et v BC et leur représentation graphique sont données
π π figure 2.
— pour – ----- < τ < ----- , le thyristor Th 1 est conducteur et v OA = E ; n
2 2 S’il y a n phases, on a, pour chacune, v NA1 = v OA1 – ∑ v OAj .
π π
— pour ----- < τ < 3 ----- , le thyristor Th 4 est conducteur et v OA = – E. j=1
2 2
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v T ( τ ) = v T τ – --------- = v T τ – ---------
2π 4π
3 3
2π
Si v1 (τ 1) = v T (τ 1), en posant τ 2 = τ 1 + --------- , on a :
3
v 2 ( τ 2) = v 1 τ – --------- = v 1 ( τ 1 ) = v T ( τ 1 ) = v T τ 1 + --------- = v T ( τ 2)
2π 2π
3 3
v OC ( τ ) = v OA τ – --------- .
4π
3
Par ailleurs, pour une machine triphasée, il est possible d’éliminer
les harmoniques de rang pair en générant une tension vOA telle que
v OA(π – τ ) = – v OA(τ ). Ce résultat est obtenu en choisissant un
nombre impair n de signaux triangulaires pendant une période de
la tension v OA , soit n = 6 p + 3, p étant un nombre entier positif.
Le calcul de la tension par phase et entre phases est mené de la
même manière que pour une alimentation PAM. La figure 3 montre
les tensions v OA et v NA obtenues avec n = 9 et un signal triangulaire
pour lequel k = 1,2.
Une tension MLI avec 3 triangles et k = 1 est identique à une
tension PAM en onde pleine.
Figure 3 – Alimentation MLI à 9 triangles par période
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v d = v2′ ; i d = i 2′ ; ϕ d = ϕ 2′ ; v q = v 3′ ; i q = i3′ et ϕ q = ϕ 3′
Les termes fi, j de la matrice F sont : Sans entrer dans les détails de calcul, les équations différen-
tielles régissant les quantités transformées sont :
1
f 1, j = ----------, f 2, j = cos θ – ( j – 1 ) θ 0 , f 3, j = sin θ – ( j – 1 ) θ 0 d d
2 v d = – -------- ϕ d – νϕ q – r a i d v q = νϕ d – -------- ϕ q – r a i q
dt dt
si i = 2 p, on a f i , j = cos p (j – 1) θ 0 et si i = 2 p + 1, on a d
vk′ = – 0 -------- i k′ – r a i k′ si k ≠ 2 et k ≠ 3
fi,j = sin p(j – 1) θ0 dt
(2)
Pour la dernière ligne de la matrice F, dans le cas où n est un d d
v f = -------- ϕ f + r f i f 0 = -------- ϕ k d + r k d i k d
2π dt dt
nombre pair (n = 2 p), au lieu de prendre f n , j = cos p ( j – 1 ) ---------
2p d
0 = -------- ϕ k q + r k q i k q
= cos ( j – 1 ) π = ( – 1 )
j–1
, pour simplifier la suite des calculs, on prend dt
j–1 avec ra résistance d’une phase de l’induit,
( –1 )
f n, j = -------------------- . Dans ces conditions, la matrice T–1, inverse de la
2 0 inductance homopolaire,
dθ
matrice T, est la matrice Ft transposée de la matrice F : ν = --------- ,
dt
vf , if , ϕf et rf tension, courant, flux et résistance de
T –1 = Ft l’inducteur,
Pour une machine triphasée, la transformation ne diffère de la vkd , ikd , ϕk d et r k d tension, courant, flux et résistance de
transformation de Park que par la division par 2 de chacun des l’enroulement amortisseur d’axe
termes de la première ligne de la matrice. Cette première ligne sert polaire,
au calcul des valeurs homopolaires des tensions, courants et flux, vk q , ik q ,ϕk q et rk q tension, courant, flux et résistance de
valeurs homopolaires qui sont nulles dans une machine synchrone l’enroulement amortisseur d’axe inter-
alimentée par des convertisseurs. polaire. (0)
1 1 1 1 1 1
------- ------- ------- ------- ------- -------
2 2 2 2 2 2
cos θ cos ( θ – θ 0 ) cos ( θ – 2 θ 0 ) cos ( θ – 3 θ 0 ) cos ( θ – 4 θ 0 ) cos ( θ – 5 θ 0 )
2 sin θ sin ( θ – θ 0 ) sin ( θ – 2 θ 0 ) sin ( θ – 3 θ 0 ) sin ( θ – 4 θ 0 ) sin ( θ – 5 θ 0 )
T = -----
6 1 cos 2 θ 0 cos 4 θ 0 cos 6 θ 0 cos 8 θ 0 cos 10 θ 0
0 sin 2 θ 0 sin 4 θ 0 sin 6 θ 0 sin 8 θ 0 sin 10 θ 0
1 1 1 1 1 1
------- – ------- ------- – ------- ------- – -------
2 2 2 2 2 2
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Toutes les quantités sont ramenées à l’induit. Les flux sont donnés Seules les quantités d’axe direct et d’axe transverse sont couplées
par : entre elles et avec l’inducteur et les amortisseurs, et permettent de
calculer le couple de la machine. Les autres circuits ne créent pas
ϕd Md + a Md Md id de couple, mais créent des pertes par effet Joule.
ϕf = Md Md + f Md if En conclusion, les équations réduites d’une machine synchrone
ϕk d Md Md Md + k d ik d polyphasée, dont les bobinages des n phases sont régulièrement
répartis, sont les mêmes que celles d’une machine triphasée. Mais
ϕq Mq + a Mq iq il y a (n – 2) circuits analogues au circuit homopolaire au lieu de 1.
=
ϕk q Mq M q + kq ik q
2.2.2.4 Diagramme de Blondel
ϕ k′ = 0 i′k si k ≠ 2 et k ≠ 3 Dans ce qui suit, les machines synchrones alimentées par des
(3) convertisseurs ne sont étudiées qu’au synchronisme. La valeur de
avec a , f , k d et k q inductances de fuite respectivement d’une λ permettant de calculer θ = τ + λ où τ = ωt est donnée par le dia-
gramme de Blondel de la figure 8.
phase de l’induit, de l’inducteur, de l’amortisseur d’axe polaire et de
^ ^
l’amortisseur d’axe interpolaire. Avec une tension v 1 = V cos ω t et i 1 = I cos ( ω t – ϕ ) pour un
dθ
Au synchronisme, ------- = ω = 2πf . Les mutuelles inductances Md π 3π
dt moteur, on a ----- < ϕ < --------- , c’est-à-dire cos ϕ < 0. Si le moteur fournit
et Mq sont telles que : 2 2
de la puissance réactive, donc est surexcité, sin ϕ > 0, ϕ < π. C’est
• ( M d + a ) ω = L d ω = X d réactance synchrone longitudinale ; le cas de la figure 8. On a alors :
• ( M q + a ) ω = L q ω = X q réactance synchrone transversale.
π ( X q cos ϕ – r a sin ϕ )I
Les autres réactances et inductances sont : λ = δ + ----- avec tan δ = -----------------------------------------------------------------
- (11)
• Xf = ( Md + f ) ω = L f ω réactance de l’inducteur ; 2 V + ( X q sin ϕ + r a cos ϕ )I
• X k d = ( M d + kd ) ω = L k d ω réactance de l’amortisseur d’axe Le courant d’excitation, si la tension v1 ne contenait que le terme
transverse. OH
• X k q = ( M q + k q ) ω = L k q ω réactance de l’amortisseur d’axe V cos ωt, serait i f0 = --------- si X df = M d ω .
X df
direct ;
Si la transformée de Laplace est utilisée pour l’étude des régimes
transitoires, la transformée d’une fonction f (t ) étant 2.2.3 Machine synchrone double-triphasée
∞
– pt 2.2.3.1 Présentation
h (p ) = f ( t )e dt , les flux ϕd et ϕq s’écrivent :
0
L’induit d’une machine synchrone double-triphasée comprend 2
ϕ d = L d ( p )i d + G ( p )v f bobinages triphasés. Les phases 1, 2 et 3 constituent le premier bobi-
(4) nage, les phases 4, 5 et 6 le deuxième bobinage. La phase 4 est déca-
ϕ q = L q ( p )i q 2π
lée d’un angle électrique α = --------- par rapport à la phase 1. Les points
12
neutres des 2 bobinages sont isolés. Le schéma d’une machine syn-
( 1 + pTd′ ) ( 1 + pT d″ )
L d ( p ) = L d --------------------------------------------------------------- chrone double-triphasée est donné figure 9.
( 1 + pT d0 ′ ) ( 1 + pT d0 ″ )
Md 1 + pT D
G ( p ) = ---------- ---------------------------------------------------------------- (5)
r f ( 1 + pT d0 ′ ) ( 1 + pT d0 ″ )
1 + pT ″q
L q ( p ) = L q ---------------------------
1 + pT ″q0
et le couple électrique :
n
c e = ----- P ( ϕ d i q – ϕ q i d ) (7)
2
P étant le nombre de paires de pôles de la machine.
Les pertes par effet Joule sont :
n
n
— dans l’induit ji = ----- r a
2 ∑ i′k2 (8)
k=1
Figure 8 – Diagramme de Blondel pour un moteur synchrone
n 2
— dans l’inducteur jf = ----- r f i f (9)
2
n 2 2
— dans les amortisseurs jk = ----- ( r kd i kd + r kq i kq ) (10)
2
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Les hypothèses adoptées sont les mêmes que pour les machines La solution est trouvée en cherchant le développement en série
polyphasées du paragraphe 2.2.2.1. Il en est de même pour les nota- de Fourier des quantités transformées.
tions concernant les tensions, courants et flux réels par phase, dans
l’inducteur et dans les amortisseurs, ainsi que pour leurs trans- ■ Tension homopolaire v0
formées. Les harmoniques de v1 dont le rang est un multiple de n étant
Les vecteurs tensions, courants et flux [v ’], [i ’] et [ϕ ’] sont obtenus nuls, la tension homopolaire est nulle.
en multipliant les vecteurs [v ], [i ] et [ϕ] par la matrice de transfor- En effet, dans une alimentation en tension, d’après le
2 n
∑ VOA τ – ( j – 1 ) --------
- , il
mation T = ----- F donnée dans le tableau 2. 1 2π
6 paragraphe 1.1.1, v 1 = v NA = V OA ( τ ) – -----
n n
La transformation inverse est définie par la matrice T –1 = Ft. j=1
En posant v d = v 2′ ,i d = i′2 , ϕ d = ϕ ′2 ,v q = v 3′ ,i q = i ′3 et ϕ q = ϕ ′3 , est facile de vérifier que les harmoniques de rang multiple de n sont
la suite des calculs conduit aux mêmes équations différentielles et nuls dans v1 , même s’ils ne sont pas nuls dans les tensions VOA ,
au même diagramme de Blondel que pour une machine polypha- VOB , VOC...
sée normale.
■ Tensions vd et vq
2.2.3.3 Particularités de la machine double-triphasée Au synchronisme, θ = τ + λ, et si τ2 = τ1 + θ0 , alors θ2 = θ1 + θ0 où
2π
La machine double-triphasée a les propriétés d’une machine dodé- θ1 = τ1 + λ, θ 2 = τ2 + λ et θ 0 = --------- .
caphasée, pour laquelle les harmoniques dont le rang est un multiple n
de 3 sont éliminés. Si la tension d’alimentation v1 (τ ) se développe Il est aisé de vérifier que, dans ces conditions, vd (τ + θ0) = vd (τ )
en série de Fourier : et vq (τ + θ0) = vq (τ ).
∞ Les tensions directe et en quadrature sont à une fréquence égale
soit v 1 = ∑ v 1 k cos k ( τ – ϕ k ) à un multiple de n fois la fréquence d’alimentation. Cette fréquence
est doublée si n est un nombre impair et si les tensions d’alimentation
p = 0, k = 6p ± 1
sont telles que v1 (τ + π) = – v1 (τ ). (0)
1 1 1 0 0 0
cos θ cos ( θ – θ 0 ) cos ( θ – 2 θ 0 ) cos ( θ – α ) cos ( θ – α – θ 0 ) cos ( θ – α – 2 θ 0 )
sin θ sin ( θ – θ 0 ) sin ( θ – 2 θ 0 ) sin ( θ – α ) sin ( θ – α – θ 0 ) sin ( θ – α – 2 θ 0 )
F =
cos α cos ( α – θ 0 ) cos ( α – 2 θ 0 ) –1 – cos θ 0 – cos 2 θ 0
sin α sin ( α – θ 0 ) sin ( α – 2 θ 0 ) 0 sin θ 0 sin 2 θ 0
0 0 0 1 1 1
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— si k = pn + m, on a ( v 2′ m ) k = V k cos ( k τ – ϕ k ) ^ ^
rants sont i d 0 = I 1 cos ( λ + ϕ ) et i q0 = I 1 sin ( λ + ϕ ) . La tension
et ( v 2′ m + 1 )k = V k sin ( k τ – ϕ k ) ; d’excitation vf 0 est déterminée par le diagramme de Blondel et le
— si k = pn – m , on a ( v 2′ m ) k = V k cos ( k τ – ϕ k ) (14)
vf 0
courant d’excitation i f 0 = ---------------
- . Pour ces valeurs constantes des
et ( v 2′ m = – V k sin ( k τ – ϕ k ) . Md ω
+ 1 )k
tensions vd , vq et vf , les courants dans les amortisseurs ik d0 et ik q0
sont nuls.
2.3.1.2 Calculs des courants
Les seconds membres Cp , pour p > 0, sont obtenus à partir des
En exprimant les flux en fonction des courants, le système diffé- harmoniques de rang pn ± 1 :
rentiel régissant les quantités transformées peut s’écrire, pour les
courants des bobinages situés dans les axes direct et transverse :
V pn – 1 cos ( pn τ + λ – ϕ pn – 1 ) + V pn + 1 cos ( pn τ + λ – ϕ pn + 1 )
V pn – 1 sin ( pn τ + λ – ϕ pn – 1 ) – V pn + 1 sin ( pn τ + λ – ϕ pn + 1 )
– Ld ω – Md ω – Md ω 0 id
0 Cp =
0
Md ω Lf ω Md ω 0 0 if
0
------ i k d
d
Md ω Md ω Lk d ω 0 0
dτ 0
0 0 0 – Lq ω – Mq ω i q
vd
0 0 0 Mq ω Lk q ω ik q p
vq
p jpn τ
(17)
– ra 0 0 – Lq ω – Mq ω id = Re e
0
0 rf 0 0 0 if 0
+ 0 0 rk d 0 0 ik d (15) 0
Ld ω Md ω Md ω – ra 0 iq avec j2 = – 1,
0 0 0 0 rk q ik q Re (a + j b ) = a si a et b sont des nombres réels ;
j ( λ – ϕ pn – 1 ) j ( – λ – ϕ pn + 1 )
vd 0 cos ( pn τ – ε λ – ϕ k ) v d = V pn – 1 e + V pn + 1 e
p
vf 0 ∞ – ε sin ( pn τ – ε λ – ϕ k ) j ( λ – ϕ pn – 1 ) j ( – λ – ϕ pn + 1 )
(18)
= 0 + ∑ Vk vq = j ( – V pn – 1 e + V pn + 1 e )
0 p
vq 0 p=1
0
0 0
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Les courants s’obtiennent également sous la forme Des expressions semblables expriment le courant d’axe trans-
ipn = Re(ipn ejpnτ ). Dans les équations différentielles (2), l’opérateur verse, le courant d’excitation et les courants dans les amortisseurs,
de dérivation peut être remplacé par une multiplication par j pn, ce les valeurs ik d 0 et ik q 0 étant nulles.
qui permet d’exprimer if et ik d en fonction de id , et ik q en fonction ■ Autres courants
de i q . Les équations (2) deviennent, pour les axes direct et
Ce sont les autres courants transformés i′ pour 4 . Ces cou-
transverse : jk τ
rants s’expriment également sous la forme i ( τ ) = Re ( i e ) pour
v d = – j kn ωϕ d – ωϕ q + r a i d k
k k k k
les harmoniques de rang k des tensions transformées v′ , comme
0 = j kn ωϕ f + r f i f indiqué au paragraphe 2.3.1.1 : ( – jk ω – r a )i = v .
k k k k
0 = j kn ωϕ k d + r f i k d
k k (19) ■ Courants de phase
v q = ωϕ q – j kn ωϕ q – r a i q Les tensions de phase sont équilibrées de même que les courants.
k k k k Il suffit de calculer i 1 (τ ) en appliquant la transformée inverse :
0 = jkn ωϕ k q + r f i kq 2k < n
k k
i 1 = i d cos θ + i q sin θ + ∑ i ′2k ; si n est un nombre pair, il faut
Les flux sont exprimés par les équations (3), où chaque valeur de k=2
flux ou de courant est remplacée par sa valeur complexe : ϕd par i′n
ϕ d ,..,i k q , par i kq . ajouter --------- .
k k 2
Les deuxième et troisième équations de (19) permettent d’expri-
mer i f et i k d en fonction de i d et la dernière équation de (19)
k k k 2.3.1.3 Calcul du couple
donne i k q en fonction de i q : n
k k Le couple électrique est c e = ----- P ( ϕ d i q – ϕ q i d ) . Les flux et les
2
Md ω rk d tensions étant des fonctions de fréquence nf, le couple est une fonc-
if = – ------------- k d ω – j ---------- i d
k ∆ k tion périodique de fréquence nf. Dans l’expression du couple, il y
a un terme constant correspondant à sa valeur moyenne, et donc
Md ω rf
i kd = – ------------- f ω – j ------ i d à la puissance utile de la machine, et une partie oscillatoire dont
k ∆ k l’effet est de solliciter mécaniquement la ligne d’arbre. Deux calculs
Mq ω possibles, donnant les mêmes résultats, permettent de déterminer
i kq = – ------------------------------- i q (20) la valeur moyenne et la valeur pulsatoire du couple électrique à partir
k rk q k
L k q ω – j ------- des courants i d , i q et des flux ϕ d et ϕ q .
k
rf rk d
avec k = pn et ∆ = L f ω – j ----- L k d ω – ---------
2
- – ( Md ω ) . ■ Calcul de couple instantané
k k
Les flux ϕd et ϕq sont des fonctions linéaires des courants et Pour une valeur donnée τ , les courants i d (τ ) et i q (τ ) sont calculés
jk τ
par les formules (20), (21) et (22) du paragraphe précédent, ce qui
s’expriment également sous la forme ( ϕ d ) k = Re ( ϕ d e ), donne les flux ϕ d = Ld id + M d (i f + ik d) et ϕq = L q i q + M q ik q .
k
( ϕ q ) k = Re ( ϕ q e
jk τ
) . En reportant les valeurs des courants i f , La décomposition en série de Fourier de c e (τ ) donne à la fois le
k k couple moyen et les couples pulsant à des fréquences multiples
i kd et i kq dans les expressions donnant les flux ϕ d et ϕ q il de n × f.
k k k k
vient : ■ Calcul par les séries de Fourier
( ϕ d ) k = L d ( jk ω )i d et ( ϕ q ) k = L q ( jk ω )i q (21) Le couple peut également s’écrire :
k k
La solution générale pour le courant d’axe direct est : où k et sont des entiers positifs ou nuls, k et z* représente
le nombre complexe conjugué du nombre z.
∞
jpn τ Le couple moyen est obtenu avec k + = 0 , donc k = = 0, et
id ( τ ) = id 0 + ∑ idnp e k – = 0 , soit k = :
p+1
∞
n n
( c e ) m = ----- P ( ϕ d0 i q0 – ϕ q0 i d0 ) + ----- P
2 4 ∑ ( ϕ d i ∗q
k k
– ϕ q i ∗d )
k k
p=1
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avec k = np. Le couple oscillant à la fréquence fondamentale nf est 2.3.2 Exemple de calcul
obtenu avec k + = 1, donc k = 1 avec = 0 et k – = 1 :
Une machine synchrone, dont les caractéristiques de puissance,
n
( c e ) 1 = ----- P Re ( ϕ d0 i q + ϕ d i q0 ) – ( ϕ q0 i d + ϕ q i d0 ) e
2 1 1 1 1
jn τ
le cos ϕ, les réactances et les constantes de temps sont donnés au
paragraphe suivant, peut être conçue avec un induit triphasé et avec
∞
jnτ un induit double-triphasé. Pour ces 2 types d’enroulements, les
+ --- P Re ∑ ( ϕ d k + 1 i ∗q + ϕ d i ∗q + ϕ q i ∗d
n ) – ( ϕq
4 k=1
k k k+1
i*
k+1 d k k k+1
) e calculs ont été réalisés avec une tension d’alimentation PAM en onde
(24) pleine et avec des tensions MLI. La fréquence d’alimentation est
égale à 60 Hz.
Des expressions semblables peuvent être écrites pour les autres
harmoniques du couple. Ces expressions ne semblent pas présenter Dans le tableau 3 sont indiqués les harmoniques de rang 6 p ± 1
d’intérêt au vu des calculs qu’elles nécessitent. En fait, l’expérience pour différents nombres de triangles, la hauteur des triangles étant
montre qu’une très bonne approximation, à quelques pour-cent près, égale à l’amplitude des sinusoïdes. Dans ce cas, une MLI avec 3
est atteinte en ne conservant que le premier terme qui fait intervenir triangles est équivalente à une alimentation PAM à onde pleine.
les courants et les flux id 0 , iq 0 , ϕd 0 et ϕq 0 . Tout se passe comme Les calculs ont été réalisés en prenant 100 harmoniques de la
si les harmoniques de flux agissaient uniquement sur les courants tension : les harmoniques de rang 6 p ± 1 pour la machine triphasée,
id 0, iq0 et les harmoniques de courant uniquement sur les flux ϕd 0 , les harmoniques de rang 12 p ± 1 et 12 p ± 5 pour la machine
ϕq 0 , ce qui donne l’expression approchée plus simple : double-triphasée avec 1 p 50 . En doublant le nombre des har-
moniques, il n’y a aucun changement dans les résultats exprimés
n jnk τ
( ce )k ≈ ----
- P Re ( ϕ d0 i q + ϕ d i q0 ) – ( ϕ q0 i d + ϕ q i d0 ) e
(25) avec 5 chiffres significatifs.
2 k k k k
T ∞ tance subtransitoire X″d = 0,151, la constante de temps transitoire
1 1
∑ Ak .
2 2
alors ----- f ( t )dt = A 0 + ----- T d′ 0 = 4,41 et la constante de temps subtransitoire T″ d
= 0,027 8 .
T 0 2
k=1 Suivant l’axe en quadrature, la réactance synchrone est Xq = 0,76,
la réactance subtransitoire X q″ = 0,113 et la constante de temps sub-
Les pertes par effet Joule ji dans les enroulements de l’induit transitoire T ″q = 0,0221.
s’écrivent :
La réactance homopolaire est : x0 = 0,056 7 et la résistance par
∞ n ∞ phase r a = 0,005 4. (0)
n 1 1
∑ idk ∑ ∑
2 2 2 2 2
ji = ----- r a ( i d0 + i q0) + -----
2 2
k=1
+ iq
k + -----
2
j = 4k = 1
i′j
k
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Tableau 4 – Comparaison des pourcentages d’harmoniques de couples pour une machine synchrone triphasée
Rang de l’harmonique
Méthode
6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
1 22,24 3,85 1,52 0,815 0,509 0,349 0,254 0,193 0,152 0,123
2 22,26 3,61 1,41 0,751 0,468 0,320 0,233 0,177 0,139 0,113
Méthode 1 : décomposition de c (τ ) Méthode 2 : calcul direct des harmoniques
(0)
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3 9 15 21 27
C06 22,25 40,82 0,11 0 0
C12 3,85 24,78 22,23 0 0
C18 1,52 3,06 17,26 15,27 0
C24 0,82 5,40 1,15 12,75 11,65
C30 0,51 1,85 11,45 0 10,13
C36 0,35 4,38 0,80 0,79 0
∆ ji 11,46 19,75 6,50 3,24 1,95
(0)
Tableau 6 – Évolution des pourcentages d’harmoniques
de couples et de pertes supplémentaires de l’induit
d’une machine synchrone double-triphasée
Couple Nombre de triangles
3 9 15 21 27
C12 3,61 24,78 22,23 0 0
C24 0,76 3,12 1,15 12,76 11,62
C36 0,33 4,46 0,76 0,81 0
∆ ji 64,00 79,69 17,78 11,33 5,46
Figure 11 – Machine synchrone double-triphasée
alimentée en tension
(0)
Tableau 7 – Courant dans une machine synchrone
double-triphasée alimentée en courant
π 2π 3π 4π 5π
τ 0 ----- ------- ------- ------- ------- π
6 6 6 6 6
i1 I I 0 0 –I –I
i2 0 0 I I I I
i3 –I –I –I –I 0 0
i4 I I I 0 0 –I
i5 –I 0 0 I I I
i6 0 –I –I –I –I 0
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P = nIn Vn cos ϕ Dans les autres bobinages, les pertes se calculent de la même façon
que lorsque la machine est alimentée en tension.
La valeur du courant d’excitation If 0 qu’aurait la machine si les
■ Calcul des tensions par phase
courants d’alimentation étaient sinusoïdaux est donnée par le dia-
gramme de Blondel. L’utilisation des séries de Fourier ne permet pas de calculer les
tensions par phase. Les courants étant discontinus, la dérivée de leur
Le système différentiel à résoudre est constitué par les
série de Fourier, qui apparaît dans la dérivée des flux, n’est pas
équations (15) et (16). Mais, comme les courants de l’induit sont
convergente.
donnés, le système initial d’ordre 5 se décompose en deux systèmes,
l’un d’ordre 2 pour l’axe direct et l’autre d’ordre 1 pour l’axe
transverse : 2.4.1.2 Autre solution
Le second membre du système différentiel est une somme de fonc-
Lf ω Md ω d i r 0 if d tions. Il est possible de trouver une solution partielle avec un second
------ f + f = – M d ω 1 ------ i d + 1 v f membre égal à une de ces fonctions. La solution générale est alors
Md ω Lk d ω d τ ik d 0 r kd i kd 1 dτ 0 la somme de toutes les solutions partielles.
(27)
d d Le courant dans une des phases de l’induit varie par paliers suc-
L k q ω ------ i k q + r k q i k q = – M q ω ------ i q
dτ dτ cessifs, pendant lesquels il garde une valeur constante. La période
T des courants id et iq est égale à la période des courants d’alimen-
À partir des développements en série de Fourier des courants id tation de l’induit divisé par n ou par 2n, suivant que n est un nombre
et iq , les courants if, ik d et ik q et les flux ϕd et ϕq sont donnés par pair ou impair. Cette période peut être divisée en un nombre fini N
les formules (21) et (22). Sur ces 2 axes, la fréquence des courants d’intervalles tels que, pendant chacun de ces intervalles, les courants
i d et i q est égale à nf, si n est un nombre pair et à 2nf si n est un conservent des valeurs constantes dans chaque phase.
nombre impair et que les courants sont tels que i d (τ + π) = – id (τ ) et
■ Calcul des courants direct et en quadrature
i q (τ + π) = – iq (τ ), ce qui est toujours le cas.
Si, dans l’intervalle τk < τ < τk + 1, les courants i 1 à in sont constants,
■ Autres axes alors, dans cet intervalle, les courants i d et i q s’expriment
Si le nombre de phases n est supérieur à 3, les courants trans- simplement :
formés i′j pour j > 3 ne servent que pour calculer les tensions par
phase. Ils peuvent s’exprimer sous 2 formes. La première forme est n
2 j ( θ – ( m – 1 ) θ0 ) j θk jθ
celle qui est obtenue en appliquant la transformation de Ku aux cou- i d + ji q = -----
n ∑ im e = ( Ik e )e
rants de phase donnés par leurs paliers successifs ; le courant i′j est m=1
alors également une succession de paliers. L’autre forme est obtenue n
j θk 2 – j ( m – 1 ) θ0
en utilisant le développement en série de Fourier du courant i 1 (τ ). où Ik e = -----
n ∑ im e
Ce calcul est analogue à celui qui donne les tensions v ′j à partir des m=1
tensions par phase (formules (13) et (14)) :
∞
id = Ik cos(θ + θk ) et iq = Ik sin(θ + θk ) avec θ = τ + λ + ϕ
∑ Ik cos ( k τ – ϕk ) et si j = 2m ou j = 2m + 1 ,
(28)
— si i 1 ( τ ) = seuls
k=1 Par exemple, si la machine triphasée est alimentée par les cou-
les harmoniques de rang p n ± m ne sont pas nuls ; π 2π
— si k = p n + ε m, avec ε = ± 1, alors ( i′2m ) k = I k cos ( k τ – ϕ k ) et rants de la figure 6, dans l’intervalle 0 < τ < ------ = ---------- :
( i′2m + 1 ) k = ε I k sin ( k τ – ϕ k ). 3 6
■ Calcul du couple 4π π
j θ – -------
2 – j ----------- j θ 2 6
Le couple c e est exprimé par les relations (23), (24) et (25). i d + ji q = ------ I 1 – e 3 e = ----------- I e
3 3
■ Calcul des pertes par effet Joule
Les courants sont :
Les pertes par effet Joule dans les enroulements de l’induit
peuvent être obtenues à partir de la forme d’onde du courant d’ali-
2 π
mentation en calculant la valeur moyenne du carré de ce courant : i d = ----------- I cos τ + λ + ϕ – ------
3 6
2π (29)
π
i q = ----------- I sin τ + λ + ϕ – ------
2 1 2 2
I ef = --------- i 1 (τ ) dτ et 6
2π 0 3
2
et en rapportant cette valeur à I n . Dans le cas d’une machine double-triphasée dont le courant d’ali-
mentation de la phase 1 est le même que celui qui est défini sur la
Par exemple, si le courant d’alimentation est celui de la figure 5 :
2π
figure 5, la période est T = --------- et, dans cette période :
3 2 2 2 12
I 1 = I n 2 = 2 ----------- I et I ef = ----- I
π 3
π π
i d = ----------- cos -------- I cos τ + λ + ϕ – --------
2
3 12 12
(30)
π π
i q = ----------- cos -------- I sin τ + λ + ϕ – --------
2
et
3 12 12
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En notant U (τ ) la fonction unité définie par U (τ ) = 0 si τ < 0 et Suivant l’axe direct, les calculs sont analogues, mais portent
U (τ ) = 1 si τ > 0, id et iq peuvent s’écrire : simultanément sur les 2 courants i f k et i k d k :
N N
Md ω
id = ∑ idk et iq = ∑ iqk
rk d
p + -------------
- – p ---------------
-
k=1 k=1 I fk 1 1 Lk d ω Lf ω i f0
= ----- ------------------------------------------------
σ Md ω
p + -------- p + -------- – p -------------
I k dk 1 1 rf ik d k 0
avec idk = Ik cos (τ + αk ) [U (τk ) – U (τk + 1)] T1 T2 Lk d ω
- p + -------------
Lfω
iqk = Ik sin(τ + αk ) [U (τk ) – U (τk + 1)]
avec α k = λ + ϕ + θk. rk d
k d ω p + p ---------------
2
Md ω k d ω
■ Calcul des courants dans l’inducteur et les amortisseurs – ---------------------------- id k
σ Lk d ω Lf ω rf
f ω p + p -----------
Avec les composantes idk et iqk , les équations à résoudre sont 2
les équations (27) pour vf = 0. f ω
En appelant Idk , Iqk , If k , Ik d k et Ik qk les transformées de Laplace
de idk , iqk , ifk , ikdk et ikqk , les équations deviennent :
avec σ = [1 – (M d ω )2 /(Lf ω L k d ω )]
(pLf ω + rf) Ifk + pMd ω Ikdk = Lf ω i fk o – p Md ω Idk r kd rf 2 Md ω Md ω
et p + ------ p + ------ = p + ---------------
1 1
- – p --------------- ---------------
p + -----------
pMd ω Ifk + (pLkd ω + rkd) Ikdk = Lkd ω ikdk0 – p Md ω Idk T 1 T 2 L kd ω Lf ω L f ω L kd ω
(p Lkq ω + rkq) Ikqk = Lk q ωikqk0 – pMq ω Iqk (31)
La suite des calculs ne présente pas de difficultés, les transformées
τ
avec i fk0 , ikdk0 et ikqk0 valeurs pour τ = 0 des courants i fk , ikdk et ikqk . inverses de Laplace étant des exponentielles de la forme e– ------- -
T 1 et
τ
– --------
Le courant dans l’amortisseur d’axe transverse se calcule par : e T2 , ainsi que les produits de convolution de ces exponentielles,
avec idk = Ik cos (τ + αk ) [U (τ – τk ) – U (τ – τk + 1)].
1 Mq ω 1 1 Tous les courants suivant les axes direct et transverse sont ainsi
I k qk = -------------------- i k qk 0 – --------------- 1 – -------- ----------------------- i qk
Lk q ω τk q exprimés à l’aide de sommes et de produits de fonctions mathé-
p + ----------
1 1
p + --------
τ kq τk q matiques élémentaires, sinus, cosinus et exponentielle.
Lk q ω À la valeur du courant if ainsi obtenu, il faut ajouter le courant
avec τ k q = ---------------
-. d’excitation If 0 donné par le diagramme de Blondel.
rk q
La transformée inverse de Laplace permet d’obtenir : ■ Calcul des pertes
Les calculs des valeurs moyennes des carrés des courants i f , ik d
τ τ
– --------
τk q Mq ω 1 – --------
τk q
et i k q permettent d’obtenir les pertes dans les enroulements de
i k qk = i k qk 0 e – --------------- i q k ( τ ) – ---------- e * iq k ( τ ) l’inducteur et des amortisseurs.
Lk q ω τk q
Dans les enroulements de l’induit, les pertes s’obtiennent en cal-
en notant f (τ ) * g(τ ) le produit de convolution : culant directement la valeur moyenne du carré du courant d’ali-
mentation i1 (τ ) dans l’intervalle 0 < τ < 2π.
τ τ
h (τ ) = f ( τ – ξ ) g ( ξ )d ξ = f ( τ ) g ( τ – ξ )d ξ ■ Calcul du couple
0 0 La connaissance des valeurs instantanées des courants permet
1 d’obtenir les flux ϕ d et ϕ q et ensuite les couples :
Si g k ( τ ) = -----------------
- – τ k q cos ( τ + α k ) + sin ( τ + α k ) (32)
1 + τk q
2 ϕ d = Ld id + Md (if + ik d)
ϕ q = Lq iq + Mq ikq
le produit de convolution est :
τ n
– ------- et c e = ----- P ( ϕ d i q – ϕ q i d ) . Il est nécessaire de décomposer en série
1 τk q 2
f k ( τ ) = ---------- e * iq k ( τ )
τk q de Fourier la fonction ce (τ ) sur l’intervalle 0 < τ < T pour obtenir les
valeurs de pulsation du couple.
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(0)
Tableau 8 – Amplitude des pulsations de couple d’une machine triphasée alimentée en courant
Rang de l’harmonique 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60
Amplitude 19,99 9,53 6,30 4,71 3,76 3,13 2,68 2,35 2,09 1,88
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d
d d d
v s = r s i s + s ------- i s + M′s ------ i s + ------ M′sr [ i r ] v′ sk = r s i′ sk + s ------- i′ sk pour k ∉ ( 2, n )
dt dt dt dt
(37)
d
d d d
0 = r r i′ rk + r ------- i′ rk pour k ∉ ( 2, m )
dt
0 = r r i r + r ------- i r + M′r ------ i r + ------
dt dt dt M′rs is
(35) De la dernière équation, il résulte que i ′rk = 0 si k ≠ 2 et k ≠ m.
avec rs résistance d’une phase de l’inducteur,
s inductance de fuite d’une phase de l’inducteur,
M s′ matrice des mutuelles inductances entre les
phases de l’inducteur,
rr résistance d’une phase de l’induit,
r inductance de fuite d’une phase de l’induit,
M r′ matrice des mutuelles inductances entre les
phases de l’induit,
′
M sr matrice des mutuelles inductances entre les
phases de l’induit et les phases de l’inducteur,
′
M rs matrice transposée de M sr ′ ,
L = M + s inductance d’une phase de l’inducteur.
3.2.2 Transformations
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v1 i1
2
----
-
2
[V sI s] = [1 a a ] 2
v i2 (43)
3.2.5 Effet pelliculaire
3
v3 i3 Bien que le glissement soit faible au point de fonctionnement
nominal, les fréquences des harmoniques peuvent atteindre des
valeurs pour lesquelles l’effet pelliculaire dans la cage n’est plus
négligeable. Il est possible d’en tenir compte en modifiant le
modèle de la machine asynchrone. Une partie de la longueur d’une
barre est située dans le fer et l’autre en dehors. La résistance cor-
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1
où e = --------------------------
b
µ 0 σω -----
c
avec h hauteur de la barre,
b largeur de la barre,
c largeur de l’encoche,
σ conductivité de la barre,
µ0 perméabilité magnétique du vide.
La fonction f (p ) peut se développer en fractions continues. Ce
développement se traduit par un schéma équivalent constitué
d’une infinité de cellules successives. La cellule de rang 1 com-
ϑ Lb
prend une résistance r 1 ⁄ 1 – j ----- et une inductance p 1 = p -------- .
p 3
La cellule de rang k comprend une résistance : Figure 17 – Schémas équivalents d’une machine asynchrone
tenant compte des effets pelliculaires
ϑ
[ 1 + 4 ( k + 1 ) ] / 1 – j ------
p
3.3.1.1 Calcul des tensions Seuls les harmoniques de rang k = p n ± (m – 1) ne sont pas nuls :
Les tensions d’alimentation sont équilibrées : j ( k τ – ϕk ) jk τ
— si k = pn + ( m – 1 ), v ′ sk = V k e = vke
2π –j ϕk
v j ( τ ) = v 1 [ τ – ( j – 1 ) θ 0 ] avec θ 0 = --------- , τ = ω t avec v k = V k e
n
(49)
–j ( k τ – ϕk ) – jk τ
∞ — si k = pn – ( m – 1 ) , v ′ sk = V k e = vke
Avec v 1 ( τ ) = ∑ Vk cos ( k τ – ϕk ) j ϕk
k=1 avec v k = V k e
∞
et v j = ∑ Vk cos [ k ( τ – ( j – 1 ) θ0 ) –ϕk ]
k=1
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∞ ∞ ∞
∑
n j (p – q ) nτ
i = ∑ ik e
ε jk τ e ( τ ) = --- M P Re j
2 ∑ ( i s*
pn – 1
ir
qn – 1
– is i
pn + 1 r qn + 1
* )e
p = 0q = 0
k=1
j ( p + q )n τ
■ Courants Is et Ir + ( i s* ir – is i * )e
pn – 1 qn + 1 pn + 1 r qn – 1
ε jk τ d
Si I sk = i s e , l’opérateur -------- peut être remplacé par une mul-
k dt
tiplication par ε j k ω et le système différentiel devient un système L’harmonique de rang kn est obtenu en additionnant tous les
de 2 équations à 2 inconnues dont les solutions sont : termes tels que (p + q ) = k ou (p – q ) = k. Comme pour la machine
synchrone, une bonne approximation est obtenue en ne conservant
que les valeurs pour lesquelles p = 0 ou q = 0 :
is 1 r + ε [ k – ε ( 1 – g ) ] j Lr ω
k
( i * i
= ----- r vs (50) n
ir ∆ –ε [ k – ε ( 1 – g ) ] j M ω k ( e )n ≈ ----
- M P Rej s r np + 1 – i s i *r )
k 2 1 1 np – 1
avec ∆ = (r s + j ε k Ls ω ) [rr + ε [k – ε (1 – g )] j Lr ω] + ( i r i s*
1 np – 1
– i r* i s
1 np + 1
) e
jnp τ
(52)
+ (Mω )2 k [k – ε (1 – g )]
Les courants I s et I r sont formés de termes de la forme 3.3.1.4 Pertes par effet Joule
– j ( np – 1 ) j ( np + 1 ) Les pertes moyennes par effet Joule sont :
Ap e + Bp e ; il en résulte que :
n 2π
∑ -------- d τ
n 1
2π 2π js = ----- r s - i′ sk i′*
2π j -------
n 2π j -------
n 4 2π 0 sk
I s τ + ------- = e I s ( τ ) et I r τ + ------- = e I r(τ ) ∞
k=1
n n
ε ji τ
v sk i=1
2π ∞
Lorsque k augmente, i s et i r varient comme --------- . 1
∑
2
k k k ---------
2π sk d τ =
i′ sk i′* i′ sk i
■ Autres courants 0 - i=1
Pour 2 < m < n, i m = v m ⁄ ( r r + ε jk ω s ) L’augmentation des pertes par effet Joule dans l’inducteur est
k k
■ Courants de phase donnée par le rapport :
n k < (n + 1) ⁄ 2 ∞
1
Le courant dans la phase 1 est i 1 = ---
2 ∑ i′ i ; les courants i′ i et k ps = ∑ ∑ i′ sk i
2
is
1
2
∞
∑
2 2
i (n + 1) ⁄ 2
Joule est k pr = i ri i r1 .
i=1
et que i 1 peut également s’écrire i 1 = 2 Re ∑ i′ i ; en effet,
i=2
3.3.1.5 Effet pelliculaire
si n est un nombre pair, le courant i′ ( n + 2 ) ⁄2
= 0.
Si les barres de la cage sont rectangulaires, les calculs précé-
dents ne doivent être modifiés que pour les courants. Il faut résou-
3.3.1.3 Calcul du couple dre l’équation (50), qui devient :
Les courants I s et I r étant connus, le couple électrique s’écrit :
n
isk 1 r + r f ( ε jk ω ) + ε [ k – ε ( 1 – g ) ]j ( L + 0 ) ω
e ( τ ) = ----- M P Re ( j I ∗s I r ) = ----- 0 1 vsk (53)
2 irk ∆ – ε [ k – ε ( 1 – g ) ] jM ω
Le couple a une composante pulsant à n fois la fréquence d’alimen-
tation, où à 2n fois si n est un nombre impair : avec :
2π ∗ 2π
∆ = ( r s + j ε kL s ω ) r 0 + r 1 f ( ε j k ω ) + ε [ k – ε ( 1 – g ) ]j ( M + 0 ) ω
j ------- j -------
e τ + ------- = ----- M P Re j e
2π n n n
I s ( τ ) e I s ( τ ) = e ( τ ) (51) 2
n 2 + (Mω ) k[k – ε(1 – g )]
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3.3.2 Autre solution En régime établi, dans l’intervalle [0, 2 π], la transformée inverse
Ai
Il existe un nombre fini N d’intervalles 0 < τk < τ < τk + 1 < 2 π de ----------------- V s ( p ) s’écrit :
p + pi
dans lesquels les n tensions d’alimentation restent constantes.
Dans chacun de ces intervalles, les tensions transformées vm ′ sont
également constantes : f i ( 2 π ) –pi τ
g i ( τ ) = A i -----------------------
– 2πp i
-e + fi ( τ ) (55)
N 1–e
v ′m = ∑ v ′m , k [ U ( τk ) – U ( τk + 1 ) ] Dans cet intervalle, f i (τ ) se calcule par la somme de produits de
k=0
convolution :
La transformée de Laplace de cette tension est
N
N v′ m , k –p τk –p τ
fi ( τ ) = ∑ hi , k ( τ ) (56)
V′m ( p ) = ∑ --------------
p
(e – e k + 1) k=1
–pi τ
* v′1, k U ( τ k ) – U ( τ k + 1 ) ;
k=0
avec h i , k ( τ ) = e
2π
L’étude sera restreinte à l’intervalle 0 < τ < ------- , n’ étant égal à n
soit :
n
si n est un nombre pair et à 2n si c’est un nombre impair, sachant 0 si τ < τk
2π
( m – 1 )j ------- v′ 1, k –pi ( τ – τk )
que v ′m τ + ------- = e
2π n′
v′ m ( τ ) ; il en est de même pour les ------------ ( 1 – e
h i, k ( τ ) = p i
) si τ k < τ < τk + 1
n′
π v ′1, k –pi ( τ – τk + 1 ) –pi ( τ – τk ) 2π
si τ k + 1 < τ < -------
courants. L’intervalle d’étude d’une machine triphasée sera égal à ----- . - (e
----------- –e )
3 p n′
i
(57)
■ Courants I s et I r
Les solutions s’écrivent :
La solution est exposée pour le calcul du courant I s ; pour le cou-
rant I r , les calculs sont semblables. V s est une fonction de I s ( τ ) = A1 g1 ( τ ) + A2 g2 ( τ ) et I r ( τ ) = B 1 g 1 ( τ ) + B 2 g 2 ( τ ) (58)
période 2 π, somme de fonctions V′ m de même période définies
■ Autres courants
dans l’intervalle [0, 2 π].
Les calculs sont plus simples. En faisant les mêmes raisonnements
En posant Xs = Ls ω, X m = Mω et X r = Lr ω, et en supposant qu’à que pour les courants I s et I r , on trouve :
l’instant initial tous les courants sont nuls, la transformée de τ
Laplace du système différentiel (36) est : 1
– ----
τs s ω
i′ sk ( τ ) = ----- e * v ′s k ( τ ) où τ s = ---------
-
s rs
pX s + r s pX m Is
= 1 Vs ( p )
[ p – j ( 1 – g ) ]X m r r + [ p – j ( 1 – g ) ]X r I r 0 ■ Courants de phase, couple et pertes par effet Joule
Connaissant tous les courants instantanés, les autres valeurs ins-
dont la solution est : tantanées s’en déduisent. Pour calculer les pertes par effet Joule,
il est nécessaire de calculer leur valeur moyenne sur une période.
De même, il est nécessaire de décomposer e ( τ ) en série de Fourier
Is 1 r + [ p – j ( 1 – g ) ]X r sur une période du couple pour connaître les amplitudes et les fré-
= ----- r Vs ( p ) (54)
Ir ∆ – [p – j(1 – g )]X quences de ses pulsations.
m
■ Effet pelliculaire
avec :
Une solution semblable à celle qui est exposée ci-dessus peut
ks + kr
être développée pour tenir compte de l’effet pelliculaire, si la cage
∆ = σ X r X s p + ---------------- – j ( 1 – g ) p + ----- k s k r – j ( 1 – g )
2 1
σ σ est rectangulaire. En choisissant comme variable τ = ω t, le schéma
équivalent donné figure 17a se traduit par le système :
= σ Xr Xs ( p + p1 ) ( p + p2 )
r s + pX s pX m Is
p 1 et p 2 nombres complexes dont la partie réelle est positive.
rs r r0 = 1 Vs ( p ) (59)
2
En posant X s X r – X m = σ X s X r , k s = ------ et k r = -----r- , les solu- pX m ------------------------------ + pX 0 + Z b ( p ) I r 0
Xs Xr 1 – j(1 – g )
tions s’écrivent :
A1 A2 Is Vs f ( p )
I s ( p ) = --------------- - V (p)
- + --------------- et la solution est : = ---------------- s (60)
p + p 1 p + p 2 s Ir g (p ) f ( p)
r
B1 B2
et I r ( p ) = --------------- - V (p)
- + ---------------
p + p 1 p + p 2 s
τ g ( p ) = ( b 0 p + b 1 )k p + j ( 1 – g )
– pi τ –pi ( τ – ξ )
fi ( τ ) = e * Vs ( τ ) = e Vs ( ξ ) d ξ
+ ( a 0 p + a 1 p + a 2 ) tanh k p + j ( 1 – g )
0 2
(61)
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h
avec k = ----- ;
e
3.4.1 Solution par les séries de Fourier
fs ( p ) = r0 + ( Xm + X0 ) p – j ( 1 – g ) ∞
Si le courant de la phase 1 est i 1 ( τ ) = ∑ Ik cos ( k τ – ϕk ) , seuls
et tanh ( k p – j ( 1 – g ) ) + r 1 k p – j ( 1 – g ) k=1
les harmoniques de rang k = pn + ε, avec ε = ± 1, apparaissent
f r ( p ) = – X m p – j ( 1 – g ) tanh ( k p – j ( 1 – g ) ) dans Is :
(62)
∞
ε jk τ –ε j ϕk
Les transformées inverses sont obtenues en recherchant les
pôles (– p i ) de la fonction g (p ) et ensuite les résidus Ai et Bi des
I s(τ ) = ∑ i sk e avec i sk = V k e
p=0
fs ( p ) fr ( p )
fractions -------------- et ------------- . Tout se passe comme si Is s’écrivait : De même, on a :
g( p ) g( p )
∞
ε jk τ Xm
∞
Ai
I s = ∑ ----------------
- V s ( p ) et
∞
Bi
I r = ∑ ----------------
- V s ( p ) (63)
I r( τ ) = ∑ i rk e avec i rk = – ------------------------------------------- i sk
rr
(65)
i = 1 p + pi i = 1 p + pi
p=0 X r + ----------------------------- -
j(k – 1 + g )
et la transformée inverse s’obtient par un calcul semblable à celui Les courants étant connus, le couple et les pertes par effet Joule
qui a été utilisé lorsqu’il n’y a pas d’effet pelliculaire. peuvent être calculés. Comme pour les machines synchrones, la
tension V s ne peut être obtenue, la série de Fourier qui permettrait
2 2
i π de la calculer étant divergente.
Les pôles p i , pour i > 3, sont voisins de ------------
2
+ j ( 1 – g ) ; par
k
–p τ 3.4.2 Autre solution
suite, les exponentielles e i décroissent très rapidement et il suffit
d’un nombre limité de résidus pour obtenir une solution.
La période [0, 2 π] peut être divisée en un nombre N d’intervalles
Par exemple avec 15 résidus, le dernier résidu calculé est inférieur dans chacun desquels tous les courants sont constants, donc éga-
à 10–5 fois la somme des 14 premiers résidus. lement le courant Is. Comme pour une alimentation en tension,
En reprenant la formule (58), utilisée lorsqu’il n’y a pas d’effet 2π
l’intervalle d’étude est réduit à --------- .
pelliculaire, les courants s’écrivent : n′
15 15 En utilisant la transformée de Laplace, tous les courants étant nuls
à τ = 0, la transformée de l’équation différentielle donnée au
I s(τ ) = ∑ A g ( τ ) et I r(τ ) = ∑ B g ( τ ) paragraphe 3.4 est
=1 =1
[p – j (1 – g ) Xr + rr] I r (p) = – [p – j (1 – g )] Xm Is (p )
Les fonctions g ( τ ) sont calculées par les formules (55), (56)
et (57). dont la solution est :
Les courants I s et I r étant connus, la formule (42) permet de
Xm rr Xm 1
calculer le couple. Les pertes par effet Joule dans l’induit sont déter- I r ( p ) = – -------- I s ( p ) + ------------
2
- ---------------- I s ( p ) (66)
minées en faisant le bilan des puissances. Ces pertes sont égales Xr X p + p1 r
à la valeur moyenne de la différence entre la puissance consommée
par le moteur et la somme de la puissance utile et des pertes par rr
- – j(1 – g ) .
avec p 1 = -------
effet Joule dans l’inducteur. Pour une machine triphasée, on a : Xr
2π 2π
----- Re V s I ∗s d τ – r s ----- Re I s I ∗s d τ
1 3 3 La transformée inverse est :
jr = ---------
2π 0 2 0 2
2π Xm r r X m –p 1 τ
– (1 – g ) M P
0
----- Re I ∗s I r d τ
3
2 I r ( τ ) = – ---------- I s ( τ ) + ------------
Xr X
2
-e
r
* I s(τ ) (67)
- – j ( 1 – g ) X r I r + r r I r = – -------- – j ( 1 – g ) X m I s
d d
-------
dτ dτ
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2 π π
3
v 1 ( τ ) = --------- I r s cos ----- – ( k – 1 ) -----
6 3
–p1 τ π
+ Ae
cos ( 1 – g ) τ + α – ( k – 1 ) -----
3 (70)
π
2 – p 1 ---- Figure 18 – Machine asynchrone alimentée en tension PAM
Xm 3
1–e jα à onde pleine
en posant r r ----------
- ---------------------------------
π
- = Ae .
2 π
Xr j ----
3
– p 1 ----
3
e –e
L’effet pelliculaire n’a pratiquement aucun effet sur le couple asyn-
3.5 Exemple de calcul chrone moyen, mais il accroît l’amplitude de l’harmonique 6, qui
atteint 19 % du couple nominal.
Les calculs ont été réalisés pour une machine asynchrone alimen- ■ Pertes supplémentaires
tée par une tension PAM à onde pleine, en utilisant la méthode de Au point nominal de fonctionnement, l’accroissement des pertes
calcul décrite au paragraphe 3.3.2 avec la possibilité de prendre en par effet Joule est de 11,2 % dans l’inducteur et de 11,8 % dans
compte l’effet pelliculaire dû à une cage avec des barres rectangu- l’induit, s’il n’y a pas d’effet pelliculaire.
h
laires. Pour un tel moteur, le rapport k = ----- = 6,8 à 50 Hz. Au point Avec l’effet pelliculaire, les pertes augmentent de 17,6 % dans
e l’inducteur et sont multipliées par 2,86 dans l’inducteur.
de fonctionnement nominal, le glissement est de l’ordre de 0,5 %
et le rapport k n’est plus que de 0,48. Pour le couple moyen asyn-
chrone, il n’y a plus d’effet pelliculaire sensible. 3.5.2 Commentaires
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π π
g ( τ ) = ------ cos τ + α – ----- + sin τ + α – -----
1
T1 6 6
4.4.1 Courant
4.4.2 Couple
Si le courant d’excitation est continu en régime établi (i f = If ), le
courant iq est obtenu en résolvant (d’après (72)) Le couple électrique est :
d ce = M fd If i q = M fd If (iq1 + i q 2) (79)
L ω -------- i q + Ri q = v q – M f d i f = v q – E
dτ
Comme le courant i q 2 , le couple est une fonction périodique de
avec Mf d If = E. fréquence 6f.
E
À la composante i q 1 = – ----- , il faut ajouter la solution de : Le couple moyen s’écrit :
R
d Vm – E
L ω -------- i q 2 + Ri q 2 = v q (76) 3
m = M fd I f I m avec I m = ------------------ et V m = ----- U cos α (80)
dτ R π
π
où v q est une fonction de période T = ----- égale à la fonction v r , Les harmoniques du couple sont obtenus en décomposant en
3 π série de Fourier le courant i q 2 ( τ ) ou, plus simplement, en
définie à la fin du paragraphe précédent, dans l’intervalle 0, ----- .
3
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5. Conclusions
En supposant connue la tension d’alimentation, nous avons mon-
tré, en utilisant les modèles classiques des machines synchrones,
asynchrones ou à courant continu, qu’il était possible de prévoir le
comportement de ces machines. Nous avons détaillé plus le fonc-
tionnement des machines à courant alternatif que celui des machines
à courant continu. Cela est dû au fait que les modèles des machines
synchrones et asynchrones sont plus complexes et qu’il est de plus
en plus fait appel à ces machines dans des domaines qui étaient
auparavant réservés aux machines à courant continu tels que la
traction électrique, par exemple.
Figure 22 – Courbes du couple ce , du couple moyen m Quelle que soit la machine considérée, il y a toujours deux
et de la tension redressée Vr , pour 2 vitesses de rotation méthodes pour prévoir son fonctionnement : une solution analy-
tique, faisant appel au produit de convolution et une analyse par les
séries de Fourier. La première méthode est plus précise, mais plus
difficile à mettre en œuvre. La seconde est plus simple et permet
Sur la figure 22 sont représentées les courbes de la tension de comprendre les raisons des oscillations engendrées.
redressée v r (τ ), du couple moyen m et du couple instantanée
ce (τ ), pour la vitesse maximale et pour la demi-vitesse. Dans tous les calculs, il a toujours été supposé que les
commutations étaient instantanées. Pour faire l’étude en prenant en
■ Influence de la constante de temps de l’induit compte les temps de commutation, il y aurait, au moins, deux possi-
Avec des inductances en série dans le circuit alimentant l’induit, bilités. La première serait de faire une hypothèse, basée sur des
la constante de temps augmente. Comme le montrent les essais ou sur la théorie, sur la forme de la tension ou du courant,
formules (83) et (84), les couples pulsatoires sont inversement pro- suivant que c’est une alimentation en tension ou en courant, pendant
portionnels à la constante de temps de l’induit. Si la constante de une commutation. Il suffit ensuite de prendre en compte ces formes
temps est augmentée jusqu’à 0,1 s, toutes les oscillations sont divi- dans la modélisation des tensions ou courants d’alimentation. Dans
sées par 4 ; elles deviennent, dans l’exemple précédent, inférieures ce cas, les méthodes de calcul développées dans le présent article
à 1 % à la vitesse maximale et à 4 %, à demi-vitesse. Avec une restent directement applicables. La deuxième serait d’inclure les
constante de temps de 0,5 s, les oscillations sont toujours inférieures circuits, même simplifiés, du convertisseur dans le modèle étudié.
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P
O
U
Alimentation par convertisseurs R
statiques : régimes transitoires
E
N
par Gilbert PASQUALINI
Ancien directeur scientifique et technique de Jeumont-Schneider Industrie
Ingénieur de l’École supérieure d’électricité
S
Ancien élève de l’École polytechnique
A
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vol. VII, no 12, p. 303-15 (1974).
ture synchronous machine.
P
L
U
S
8 - 1997
Doc. D 3 562