Exercices résolus

1. Utiliser la méthode primal-dual pour résoudre le problème suivant :

Min z = -3x1 - x2 - 3x3

sujet à 2x1 + x2 + x3 ≤2
x1 + 2x2 + 3x3 ≤5
2x1 + 2x2 + x3 ≤6
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

Justifiez chaque étape.

Après l'introduction des variables d'écart, on obtient:

Min z = -3x1 - x2 - 3x3

sujet à 2x1 + x2 + x3 + e1 =2
x1 + 2x2 + 3x3 +e2 =5 (P)
2x1 + 2x2 + x3 +e3 =6
x1, x2, x3, e1, e2, e3 ≥ 0.

Le dual (D) du problème (P) est:

Max 2u +5v +6w

sujet à 2u +v +2w ≤ -3 (D)

u + 2v +2w ≤ -1
u+3v + w ≤ -3
u, v, w ≤ 0.

Soit (0, -3, 0) une solution réalisable de (D), alors 1 = {1, 4, 6}  l'ensemble des indices des
contraintes saturées du dual (D).

Associons à ce sous-ensemble 1 le problème primal restreint suivant:

Min = a1 + a2 +a3

sujet à 2x1 + e1 + a1 =2
x1 + a2 =5 (PR1)
2x1 +e3 + a3 =6
x1, e1, e3, a1, a2 , a3 ≥ 0.
En utilisant l'algorithme primal du simplexe, nous résolvons le problème (PR1),


x1 e1 e3 a1 a2 a3

- = -13 -5 -1 -1 0 0 0
....................................................................………………
2 2 1 0 1 0 0
5 1 0 0 0 1 0
6 2 0 1 0 0 1

x1 e1 e3 a1 a2 a3

- = -8 0 3/2 -1 5/2 0 0
....................................................................………………
1 1 1/2 0 1/2 0 0
4 0 -1/2 0 -1/2 1 0
4 0 -1 1 -1 0 1

x1 e1 e3 a1 a2 a3

- = -4 0 1/2 0 3/2 0 1 (TO1)

....................................................................………………
1 1 1/2 0 1/2 0 0
4 0 -1/2 0 -1/2 1 0
4 0 -1 1 -1 0 1

Puisque = 4 > 0, alors déterminons une solution optimale du problème dual restreint:

Max 2u +5v +6w

sujet à 2u +v + 2w ≤ 0 (DR1)
u≤0
w≤0
u, v, w ≤1

Il s'agit de calculer les multiplicateurs du simplexe associés au tableau optimal (TO1) précédent:
 t
1/2 0 0 0 -1/2
-1/2 1 0 1 = 1
-1 0 1 0 0

Puisque (-1/2, 1, 0) a.1 = 0

(-1/2, 1, 0) a.2 = 3/2 > 0
(-1/2, 1, 0) a.3 = 5/2 > 0
(-1/2, 1, 0) a.4 = -1/2
(-1/2, 1, 0) a.5 = 1 > 0
(-1/2, 1, 0) a.6 = 0

on poursuit l'algorithme pour déterminer (0, -3, 0) + (-1/2, 1, 0) = (-/2, -3, 0), un nouveau
point réalisable du dual du problème original:

-/2 + 2 -6 ≤ -1  3/2 ≤ 5   ≤ 10/3

-/2+3(-3) ≤ -3   ≤ 12/5
≥0
≤3

  = 12/5

Ainsi, le nouveau point réalisable pour (D) est: (-6/5, -3/5, 0) et 2 = {1, 3, 6}.

Associons à ce sous-ensemble 2 le problème primal restreint suivant:

Min = a1 + a2 +a3

sujet à 2x1 + x3 + a1 =2
x1 + 3x3 + a2 =5 (PR2)
2x1 + x3 +e3 + a3 =6
x1, e1, e3, a1, a2 , a3 ≥ 0.

En réutilisant le tableau précédent (TO1), on obtient après avoir calculé

B-1a.3 = 1/2 0 0 1 1/2

-1/2 1 0 3 = 5/2
-1 0 1 1 0

c3 = 0 - (-1/2, 1, 0) a.3 = -5/2

 
x1 x3 e3 a1 a2 a3

- = -4 0 -5/2 0 3/2 0 1
....................................................................………………
1 1 1/2 0 1/2 0 0
4 0 5/2 0 -1/2 1 0
4 0 0 1 -1 0 1

x1 x3 e3 a1 a2 a3

- = 0 0 0 0 1 1 1
....................................................................………………
1/5 1 0 0 3/5 -1/5 0
8/5 0 1 0 -1/5 2/5 0
4 0 0 1 -1 0 1

Puisque = 0, alors l'algorithme termine et la solution optimale de (P) est:

x1 = 1/5, x3 = 8/5, e3 = 4 avec z = -27/5.



2.

Dans le cas d'un problème de programmation linéaire (minimisation) possédant une solution
optimale finie, l'algorithme primal du simplexe permet à chaque itération de passer d'une solution
de base réalisable pour le primal à une autre jusqu'à ce que les conditions d'optimalité soient
satisfaites: un vecteur de coût relatif dont les composantes sont non négatives.

i) Qu'en est-il de l'algorithme dual du simplexe?

L'algorithme dual du simplexe permet de passer d'une solution de base du primal à une autre qui
satisfait aux conditions d'optimalité: un vecteur de coût relatif dont les composantes sont non
négatives. L'algorithme termine lorsque la solution de base est réalisable pour le primal.

ii) Qu'en est-il de l'algorithme primal-dual?

L'algorithme primal-dual permet de passer à chaque itération d'une solution réalisable pour le
problème dual à une autre, et d'une solution irréalisable pour le primal qui satisfait aux conditions
d'optimalité (le théorème des écarts complémentaires) à une autre. L'algorithme termine lorsque
la solution primale est réalisable.

3.

i) Construire le dual du problème primal suivant:

Min z= c1x1 + c2x2 + ... + cnxn

sujet à x1 + x2 + ... + xn = 1
x1, x2, ..., xn ≥ 0.
Le dual de ce problème est:
Max u
u ≤ ck pour tout k=1, 2, ..., n.
ii) En déduire la valeur de la fonction objective du primal et du dual à l'optimum.

Min {c1, c2, ..., cn}.

4.

Considérons le problème de programmation linéaire sous sa forme standard

Min z = ctx
sujet à Ax = b (P)
x ≥ 0.

où A est une matrice de dimension n x n de rang n, c = b = (1, 1, ..., 1)t.

i) Existe-t-il des solutions réalisables à ce problème? Si oui, combien et sous quelles

conditions? Justifiez!

Puisque A est une matrice régulière d'ordre n, elle est inversible. Par conséquent, il existe
une et une seule solution au système Ax = b; il s'agit de x = A -1b. Pour que cette solution
soit réalisable, la condition A-1b ≥ 0 doit être satisfaite; autrement, l'ensemble des solutions
réalisables est vide.

ii) Existe-t-il des solutions de base réalisables à ce problème? Si oui, combien et sous quelles
conditions? Justifiez!
 D'après le théorème fondamental de la programmation linéaire, si la condition A -1b ≥ 0 est
vérifiée, alors il existe une et une seule solution de base réalisable, soit x = A-1b.

iii) En déduire une solution optimale pour le problème dual du problème (P)?

Sous les conditions de i) et ii), la solution de base réalisable optimale du problème primal
(P) est: A-11 où 1 = (1, 1, ..., 1) et A est la base optimale correspondante. À l'aide des
multiplicateurs du simplexe, nous pouvons en déduire une solution optimale pour le
t
problème dual du problème (P); il s'agit de A-1 1.

iv) En appliquant le théorème faible de dualité, établissez une relation entre une solution
réalisable x du primal et une solution réalisable y du dual? Quelle est la valeur de l'objectif
du dual à l'optimum?

Grâce au théorème faible de dualité, nous avons i=1, 2, ..., nyi ≤ i=1, 2,..., nxi.

t
À l'optimum, la valeur de l'objectif du dual est égale à celle du primal soit, 1 A-11.

v) Si x* est une solution optimale de (P) laquelle n'est pas dégénérée, que pouvez-vous dire
des contraintes du dual à l'optimum?

D'après le théorème des écarts complémentaires, puisque x* est une solution optimale de
(P) laquelle n'est pas dégénérée (x* >0), alors les contraintes du dual à l'optimum sont
saturées.

5.

Considérons le problème de programmation linéaire suivant:

Min x +2y +3z

sujet à x -2y +z ≥1
-x +y -3z ≥2
2x +3y +z ≤3
x, y, z ≥ 0,

i) Construire le tableau initial du simplexe nécessaire à l'application de la phase I de la

méthode des deux phases.

Quelle est la solution de base réalisable initiale pour ce problème augmenté?

 Nous devons ajouter 2 variables de surplus, une variable d'écart et 2 variables artificielles.

x y z s1 s2 e3 a1 a2

z=0 1 2 3 0 0 0 0 0
.................................................................................................…………………….
w=3 0 1 2 1 1 0 0 0
.................................................................................................…………………….
1 1 -2 1 -1 0 0 1 0
2 -1 1 -3 0 -1 0 0 1
3 2 3 1 0 0 1 0 0

La solution de base réalisable initiale est a1 = 1, a2 = 2 et e3 = 3 avec w = 3.

Ce tableau est aussi le tableau final de la phase I du simplexe; le problème ne possède pas
de solution réalisable car w = 3 à l'optimum.

ii) Construire le tableau initial du simplexe nécessaire à l'application de l'algorithme dual du

simplexe.

Justifiez en quoi ce tableau permet l'application de l'algorithme dual du simplexe.

x y z e1 e2 e3

z=0 1 2 3 0 0 0
................................................................................…………………
-1 -1 2 -1 1 0 0
-2 1 -1 3 0 1 0
3 2 3 1 0 0 1

Nous avons en main une solution de base e1= -1, e2 = -2, e3 = 3 et le vecteur de coût relatif
est ≥ 0.

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