24ème Congrès Français de Mécanique Brest, 26 au 30 Août 2019

Analyse d’un cylindre à paroi mince sous pression :

un support simple de montée en compétences
C. BERRIETa, J. CHAMBERTb

Univ. Bourgogne Franche-Comté, Institut FEMTO-ST, Département de Mécanique

Appliquée, Besançon, France
a. cecile.berriet@univ-fcomte.fr; b. jerome.chambert@univ-fcomte.fr

Résumé :
Dans le cadre de la Licence SPI (Sciences Pour l’Ingénieur) de l’UFC (université de Franche-Comté)
à Besançon, les étudiants sont amenés à étudier la mécanique de solides déformables dans plusieurs
unités d’enseignement. Les étudiants en deuxième année de Licence SPI suivent des cours de
dimensionnement des structures et une introduction au calcul des structures par éléments finis. Les
étudiants en troisième année de Licence SPI parcours Mécanique suivent des cours de mécanique des
milieux continus et d’élasticité linéaire. Afin de proposer une offre de formation cohérente, l’équipe
enseignante en mécanique a mis en œuvre une démarche par compétences.
L’objectif de ce papier est de présenter l’application de la démarche par compétences dans le cadre de
travaux pratiques de 2e et 3e année de Licence SPI en mécanique des solides déformables. Ce papier
met l’accent sur les apports pédagogiques pour l’étudiant des travaux pratiques présentés. Le dispositif
expérimental utilisé est un cylindre à paroi mince sous pression interne, ouvert ou fermé à ses
extrémités. Il permet aux étudiants d’aborder de façon simple les états de contrainte uniaxial et biaxial.
La présentation vise à montrer comment les travaux pratiques, proposant mise en évidence
expérimentale, calculs et simulations, permettent, au cours de ces deux ans de formation, d’atteindre le
niveau de compétences attendu en début de Master à dominante Mécanique.

Abstract :
As part of the Bachelor's degree in Engineering Sciences at the UFC (University of Franche-Comté) in
Besançon, students are studying the mechanics of deformable solids in several teaching units. Students
in the second year of the Bachelor SPI take courses in mechanics of materials and introduction to finite
element analysis. Students in the third year of Mechanical Engineering are taking courses in continuum
mechanics and linear elasticity. In order to provide a coherent training offer, the teaching team in
mechanics has implemented a skills-based approach.
The purpose of this paper is to present the application of this skills-based approach in the context of
practical works of 2nd and 3rd years of the SPI degree in mechanics of deformable solids. This paper
focuses on the pedagogical contributions for the student of the practical work presented. The
experimental device used is a thin-walled cylinder under internal pressure, open or closed at its ends.
It allows students to tackle, in a simple way, uniaxial and biaxial stress states. The presentation aims to
show how the practical works, proposing experimental demonstration, calculations and simulations,
allow to reach the level of skills expected at the beginning of the Master's degree in Mechanics.

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Mots clefs : compétences disciplinaires, travaux pratiques, dimensionnement des structures,

élasticité linéaire, extensométrie par jauge, méthode des éléments finis

1 Introduction
L’université de Franche-Comté (UFC) à Besançon propose une Licence SPI comprenant trois parcours :
EA (Electronique et Automatique), GM (Génie Mécanique) et IMC (Ingénierie Mécanique et
Conception). Dans le cadre de ces formations, les étudiants sont amenés à étudier la mécanique des
solides déformables dans plusieurs unités d’enseignement. En deuxième année de Licence SPI, les
étudiants ont des cours de dimensionnement des structures (approche technologique type « résistance
des matériaux ») et une introduction au calcul des structures par éléments finis. En troisième année de
Licence SPI parcours IMC et GM, les étudiants suivent des cours de mécanique des milieux continus et
d’élasticité linéaire. Afin de proposer une offre de formation cohérente, l’équipe enseignante en
mécanique a mis en œuvre une démarche par compétences [1] : l’étudiant doit acquérir progressivement,
au cours de son cursus, des compétences disciplinaires, préprofessionnelles, transversales et
linguistiques. Celles visées en Licence seront renforcées ou considérées comme des prérequis dans les
Masters à dominante Mécanique et Génie Mécanique de l’UFC.
L’objectif de ce papier est de présenter l’application de la démarche par compétences dans le cadre de
travaux pratiques de 2e et 3e année de Licence en mécanique des solides déformables. En outre, de
manière identique à [2], ce papier met l’accent sur les apports pédagogiques pour l’étudiant des travaux
pratiques présentés. Le dispositif expérimental utilisé est un cylindre à paroi mince sous pression interne,
ouvert ou fermé à ses extrémités [3]. Il permet d’aborder de façon simple des états de contrainte uniaxial
et biaxial, trop souvent mal connu des étudiants.
Ce dispositif expérimental est également utilisé dans la spécialité SAPIAA (Systèmes Automatisés de
Production dans les Industries Agro-Alimentaires) du master NSA (Nutrition et Sciences des Aliments).
SAPIAA est une formation ouverte depuis 1997 en apprentissage à Besançon. Les enseignements sont
donc intrinsèquement liés à un référentiel de compétences métiers défini avec les professionnels du
secteur industriel agro-alimentaire dont est issue la fiche RNCP [4].
En 2e année de Licence, l’étudiant doit être capable de :
 déterminer l’état de déformations sur la surface latérale du cylindre en utilisant des jauges de
déformations ;
 calculer le module de Young et le coefficient de Poisson du matériau du cylindre ;
 exprimer l’état de contrainte uniaxial pour le cylindre ouvert, et biaxial pour le cylindre fermé
à l’aide de la loi de Hooke et du principe de superposition.
En 3e année de Licence, on considère le problème comme étant le cas limite d’un cylindre à paroi
épaisse. L’étudiant doit alors être capable de :
 donner l’expression théorique du champ des contraintes en utilisant la mécanique des milieux
continus ;
 simuler par la méthode des éléments finis en utilisant le logiciel RDM6 [5], d’une part le
cylindre ouvert sous pression sous l’hypothèse de contrainte plane, et d’autre part le cylindre
fermé sous pression en considérant un problème axisymétrique méridien ;
 comparer et analyser les résultats théoriques, numériques et expérimentaux.
La présentation vise à montrer comment les travaux pratiques, proposant mise en évidence
expérimentale, calculs et simulations, permettent, au cours de ces deux ans de formation, d’atteindre le
niveau de compétences attendu en Master à dominante Mécanique.

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2 Présentation du dispositif expérimental

Le dispositif expérimental est un banc commercial de TecQuipment Ltd (SM1007) [3], présenté figure 1.
Il comporte un tube en aluminum, de longueur totale L = 359 mm, de rayon externe b = 43 mm et
d’épaisseur e = 3 mm. Un dispositif de transmission des efforts de fond permet de choisir d’avoir un
tube ouvert ou fermé. Une pompe permet d’appliquer une pression interne, qui est mesurée par un
manomètre. Un ensemble de 6 jauges est collé sur la paroi extérieure du tube (Fig. 2). Le pont de jauges,
totalement intégré au socle, permet de mesurer puis de lire sur un écran les microdéformations.

1 2 3 4
1- manomètre
2- tube
3- jauges de déformation
4- dispositif tube fermé/ouvert
5- écran de lecture des microdéformations
5 6- pompe
6

Fig. 1 : Enveloppe mince SM1007 sous pression interne [3].

(a) (b) y
e
2 4 6 er
z
x
1 3 5 z

Fig. 2 : Positions des jauges de déformation (a) et définition des axes (b).

3 Compétences visées en mécanique des solides déformables

Les compétences disciplinaires en liens avec la mécanique des solides déformables visées par la Licence
SPI parcours Mécanique sont les suivantes :
 Ingénierie mécanique :
(C1) Expliquer qualitativement les phénomènes mis en jeu dans un système mécanique et
dans son environnement à partir de concepts en mécanique et dans des disciplines connexes
(physique, thermodynamique).
(C2) Utiliser les notions de champ de force, déplacement, vitesse, déformation et contrainte
pour analyser le mouvement des solides indéformables, les écoulements de fluides, la
rhéologie des solides et fluides.
(C3) Lister les principales familles de matériaux et leurs propriétés.

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 Mathématiques et méthodes numériques :

(C4) Résoudre avec des outils mathématiques des problèmes linéaires, 1D/2D.
(C5) Mettre en œuvre des techniques d’algorithmique et de programmation, notamment pour
développer des applications simples d’acquisition et de traitements de données.
 Expérimentation :
(C6) Mesurer une grandeur physique : estimer les ordres de grandeur, manipuler
correctement les unités et estimer les incertitudes.
(C7) Mettre en œuvre des méthodes expérimentales pour la caractérisation de matériaux
linéaires, de vibrations de structures discrètes linéaires.
 Modélisation et simulation :
(C8) Formuler un problème de mécanique avec ses conditions limites, l’aborder de façon
simple.
(C9) Valider un modèle par comparaison de ses prévisions aux résultats expérimentaux et
apprécier ses limites de validité.
 Analyse :
(C10) Analyser en utilisant un outil numérique ou expérimental les performances statiques et
dynamiques d’une solution technologique selon un cahier des charges donné.
(C11) Proposer des solutions adaptées au respect d’un cahier des charges donné.
Par la suite, nous préciserons, de manière non exhaustive, les compétences mises en œuvre en Licence
SPI pour des enseignements en relations avec le dispositif expérimental présenté.

4 Application de la démarche en Licence 2 SPI

4.1 Enveloppe mince sous pression interne
Sachant que le ratio entre le rayon moyen et l’épaisseur est supérieur à 10, on peut considérer que les
enveloppes étudiées sont à paroi mince.
Pour une enveloppe mince à extrémités ouvertes sous pression interne, la contrainte circonférentielle
𝜎𝜃 s’exprime, dans la base cylindrique (𝑒⃗𝑟 , 𝑒⃗𝜃 , 𝑒⃗𝑧 ) (voir Fig. 2b), selon la relation suivante :
𝑝 ⋅ 𝑟m (1)
𝜎𝜃 = ,
𝑒
où p est la pression appliquée ; rm et e sont, respectivement, le rayon moyen et l’épaisseur de l’enveloppe.
En négligeant la contrainte radiale, l’enveloppe mince à extrémités ouvertes est alors soumise à un état
de contrainte uniaxial ayant une loi de comportement élastique linéaire isotrope de Hooke suivante :
𝜎𝜃 𝜎𝜃 (2)
𝜀𝜃 = ; 𝜀𝑧 = −𝜈 ,
𝐸 𝐸
où 𝜀𝜃 et 𝜀𝑧 sont, respectivement, les déformations circonférentielle et axiale ; E est le module de Young
et  le coefficient de Poisson.
Pour une enveloppe mince à extrémités fermées sous pression interne, l’état de contrainte est biaxial en
négligeant toujours la contrainte radiale. Le champ de contraintes est composé d’une contrainte
circonférentielle (voir Eq. (1)) et d’une contrainte axiale 𝜎𝑧 qui s’écrit :
𝑝 ⋅ 𝑟m (3)
𝜎𝑧 =
2𝑒

Pour cet état de contrainte biaxial, la loi de Hooke s’écrit :

1 1 (4)
𝜀𝜃 = (𝜎𝜃 − 𝜈𝜎𝑧 ); 𝜀𝑧 = (−𝜈𝜎𝜃 + 𝜎𝑧 )
𝐸 𝐸

4
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Les étudiants de Licence 2 sont amenés à retrouver les équations (1) à (4) en travaux dirigés de
dimensionnement des structures (C2, C4 et C8).

4.2 Résultats
Dans un premier temps, l’étudiant de L2 SPI mesure les déformations selon plusieurs directions à l’aide
de jauges de déformations collées sur la surface latérale du cylindre (compétences C1 et C6). Puis, il
trace les courbes des déformations en fonction de la pression appliquée pour l’enveloppe cylindrique à
extrémités ouvertes (Fig. 3a) et fermées (Fig. 3b). En combinant les résultats de la Figure 3a avec les
équations (1) et (2), on obtient un module de Young E = 69 GPa et un coefficient de Poisson  = 0,33
(C7). Après consultation de fiches sur les propriétés des matériaux, l’étudiant doit en déduire que le
matériau étudié est un alliage d’aluminium (C3). Enfin, la connaissance des valeurs de E et ,
l’utilisation du principe de superposition et des équations (1) à (3), ainsi que l’analyse des résultats
expérimentaux de Fig. 3b, permettent à l’étudiant de retrouver les équations (4) de la loi de Hooke en
chargement biaxial (C4, C8 et C10).

Fig. 3 : Courbes de la déformation en fonction de la pression appliquée. (a) extrémités ouvertes ; (b)
extrémités fermées. Les droites en trait plein correspondent aux courbes de tendance linéaires.

5 Application de la démarche en Licence 3 SPI

5.1 Enveloppe épaisse sous pression interne
Même si les structures étudiées sont des enveloppes minces, on peut traiter le problème comme étant le
cas limite d’un cylindre à paroi épaisse.
Pour une enveloppe épaisse à extrémités ouvertes (ou tube) sous pression interne, les contraintes radiale
𝜎𝑟 et circonférentielle 𝜎𝜃 s’expriment sous l’hypothèse de contraintes planes par les relations :
𝑝 ⋅ 𝑎2 𝑏2 𝑝 ⋅ 𝑎2 𝑏2 (5)
𝜎𝑟 = 2 2 (1 − 2 ) ; 𝜎 𝜃 = 2 2 (1 + 2 ),
𝑏 −𝑎 𝑟 𝑏 −𝑎 𝑟
où a et b sont, respectivement, les rayons interne et externe du tube ; r est le rayon tel que 𝑟 ∈ [𝑎, 𝑏].
Concernant une enveloppe épaisse à extrémités fermées (ou réservoir) sous pression interne, le champ
des contraintes correspond à la superposition d’un état plan de contrainte (voir Eq. (5)) avec un
chargement uniaxial défini par la contrainte axiale 𝜎𝑧 :
𝑝 ⋅ 𝑎2 (6)
𝜎𝑧 = 2 2
𝑏 −𝑎

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L’obtention des équations (5) et (6) de ce problème d’élasticité plane est préalablement proposée aux
étudiants de Licence 3 en travaux dirigés (C2, C4 et C8).

5.2 Résultats
Du fait des symétries de géométrie et de chargement, d’une part, l’enveloppe à extrémités ouvertes est
modélisée par un quart de couronne sous l’hypothèse de contrainte plane (voir Fig. 4a), et d’autre part,
l’enveloppe à extrémités fermées est traitée comme un problème axisymétrique de plan méridien
(O, r, z) (voir Fig. 4b). La longueur L représente la hauteur totale de l’enceinte fermée à ses extrémités,
et le paramètre e est l’épaisseur de l’enveloppe. Les deux maillages du quart de domaine, obtenus par
triangulation de Delaunay, sont composés d’éléments triangulaires quadratiques à six nœuds. La
pression p est appliquée le long du contour intérieur des deux domaines. La modélisation des conditions
aux limites constitue l’une des principales difficultés rencontrées par les étudiants (C5 et C8).

Fig. 4 : Modélisation de l’enveloppe sous pression. (a) extrémités ouvertes ; (b) extrémités fermées.

La Figure 5 représente la distribution sous forme d’arc-en-ciel de la contrainte circonférentielle 𝜎𝜃 qui

correspond à la contrainte principale majeure déterminée par le logiciel RDM6 pour un tube à extrémités
ouvertes. Pour un rayon moyen de 𝑟m =41,5 mm, on observe une très bonne concordance 𝜎𝜃 (𝑟m ) =
39,97 MPa entre les résultats issus de la théorie de l’élasticité (paroi épaisse, Eq. (5)) et de la simulation
numérique (RDM6). Afin d’obtenir une précision équivalente par la résistance des matériaux (paroi
mince, Eq. (1)), il est nécessaire d’utiliser le rayon interne, soit 𝜎𝜃 (𝑎) = 40 MPa (C9).

Fig. 5 : Iso-contraintes 𝜎𝜃 , exprimées en MPa, obtenues par le logiciel de calcul par éléments finis
RDM6 [5], pour une pression de 3 MPa dans un tube à extrémités ouvertes.

6
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Afin d’évaluer la qualité de la prédiction, nous pouvons utiliser la Somme des Carrés Résiduelle (SCR) :
𝑛
(7)
SCR = ∑[𝜎num (𝑟𝑖 ) − 𝜎théo (𝑟𝑖 )]2 ,
𝑖=1
où n est le nombre de points provenant de la simulation numérique par éléments finis, ri est le rayon du
ième point, 𝜎num est la contrainte obtenue par le logiciel RDM6, et 𝜎théo est la contrainte issue d’un
modèle théorique (élasticité linéaire ou modèle de régression linéaire).

Dans le cas de l’enveloppe à extrémités ouvertes, la Figure 6a montre les courbes d’évolution des
contraintes radiale et circonférentielle 𝜎𝑟 et 𝜎𝜃 en fonction du rayon r (voir Fig. 4a) obtenues par la
théorie de l’élasticité (voir Eq. (5)) et par la méthode des éléments finis (RDM6). Quelle que soit la
contrainte, on constate une très bonne adéquation entre la théorie et la simulation numérique. A première
vue, il semblerait que l’ajustement des résultats numériques puisse être réalisé par une droite de
régression linéaire. Pour comparer le modèle théorique issu de l’élasticité (voir Eq. (5)) et celui obtenu
par une droite de régression linéaire, les calculs de SCR (voir Eq. (7)) sont reportés dans le Tableau 1 :
on constate que les équations (5) fournissent un meilleur ajustement par rapport aux résultats issus de la
simulation numérique (RDM6) que celui obtenu par une droite des moindres carrés (C9 et C10).

Elasticité linéaire Droite de régression linéaire

SCR (𝜎𝑟 ) [MPa ] 2
SCR (𝜎𝜃 ) [MPa ]2
SCR (𝜎𝑟 ) [MPa2] SCR (𝜎𝜃 ) [MPa2]
-6 -5 -2
1,20×10 1,3×10 1,49×10 1,47×10-2
Tab. 1 : Valeurs des SCR pour les contraintes 𝜎𝑟 et 𝜎𝜃 pour les modèles théoriques d’élasticité et de
régression linéaire dans le cas d’une enveloppe à extrémités ouvertes sur le segment AB (Fig. 4a).

Concernant l’enveloppe à extrémités fermées, la Figure 6b illustre les courbes d’évolution de la

contrainte axiale 𝜎𝑧 en fonction de la hauteur z (voir Fig. 4b) obtenues par la théorie de l’élasticité (voir
Eq. (6)) et par la méthode des éléments finis (RDM6). On remarque que les valeurs de 𝜎𝑧 obtenues par
l’élasticité et par RDM6 sont très proches pour des valeurs de z comprises entre 0 et 139 mm. Au-delà
de z = 139 mm, les résultats diffèrent de manière significative. Cet écart important s’explique par le fait
que le champ des contraintes au voisinage des extrémités est relativement complexe et ne peut donc pas
s’exprimer sous une forme analytique simple (C9 et C10).

Fig. 6 : Courbes d’évolution des contraintes. (a) extrémités ouvertes : 𝜎𝑟 et 𝜎𝜃

sur le segment AB (Fig.4a) ; (b) extrémités fermées : 𝜎𝑧 sur le segment BC (Fig.4b).

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6 Conclusion
Lors de séances de travaux pratiques relatives à un cylindre à paroi mince sous pression, les étudiants
de 2e et 3e années de Licence SPI parcours Mécanique mettent en œuvre des démarches expérimentales
(jauges de déformation), analytiques (résistance des matériaux et élasticité linéaire) et numériques
(simulations par éléments finis). L’objectif de ces travaux pratiques en mécanique des milieux
déformables est de permettre aux étudiants d’acquérir progressivement des compétences disciplinaires
en ingénierie mécanique, mathématiques, méthodes numériques, expérimentation, modélisation,
simulation et analyse des résultats : dix des onze compétences disciplinaires concernant la mécanique
des solides déformables de la licence SPI parcours Mécanique sont mises en pratique. Une exploitation
de ce support en termes de méthodologie de simulation (identification des paramètres matériaux par
méthode inverse) de niveau master est actuellement en développement, contribuant ainsi à l’acquisition
de compétences du master de Mécanique de l’UFC. Dans la formation SAPIAA (master) également
citée, les apprentis sont ainsi formés à des compétences liées aux activités du référentiel métier
suivantes:« la contribution à la conduite opérationnelle de l’unité de production » et « la contribution à
la conduite opérationnelle de l’unité maintenance et travaux neufs » [4].
La définition d’objectifs pédagogiques en relations avec des compétences présente plusieurs intérêts
parmi lesquels une évaluation au plus proche des conditions réelles d’exercice. C’est pourquoi il serait
intéressant par ailleurs de comparer une évaluation des étudiants par moyens classiques (contrôles,
examens, compte rendus de TP, etc.) et une évaluation par compétences. Il serait également souhaitable
de pouvoir quantifier la persistance des compétences acquises en licence, par les deux moyens
d’évaluation, auprès d’étudiants de master. Actuellement, l’évaluation par compétences n’est pas assez
significative mais cette démarche fera probablement l’objet d’une communication dans les années à
venir.

7 Remerciements
Les auteurs tiennent à remercier la formation de spécialité SAPIAA (Systèmes Automatisés de
Production dans les Industries Agro-Alimentaires) du master NSA (Nutrition et Sciences des Aliments)
pour l’achat de deux dispositifs expérimentaux SM1007 financés sur les fonds de l’apprentissage de la
Région Bourgogne Franche-Comté.

Références

[1] E. Sadoulet-Reboul, G. Chevallier, C. Berriet, L. Boubakar, Vers une démarche de construction d'un
programme de formation en compétences: application au master mécanique de l'université de Franche-
Comté, Dans : Actes du Congrès Français de Mécanique, Association Française de Mécanique, Lille,
2017
[2] J. Chambert, H. Nouira, J. Duffaud, Analyse d'un disque en compression diamétrale, Mécanique &
Industries 10 (2009) 61-65
[3] Appareil d’étude d’une enveloppe mince SM1007, Manuel d’utilisation, TecQuipment Ltd, 2015
[4] Fiche RNCP (Répertoire National des Certifications Professionnelles) de la formation SAPIAA,
consultée en juin 2019: http://www.rncp.cncp.gouv.fr/grand-public/visualisationFiche?format=fr&fiche=28078
[5] Y. Debard, RDM6 – Eléments finis, Manuel d’utilisation, Version 6.19, 2018