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    CC2 Mastermecaflu 1718

    Transféré par

    Fatima Ezzahrae BOUITA
    Le document présente six exercices portant sur la mécanique des fluides. Les exercices couvrent des sujets tels que la notation indicielle, la cinématique des fluides, les équations de Navier-Stokes pour les fluides incompressibles, l'écoulement de Poiseuille en conduite cylindrique et l'écoulement potentiel autour d'un cylindre.

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    FST- Tanger Le 16 janvier 2018

    Département de Physique
    CC2 Mécanique des fluides-M1
    Master génie énergétique
    Durée : 2h00mn

    Exercice 1 : La notation indicielle 20mn 3pts


    En notation indicielle les expressions suivantes sont-elles correctes ? Indiquer pourquoi.

    1/ dS=√ dx i .dx i 2/ a ik . ϵ kk +b i=e i 3/ f =a ij . bkj


    ∂ S kl δ kl ∂ xm
    4/ =δ ik . δ lj −δ ij . 5/ dai =J . dA m 6/ T ii +α =0
    ∂ xij 3 ∂ xi

    Exercice 2 : La cinématique des fluides 20mn 3pts

    V =ωy ⃗e x −( ωx −a ω 2 t ) ⃗e y avec a et ω sont


    On considère le champ de vitesse d’un écoulement ⃗
    des constantes non nulles.
    a/ Calculer l’accélération γ⃗ en représentation Lagrangienne.
    b/ Déterminer l’équation des trajectoires sous forme paramétrique x=x (t) et y= y (t) en
    supposant que x 0=x (0) et y 0= y(0).

    Exercice 3 : Fluide incompressible 20mn 4pts


    On considère un fluide incompressible de masse volumique homogène ρ0 . On note ⃗
    U et p les
    champs eulériens caractérisant son mouvement. On suppose qu’il est soumis aux forces
    extérieures de gravité ⃗f =−ρ 0 g ⃗e z .
    1/ Ecrire les équations de Navier-Stokes en notant μ la viscosité cinématique.
    2/ Dans le cas ⃗f =−ρ 0 g ⃗e z , calculer la pression p dans le cas hydrostatique ⃗
    U =⃗0 en supposant
    que p ( 0 )= p0 à l’origine.

    U =−α z 2 ⃗e x, où α est une constante


    3/ Dans le cas ⃗f =0⃗ , calculer la pression p dans le cas ⃗
    positive, en supposant que p ( 0 )= p0 à l’origine.

    4/ Dans le cas ⃗f =−ρ 0 g ⃗e z et ⃗


    U =−α z 2 ⃗e x,

    Calculer la pression p en supposant que p ( 0 )= p0 à l’origine. Comparer avec les deux


    questions précédentes.

    Pr. MAKROUM Hassan


    Exercice 4 : Ecoulement de Poiseuille en conduite cylindrique 40mn 7pts
    On étudie l’écoulement stationnaire d’un fluide incompressible de masse volumique ρ et de
    viscosité dynamique μ, dans une canalisation cylindrique de rayon faible R et d’axe O ⃗z
    horizontal, de longueur L. Un point dans la canalisation est repéré par ses coordonnées
    cylindriques. L’influence de la pesanteur sur l’écoulement est négligée. On suppose que le
    V =V ( r , z ) e⃗ z et que la pression est p= p ( r , z ).
    champ de vitesse est ⃗
    1/ Ecrire les équations de Navier-Stokes et donner la signification physique de chaque terme
    de cette équation.
    2/ Faire un schéma clair et précis du dispositif.
    3/ De quelle variable dépend la vitesse de l’écoulement ?
    4/ Déterminer l’accélération de la particule fluide.
    5/ En déduire que la pression ne dépend pas de r, calculer la pression en fonction des deux
    valeurs aux extrémités du tuyau.
    6/ Déterminer la vitesse du fluide. Dans quelle(s) condition(s) cette vitesse est nulle ?
    7/ Représenter les variations de la vitesse. Commenter

    Pr. MAKROUM Hassan


    Exercice 5 : Ecoulement de potentiel 20mn 3pts
    U ∞ autour d’un cylindre de rayonR.
    Soit le potentiel d’un écoulement uniforme de vitesse ⃗
    μ cos θ
    ( r , θ , z )=U ∞ r cos θ+
    2π r

    1/ Calculer les composantes du champ de vitesse de l’écoulement ( U r ,U θ )

    2/ L’écoulement est – il irrotationnel ? Justifier


    3/ Donner la dimension de la constante μ et la calculer en utilisant la condition aux limites
    d’un fluide parfait à la paroi, c’est-à-dire pour r =R.

    Formulaire : Coordonnés cylindriques


    ∂
    grad= e⃗ r +
    ⃗ 1 ∂ ∂
    ⃗e θ+ e⃗ z 1 ∂ 1 ∂ Aθ ∂ A z
    A=
    ¿⃗ ( r A r)+ +
    ∂r r ∂θ ∂z r ∂r r ∂θ ∂ z

    ∂ A z 1 ∂2 A z ∂2 A z
    ∆ A z ⃗e z =
    [ ( )
    1 ∂
    r ∂r
    r
    ∂r
    + 2
    r ∂θ
    2
    +
    ∂z
    2
    ⃗e z
    ]
    1 ∂ Az ∂ Aθ ∂ Ar ∂ A z 1
    rot ⃗
    ⃗ A= (
    r ∂θ
    −
    ∂z
    ⃗e r +
    ∂z) (
    −
    ∂r
    ⃗e θ+ ¿
    r )
    Bonne chance.

    Pr. MAKROUM Hassan

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