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CORRECTION DU TD 1 : Introduction à l’étude des systèmes linéaires asservis

continus

Exercice1 : (Extraits du DS GM 3EM S1 2006/2007)

Soit le système physique "réservoir d'eau":

Avec:
qe(t)
qe(t): débit d'eau entrant

qs(t): débit d'eau sortant

(Vanne manuelle)
h(t)
qs(t)
h(t): hauteur de l'eau dans le réservoir

S, A: constantes
Figure 1: schéma du réservoir d'eau

On donne le système d'équations suivant:

dh(t )
qe (t )  q s (t )  s  
dt
h(t )
q s (t )  
A

1. Établir l’équation différentielle du système reliant la variable de sortie h(t) à la variable d'entrée
qe(t). Déduire l'ordre du système.
𝒉(𝒕) 𝒅𝒉(𝒕) 𝒅𝒉(𝒕)
𝒒𝒆 (𝒕) − = 𝒔. ↔ 𝑨. 𝒔 + 𝒉(𝒕) = 𝑨. 𝒒𝒆 (𝒕)
𝑨 𝒅𝒕 𝒅𝒕

2. Monter qu’il s’agit d’un système linéaire

L’équation obtenue est à coefficients constants d’où le système est linéaire.

3. Le réservoir est initialement vide ( h(0) = 0m ). A partir de l’instant 0s on applique un débit d’eau
constant qe(t) = 5m3/s. Au bout d’un certain temps la hauteur de l’eau atteint une valeur constante.

3.1. À partir de la figure 2, déterminer le gain statique k et la constante de temps 

 En régime permanent, on détermine le gain statique d’un système :
𝒉(+∞) 𝟕,𝟓
K est donné par 𝑲 = = = 𝟏, 𝟓 𝑺. 𝑰
𝑸𝒆 𝟓
 En régime transitoire, on détermine constante de tepms d’un système :
 est déterminé par : 𝒉() = 𝟎, 𝟔𝟒 ∗ 𝒉(+∞) = 𝟎, 𝟔𝟒 ∗ 𝟕, 𝟓𝒎 = 𝟒, 𝟖𝒎 d’où par
projection sur l’axe des temps on trouve  = 5s

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Réponse indicielle
8

ℎ(+∞) = 7,5
7

En régime permanent, ona :

6

𝒉(+∞) = 𝟕, 𝟓
En régime transitoire,
5 ona :
ℎ() = 4,8
𝒉() = 𝟎, 𝟔𝟒 ∗ ℎ(+∞)
Amplitude

0
0 5 10 15 20 25 30
=5 Temps (sec)

Figure 2 : réponse indicielle h(t)

3.2. Résoudre l'équation différentielle établie précédemment et exprimer h(t)

Par identification avec l’équation différentielle du 1 er ordre

𝒅𝒔(𝒕) Ona : 𝝉 = 𝑨. 𝒔 & 𝑲 = 𝑨
𝝉. + 𝒔(𝒕) = 𝑲. 𝒆(𝒕)
𝒅𝒕
𝒅𝒉(𝒕)
𝑨. 𝒔 + 𝒉(𝒕) = 𝑨. 𝒒𝒆 (𝒕)
𝒅𝒕

𝒕
La solution de l’équation est : 𝒉(𝒕) = 𝑨. 𝑸𝒆. (𝟏 − 𝒆−𝑨.𝑺 )

3.3. Tracer l'allure de la réponse indicielle h(t) dans le cas où on applique qe(t) = 2m3/s et tel que
(h(0) = 0m).

 Système Réservoir :
K= A = 1,5 En régime permanent,
= A.S = 5s ona :

𝒉(+∞) = 𝟏, 𝟓 ∗ 𝟐 = 𝟑𝒎
 L’allure de la réponse indicielle
h(t) est toujours la même car le
système est linéaire

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Exercice 2 :
Il s’agit de réguler la hauteur d’eau h dans un réservoir en fonction de la consigne Hc spécifiée par

+Vcc

+V
+V R
+  Electrovanne
R 
+  R'
IC1
- T
l IC2
Hc - VT
R
R
Vc 2R
R

Vs

Par action sur le comparateur calculant la IC2 = régulateur amplifiant le signal de différence Capteur constitué d'un poten-
curseur on fixe différence  =Vc-Vs Figure Si
3 :régulation automatique
>0 l'électrovane deferme
s'ouvre et se niveaulorsque tiomètre fixé sur la paroi du
bassin et délivrant une tension
l’utilisateur.
Vc Le fonctionnement est le suivant
proportionnelle Vs = Vc: Vs proportionnelle à la hauteur
à Hc de l'eau

- Par action sur le potentiomètre on fixe Vc proportionnelle à Hc,

- Le transistor T fonctionnant en commutation commande l’électrovanne en fermeture et en
ouverture,
- Le niveau d’eau dans le réservoir est détecté par un flotteur. Un potentiomètre est associé à
ce capteur délivrant ainsi une tension Vs proportionnelle à la hauteur de l’eau h.

Remarque: les AOP IC1 & IC2 sont idéaux et toutes les tensions sont prises par rapport à la masse.

1. Exprimer  en fonction de Vc et Vs (voir Rappel 1 & 2)

En appliquant les lois de l’électricité, on détermine : ε = Vc –Vs, d’où la fonction assurée par
IC1 est la fonction de comparaison
2. Exprimer la tension VT en fonction de .
En appliquant les lois de l’électricité, on détermine : VT = 3.Vs, d’où la fonction assurée par
IC2best la fonction de correcteur proportionnel
3. Préciser sur le schéma structurel les différents organes d’un système asservi.

VT…
…… VCE
Hc
Vc IC1  …… Électrovanne h
Potentiomè IC2. ..
Transistor +
tre T Réservoir

Vs Potentiomètre
+
capteur
Figure 4 : régulation automatique de niveau

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4. On enregistre la réponse indicielle unitaire h(t) voir figure 5. Déterminer le Gain statique puis
conclure sur la précision et la stabilité en régime permanent

= 1 = 1. L’indice de précision est le signal ε :

ℎ(∞) 1
Le gain est donné par : 𝐾 = 𝐻𝑐

ε = HC– h = Vc –Vs pour HC = 1 m on a enregistré en régime permanent h(+∞) = 1m d’où ε = 1

– 1 = 0 On conclut que le système est précis.

Response Indicielle
1.4

1.2

0.8
Amplitude

0.6

0.4

0.2

0
0 5 10 15
Temps (sec)

Figure 5 : réponse indicielle h(t)

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Rappels :

Rappel 1 : ALI idéal

1. A.L.I idéal : Vd= V+ -V- = 0 d’où, V+ = V-

2. A.L.I à fonctionnement linéaire si existance de contre réaction négative

Rappel 2 :Théorème de millman

 Exemple d’application du théorème : détermination de la tension  de sortie de IC1

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Application du théorème de Millman Schéma équivalent

dans le réseau d’entrée :
0 𝑉𝑐 𝑉𝑐
+ 𝑅 𝑉𝑐
𝑉+ = 𝑅 = 𝑅 =
1 1 2 2
+
𝑅 𝑅 𝑅

Existance de 2 branches :
B1( 0V, R) & B2(Vc,R)

dans le réseau de sortie :

𝜀 𝑉𝑠
+ 𝑅 𝜀 + 𝑉𝑠
−
𝑉 = 𝑅 ==
1 1 2
𝑅+𝑅
Existance de 2 branches :
B1( Vs, R) & B2(,R)

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