ELECTROCINETIQUE

I- LE COURANT ELECTRIQUE
1- Introduction
Considérons deux conducteurs 𝐶1 et 𝐶2 isolés en équilibre électrostatiques portés à deux
potentiels 𝑉1 et 𝑉2 . Soient 𝑄1 et 𝑄2 leurs charges respectives. Les conducteurs 𝐶1 et 𝐶2 sont
reliés par un fil conducteur très fin de diamètre négligeable, le système formé par ces deux
conducteurs et le fil de jonction évolue vers un nouvel état d’équilibre dans lequel les deux
corps seront au même potentiel 𝑉 et portant les charges 𝑄1′ et 𝑄2′ .

On fait de la conservation des charges, 𝑄1′ + 𝑄2′ = 𝑄1 + 𝑄2 et le potentiel d’équilibre 𝑉 a une

valeur comprise entre 𝑉1 et 𝑉2 . Il s’est produit un déplacement de charges entre 𝐶1 et 𝐶2 à travers
le fil qui les relie. Plus précisément, des charges positives se sont déplacées du conducteur au
potentiel plus élevé au conducteur au potentiel plus bas. On dit que le fil est parcouru par un
courant électrique.
L’égalisation des potentiels aurait pu être réalisée aussi par le déplacement des charges
négatives en sens inverse. En fait dans des conducteurs métalliques, les charges mobiles sont
des électrons et le courant est constitué par un flot d’électrons allant du conducteur au potentiel
plus bas vers le conducteur au potentiel plus élevé. On peut observer aussi dans des corps autres
que des métaux un déplacement de charges négatives ou bien même un déplacement simultané
des charges positives et négatives en sens contraire. Dans tous les cas, le sens conventionnel
du courant électrique est celui qui correspondrait au déplacement des charges positives.
Lorsque l’état d’équilibre est atteint (les deux conducteurs étant au même potentiel 𝑉), le
courant cesse de circuler. On dit que le phénomène de transport des charges électriques est
transitoire (régime transitoire). Le courant électrique correspondant est dit temporaire.
Le régime permanent est obtenu en utilisant une somme d’énergie électrique appelée générateur
capable de maintenir entre ses bornes une différence de potentiel constante, même quand celle-
ci sont reliées, l’une à l’autre par un circuit extérieur conducteur.
Le courant électrique a trois principaux effets :
-effet calorifiques (ou effet joule) ; échauffement d’un conducteur parcouru par un courant
électrique.

1
-effet chimique : dépôt de produit sur les électrodes d’un électrolyseur lorsqu’un conducteur
liquide (sel dissout dans l’eau) est parcouru par un courant électrique.
-effet magnétique : le courant électrique produit dans son espace environnant un champ
magnétique (Oersted 1819).
2-Vecteur courant
Considérons un élément de surface 𝑑𝑆 au voisinage du point 𝑀 d’un milieu caractérisé par une
densité volumique de charges mobiles 𝜌𝑚 . Les charges qui traversent 𝑑𝑠 entre les instants 𝑡
et 𝑡 + 𝑑𝑡 sont contenues dans un cylindre oblique de base 𝑑𝑠 et de génératrice 𝑣⃗𝑑𝑡, 𝑣⃗ étant le
vecteur vitesse des charges.

Le volume du cylindre est :

⃗⃗⃗⃗⃗
𝑣⃗𝑑𝑡. 𝑑𝑆
et la charge qu’il contient est :
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑞 = 𝜌𝑚 𝑣⃗. 𝑑𝑆
On appelle vecteur courant à l’instant 𝑡 en un point 𝑀 d’un conducteur donné, le vecteur
𝑖⃗ = 𝜌𝑚 𝑣⃗.
On appelle densité de courant électrique le module 𝑖 du vecteur courant.
Les lignes de courant sont des trajectoires des charges tangentes en tout point au vecteur
courant.
Un tube de courant est formé par l’ensemble des lignes de courant qui s’appuient sur un contour
fermé 𝑆.
3-Intensité du courant
a-Définition
En introduisant 𝑖⃗ dans l’expression de la charge 𝑑𝑞, on obtient :
𝑑𝑞
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑞 = 𝑖⃗𝑑𝑡𝑑𝑠 ⟹ = 𝑖⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠
𝑑𝑡

Pour une surface quelconque 𝑆 et 𝑑𝑄 la charge traversant 𝑆 pendant le temps 𝑑𝑡. Par définition,
on appelle intensité du courant à travers la surface 𝑆, la charge qui traverse 𝑆 par unité de temps.

2
 En chaque point de la surface 𝑆, on a :
𝑑𝑄
𝐼= = ∬ 𝑖⃗. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑠

Autrement dit, l’intensité du courant électrique représente le flux du vecteur courant à travers
la surface 𝑆.
b-Intensité du courant à travers une surface fermée
Considérons une surface fermée 𝑆 qui délimite un volume 𝜏 d’un conducteur donné. Ce volume
𝜏 contient une charge mobile.

𝑞1 = ∭ 𝜌𝑚 𝑑𝑡
𝜏

L’intensité qui sort à travers la surface 𝑆 est égale à la diminution de la charge 𝑞1 .

𝑑𝑞1 𝜕𝜌𝑚
𝐼1 = − = −∭ 𝑑𝜏
𝑑𝑡 𝜏 𝜕𝑡

La charge 𝑑𝑞1 qui sort du volume 𝜏 est égale en valeur absolue à la charge 𝑑𝑞 qui traverse la
surface 𝑆 pendant l’intervalle de temps 𝑑𝑡.
𝑑𝑞1 = −𝑑𝑞 et l’intensité qui sort à travers la surface 𝑆 a pour expression :
𝑑𝑞 𝑑𝑞1 𝜕𝜌𝑚
𝐼= =− = −∭ 𝑑𝜏
𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝜏 𝜕𝑡

𝜕𝜌𝑚
On a par conséquent, ∭𝜏 𝑑𝑖𝑣𝑖⃗ 𝑑𝑡 = − ∭𝜏 𝜕𝑡
𝑑𝜏
𝜕𝜌𝑚
Soit 𝑑𝑖𝑣𝑖⃗ = − 𝜕𝑡

On en déduit les propriétés suivantes :

𝜕𝜌𝑚
-En régime transitoire 𝜌𝑚 est fonction du temps ≠ 0, donc 𝑑𝑖𝑣𝑖⃗ ≠ 0.
𝜕𝑡

-étant donné qu’il ne peut y avoir ni accumulation, ni disparition de charges à l’intérieur d’une
surface fermée quelconque sous régime permanent, la densité volumique 𝜌𝑚 et le vecteur
courant 𝑖⃗ sont indépendantes du temps.
𝜕𝜌𝑚
=0 ⟹ 𝑑𝑖𝑣𝑖⃗ = 0
𝜕𝑡

Le vecteur du flux du courant est donc conservatif en régime permanent.

𝜕𝜌𝑚
𝐼 = −∭ 𝑑𝜏
𝜏 𝜕𝑡
L’intensité totale sortant d’une surface fermée est nulle.
-la composante normale 𝑖𝑁 du vecteur courant est continue à la surface de séparation de deux
milieux différents en régime permanent. Par conséquent, 𝑖𝑁 = 0 à la surface de séparation d’un
conducteur et d’un isolant car 𝑖⃗ est nul dans l’isolant.

3
Les lignes de courant arrivent tangentiellement à la surface du conducteur.

En régime permanent, l’intensité du courant électrique a la même valeur à travers toutes les
sections d’un tube de courant. On a 𝐼1 = 𝐼2 . L’intensité du courant électrique s’exprime en
Ampères dans le SI.
On en déduit l’unité de densité de courant qui s’exprime en 𝐴. 𝑚−2 , de même que l’unité de
charge électrique le coulomb : c’est la charge transportée pendant une seconde par un courant
d’intensité constante égale à un ampère.
II-LOI D’OHM
1- Expression de la loi d’ohm
Soit un conducteur dans lequel les charges sont mises en mouvement par l’action d’un champ
électrique 𝐸⃗⃗ . La charge 𝑑𝑞 = 𝜌𝑑𝜏 sera donc soumise à la forme.

𝑑𝑓⃗ = 𝑑𝑞𝐸⃗⃗ = 𝜌𝑚 𝐸⃗⃗ 𝑑𝜏

Nous admettons que dans certains conducteurs, le mouvement des charges est analogue à celui
d’une particule dans un milieu visqueux, c'est-à-dire que les charges sont soumises de la part
du milieu à une force de frottement proportionnelle à leur vitesse et à leur volume
correspondant.

𝑑𝑓⃗ = −𝑘𝑣⃗𝑑𝑡
D’après le principe fondamental de la dynamique, on a :
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑓⃗ + 𝑑𝑓
⃗⃗⃗⃗′ = 𝑚
𝑑𝑡
𝑑𝑣
⃗⃗
Ou 𝜌𝑚 𝐸⃗⃗ 𝑑𝜏 − 𝑘𝑣⃗𝑑𝜏 = 𝜇𝑑𝜏
𝑑𝑡

Ce qui conduit à l’expression différentielle :

𝑑𝑣⃗
𝜇 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑘𝑣 = 𝜌𝑚 𝐸⃗⃗
𝑑𝑡
En introduisant le vecteur courant 𝑖⃗ = 𝜌𝑚 𝑣⃗,on obtient :
𝜇 𝑑𝑖⃗ 2
𝜌𝑚
+ 𝑖⃗ = 𝐸⃗⃗ qui est l’équation différentielle des mouvements des charges.
𝑘 𝑑𝑡 𝑘

4
 𝑑𝑖⃗
En régime permanent, le vecteur courant 𝑖⃗ est indépendant du temps, = 0 et l’équation
𝑑𝑡
différentielle se réduit à :
2
𝜌𝑚
𝑖⃗ = 𝐸⃗⃗
𝑘
2
𝜌𝑚
En posant 𝛾 = , on obtient 𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ qui est la loi d’Ohm.
𝑘
1
Le coefficient 𝛾 est appelé conductivité du conducteur (ou conductibilité), son inverse 𝜌 = 𝛾
est appelé résistivité du conducteur. Les conducteurs qui satisfont à la loi d’Ohm sont dits
ohmiques. (Ex : les métaux).
𝐴
La conductivité s’exprime en 𝑚.𝑉 = 𝛺 −1 . 𝑚−1

Il existe aussi une relation entre la vitesse des charges et le champ :

𝛾 𝜌
𝑖⃗ = 𝜌𝑚 𝑣⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ ⟹ 𝑣⃗ = 𝜌 𝐸⃗⃗ = 𝑘𝑚 𝐸⃗⃗ = 𝜇𝐸⃗⃗
𝑚

𝜇 est la mobilité de la particule chargée.

b-propriété de la loi d’Ohm

-En régime permanent, 𝑑𝑖𝑣𝑖⃗ = 0. La relation 𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ entraîne 𝑑𝑖𝑣𝑖⃗ = 0.

Le flux de vecteur champ électrique à l’intérieur d’un conducteur ohmique est donc, lui aussi
conservatif.
𝜌′
- D’après l’équation de poisson, 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗ = 𝜀 = 0, la densité volumique de charges est nulle
0
dans le conducteur ohmique en régime permanent. 𝜌′ désigne l’ensemble des charges
fixes et mobiles.
- Puisque 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗ = −∆𝑉, le potentiel à l’intérieur d’un conducteur ohmique parcouru par
un courant en régime permanent satisfait à la loi de de LAPLACE ∆𝑉 = 0.

D’après la relation 𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ , les lignes de courant sont confondues aux lignes de champ et sont
par conséquent perpendiculaires aux surfaces équipotentielles.
Cependant, elles ne sont pas perpendiculaires à la surface du conducteur qui n’est pas une
surface équipotentielle comme dans le cas d’un équilibre électrostatique (permanence≠
équilibre).
- Toutes les charges étant compensées à l’intérieur du conducteur ohmique en régime
permanent, le champ 𝐸⃗⃗ est créé par une distribution des charges superficielles.
2-Résolution de l’équation différentielle du vecteur courant

La loi d’ohm 𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ est une solution particulière de l’équation différentielle du mouvement
des charges.
𝜇 𝑑𝑖⃗
+ 𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗
𝑘 𝑑𝑡

5
La solution générale est obtenue en résolvant l’équation :
𝜇 𝑑𝑖⃗ 𝑑𝑖⃗ 𝑘
+ 𝑖⃗ = 0 ⟹ = − 𝜇 𝑑𝑡
𝑘 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑘
− 𝑡
D’où 𝑖⃗ = 𝐴⃗𝑒 𝜇
La solution de l’équation différentielle est donc :
𝑘
− 𝑡
𝑖⃗ = 𝐴⃗𝑒 𝜇 + 𝛾𝐸⃗⃗
Supposons qu’à l’instant 𝑡 = 0, les charges mobiles sont au repos 𝑖⃗ = 0, sous l’effet d’un champ
électrostatique constant :

0 = 𝐴⃗ + 𝛾𝐸⃗⃗ ⟹ 𝐴⃗ = −𝛾𝐸⃗⃗
En définitive l’expression du vecteur courant est donnée par :
𝑘
− 𝑡
𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ (1 − 𝑒 𝜇 )

𝑘
En pratique le rapport est très grand et de ce fait l’établissement permanent est presque
𝜇
instantané. Les charges acquièrent alors immédiatement leur vitesse limite 𝑣⃗.
2-Résistance d’un conducteur
Considérons un conducteur filiforme cylindrique homogène d’axe 𝑥𝑥 ′ de longueur 𝑙, désignons
par 𝑉1 le potentiel de la face A et 𝑉2 sur l’extérieur de B.
Les lignes de courant étant supposées parallèles à la génératrice, sont confondues aux lignes de
champ. Toute section droite et donc une surface équipotentielle. Par conséquent la section droite
d’abscisse 𝑥 est une surface équipotentielle de potentiel 𝑉.
Le potentiel à l’intérieur du conducteur parcouru par un courant permanent satisfait à l’équation
de Laplace ∆𝑉 = 0.
𝑑2 𝑉 𝑑𝑉
=0⟹ = 𝑐𝑠𝑡𝑒 = 𝑎 par exemple
𝑑𝑥 2 𝑑𝑥
𝑉𝐴 −𝑉𝐵
𝑉 est donc de la forme 𝑉 = 𝑎𝑥 + 𝑏 avec 𝑎 = et 𝑏 = 𝑉𝐴
𝑙

On a alors :
𝑉𝐵 − 𝑉𝐴
𝑉= 𝑥 + 𝑉𝐴
𝑙
𝜕𝑉 𝑉𝐴 −𝑉𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗𝑉
𝐸⃗⃗ = −𝑔𝑟𝑎𝑑 ⟹ 𝐸 = − 𝜕𝑥 = indépendant de 𝑥.
𝑙

Le champ électrostatique 𝐸⃗⃗ étant uniforme, le vecteur courant 𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ est aussi uniforme pour
un conducteur homogène.
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵
𝑖=𝛾
𝑙

6
L’intensité du courant s’écrit :

𝐼 = ∬ 𝑖⃗. 𝑑𝑆⃗ = 𝑖𝑆 = (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )𝑆

𝑠
𝑙
D’où 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝛾𝑆 𝐼

𝑙
En posant 𝑅 = 𝛾𝑆 on a 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑅𝐼

𝑅 est la résistance du conducteur ohmique.

𝑙
𝑅=𝜌
𝑆
Son inverse est appelé conductance.
Relation qui ne doit s’appliquer qu’aux conducteurs ohmiques homogènes. On s’étend
cependant aux conducteurs non ohmiques filiformes de section***** variable.
Pour un tube de courant assimilé à un fil conducteur de section lentement variable, on a :
𝑑𝑙
𝑑𝑅 = 𝜌
𝑑𝑆
𝐵 𝑑𝑙
La résistance est donnée par : 𝑅 = 𝜌 ∫𝐴 𝑑𝑆

L’unité de résistance est l’om dans le système SI.

L’ohm est la résistance d’un conducteur qui présente entre ses extrémités une chute ohmique
de potentiel égale à un volt, lorsqu’il est parcouru par un courant d’intensité égale à un ampère.
3-Vérification expérimentale de la loi d’Ohm
Le circuit simple qui permet une telle vérification comprend un générateur, un rhéostat et une
résistance morte : un ampèremètre branché en série dans le circuit permet de relever les
différentes valeurs de l’intensité fixées à l’aide du rhéostat et le voltmètre V aux bornes de la
résistance morte dans les ****.
Le rapport entre diverses valeurs de 𝑈 et 𝐼 correspondent est constante. La valeur mesure la
résistance 𝑅. La fonction 𝑈 = 𝑓 (𝐼 ) est représentée par :

7
Dans le système SI, la résistivité s’exprime en ohm-mètre. (𝛺. 𝑚)
Les métaux purs ont les meilleurs conducteurs, leurs résistivité est de l’ordre de 10−8 𝛺. 𝑚.
La résistivité varie en fonction de la température suivant la loi 𝜌 = 𝜌0 (1 + 𝑎𝑇)
1 1
𝑇(°𝐶 ) ; 𝑎 = 𝛼 = 273,15 ≈ 𝑇

Cette résistivité ne suit pas rigoureusement cette loi pour tous les corps. Dans certains métaux,
bons conducteurs comme l’aluminium, elle s’annule brutalement à une température
caractéristique 𝑇𝑠 légèrement supérieure au zéro absolue. C’est le phénomène de
supraconductivité.

4-Association de résistance
a-Résistance en série

Lorsqu’on associe plusieurs résistance en série, elles sont parcourues par le même courant 𝐼. La
différence de potentiel 𝑉 aux bornes de l’ensemble est la somme des différences de potentiel
entre les extrémités de chaque conducteur, soit :
𝑉 = 𝑅1 𝐼 + 𝑅2 𝐼+. . … … . +𝑅𝑛 𝐼 = (𝑅1 + 𝑅2 +. . … … . 𝑅𝑛 )𝐼
D’où 𝑅 = 𝑅1 + 𝑅2 +. . … … . +𝑅𝑛

b-Résistances en parallèles

8
 𝑉
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 +. . … … . +𝐼𝑛 =
𝑅𝑛
𝑉 𝑉 𝑉
𝐼1 = ; 𝐼2 = ; … … … … . ; 𝐼𝑛 =
𝑅1 𝑅2 𝑅𝑛
1 1 1 1
= 𝑅 + 𝑅 +. … … … 𝑅 exprime le théorème des conducteurs.
𝑅 1 2 𝑛

Théorème : la conductance d’un faisceau de conducteurs en parallèles est la somme des

conductances des conducteurs qui le constituent.
c-Shunt d’un ampèremètre
Il permet d’utiliser un ampèremètre pour mesurer de fortes intensités de courant. Pour cela, on
branche en déviation aux bornes de l’ampèremètre une résistance appelée Shunt qui permet de
réduire à un niveau convenable l’intensité du courant qui traverse l’ampèremètre.
Soit 𝑅 la résistance de l’ampèremètre.
𝐼 𝑛−1 𝑅
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑅 𝑛 = 𝑠𝐼 ⟹ 𝑠 = 𝑛−1
𝑛
𝑅
𝑛 = 10 ⟹ 𝑠 = 10 (ampèremètre shunté au dixième)

IV-Energie électrocinétique
Considérons une portion de circuit AB parcourue par un courant I, dans le sens de A vers B.
des charges passant du point A ou le potentiel est 𝑉𝐴 au point B où le potentiel est 𝑉𝐵 dépensent
une énergie :
𝑊 = 𝑞(𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )
En supposant que les charges 𝑞 soient positives, on peut envisager les cas suivants :
- Si 𝑉𝐵 > 𝑉𝐴 alors 𝑊 < 0. Cette énergie gagnée par les charges est effectivement perdue
par la portion de circuit qui est génératrice.
- Si 𝑉𝐵 < 𝑉𝐴 alors 𝑊 > 0. L’énergie est perdue par les charges est donc gagnée par la
portion de circuit AB qui est réceptrice.
𝑊 est appelé énergie électrocinétique. Elle est fournie aux charges dans une portion de circuit
génératrice grâce à la transformation d’une autre forme d’énergie.

9
1-Générateur
En régime permanent, les lignes de courant sont nécessairement fermées. En vertu de la relation
𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ , les lignes de champs doivent être fermées aussi, ce qui est contraire à la nature
électrostatique du champ qui dérive d’un potentiel.
Pour lever cette contradiction, on admet qu’à certains points du circuit, une charge mobile 𝑑𝑞
est soumise à une force 𝑑𝑓⃗ qui est la résultante d’une force purement électrostatique 𝑑𝑓⃗ = 𝑑𝑞𝐸⃗⃗𝑠
et d’une force 𝑑𝑓⃗𝑀 caractéristique du mode de circulation de la charge.
⃗⃗⃗⃗⃗
𝑑𝑓 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑑𝑞𝐸𝑀 , 𝐸𝑀 est appelé champ électromoteur.

⃗⃗⃗⃗⃗
On a donc 𝑑𝑓 ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀 = 𝑑𝑞(𝐸𝑠 + 𝐸𝑀 )

On tire 𝐸⃗⃗ = 𝐸⃗⃗𝑠 + 𝐸⃗⃗𝑀

En ces points où règne le champ 𝐸⃗⃗𝑀 , le circuit contient un dispositif appelé générateur.
a-Générateur à vide
Quand le générateur ne débite pas, les charges mobiles qu’il renferme sont toutes au repos. La
force électrique 𝑑𝑓⃗ appliquée à une charge 𝑑𝑞 est nulle.

D’où 𝐸⃗⃗ = 𝐸⃗⃗𝑠 + 𝐸⃗⃗𝑀 = 0

⃗⃗ ⟹ 𝐸⃗⃗𝑠 = −𝐸⃗⃗𝑀

En général, le champ 𝐸⃗⃗𝑀 électromoteur n’est pas un vecteur à flux conservatif. Donc
𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗𝑀 ≠ 0 ⟹ 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗𝑠 ≠ 0
𝜌
Or 𝑑𝑖𝑣𝐸⃗⃗𝑀 = 𝜀 1 ⟹ 𝜌1 ≠ 0
0

Il doit donc exister une charge non compensée dans le générateur. Le champ électrostatique
n’étant pas nul, il y a accumulation de charges positives vers la borne positive du générateur et
de charges négatives vers la borne négative. Cette séparation de charges s’effectue sous l’action
du champ électromoteur dont l’origine est liée à la constitution même du générateur.

La différence de potentiel aux bornes A et B du générateur est :

𝐴 𝐴
𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = − ∫ 𝐸⃗⃗𝑠 𝑑𝑙⃗ = ∫ 𝐸⃗⃗𝑀 𝑑𝑙⃗
𝐵 𝐵

Cette quantité est caractéristique du générateur. On l’appelle force électromotrice (fem). Elle
est égale à la circulation du champ électromoteur d’une borne à l’autre et dans un sens tel qu’elle
soit positive.

10
 𝐴
𝑒 = ∫ 𝐸⃗⃗𝑀 𝑑𝑙⃗
𝐵

Ou 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑒
A vide, la différence de potentiel aux bornes du générateur est égale à sa force électromotrice.
b-Générateur en charge
Le générateur débite un courant lorsqu’il est connecté à un circuit extérieur. Le courant 𝐼
débite, circule de la borne positive à la borne négative à travers le circuit et obéit à la loi d’Ohm
𝑖⃗ = 𝛾𝐸⃗⃗ , entre A et B, on a 𝑖⃗ = 𝛾(𝐸⃗⃗𝑠 + 𝐸⃗⃗𝑀 )

Considérons un tube de courant dans le générateur dont les extrémités se trouvent aux bornes
A et B.
1
𝑖⃗ = 𝛾(𝐸⃗⃗𝑠 + 𝐸⃗⃗𝑀 ) ⟹ 𝑑𝑙⃗. 𝑖⃗ = 𝐸⃗⃗𝑠 . 𝑑𝑙⃗ + 𝐸⃗⃗𝑀 . 𝑑𝑙⃗
𝛾

1 𝑑𝑠 1 𝑑𝑙
𝑑𝑙⃗ 𝑖⃗ = 𝑑𝐼
𝛾 𝑑𝑆 𝛾 𝑑𝑆
Avec 𝑑𝐼 = 𝑖⃗. 𝑑𝑠⃗ : l’intensité du courant qui circule dans le tube de courant qui s’appuie sur 𝑑𝑠
d’où :
1 𝑑𝑙
𝑑𝐼 = 𝐸⃗⃗𝑠 . 𝑑𝑙⃗ + 𝐸⃗⃗𝑀 . 𝑑𝑙⃗
𝛾 𝑑𝑆
En intégrant, on obtient la circulation du champ de la borne B à la borne A à l’intérieur du tube
de courant.
𝐴 1 𝑑𝑙
∫𝐵 = 𝑟1 est la résistance du tube de courant.
𝛾 𝑑𝑠

L’équation intégrale est donc réduite à :

𝑟1 𝑑𝐼 = (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ) + 𝑒
Pour la totalité des tubes de courant qui constitue le générateur, on a :
𝑟𝐼 = (𝑉𝐵 − 𝑉𝐴 ) + 𝑒
Ou 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑒 − 𝑟𝐼
𝑟 est appelé résistance interne du générateur.

11
2-Récepteurs
Contrairement au générateur, le récepteur prélève aux charges qui le traversent une partie de
leur énergie qu’il transforme. Il soumet donc à ces charges des forces résistances. Il est le siège
d’un champ contre-électromoteur 𝐸⃗⃗𝑐 dirigé en sens inverse du courant.

On appelle force contre du courant électromotrice (fcem),i le travail du champ d’une borne à
l’autre en sens inverse du courant.

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑒′ + 𝑟′𝐼 avec 𝑟′ : résistance interne du récepteur.

Comme pour le générateur, on définit ici un pôle positif A et un pôle négatif B tel que la
circulation 𝐸⃗⃗𝑐 de B à A soit positive.
3-Association de générateurs
a-Générateur en série

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 𝑒1 − 𝑟1 𝐼 + 𝑒2 − 𝑟1 𝐼+. … … … + 𝑒𝑛 − 𝑟𝑛 𝐼

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = ∑ 𝑒𝑖 − ∑ 𝑟𝑖 𝐼 = 𝑒 − 𝑟𝐼
𝑛 𝑛

Avec 𝑒 = ∑𝑛 𝑒𝑖 et 𝑟 = ∑𝑛 𝑟𝑖

b-Générateurs en parallèles

12
 𝑒1 −𝑉 𝑒2 −𝑉 𝑒𝑛 −𝑉
𝑉 = 𝑒1 − 𝑟1 𝐼 ⟹ 𝐼1 = ; 𝐼2 = ;………. ; 𝐼𝑛 =
𝑟1 𝑟2 𝑟𝑛

𝑒1 𝑒2 𝑒𝑛 1 1 1
𝐼 = 𝐼1 + 𝐼2 +. . . … . +𝐼𝑛 = ( + +. … … ) − 𝑉 ( + +. … … )
𝑟1 𝑟2 𝑟𝑛 𝑟1 𝑟2 𝑟𝑛
1 1 1 𝑒1 𝑒2 𝑒𝑛
𝑉( + +. … … ) = ( + +. … … ) − 𝐼
𝑟1 𝑟2 𝑟𝑛 𝑟1 𝑟2 𝑟𝑛
𝑛
1 𝑒𝑖 1
𝑉= ∑
− 𝐼
1 1
∑𝑛𝑖 𝑖=1 𝑟𝑖 ∑𝑛𝑖
𝑟𝑖 𝑟𝑖
Théorème de Millimann
Lorsque plusieurs générateurs sont associés en parallèles, l’ensemble est équivalent à un
1 𝑒 1
générateur unique de fém. 𝑒 = 𝑛 1 ∑𝑛𝑖=1 𝑟𝑖 et de résistance 𝑟 = 𝑛 1
∑𝑖 𝑖 ∑𝑖
𝑟𝑖 𝑟𝑖

4-Loi de Pouillet
Lorsqu’une portion de circuit est parcourue par un courant 𝐼 de A vers B comportant des
résistances, des générateurs et des récepteurs, l’additivité des ddp permet d’écrire la loi d’Ohm
généralisée.

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = ∑ 𝑅𝐼 − ∑ 𝑒 + ∑ 𝑒′

Que l’on peut simplifier en écrivant :

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = ∑ 𝑅𝐼 − ∑ 𝑒

Avec la convention suivante :

𝑒 désigne une fém s’il est positif et une fcém s’il est négatif.
Pour un circuit fermé, la loi d’Ohm généralisée devient :

13
∑ 𝑅𝐼 − ∑ 𝑒 = 0 ⟹ ∑ 𝑅𝐼 = ∑ 𝑒 Loi de Pouillet
5-Effet Joule
a-Définition
C’est la transformation de l’énergie cinétique en énergie calorifique dans les milieux
conducteurs.
Considérons une portion de circuit constitué par un conducteur homogène de résistance 𝑅,
parcouru par un courant 𝐼, la loi d’Ohm s’écrit : 𝑉 = 𝑅𝐼.
La quantité d’électricité qui traverse ce fil pendant une durée 𝑑𝑡 est 𝑑𝑞 = 𝐼𝑑𝑡.
Le travail des forces électriques 𝑑𝑊 = 𝑅𝐼 2 𝑑𝑡 représente l’énergie dissipée par effet joule à
travers la résistance 𝑅 pour une durée 𝑑𝑡.
𝑊 = 𝑅𝐼 2 𝑡 expression qui traduit l’effet Joule.
𝑑𝑊
La puissance dissipée 𝑃 = = 𝑅𝐼 2 = 𝑉𝐼
𝑑𝑡

b-Puissance dissipée par unité de volume

Soit un conducteur cylindrique de longueur 𝑙 de section 𝑠 et de résistivité 𝜌 parcourue par un
courant d’intensité 𝐼, la puissance dissipée par effet Joule sera :
𝑙
𝑃 = 𝜌 (𝑖𝑠)2 = 𝜌𝑖 2 𝑙𝑠
𝑠
𝑙𝑠 étant le volume du conducteur, on a :
𝑃
𝑝= = 𝜌𝑖 2
𝑣
𝐸 2 𝐸2
Ou 𝑝 = 𝜌 (𝜌 ) = 𝜌

On peut aussi écrire 𝑝 = 𝐸. 𝑖, 𝐸 et 𝑖 étant colinéaire, on a de même 𝑝 = 𝐸⃗⃗ . 𝑖⃗

Ce qui constitue la formule plus générale de la puissance dissipée par unité de volume.
c-Puissance d’un générateur

Une charge 𝑞 qui traverse un générateur est soumise à une force motrice 𝑓⃗ = 𝑞𝐸⃗⃗𝑀 et reçoit une
énergie égale au travail de cette force de B à A.
𝐴 𝐴
𝑊 = ∫ 𝑓⃗ 𝑑𝑙⃗ = 𝑞 ∫ 𝐸⃗⃗𝑀 . 𝑑 𝑙⃗ = 𝑞𝑒
𝐵 𝐵

La charge qui traverse le générateur pendant la durée 𝑡 étant 𝑞 = 𝐼𝑡, alors 𝑊 = 𝑒𝐼𝑑𝑡 d’où la
puissance fournie par le champ électromoteur est :
𝑊
𝑃= = 𝑒𝐼
𝑡
que l’on appelle puissance du générateur.

14
La puissance disponible aux bornes du générateur est :
𝑃𝑢 = (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )𝐼 = 𝑒𝐼 − 𝑟𝐼 2
𝑟𝐼 2 est la puissance dissipée par effet Joule dans le générateur.
La puissance fournie au récepteur est :
𝑃 = (𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 )𝐼 = 𝑒 ′ 𝐼 + 𝑟′𝐼 2
𝑒 ′ 𝐼 est la puissance transformée par le champ contre électromoteur.
𝑟′𝐼 2 est la puissance dissipée par effet Joule.
V-Réseaux
1-Définition
On appelle réseau un ensemble de dipôles actifs et passifs dont les bornes sont reliées par des
fils parfaitement conducteurs selon un schéma donné.
- On appelle nœud tout point commun à plusieurs conducteurs reliant des bornes de
dipôles.
- -une branche est une portion linéaire de circuit comprise entre deux nœuds
- -une maille est un ensemble de branches constituant un circuit fermé.
Le calcul des courants qui circulent dans un réseau de conducteurs s’effectue grâce à une
application convenable de la loi d’Ohm. On choisit tout d’abord sur chaque conducteur un sens
positif arbitraire. Chaque courant sera mesuré par un nombre algébrique.
Pour une résistance, on choisit arbitrairement le sens positif du courant. Pour une branche
comprenant un générateur de tension, on choisit comme sens algébrique celui qui va à
l’intérieur du générateur de la borne négative (-) vers la borne positive (+).
Si le réseau comporte n branches, il faudra écrire n équations pour le résoudre. Les inconnus
sont soit les intensités dans les branches, soit les ddp aux bornes des branches.
2-Lois de Kirchhoff
a-Lois des nœuds
En régime permanent, il ne peut y avoir accumulation de charges électriques en ***. La somme
des courants qui arrivent de chaque nœuds est nécessairement égale à la somme des courants
qui en ***, d’où la 1 ère loi de Kirchhoff ou loi des nœuds.
𝑛

∑ 𝐼𝑘 ≡ 0
𝑘=1

Pour n nœuds, on obtient (n-1) équations indépendantes.

15
b-Loi des mailles
Si l’on parcourt une maille en partant d’un nœud, (pour revenir au point de départ en fin de
parcours), la somme algébrique des ddp entre nœuds consécutifs traversés est nécessairement
nulle.
En pratique, on peut écrire les équations aux mailles ∑ 𝑒 = ∑ 𝑅𝑖 en adoptant les règles de signe
suivant :
- Les intensités sont prises avec le signe + si leur sens, (arbitrairement choisi au départ)
correspond au sens de parcours de la maille. Elles sont prises avec le signe (-) dans le
cas contraire.
- Les fém. sont prises avec le signe du pôle rencontré en second lieu. Cette dernière règle
peut même être étendue au cas où une branche contient un récepteur de polarité connue
et à caractéristique linéaire. Le récepteur absorbant de l’énergie au lieu d’en produire,
peut être considéré comme un générateur de fém. négatif.
Compte tenu des conventions adoptées, on désigne par (+) le signe du pôle du récepteur par où
entre le courant, par (-) par où le courant sort, la règle s’applique.
Exemple d’application

5Ω 10 Ω
A B C

𝐼3 𝐼2 𝐼1

10 V 40 V
10 Ω

F E D

Equation au nœud en B. 𝐼1 + 𝐼3 = 𝐼2
Maille ABEFA 5𝐼3 + 10𝐼2 = +10
Maille ABCDEFA 5𝐼3 + 10𝐼1 = −40 + 10
Maille BCDE B −10𝐼1 − 10𝐼2 = −40
On trouve 𝐼1 = 2,5𝐴 𝐼2 = 1,5𝐴 et 𝐼3 = −1𝐴 (𝐼3 a été choisi en sens contraire)
5-Théorème de Thévenin
En réalisant une coupure dans une branche d’un réseau, le réseau en question est équivalent à
un générateur unique dont la fém. est égale à la ddp aux bornes de la branche et dont et dont la
résistance interne est égale à la résistance équivalente à tout le circuit entre les même extrémités.
Exemple :
5Ω 10 Ω

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 P
Q
10 V 40 V

2
30𝐼 = 40 − 20 = 20 ⟹ 𝐼 = 3

2 100
𝐸𝑡ℎ = 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = 40 − 𝐼 = 10 = 𝑉
3 80

5Ω 10 Ω

P
Q
10 V 40 V

1 20
𝑅𝑡ℎ = = ῼ
1 1 3
20 + 10
100
𝐸𝑡ℎ 3 100
𝐼= = = = 1,25𝐴
𝑅𝑡ℎ + 20 20 80
+ 20
3

6-Transformation de Kennelly

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a-Transformation triangle étoile
Considérons un triangle ABC comportant les résistances 𝑅1 , 𝑅2 et 𝑅3 , on se propose de les
remplacer par une étoile de centre O comportant les résistances 𝑟1 , 𝑟2 et 𝑟3 .

𝐼1

𝑖 𝐼1 − 𝑖

𝐼2 𝐼2 + 𝑖 𝐼3

Appliquons la loi des mailles :

𝑅3 𝑖 + 𝑅1 (𝐼2 + 𝑖 ) − 𝑅2 (𝐼1 − 𝑖 ) = 0
(𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3 )𝑖 = 𝑅2 𝐼1 − 𝑅1 𝐼1
𝑅2 𝐼1 − 𝑅1 𝐼1
𝑖=
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
Dans le triangle la ddp entre A1 et A2 est :

𝑉𝐴1 − 𝑉𝐴2 = (𝑉𝐴1 − 𝑉0 ) + (𝑉0 − 𝑉𝐴2 ) = 𝑟1 𝐼1 − 𝑟2 𝐼2

Les circuits sont équivalents si la ddp entre A1 et A2 est la même dans les circuits, quelque
soient les intensités 𝐼1 et 𝐼2 .
Soit :
𝑅2 𝑅3 𝑅1 𝑅3
𝑟1 = 𝑅 et 𝑟2 = 𝑅
1 +𝑅2 +𝑅3 1 +𝑅2 +𝑅3

De même en identifiant les tensions 𝑉𝐴1 − 𝑉𝐴2 des deux circuits, on obtient :

𝑅1 𝑅2
𝑟3 =
𝑅1 + 𝑅2 + 𝑅3
Règle pratique : Chaque résistance du circuit étoile équivalent est égale au rapport du produit
des deux résistances adjacentes du circuit triangle, à la somme des résistances du triangle.
b-Transformation étoile-triangle

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En O 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 0
𝑉1 − 𝑉0 𝑉1
𝐼1 = = = 𝑔1 𝑉1 = 𝐼𝐴1 𝐴2 + 𝐼𝐴1 𝐴3
𝑟1 𝑟1
𝐼1 = 𝐺3 (𝑉1 − 𝑉2 ) + 𝐺2 (𝑉1 − 𝑉3 ) = 𝑔1 𝑉1
(𝑔1 −𝐺2 −𝐺3 )𝑉1 = 𝐺3 𝑉2 + 𝐺2 𝑉3 = 0
Loi des intensités : 𝐼1 + 𝐼2 + 𝐼3 = 𝑔1 𝑉1 + 𝑔2 𝑉2 + 𝑔3 𝑉3 = 0
D’où :
𝑔2 𝑔3 𝑔1 𝑔3 𝑔1 𝑔2
𝐺1 = 𝑔 ; 𝐺2 = 𝑔 ; 𝐺3 = 𝑔
1 +𝑔2 +𝑔3 1 +𝑔2 +𝑔3 1 +𝑔2 +𝑔3

Règle : Chaque conductance du circuit triangle équivalent est égale au rapport du produit des
deux conducteurs adjacentes du circuit étoile à la somme des conductances de l’étoile.
Les résistances du triangle s’en déduisent et on obtient :
𝑟2 𝑟3 𝑟1 𝑟3 𝑟1 𝑟2
𝑅1 = 𝑟2 + 𝑟3 + ; 𝑅2 = 𝑟1 + 𝑟3 + ; 𝑅3 = 𝑟1 + 𝑟2 +
𝑟1 𝑟2 𝑟3

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