Annales Maths 3e PDF
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Unité – Progrès – Justice
ANNALES
MATHEMATIQUES
3ème
1
Auteurs :
- Dieudonné KOURAOGO, IES
Edition :
Direction générale de la Recherche en Education et de l’Innovation
pédagogique
2
3
AVANT-PROPOS
La présente annale destinée à la classe de troisième a pour but d’aider le
professeur dans son enseignement et le candidat au BEPC de se préparer à
l’épreuve de mathématiques.
Cette annale comporte trois parties :
Première partie : résumé du cours par chapitre ;
Deuxième partie : énoncés des épreuves du BEPC ;
Troisième partie : propositions de corrigés des épreuves.
Les auteurs
4
5
RAPPEL DE COURS
RAPPEL DE COURS
6
CHAPITRE I : NOMBRES REELS
1) Nombres réels
L’ensemble des nombres réels se note ℝ.
ℝ désigne l’ensemble des réels positifs et ℝ l’ensemble des réels
négatifs.
2) Intervalles dans ℝ
Un intervalle est un sous-ensemble de ℝ.
ℝ et ℝ sont des intervalles de ℝ.
a et b étant deux réels, les inégalités a<x<b , a>x>b , x>a et x<b peuvent
s’écrire sous forme d’intervalles.
3) Encadrements de sommes et produits
Encadrement d’une somme :
Etant donné les réels a, a’, b, b’, x et x’ :
Si a<x<b et a’<x’<b’ alors a +a’< x +x’ <b +b’
Encadrement d’un produit :
Etant donné les réels positifs a, a’, b, b’, x et x’ :
Si a<x<b et a’<x’<b’ alors aa’<xx’<bb’
4) Valeur absolue d’un réel
Définition :
On appelle valeur absolue d’un nombre réel x, le réel positif | | noté
défini par :
*Si ≥0 alors | | =
*Si ≤0 alors | | = −
7
Par conséquent pour tout | |≥ 0
5) Distance de deux réels
A et B sont deux points d’abscisses respectives a et b sur une droite
graduée.
On appelle distance des réels a et b le réel | − |.
On le note d(a, b) et on a d(a, b) = | − |= AB.
Par conséquent :
*Si a = b alors d(a, b) = 0
*Si d(a, b) = 0 alors a = b
*d(a, b) ≥ 0
*d(a, b) = d(b ,a)
Ou encore :
8
r r
Si u
= alors k. = k. u
r r
. Le vecteur k. u est appelé produit du vecteur u par le réel k.
2) Propriétés
• Si = k. alors
=| |.
k. u = 0 si et seulement si k = 0 ou u = 0
r r
•
r r
• 1. u = u
r r r
• Pour tous réels x et y : ( x + y). u = x. u +y. u
r r r
• u u
Pour tous vecteurs et , et pour tout réel x : x( + )= x u
+x
r r
• u u
Pour tout vecteur et pour tous réels x et y : x.(y. )= (x y).
r
u
Propriétés
9
Droites parallèles
uuur uuur
Si AB et CD sont colinéaires et non nuls alors les droites (AB) et
(CD) sont parallèles.
Réciproquement :
II. PROPRIETES
+
Soient & ' ) et * + , deux vecteurs.
( (
Pour tout réel , 78 89:8&; . & a pour coordonnées >
>
& = ?@ 8: ?8&78A8B: ?@ = + 8: ( = ( + .
10
&+ DE&; 9EE;FEBBé8? +
+
V. CONDITIONS D’ORTHOGONALITE DE
DEUX VECTEURS
Deux vecteurs & et +
+
non nuls sont
orthogonaux si et seulement si +
+ (( = 0. +
11
II. PROPRIETES
pour tous réels positifs et , √ × = √ ×√ .
H H
pour tous réels positifs et ≠ 0 , ]I = ]I .
√ − √ est √ + √ .
L’expression conjuguée peut être utilisée pour rendre rationnel le
dénominateur.
Remarque :
Pour tous réels positifs a et b, l’expression conjuguée de + √
e st −√
IV. COMPARAISONS
Racine carrée et ordre
La racine carré conserve l+ ordre :
et deux réels positifs, si ≤ alors √ ≤ √
Egalité
Pour tous réels positifs a et b, = ?@ 8: ?8&78A8B: ?@ √ = √ .
Règle de Comparaison
Pour comparer deux réels positifs a et b, il suffit de comparer leurs
carrées.
Equations et racine carrée
12
Soit k un nombre réel ∶
• Si k > 0, alors l+ équation W
= k admet deux solutions ∶ =
√ ou = −√
N = k−√ ; −√ l
• Si k = 0, alors l+ équation W
= k admet une solution x = 0.
N = m0n.
• Si k < 0, alors l+ équation W
= k n+ a pas de solution ∶
N =∅
13
CHAPITRE V : EQUATIONS - INEQUATIONS
DANS IR
I. EQUATIONS DU PREMIER DEGRE A
UNE INCONNUE
Définition
Une équation est dite du premier degré si on peut la mettre sous la forme
a.x + b = 0
a et b sont des réels donnés , x est l’inconnue.
Résolution :
• Si a = 0 et b=0 alors tout réel est solution : N = ℝ.
I I
Si a≠ 0 alors = − H : N = m− Hn
• Si a = 0 et b ≠ 0 alors il n’y a pas de solution : N = ∅.
II. INEQUATIONS DU PREMIER DEGRE A UNE
INCONNUE
Définition
On appelle inéquation du premier degré une inégalité qui peut se mettre
sous l’une des formes suivantes :
a.x+ b ≤ 0 , a. x+ b ≥ 0 , a.x + b > 0 , a.x + b < 0 ; a et b étant des réels
donnés.
Remarque :
* ab ≥ 0 signifie a ≥ 0 et b ≥ 0 ou a ≤ 0 et b ≤ 0
* ab ≤ 0 signifie a ≥ 0 et b ≤ 0 ou a ≤ 0 et b ≥ 0
14
CHAPITRE VI : RAPPORT DE PROJECTION
I. Définition du rapport de projection
Les points O, A’, B’, C’ et M’ sont les projetés respectifs des points O, A,
B, C et M sur la droite ( ∆ ’) parallèlement à la droite (AA’).
15
II. Rapport de projection orthogonale
Définition
A' O
B' C' M'
Propriété
16
CHAPITRE VII : MONOMES -POLYNOMES
q
Un monôme est une expression de la forme ou le réel désigne le
coefficient et l’entier naturel le degré.
2) Identités remarquables
(a +b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(a-b)(a +b)=a2-b2
A B
18
THOREME DE PYTHAGORE – RECIPROQUE DU
THEOREME DE PYTHAGORE
Théorème de Pythagore
Si ABC un triangle rectangle en A, alors ² = ² + ².
(Dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme
des carrés des deux autres côtés).
Réciproque du théorème de Pythagore
Si ABC un triangle tel que ² = ² + ² alors le triangle ABC est
rectangle en A.
Applications
Diagonale d d’un carré de côté a : • = €√2
Hauteur h d’un triangle équilatéral de côté a.
€√ƒ
‚= W
(D)
H
L
K
Propriété :
Soit (D) une droite. Soit M un point et H le projeté orthogonal de M sur (D).
20
CHAPITRE X : THEOREME DE THALES
Définition
Deux triangles forment une configuration de Thalès s’ils sont déterminés par
deux droites sécantes qui elles à leur tour sont coupées par deux droites
parallèles.
1) Théorème de Thalès
Soient (d) et (d’) deux droites sécantes en A. On suppose que les points B
et E distinct de A sont sur la droite (d) et que C et F sont deux points de
(d’) distinct de A. Si les triangles ABC et AEF forment une configuration
… † …†
= =
‡ ‡
de Thalès alors :
(d)
(d’) (d’ (d
A
F E
E F A
C A
B
B C
21
CHAPITRE 11 : REPERE ORTHONORMAL-
DISTANCE
I. Repère orthonormal
1) Définition
(O,I,J) est un repère orthonormal si
On a : AB= ` ˆ − ˆ W + ‰ −‰ W
Vecteurs orthogonaux
1) Définition
2) Propriétés
• Théorème
Soit & et deux vecteurs non nuls d'un repère orthonormal tels que & et
+
+
.
22
·Si & et sont orthogonaux alors xx’+yy’ =0 1
·Si xx’+yy’=0 alors & et sont orthogonaux 2
• Propriété
Soit & et deux vecteurs non nuls d'un repère orthonormal tels que
& et +
+
.
23
CHAPITRE 12 : ANGLES INSCRITS
1) Angle inscrit et angle au centre associé
a) Angle inscrit
Propriété
Si deux angles inscrits interceptent le même arc alors ils ont la même
mesure.
24
CHAPITRE 13 : DROITES-EQUATIONS DE DROITES
1) Vecteur directeur
Etant donnés deux points A et B d’une droite (D) ;
tout vecteur non nul & colinéaire à est un vecteur directeur de (D).
2) Equation de droite
25
Propriété (Parallélisme)
Si deux droites sont parallèles alors leurs vecteurs directeurs sont
colinéaires.
Si deux droites ont leurs vecteurs directeurs colinéaires alors elles sont
parallèles.
Deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont
colinéaires.
Conséquences :
Si deux droites ont une même pente alors elles sont parallèles.
Si deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles alors
elles ont la même pente.
Deux droites non parallèles à l’axe des ordonnées sont parallèles si et
seulement si elles ont la même pente.
Propriété : (Perpendicularité)
Dans un repère orthonormal si le produit des pentes de deux droites est (-
1) alors ces droites sont perpendiculaires.
Dans un repère orthonormal si deux droites non parallèles aux axes sont
perpendiculaires alors le produit de leurs pentes est (-1).
Dans un repère orthonormal, deux droites non parallèles aux axes sont
perpendiculaires si et seulement si le produit de leurs pentes est (-1).
26
CHAPITRE 14 : RELATIONS
TRIGONOMETRIQUES DANS LE TRIANGLE
RECTANGLE
1) Définitions
a) Le cosinus d’un angle aigu
A
B
On note
Cos ‹
Ž •ô‘é.H’“”q•”q‘
K =Ž = • –—‘éq˜™
‹
K le réel Ž
On note
Sin ‹
•ô‘é.—––—™é
K = Ž =• –—‘éq˜™
27
c) La tangente d’un angle aigu
ABO est un triangle rectangle en A. On appelle tangente de l’angle
‹
K le réel
Ž
On note
tan ‹
•ô‘é.—––—™é
K = Ž =•ô‘é.H’“H•”q‘.
2) Propriété
a) Relation entre sinus, cosinus et tangente
. tan š = •—™ œ
™›q œ
.sin2 š +cos2 š =1
.sin š =cos œ ; cos š =sin œ
b) Valeurs remarquables
š 0 30 45 60 90
° ° ° ° °
sin 0 1 √2 √3 1
š 2 2 2
cos 1 √3 √2 1 0
š 2 2 2
tan 0 √3 1 √3 X
š 3
28
CHAPITRE 15 : SYSTEMES D’EQUATIONS-
SYSTEMES D’INEQUATIONS
• Résoudre algébriquement une équation du 1er degré dans ℝ × ℝ c’est
trouver tous les couples , ( qui sont solutions de cette équation
• Une équation du 1er degré dans ℝ × ℝ admet une infinité de solutions
29
CHAPITRE 16 : POSITIONS RELATIVES D’UNE
DROITE ET D’UN CERCLE
• Une droite ( est :
diamètre PK S.
passant par A et le point d’intersection du cercle (λ) avec le demi-cercle de
30
CHAPITRE 17 : APPLICATIONS LINEAIRES -
APPLICATIONS AFFINES
1) Applications linéaires
Remarque :
• Une application linéaire de ℝ → ℝ est un monôme de degré 1 et de
coefficient a.
31
c) Propriétés (linéarité)
Propriété
La représentation graphique de l’application affine
f:ℝ→ℝ
x→ f(x)= ax+b est une droite passant par M(0 ;b) et de coefficient
directeur a.
32
Théorème (Variation)
L’application affine f : ℝ → ℝ
x→ f(x)= ax+b est :
- croissante si a>0
- décroissante si a< 0
- constante si a=0
33
CHAPITRE 18 : ISOMETRIES DU PLAN
1) Définition d’une isométrie du plan
Une isométrie du plan est toute application du plan qui conserve les
distances.
34
CHAPITRE 19 : STATISTIQUES
1) Regroupement en classes d’amplitude donné
Exemple : Regroupons la série de notes suivante en classes d’amplitude
4 : 0 ; 11 ;8 ;14 ;17 ;15 ;3 ;5 ;7 ;9 ;6 ;7 ;13 ;5 ; 12.
Le résultat est consigné dans le tableau ci-dessous :
Classes [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;12[ [12 ;16 [ [16 ;20[
Effectif 2 5 3 4 1
3) Classe modale
La classe modale est la classe qui a l’effectif le plus élevé (il peut avoir
plusieurs classes modales). Dans le tableau ci-dessus, il s’agit de la classe
[4 ;8[.
EPREUVES
36
EPREUVES
37
EXAMEN DU B.E.P.C.
BURKINA FASO
SESSION DE 2017
Unité-Progrès-Justice
Coefficient : 05
L’épreuve comporte deux (2) parties indépendantes à traiter
obligatoirement.
Première Partie : (10 points)
Dans cette partie, toutes les questions sont indépendantes.
1) Ordonner le polynôme £ = 4 3 + 5 4 + 3 – 2 suivant les
puissances décroissantes de x. (0,5pt)
2) Ecrire sans le symbole de la valeur absolue § = |−3 + 6| .
(1pt)
3) Les points A, B, C et D sont sur le cercle (C) de centre O.
38
‹ = √ƒ
.
W
4) EGF est un rectangle en F tel que EG = 2 et sin (RQ©
Calculer la distance FG. (1pt)
5) Soit h une application affine définie par ℎ = +
b ou a et b sont des réels.
Déterminer les valeurs de a et b sachant que ℎ 0 = 1 8: ℎ 2 =
−2. (1,5pt)
6) UPC est un triangle rectangle en U de hauteur [UH] tel que UP =6 ;
UC=8 ; PC=10.
En utilisation la relation métrique qui convient, calculer UH. (1pt)
7) On a relevé dans un CSPS par âge, sur une période donnée, le nombre
de personnes reçues en consultation pour des cas de paludisme, selon
le tableau suivant :
P0 ; 10P P10 ; 20P P20 ; 30P P30 ; 40P P40 ; 50P P50 ; 60P
Age (en
année)
Effectif 80 40 10 30 15 25
Fréquenc
e en %
39
Deuxième Partie : (10 points)
Exercice 1 : (5points)
Un club de Judo propose deux formules de prix à ses clients.
La formule A : La séance coûte 600 francs sans carte d'affiliation.
Nombre de
5 10 20 30
séances
Coût de la
formule A
Coût de la
formule B
(On prendra 1cm pour une séance en abscisse et 1cm pour 1000 francs en
ordonnée)
4) Calculer le nombre de séances pour lequel les coûts des deux formules
sont les mêmes. (1pt)
40
Exercice 2 : (5 points)
Le plan est muni d'un repère orthonormé (O, , ) (unité: 1 cm).
1) Placer les points E (-2 ; -2), F (-3 ; 2) et G (6; 0). (1 pt)
2) Démontrer que les droites (EF) et (EG) sont perpendiculaires. (1 pt)
ƒ
3) Montrer que le point L W ; 1 est le milieu du segment [FG]. (0,5 pt)
41
EXAMEN DU B.E.P.C.
SESSION DE 2015 BURKINA FASO
Unité-Progrès-Justice
42
5) On considère la fonction rationnelle q définie sur IR\ { −
®
W
} par :
- ƒ¯ Œ
W ®
q(x) =
m’= − .
¬
®
Justifier que ces deux droites sont perpendiculaires. (1pt)
7) Lors d’une course de vitesse au 100 mètres plat en EPS (Education
Physique et Sportive), le professeur a relevé le temps mis (en secondes)
par un groupe d’élèves : 14 ; 16,5 ; 15,5 ; 13 ; 12 ; 15,6 ; 11,8 ; 13,2 ;
14,4. Calculer la moyenne de cette série statistique. (1pt)
8) Soit IJK un triangle tel que ±²O ³ = 75°. & est un vecteur non nul. On
désigne par I’J’K’ l’image du triangle IJK par la translation de vecteur
& . Sans construire les deux triangles, quelle est la mesure de l’angle ±‹
+ ´+ O+ ?
43
11) Dans la figure suivante, les droites (AB) et (HP) sont parallèles.
¶ ….. ….
Compléter les égalités suivantes : ¶• = ….. = …. (1pt)
44
II. (6points)
On considère la fonction f définie de IR vers IR par
f (x)= (3x-2)2 – 4(x2 -5x +1)
1) Développer, réduire et ordonner f(x). (1pt)
2) Résoudre dans IR l’équation f(x)=0. (1pt)
®¯- ¸¯
¯ W ¯
3) On pose g(x) =
45
EXAMEN DU B.E.P.C. BURKINA FASO
SESSION DE 2014 Unité-Progrès-Justice
46
¼½
ƒ
&=3 − , ' Œ- ) et ¾ = & +
¬
Parmi les couples de réels suivants, deux couples sont solutions de cette
inéquation :
®
a) (0 ; −3) ; b) (2 ;5) ; c) (W ; 1 ; d) (4 ;−3) ; e) (−1 ;4)
47
9. (D) est la droite d’équation 3x−4y−1=0
Déterminer le coefficient directeur de (D). (0,5pt)
®
10. Dans le repère cartésien (O, , , on donne les points A (−3 ; W et M
(2 ; −1)
Calculer les coordonnées du point A’ symétrique de A par rapport à M.
(1pt)
Deuxième partie : (10 points)
Dans cette partie, I et II sont indépendants.
- W Œ
I. Soit h une fonction rationnelle telle que h(x) = Œ ® ¬
48
3. Soit le cercle circonscrit au triangle ABC de centre M et de
rayon r. (1pt)
a. Tracer (0,25pt)
b. Calculer les coordonnées de M et le rayon r . (1pt)
4. Soit (T) la tangente à en A.
Determiner une équation cartésienne de (T) (1pt)
49
EXAMEN DU B.E.P.C. BURKINA FASO
SESSION DE 2013 Unité-Progrès-Justice
50
®
5. Soit h une application affine telle que : ℎ = G1 − √2J +
ƒ
b. Trouver la mesure de l'angle BÂC à un degré près (1° près) par excès.
(1pt)
On donne :
51
Deuxième partie : (08 points)
Dans cette partie I et II sont indépendantes
I/ Soit la figure suivante : (Le candidat ne reproduira pas la figure)
Œ ƒ √ƒ
On donne sin 30° = W ; cos 30° = √W et tan 30° = ƒ
.
4. Déterminer la longueur du segment [BC]. (1pt)
52
1. En désignant par x le nombre de pintades et y celui des poulets,
traduire cette situation par une inéquation. (0,5pt)
53
EXAMEN DU B.E.P.C. BURKINA FASO
SESSION DE 2012 Unité-Progrès-Justice
54
IV) Soit la figure suivante :
Œ ƒ Œ
On donne : sin 30°= W ; cos 30°= √W
√ƒ
; tan 30°=
55
VII) La figure ci-dessous représente un cône, avec O’A’= 12 ; OS=
36 ; SO’= 21,6 ;
(O’A’)// (OA).
56
EPREUVE N°6 : BEPC 2016 (2nd tour)
Première partie : (10 points)
Dans cette partie, toutes les questions sont indépendantes.
√¿ W √¿ W
1) Simplifier l’écriture du nombre réel A= √ƒ √ƒ
. (1 pt)
q. (1 pt)
57
B (5 ; -4). Calculer les coordonnées du point A. (1 pt)
la droite (∆) passant par A(-3 ;2) et de vecteur directeur &G ƒ®J
. (1 pt)
10) Soient (D1) et (D2) les droites d’équations (D1) : −3 + 2( −
5 = 0 et
58
Exercice 2 (2 points)
Les notes obtenues par des candidats à l’issue d’un test de recrutement
pour complément d’effectif dans un lycée ont été réparties selon le
tableau ci-dessous.
Effectif 10 20 8 2
Exercice 3 (5 points)
59
EPREUVE N°7 : BEPC 2018
PREMIERE PARTIE : (10 points)
Dans cette partie toutes les questions sont indépendantes.
60
5) Les deux cônes de rayon KA et IB sont opposés par le sommet. Les
droites (BI) et (KA) sont parallèles.
II. 1) Dans chacun des cas suivants, représenter sur une droite graduée
l’ensemble des réels x tels que :
61
3) Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, , ,on donne A(2 ;-3)
et B(-1 ;5).
Déterminer un vecteur directeur de la droite passant par A et B. (1 pt)
Tranche [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20[ [20 ;24[
horaire
Fréquence
cumulée
croissante
62
DEUXIEME PARTIE : (10 points)
Dans cette partie, I et II sont indépendantes.
II. Soient £ = W
−9+ + 3 1 − 4 8: § = 2 −1 3 +2 .
b) Montrer que « =
ƒ
W Œ
sur Dq. (1 pt)
W
ƒ
4) Quel est l’antécédent de par q ? (0.5 pt)
63
5) Epreuve N°8 : BEPC 2019, premier tour
64
II
ƒ ® ¬
W ƒ
1) Résoudre dans IR, l’équation =
(1 pt)
65
9) La figure ci-dessous est la représentation graphique d’une
application linéaire f dans le plan muni d’un repère orthonormal
(O, , ), unité 1cm.
66
1) Reproduire et compléter le tableau suivant : (3,5 pts)
Durée de [0 ;10[ [10 ;20[ [20 ;30[ [30 ;40[ [40 ;50[
vie
Effectif
Fréquence
Fréquence
cumulée
croissante
Centres des
classes
67
Epreuve N° 9
Première partie (10 points)
II)
1) Dans le plan muni d’un repère orthonormal (O, , ), on donne
®
A(4 ;2) et C(W ;4).
68
4) MNP est un triangle rectangle en N, de hauteur {NH]. On donne
MH= 7 et HP= 9.
Calculer NH. (1 pt)
5) Soit le polynôme h défini dans IR par ℎ = 7 +1 3 −2 −
9 W + 4.
Ecrire h(x) sous forme d’un produit de deux facteurs du premier degré. (1
pt)
Œ® Œ W
6) X et y sont deux nombres réels tels que 3< x< W
et ƒ <y< ®.
69
Deuxième partie (10 points)
I (5points)
W ƒ ®
On considère la fonction rationnelle K définie par k(x)= ¬ - Ð
.
1) Montrer que 4 W
− 9 = −2 + 3 −2 − 3 . (0,5 pt)
70
Epreuve N°10
Première partie (10 points)
J=] -1 ;10]. Représenter sur une droite graduée, l’intervalle I∩J. (1pt)
71
4) Pousbila et M’baboanga, deux élèves du CE2 ont des crayons de
couleurs. Pousbila dit à M’baboanga : « Si tu me prends un crayon
de couleur, j’aurai le même nombre de crayons de couleurs que toi.
Mais, si je te prends un crayon de couleur, j’aurai deux fois le
nombre de crayons de couleurs qui te reste. » En désignant par x le
nombre de crayons de couleurs que possède Pousbila et par y le
nombre de crayons de couleurs que possède M’baboanga, traduire
par un système de deux équations du premier degré à deux
inconnues les propos de Pousbila. (2pts)
72
Deuxième partie(10points)
73
III Une société d’électricité propose à ses clients deux systèmes de
facturation mensuelle.
Système 1 : Le client paye une prime fixe de 2500F et 90F pour chaque
KWh consommé.
Système 2 : Le client paye uniquement 95F pour chaque Kwh consommé.
Soient x, le nombre de Kwh consommés ; h, l’application qui donne le
montant à payer dans le système1 et k, l’application qui donne le montant
à payer dans le système 2.
1) Exprimer h(x) et k(x) en fonction de x. (2pts)
2) Si un client consomme 200 Kwh dans le mois, dans quel système paye-
t-il le montant le moins élevé ? (1pt)
3) Pour quelle valeur de x un client paye le même montant dans les deux
systèmes ? (1pt)
74
CORRIGES
CORRIGES
75
CORRIGES DES EPREUVES DE MATHEMATIQUES
EXAMEN DU BEPC BURKINA FASO
SESSION DE 2017 Unité-Progrès-justice
1) £ = 4 ƒ+5 ¬+3−2
= 4 ƒ + 5 ¬ − 2 + 3 0,5D:
2) § = |−3 + 6|
|−3 + 6| = −3 + 6 ?@ − 3 + 6 ≥ 0 ; ≤ 2
|−3 + 6| = − −3 + 6 ?@ − 3 + 6 ≥ 0 ; ≤ 2
§ = −3 + 6 ?@ S−∞; 2S (1pt)
6) Ós × a = Ó × Óa
Ô‡×ÔÕ ¸×Â
Ós = Õ‡
= ŒÒ
= 48 (1pt)
76
7)
P0 ; 10P P10 ; 20P P20 ; 30P P30 ; 40P P40 ; 50P P50 ; 60P
Age (en
année)
Effectif 80 40 10 30 15 25
Fréquen
40% 20% 5% 15% 7,5% 12,5%
ce en %
(0,25pt) x 6 = (1,5pt)
8) « = =
W ® W ® W ®
W ® ƒ ƒ
(0,5pt)
2 +5 5
« = F B? « = ℝ/ À−3; Ø
+3 2
77
Deuxième Partie : (10 points)
Exercice 1 : (5points)
1)
Nombre
5 10 20 30
de séances
Coût de la
300 6000 12000 18000
formule A
Coût de la
5250 7000 10500 14000
formule B
3)
4) = =1
Au bout de 14 séances les coûts sont les mêmes (1pt)
78
Exercice 2
1)
2) QR Ú Q© ↔ QR Ú Q©
QRG ¬ŒJ Ú Q©GW̧J ↔ + + (( + = 1 × 8 + 2 × 4 = 0 donc QR Ú
Q© (1pt)
† Û ƒ Â ƒ
L= = =W
W W
3)
3
L ; 1 0,5D:
2
(R + (© 0 + 2
(L = = =1
2 2
79
EXAMEN DU BEPC BURKINA FASO
SESSION DE 2015 Unité-Progrès-justice
® W W®
LÜ W + ÜaW = + 6W = + 36
W ¬
ŒÂÐ
LÜ W + ÜaW = ¬
= 42,25
80
3. Déterminons un encadrement de côté de cette parcelle.
On sait que N = × ↔ 400 < N < 900 ; N= ²
A B
x 0 -1
Y ½ 0
Œ
On a − 2( = 0 ↔ −2( = −1 − ↔ ( = W
81
5. Calculons l’image de -2 par q
ℝ ƒ Œ
« = ;« =
-
½
Æ Ç W ®
-
W - ƒ W Œ ¬  Œ
« −2 = W ®
↔ « −2 =
¬ ®
↔ « −2 = 11
‹ 75° car la translation de vecteur & conserve les angles et les distances
8.
±’´’O’
9. Comparons h (-3) et h(-7) avec h une application affine de IR x IR et
décroissante.
On sait que −3 > −7 8: ℎ Fé9;E@?? B:8 FEB9 ℎ −3 < ℎ −7
‹ =√
10. Calculons la distance OB sachant que : B K
ƒ
ƒ
K
‹ =
↔: BK ‹
↔ K = K × : BK
K
82
√3
↔K =3×3 ↔ K = √3
3
¶ ¶
11. Complétons les égalités suivantes ¶• = ¶Õ = •Õ
Deuxième partie :
− + 0 = −20
On a + ( = 30 ↔ 20 + ( = 30 ↔ ( = 30 − 2 ↔ ( = 10
L’ouvrier a travaillé 20 jours dans le 1er site et 10 jours dans le 2ème site.
83
1. Développons, réduisons et ordonnons f(x)
£ = 3 −2 W−4 W−5 +1
£ =9 W
−6 −6 +4−4 W
+ 20 − 4
£ =9 W
− 12 − 4 W
+ 20
£ =5 W
+8
↔ 5 +8 =0 ↔ = 0 E& 5 + 8 = 0
8 8
↔ = 0 E& =− Nℝ = À− ; 0Ø
5 5
® - ¸
3. On pose § =
W
a) Déterminons l’ensemble de définition Dg de g, g existe si et seulement
si 2 − ≠ 0
5 +8 5 +8
§ = 89 § =
2− 2−
84
d) Résolvons dans ℝ; l+ inéquation § ≥0
5 +8
§ ≥0 ↔ ≥0
2−
Tableau de Signes
8
−∞ − 2 +∞
5
x
5x+8 - + +
2-x + + -
5 +8
2−
- - +
¸
Nℝ = Å− ® ; 2Å
85
EXAMEN DU BEPC BURKINA FASO
SESSION DE 2014 Unité-Progrès-justice
-3 -2 -1 0 1 2 x
-1
-2
86
6. Les bonnes réponses sont : b) et e) (1pt)
87
II. 1) Figure
y
C
6
B
2
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
A
-1
-2
-3
2. Distances :
88
EXAMEN DU BEPC BURKINA FASO
SESSION DE 2013 Unité-Progrès-justice
1. a. ; d. 0,5+0,5 pt
2. Factorisation de f(x)
On a : £ =3 W
+ 2 √3 + 1 (1pt)
= G√3 + 1J
3. Factorisation de g(x)
On a : § = −1 W
+3 +3 −1 − −2 −1
= −1 P −1 +3 +3 − − 2 S.
= −1 −1+3 +9− +2
= − 1 3 + 10
2 +( =5
Q À
− 3( = 6
4. Résolution graphique de :
89
1 ∩ 2 = mLn. Les coordonnées de M constituent l’ensemble
solution S du système.
N = m 3 ; −1 n
5. Sens de variation de h.
5
ℎ = G1 − √2J +
3
6. Comparaison de a et b
W
On a : W
= G3√5J = 45
W
W
= G2√11J = 44
↔ >
90
7. a) Sinus de BÂC
‡
On a : sin  = ‡
18 4
E& E& 0,8
10 5
1. Mesure de EĈF
EÔF est l’angle au centre associé à l’angle inscrit EĈF, donc on a
EÔF = 2 EĈF d’où
ÂÒ°
= 30°
W
EĈF =
Mesure de BFC
91
donc ils sont égaux.
3. Longueur du segment P S
‡
On a : Cos BÂC =
√3
↔ =
2 8
8 × √3
↔ =
2
↔ = 4√3
4. Longueur du segment P S
ABC étant un triangle rectangle en C, on a d’après le
théorème de pytgagore
↔ W
= 64 − 48
↔ W
= 16
↔ W
= √16 c-à-d BC = 4
92
II/
6 + ( > 12 (>6
À ↔ À ↔ 6 < ( < 10
30 + 6( < 90 ( < 10
93
EXAMEN DU BEPC BURKINA FASO
SESSION DE 2012 Unité-Progrès-justice
3x-y=-1
En multipliant la première équation du système par 3,
2x+3y=5
on a 9x-3y=-3
2x+3y=5
III. Expression de f.
1
f(-6)= 3 signifie -6a = 3 et donc a=- 1 ; d’où f(x) =ax=. - 2 x
2
94
IV. 1. Distance BC
SinA ° = BC = 6× 1 = 3
BC=AC×SinA
AC ce qui donne 2 .
BC = 3cm.
2. Distance AD
D’après le théorème de Pythagore,
AD2 = AC2 + CD2= 36 + 9=45.
D’où AD= 45=3 5 .
( 3 −1) = = 4 -2 3
2
V. 1.
( 3 − 1) = 3 -2 3 +1 = 4 - 2
2
3
2. Ecriture simplifiée de A
( )
2
4−2 3 = 3 −1 = 3 −1 = 3 −1
A=
A = -1 + 3.
95
SO×O'A' 36 × 12
= = 20
SO' 21, 6 .
OA = 20.
X. 1. Représentation graphique de ( D1 )
96
y
6
5 (D2)
(D1)
4
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
XI. Calcul de k.
AN 2 4
k= = =
AM 3 3
2 .
97
I. 1. Mise en système d’équations
15x+20y=6000000
35x+30y=11500000
2. Détermination de x et y
La résolution du système ci-dessus donne : x = 200 000 et y =
150 000.
Conclusion : le prix d’une tonne de mil est de 200 000F et
celui d’une tonne de maïs est de 150 000F.
II. 1. Figure
y
B
6
C
4
3 A
1 D
o 2 4 6 8
98
uuur uuur
2. Calcul des coordonnées de vecteurs AB et DC
uuur 5 − 2 uuu
r uuur 7 − 4
AB 3 DC
uuur 3
AB ; soit soit DC
6−3 3 4 −1
. 3 ; .
uuur uuur
Donc AB = DC ; par suite ABCD est un parallélogramme.
3. Calcul de AC et BD.
(7 − 2) + ( 4 − 3 ) = 26
2 2
AC=
;
( 4 − 5) + (1 − 6 ) = 26
2 2
BD=
4. AC = BD
Donc ABCD est un parallélogramme dont les diagonales sont
de même longueur ; alors c’est un rectangle.
W
2) a =3 W
− 4 √3 + 4 = G√3 J − 2 × 2√3 + 2W = √3 − 2 W
3) 5 −2 − − 2 = 0 ?@§B@£@8 «&8 −2 5− =
0 ?@§B@£@8 «&8 − 2 = 0 E&
99
6) ABC est un triangle rectangle en B signifie que (AB) et (BC) sont
perpendiculaires : La symétrie centrale étant une isométrie, les images de
deux droites perpendiculaires sont deux droites perpendiculaires. On en
déduit que (A’B’) et (B’C’) sont perpendiculaires.
áç áç
7) On a : tan 60°=áT ?@§B@£@8 «&8 √3 = ƒ
?@§B@£@8 «&8 ´± = 3√3.
8: 'Ê)
® ƒ
¬
8) Soit A(x ;y). On a :
-
Œ Ð Ð
On a donc 5-x=-3 et -4-y=W signifie que x=8 et y= W d’où A(8 ; W
Les droites (D1) et (D2) ont la même pente donc elles sont parallèles.
Deuxième Partie.
Exercice 1
+ ( = 10
1) On a : À
7000 + 3000( = 58000
+ ( = 10
signifie que À
7 + 3( = 58
+ ( = 10 −3 − 3( = −30
2) À signifie que À
7 + 3( = 58 7 + 3( = 58
En additionnant membre
à membre les deux équations, on obtient : 4x=28 signifie que x=7.
100
En remplaçant x par sa valeur dans x+y=10, on obtient y=3
Exercice 2
2)
101
Exercice 3
1)
y E
D
3
A
1
B
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
-1
C
-2
-3
-4
102
4) a) Voir figure.
donc CE=3√10.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
II) 1) a)
b)
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1
4 −( =9 ( =4 −9 ƒ
2) À3 + 2( = 4 signifie que ¹ ƒ
( =2− W
on a donc 4x-9=2- W
103
3) est un vecteur directeur de (AB).
On a : G ®Œ ƒWJ ; G ¸ƒJ
4) a)
Tranche [0 ;4[ [4 ;8[ [8 ;12[ [12 ;16[ [16 ;20[ [20 ;24[
horaire
‡
On a : …
= †
. De plus les points A, C et E sont dans le même
ordre que les points A, B et F.
D’après la réciproque du théorème de Thalès, on en déduit que
les droites (BC) et (EF) sont parallèles.
104
Deuxième partie.
I)
1) AB=` 2 − 3 2 + 3 + 1 2 ; AB=√17; =
` −2 − 3 2 + 2 + 1 2 ; AC=√34
BC=` −2 − 2 2 + 2 − 3 2 ; BC=√17
On a L W
ƒ
et G WW ƒWJ ; G ¬ŒJ
105
5) Voir figure : S=Partie du plan non hachurée +(BC)+(AD)
y
4
B
3
C
2
-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 x
-1
A
D
-2
-3
106
Corrigé : Epreuve N°8
Première partie.
I) 1) c) 2) b) 3) c)
ƒ ® ¬
=
W ƒ
II) 1) signifie que 3(3x-5)=2(4-x) signifie que 9x-15=8-2x
signifie que
Wƒ Wƒ
11x=23 signifie que x=ŒŒ . N = mŒŒn
2) MP=` −4 + 1 2 + −2 − 3 2 ; MP=√34
ƒ
3) f(x) existe si et seulement si (1+x)(2x-3)≠0 signifie que x≠-1 et x≠W
ƒ
Df= IR\Æ−1; WÇ
4)
I J
M 1 2 3 4
5) Sin BaœE=
… ¬ W√®
Õ
= Wè =
®
107
6) APQ est l’image de A’P’Q’ par une isométrie. D’après la propriété :
l’image par une isométrie d’une surface est une surface de même aire,
on en déduit donc que l’aire de A’P’Q’ est 14cm2.
108
Deuxième partie.
I) 1)
Durée de [0 ;10[ [10 ;20[ [20 ;30[ [30 ;40[ [40 ;50[
vie
Effectif 60 30 40 50 20
Centre de 5 15 25 35 45
classes
109
II) 1) a)
5y
C'
4
A
2
B C
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x
-1
-2
-3
-4
on a : L Œ
W
et G ÒW WŒJ ; G ƒWJ. L colinéaire à signifie que
-2(x-1) +3(y-2) =0 signifie que -2x+2+3y-6=0 signifie que -2x+3y-4=0.
On a donc (∆) : -2x+3y-4=0
110
= ′ signifie que -3=x-1 et 2=y-2 signifie que x=-2 et y=4.
111
Corrigé : Epreuve N°9
Première partie
I) 1) d) 2) b) 3) b)
1) AC=] − 4 2 + 4 − 2 2 ; AC=] + =] =
® ŒWŒ ŒÂ Œƒ¿ √Œƒ¿
W ¬ ¬ ¬ W
II)
2) DL+LR=|−1 − | + |2 + 1| = |−1 − | + 3 = | + 1| + 3.
ŒW® W® ŒW® W®
3) AB2=25 ; BC2= ¬
; CA2= ¬ . ¬
= 25 + ¬
donc BC2=AB2+CA2.
8) tan AaœC=
‡ Ð ƒ
= ŒW = ¬.
Õ
112
Deuxième partie
I) 1) 4x2-9=(2x)2-(3)2=(2x-3)(2x+3)=-(2x-3)(-2x-3)=(-2x+3)(-2x-3)
2) K(x) existe si et seulement si 4x2-9≠0 signifie que (-2x+3)(-2x-3)≠0
ƒ ƒ ƒ ƒ
signifie que x≠W et x≠ W . Dk=IR\{ W ; W}
3) Pour x ∈ Dk , K(x)=
W ƒ ® ® ® ® ®
= = = =
W ƒ W ƒ W ƒ W ƒ W ƒ W ƒ
W ® W ® ¿
4) a) K(-2)= W = =
W ƒ ¬ ƒ Œ
=-7
®
b) W ƒ
=3 signifie que –x+5=3(2x+3) signifie que –x+5=6x+9
signifie que
¬ ¬
-7x=4 signifie que x= ¿ . L’antécédent du réel 3 est ¿
.
X -∞
+∞
ƒ
W
5
-x+5 + + −
2x+3 − + +
− +5 − ⎸+ −
2 +3 ⎸
ƒ
S=]-∞ ; W [∪[5 ;+∞[
113
II) 1)
X Y
-1 0
1 1
y
4
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x
-1
-2
-3
114
3) B ∈ (D) signifie que -2-2y-1=0 signifie que -2y=3 signifie que y= W
ƒ
4) a) R= W . On a : AB=] −2 − 3 2 + 1 2 = ]25 +
ƒ W®
−
W ¬
AB= ]
ŒW® ®√® ®√® Œ ®√®
¬
= W d’où R= W W ¬
×=
115
Corrigé : Epreuve N°10
Première partie
I) 1) c) 2) c) 3) c)
ƒÒ √Œ¸ √WÒÒ ®√W ƒ√W ŒÒ√W ŒW√W
1) A=√
√¸ √W
= W =12
W`W √W √
II) =
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
116
5) On a : GÒŒ ŒWJ ; G ŒŒJ 8: G ¬ƒ WŒJ ; G WWJ
On a : = −2 FEB9 8:
sont colinéaires et les points A, B et C
sont alignés.
6) P(x)=(5x-6)(-1+2x)+(2x+3)2=-5x+10x2+6-12x+4x2-12x+9
P(x)=15-29x+14x2
7) [AC] est une diagonale du rectangle ABCD. On a donc :
Deuxième partie
I) 1) Le triangle COE est isocèle en O car OE=OC=rayon du cercle
donc
CQœ O=O9̂E=30° et CKœE=120°
117
D’après la propriété : Tout triangle AMB inscrit dans un demi-
cercle de diamètre
II) 1)
ƒ
X
W
−∞
+∞
ƒ
−2 + 2 ?@ ≤W
On a : g(x)=Ý ƒ
2 − 4 ?@ ≥
donc g est une application affine
W
par intervalles.
2)
118
y
6
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 x
-1
-2
-3
III)
1) h(x) =90x+2500. K(x)=95x
2) h(200)= 90×200+2500=18000+2500=20500
k(200)=95×200=19000
Le client paye donc le montant le moins élevé dans le système 2.
Le client paye le même montant dans les deux systèmes pour x=500.
119
Table des matières
PREFACE ........................................................................................................... 3
AVANT-PROPOS .............................................................................................. 4
RAPPEL DE COURS ........................................................................................ 6
CHAPITRE I : NOMBRES REELS ............................................................... 7
CHAPITRE II : MULTIPLICATION D’UN VECTEUR PAR UN NOMBRE
REEL ................................................................................................................ 8
CHAPITRE III : COORDONNEES D’UN VECTEUR ................................ 10
CHAPITRE IV : RACINE CARREE D’UN REEL POSITIF ....................... 11
CHAPITRE V : EQUATIONS - INEQUATIONS DANS IR ....................... 14
CHAPITRE VI : RAPPORT DE PROJECTION ........................................... 15
CHAPITRE VII : MONOMES -POLYNOMES........................................... 17
CHAPITRE VIII : THEOREME DE PYTHAGORE .................................... 18
CHAPITRE IX : FONCTIONS RATIONNELLES ....................................... 20
CHAPITRE X : THEOREME DE THALES ................................................. 21
CHAPITRE 11 : REPERE ORTHONORMAL- DISTANCE ....................... 22
CHAPITRE 12 : ANGLES INSCRITS .......................................................... 24
CHAPITRE 13 : DROITES-EQUATIONS DE DROITES ........................... 25
CHAPITRE 14 : RELATIONS TRIGONOMETRIQUES DANS LE
TRIANGLE RECTANGLE ........................................................................... 27
CHAPITRE 15 : SYSTEMES D’EQUATIONS-SYSTEMES
D’INEQUATIONS ........................................................................................ 29
CHAPITRE 16 : POSITIONS RELATIVES D’UNE DROITE ET D’UN
CERCLE ........................................................................................................ 30
CHAPITRE 17 : APPLICATIONS LINEAIRES - APPLICATIONS
AFFINES........................................................................................................ 31
CHAPITRE 18 : ISOMETRIES DU PLAN................................................... 34
120
CHAPITRE 19 : STATISTIQUES ................................................................ 35
CHAPITRE 20 : SOLIDES ............................................................................ 36
EPREUVES ...................................................................................................... 37
CORRIGES ...................................................................................................... 75
121