Faculté des Sciences Pharmaceutiques de Tours.

Laboratoire de Biophysique et Mathématiques

LES

MÉTHODES

D’OPTIMISATION

Cours et énoncés d’exercices

Mai 2009 Claude HOINARD

 Les méthodes d’optimisation

Sommaire
Introduction p1

Méthodes indirectes : les plans composites centrés p3

er ème
1 – Modèles mathématiques du 1 degré et 2 degré p4
2 – Plan composite centré dans le cas de 2 facteurs p5
 Plan d’expérience
 Estimation des paramètres du modèle
 Localisation de l’optimum de réponse
 Validation : expérience complémentaire
3 – Plan composite centré dans le cas de 3 facteurs p7
 Plan d’expérience
 Analyse et interprétation des résultats

Méthodes directes de localisation d’un optimum p8

1 – La méthode « un seul facteur variable à la fois » p8
2 – La méthode du Simplex p9
 Principe général
 Le simplex à 2 variables
Simplex de départ
Règles d’évolution du simplex
Arrêt de la procédure
 Généralisation au cas de plus de 2 variables
3 – Une variante : le simplex modifié de Nelder et Mead p 15
4 – Optimisation dans le cas d’un seul facteur p 16
 La méthode Uniplex
 Exemple d’application

Enoncé des exercices p 19

Exercice n° 1 p 19
Exercice n° 2 p 21
 1

LES METHODES D’OPTIMISATION

Introduction
Soit un système (industriel, de laboratoire, économique, social, …etc.) dont l’état dépend de
variables opératoires, le terme optimisation désigne une action visant à trouver l’ensemble des
valeurs de ces variables opératoires qui entraîne un état souhaité pour le système.

Dans le domaine du laboratoire de contrôle, envisageons le cas d’une analyse par HPLC d’osides
dans des poches de nutrition. La colonne est du type échangeuse d’ions et la détection est effectuée
par la mesure de l’indice de réfraction. On sait que la réponse (la surface des pics) dépend du pH, de
la température et du temps de dégazage. Optimiser la sensibilité du système consiste à rechercher
les valeurs de ces 3 paramètres de façon à obtenir les surfaces de pics les plus grandes possibles.

Dans une unité de production, la qualité du produit fabriqué dépend des réglages de cette unité.
Optimiser consiste à trouver les valeurs des réglages pour obtenir la meilleure qualité , tout en
satisfaisant des contraintes telles que moindre coût de production, cadence suffisante, …etc. Dans la
pratique, il faut trouver une qualité acceptable sachant que la limite qui sépare l’acceptable de
l’inacceptable est la spécification.

Ces deux exemples sont destinés à illustrer la diversité des applications ; cependant, dans tout
problème d’optimisation il intervient toujours les concepts de variables opératoires et de réponse.

Les variables opératoires x (les facteurs) peuvent être de nature très diverses : le pH, la
température, la concentration d’un réactif, le débit d’introduction d’un constituant dans un réacteur,
…etc. Mais il est impératif que ces facteurs soient quantitatifs et que l’on puisse faire varier à volonté
leur valeur (dans des limites permises par l’expérimentation).

La réponse appelée fonction de réponse y peut par exemple être le rendement d’une réaction
(on recherchera alors un maximum), un critère de qualité comme par exemple la pureté d’un produit
(maximum), la résolution de pics chromatographiques (maximum), etc ; ce peut aussi être le coût
d’une opération (minimum) ; on utilise même parfois des fonctions objectifs qui font intervenir
plusieurs réponses. Dans tous les cas, il doit s’agir d’une grandeur quantitative. La dénomination
fonction de réponse indique que y doit dépendre de la valeur x des variables opératoires étudiées ; et
la dénomination fonction objectif rappelle que c’est cette variable qui est optimisée

remarquons aussi que la qualification « état souhaité pour le système » n’implique pas
nécessairement la recherche exacte d’un maximum ou d’un minimum : il est des cas où il suffit en
pratique que la réponse soit supérieure à une valeur donnée à l’avance, d’autres pour lesquels on
peut considérer que la réponse est satisfaisante si celle ci est inférieure à une valeur donnée à
l’avance. Le plus souvent cependant, il s’agit de trouver l’optimum vrai de la réponse, ce qui
correspond du point de vue mathématique à rechercher l’extremum (maximum ou minimum) d’une
fonction y de plusieurs variables :

y = f ( x1 , x2 , ....., xn )

Dans la pratique, le cas le plus simple est d’avoir à optimiser une réponse y vis à vis d’une seule
variable x ; le plus fréquent est celui où il intervient plusieurs variables opératoires, 2, 3, voire 4 ou 5.
 2
Les graphes ci dessous illustrent la façon dont les paramètres interviennent dans ces recherches
d’optimum.

Optimisation à une variable :

La réponse y est fonction d’une seule variable x et l’on
recherche la valeur xmax de x, comprise entre les limites
expérimentales xA et xB, qui rend la valeur de y
optimale, autrement dit ici ymax.

Optimisation à deux variables :

La fonction objectif y dépend de 2 variables x1 et x2 ;
elle est représentée sous forme de courbes de même
niveau de réponse, dites d’isoréponses. On recherche
alors les coordonnées x1max et x2max qui correspondent à
la valeur ymax optimale.

En ce qui concerne les techniques d’optimisation proprement dites, elles sont nombreuses .
Notons dès à présent que la démarche expérimentale intuitive qui consiste à ne faire varier qu’un
seul facteur à la fois, en maintenant tous les autres constants, puis à recommencer la procédure pour
chaque facteur en fixant au fur et à mesure chaque facteur à son meilleur niveau n’est pas une
méthode recommandable. Il existe des méthodes plus exactes, généralement plus rapides et moins
onéreuses que celle du « un seul facteur à la fois ».
Le principe commun à ces méthodes est de faire varier simultanément tous les facteurs
intervenant dans l’optimisation ; ces variations se font de façon raisonnée pour être efficaces dans la
recherche et en tenant compte d’une éventuelle interaction entre les facteurs.
Nous n’évoquerons dans ce document que les méthodes les plus classiques ; elles appartiennent
à deux catégories :

Les méthodes indirectes par les plans d’expériences

Elles ont des points communs avec celles déjà décrites à propos de la recherche des facteurs
er
agissant sur une réponse - plans factoriels du 1 degré - mais elles en diffèrent dans la mesure
où le modèle, posé à priori, est ici au minimum une fonction du 2ème degré pour pouvoir restituer
un maximum ou un minimum.
Il s’agit de méthodes qualifiées d’indirectes dans la mesure où les résultats de l’expérimentation
permettront de calculer l’estimation de l’équation du modèle et où l’optimum se déduira ensuite
par dérivation de cette équation pour trouver les valeurs x des niveaux des facteurs conduisant à
l’extremum.
Parmi les divers plans d’expériences proposés pour cette détermination, nous ne détaillerons
qu’un seul type de plan : les plans composites centrés .

Les méthodes directes de localisation d’un optimum.

Il existe aussi des méthodes ne nécessitant aucune représentation mathématique du phénomène
(donc pas de modèle à poser a priori) et qui permettent une progression rapide et efficace vers
l’optimum au moyen d’un algorithme itératif : il s’agit de la méthode du simplex et de ses
variantes.
Les deux stratégies (méthodes directes et indirectes) sont complètement différentes dans leurs
principes et il est important de souligner qu’une méthode directe vise seulement à connaître les
conditions optimales de fonctionnement alors que la méthode des plans composites centrés apporte
plus d’information dans la mesure où il est possible de déterminer les courbes d’isoréponses et donc
de pouvoir prévoir la réponse pour des valeurs données des facteurs autour de l’extremum.
 3

METHODES INDIRECTES ; les plans composites

centrés

La caractéristique commune à toutes ces méthodes est qu’il est nécessaire de rechercher une
relation satisfaisante entre les variables x (les facteurs quantitatifs étudiés) et la réponse y qu’on
souhaite optimiser.

Quand on ignore tout de la région expérimentale où se situe l’optimum de y, l’expérience se

réalise en plusieurs phases.
1. On effectue d’abord un plan factoriel complet (ou fractionnaire) pour savoir quels sont les
facteurs et interactions qui ont réellement une action sur la réponse. Les résultats permettent de
construire une équation qui permet de prédire la réponse en fonction de la valeur des facteurs
er
(modèle du 1 degré). Cette équation est aussi capable de fournir une indication sur la direction
vers laquelle se situe l’optimum (méthode de la ligne de plus grande pente).
2. On réalise ensuite des expériences sur cette direction jusqu’à ce que la réponse y ne soit plus
améliorée.
3. Enfin, à partir du meilleur point de cette droite de la plus grande pente, on s’efforce de mieux
cerner l’optimum en réalisant un nouveau plan dont le domaine expérimental doit contenir
l’optimum et spécialement conçu pour cette localisation ; il existe plusieurs possibilités de plans
et nous n’étudierons que les plans les plus fréquemment utilisés, c’est à dire les plans composites
centrés.

Le schéma ci dessous illustre les étapes de cette démarche de recherche d’optimum dans le cas
de 2 facteurs quantitatifs x1 et x2. Les isoréponses y figurent en pointillés.

Cheminement vers l’optimum

Le plan factoriel 22 initial correspond aux 4 essais

1, 2, 3 et 4.
Les essais 5, 6, 7, 8, 9, 10 et 11 sont des points
expérimentés sur la ligne de plus grande pente.
Les essais numérotés de 12 à 20 sont ceux du plan
composite centré pour localiser plus précisément le
maximum. Le point 16 est le centre du domaine
expérimenté et il lui correspond plusieurs
répétitions.

La ligne de plus grande pente indique le chemin le plus rapide pour progresser vers l’optimum.
er
L’équation de cette ligne se détermine à partir de l’équation du 1 degré du plan factoriel initial : on
peut montrer qu’il s’agit d’une droite lorsqu’il y a absence d’interaction entre les facteurs x et d’une
courbe dans le cas contraire.
er
Tant que le modèle du 1 degré est applicable, la ligne de plus grande pente est perpendiculaire au
réseau des courbes d’isoréponses. Au voisinage de l’optimum, l’équation du 1er degré n’est plus
valable et la ligne de plus grande pente perd sa propriété ; la localisation de l’optimum nécessite une
autre démarche expérimentale, d’où l’établissement d’un nouveau plan.

Il arrive aussi, en pratique, que l’on ait des idées sur la région où se situe l’optimum dans l’espace
des variables x ; il suffit alors de réaliser directement un plan composite centré couvrant cette région,
 4
sans avoir à effectuer les essais de la ligne de plus grande pente. C’est ce que nous supposerons
dans la suite de cet exposé.

1 – Les modèles mathématiques du 1er degré et du 2ème degré

 Rappels sur le modèle du 1er degré
Les propriétés de ce modèle ont fait l’objet de développements lors de l’étude des plans factoriels
complets (cf. polycopié sur ce sujet)

Rappelons que dans le cas le plus simple, un plan factoriel comportant 2 facteurs notés 1 et 2, la
réponse estimée ŷ a pour expression :
yˆ yC a1 X1 a2 X 2 a12 X1 X 2

dans laquelle X1 et X 2 sont des valeurs des 2 facteurs centrés réduits (expérimentées pour –1 et
+1) ; les valeurs vraies correspondantes des facteurs sont x1 et x2 . Les paramètres a1 et a2 sont les
effets principaux des 2 facteurs ; a12 est l’effet d’interaction entre les 2 facteurs. Rappelons également
qu’on ne tient compte dans l’équation du modèle que des effets statistiquement significatifs. yC est la
réponse prédite au centre du dispositif expérimental : elle est numériquement égale à la moyenne
des 4 réponses mesurées du plan factoriel.

La validité de ce modèle est testée en effectuant des répétitions de la mesure de y au centre du

dispositif expérimental ( X1 0 et X 2 0 ) et en comparant la réponse moyenne y0 obtenue à la
valeur yC prédite par le modèle : si les 2 valeurs sont voisines (ne diffèrent pas significativement), le
modèle du 1er degré est acceptable. Dans le cas contraire, le modèle linéaire n’est pas capable
d’expliquer les différences de réponses et il faut rechercher un modèle plus complexe, du 2ème degré
par exemple.

 Le modèle du 2ème degré

Il s’écrit :
yˆ yC a1 X 1 a2 X 2 a12 X 1 X 2 a11 X 12 a22 X 22

Cette équation diffère de la précédente par l’existence de 2 termes du 2ème degré en X :

a11 et a22 sont les coefficients de ces termes pour les facteurs 1 et 2. Ces 2 termes du second degré
sont essentiels dans les problèmes d’optimisation car c’est grâce à leur présence que l’on pourra
calculer un maximum ou un minimum de la réponse y.

Une difficulté inhérente à l’utilisation du modèle du 2ème degré est que les estimations des
coefficients a1 et a11 , a2 et a22 ne peuvent pas être parfaitement indépendantes, contrairement aux
modèles du 1er degré pour les plans factoriels complets et fractionnaires, qui possèdent la propriété
d’orthogonalité. C’est la raison pour laquelle on trouve dans la littérature plusieurs types de plans
correspondant à des protocoles d’essais différents, par exemple les plans de Box.-Behnken. Les plus
utilisés sont cependant les plans composites centrés, conçus pour assurer une précision uniforme des
prévisions de réponse ŷ à l’intérieur du domaine expérimental exploré.

Ces plans composites centrés comprennent 3 catégories d’essais établis de telle sorte qu’à
chaque facteur, sont assignés 3 niveaux. On trouvera donc :
Les essais du plan factoriel (2n pour un plan complet ou 2n-k pour un plan fractionnaire)
Des essais dits « en étoile » par rapport aux essais précédents (en nombre égal à 2n)
Des essais au centre du domaine expérimental, dont le nombre de répétitions est fonction du
ème
nombre de facteurs étudiés, et qui constituent le 3 niveau de chaque facteur.

Du point de vue pratique de réalisation des essais, on effectue en premier les essais du plan
factoriel et une partie des essais au centre ; on analyse les résultats pour savoir si le modèle du 1er
 5
ème
degré est rejeté (au profit celui du 2 degré). Quand c’est le cas, on effectue ensuite, dans une
deuxième phase, les essais en étoile et le reste des essais au centre.

Dans la suite de cette étude, nous détaillerons ces plans dans le cas de l’optimisation pour 2 et 3
facteurs.

2 – Le plan composite centré dans le cas de 2 facteurs

 Plan d’expérience : les essais à réaliser.
X2
X1 X2
-1 -1
+1 -1 +1.414
-1 +1 +1
+1 +1
0 0
0 0 -1 +1 X1
0 0
0 0 -1.414 +1.414
0 0 -1
-1.414 0
+1.41 0
4 -1.414
0 -1.414
0 +1.414

Dans le schéma, on reconnaît les 4 essais du plan factoriel (cercles) ; il y a aussi 4 essais en
étoile : ils sont situés sur les 2 axes à une distance du centre égale à α = 1,414 en variable réduite.
Le plan comporte aussi 5 essais au centre du domaine expérimental (triangle).

Au total, ce plan nécessite 13 essais pour déterminer l’équation du modèle dont nous avons vu
qu’il comporte au maximum 6 paramètres ( yC , a1 , a2 , a11 , a22 , a12 ). Le nombre d’essais est donc
suffisant pour estimer convenablement ces paramètres.

 Estimation des paramètres du modèle

Contrairement au cas des plans factoriels classiques, les coefficients ne sont pas estimés
indépendamment les uns des autres et il ne faut donc pas utiliser la méthode de calcul de Yates
(utilisation de la fonction Somme-Prod de Excel) valable uniquement dans le cas de l’indépendance
parfaite des paramètres.
On utilise la régression linéaire multiple, méthode classique en statistique ; elle permet d’obtenir
les valeurs numériques des estimations de tous les coefficients du modèle.
Notons d’ailleurs que le nombre de réponses étant suffisant, cette technique permet de tester la
signification de chaque paramètre et ainsi de savoir s’il y a lieu de tenir compte de tous les termes du
modèle ou au contraire seulement d’une partie de ceux-ci ; Les termes dont on tient compte sont
évidemment ceux qui sont significatifs.

 Localisation de l’optimum de réponse

Lorsqu’on dispose de l’équation numérique du modèle, il est facile en la dérivant par rapport à X1
et par rapport à X2 d’obtenir les valeurs des facteurs centrés réduits qui donnent selon le cas un
maximum ou un minimum de la réponse y.

Cet extremum, déterminé par le calcul, doit se trouver à l’intérieur du domaine expérimental
exploré (soit entre –1,414 et +1,414 pour X1 et X2 ) ; le modèle n’est en effet valable que dans ce
domaine et il est très hasardeux de vouloir extrapoler à l’extérieur. Lorsque l’optimum calculé ne se
situe pas à l’intérieur, il faut faire une autre expérimentation … en espérant que dans cette nouvelle
expérimentation l’optimum de y sera à l’intérieur du nouveau domaine.
 6
On conçoit donc qu’il faut être très attentif, lors de la phase de prévision des essais, à ce que le
domaine de variation de chaque facteur en valeur vraie et évidemment pas en valeur réduite, soit
suffisamment grand pour couvrir l’extremum.
 7

Il est intéressant de visualiser les résultats au moyen de 2 types de représentation graphique :

Diagramme de surface de
100
réponse.
90
Il nécessite un logiciel avec
80
graphisme 3D.
On voit ici que la réponse
réponse y 70
passe par un maximum, mais
60 ce graphe de présentation est
difficile à exploiter de façon
50 S29
S22 précise.
40 S15 pH
1
3

S8
5
7
9
11
13
15
17
19
21
23

S1
25
27
29

température
31
33

Diagramme des courbes

S31
d’isoréponses.
S26
Il s’agit de la projection du
S21
graphe précédent sur le
plancher (vue de dessus).
pH
S16 Ce graphe présente
l’avantage de bien localiser la
S11
région du maximum en
S6
valeurs des facteurs et les
courbes de niveau permettent
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33
S1 de voir si l’optimum est
température pointu ou plat.

 Validation : expérience complémentaire

Remarquons que par cette méthode, la prédiction d’un optimum est mathématique … Il est donc
impératif de valider le résultat en réalisant un essai complémentaire en choisissant comme niveau de
chaque facteur, celui qui vient d’être déterminé pour l’optimum. La réponse mesurée doit
correspondre à celle qui est prévue par l’équation du modèle.

 Exercice n°1
Il s’agit d’étudier la variation de stabilité d’une émulsion obtenue avec un broyeur colloïdal en
fonction de la largeur de l’entrefer et de la vitesse du rotor.
 8

3 – Le plan composite centré dans le cas de 3 facteurs

La démarche est similaire à celle de l’optimisation avec 2 facteurs ; les particularités résident dans
l’écriture du modèle et dans le plan expérimental (nombre d’essais et éloignement du centre des
essais en étoile).

 Le modèle
Il s’écrit :
yˆ yC a1 X 1 a2 X 2 a3 X 3 a11 X 12 a22 X 22 a33 X 32 a12 X 1 X 2 a13 X 1 X 3 a23 X 2 X 3

On notera que dans cette équation, il n’est tenu compte que des effets des facteurs et des
ème ème
interactions de 2 ordre (l’interaction a123 de 3 ordre est négligée). Ce modèle comporte donc
10 paramètres à déterminer ( yC , a1 , a2 , a3 , a11, a22 , a33 , a12 , a13 , a23 ).

 Le plan d’essais

X1 X2 X3
-1 -1 -1
+1 -1 -1
-1 +1 -1
+1 +1 -1
-1 -1 +1
+1 -1 +1
-1 +1 +1
+1 +1 +1
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
-1.682 0 0
+1.682 0 0
0 -1.682 0
0 -1.682 0
0 0 -1.682
0 0 +1.682

Les essais du plan factorie l : il y en a 23 8 points (aux sommets du cube représenté ci-
dessus).
Les essais au centre du domaine expérimental : il faut 6 répétitions pour obtenir un plan dont
la précision des estimations de réponse sera à peu près constante à l’intérieur du domaine
exploré.
Les essais en étoile : il faut 6 points situés sur les 3 axes, un par face du cube, et qui sont
placés à la même distance de l’origine des axes égale à α = 1,682 en variable réduite.

Note : pour tous les plans composites centrés, la distance réduite par rapport à l’origine à laquelle se situent les
0,25
points en étoile dépend du nombre N F de points du plan factoriel : elle est égale à (N F ) .
0,25
Pour une optimisation avec 2 facteurs, (4) 1, 414 alors que pour 3 facteurs, (8)0,25 1,6818 . La formule
est généralisable au cas de plus de 3 facteurs.

Au total, il faut donc prévoir 20 essais pour une expérience d’optimisation comportant 3 facteurs.
Rappelons que l’équation du modèle ne fait intervenir au maximum que 10 paramètres.

 Analyse et interprétation
Quand les 20 réponses mesurées sont connues, il faut :

1. Calculer les coefficients du modèle par la méthode de régression linéaire multiple.

 9
2. Ne retenir dans l’équation numérique du modèle que les termes dont les coefficients
diffèrent significativement de 0.
3. Déterminer par calcul les valeurs des facteurs réduits qui rendent la réponse optimale à
l’aide de l’équation précédemment déterminée. Transformer ces valeurs réduites en valeurs
réelles.
4. Effectuer les représentations graphiques (courbes de niveaux)
5. Faire un ou plusieurs essais complémentaires pour valider les conclusions.

 Exercice n°2
Il s’agit de déterminer les conditions expérimentales (3 facteurs) d’une réaction chimique, pour
préparer un principe actif médicamenteux, assurant le rendement de réaction le plus élevé possible.

LES METHODES DIRECTES DE LOCALISATION

D’UN OPTIMUM

Dans ces méthodes, aucune connaissance sur la manière dont la réponse est reliée
mathématiquement aux variables facteurs n’est nécessaire. Le but est de trouver le moyen le plus
rapide pour se diriger vers l’optimum.
Elles sont donc particulièrement adaptées aux problèmes où on mesure une seule réponse et où
la relation entre la fonction objectif et les variables n’est pas un des objectifs, ce qui est le cas pour
une optimisation vraie.

1 – La méthode « un seul facteur variable à la fois »

Une des méthodes les plus anciennes est celle de Friedman et Savage. Elle consiste à faire
varier un facteur à la fois, à le fixer à sa valeur optimale puis à faire progresser les autres. Le
cheminement, pour 2 facteurs, est précisé sur la figure suivante.

On part de l’essai A, en effectuant des expériences à

X1 constant et en faisant varier X2, jusqu’à l’obtention
du maximum B sur la ligne AB. On fixe alors X2 à sa
valeur en B et on fait alors varier X1 jusqu’à
l’obtention du point C, maximum de la ligne BC. On
continue ensuite l’évolution selon un processus en
marches d’escalier (CD, DE) jusqu’à ce que la réponse
mesurée
y ne s’améliore plus.

Un inconvénient non négligeable de cette méthode est de réclamer un grand nombre d’essais car
avant de déterminer B, par exemple, il faut exécuter un certain nombre d’essais entre A et B et au
moins un au delà de B pour s’assurer que la réponse y ne croit plus. Il en de même pour déterminer
C, D, E. Un autre inconvénient, plus grave, est que le procédé peut se bloquer sur une des arêtes de
la fonction de réponse y comme c’est le cas sur la figure précédente (le maximum vrai est situé en M
et la méthode ne permet d’aller que jusqu’à E : les 2 droites perpendiculaires en E sont telles que la
plus grande réponse se situe en E !) ; cet inconvénient propre à la méthode de Friedman n’existe pas
dans les autres méthodes directes qui vont suivre. Cette technique n’est donc pas à conseiller.

Une version simplifiée de la méthode de Friedman, consistant à n’utiliser que 2 étapes (variation
de X2 à X1 constant, puis variation de X1 à X2 constant) conduit au point C du schéma : on constatera
que cette pratique ne permet pas de déterminer un optimum de réponse, mais seulement un point de
la ligne de plus grande pente. On peut montrer que c’est seulement dans le cas particulier où il n’y a
 10
pas d’interaction entre les 2 facteurs qu’il est possible d’atteindre le maximum vrai avec cette
technique.

2 – La méthode du Simplex
La méthode du simplex a été inventée par Spendley en 1962.
Contrairement à la méthode de Friedman, elle nécessite de faire varier simultanément tous
les facteurs agissant sur la réponse y .

Il s’agit d’une méthode itérative : les résultats sont exploités au fur et à mesure de leur obtention ;
ils servent à déterminer de nouvelles conditions expérimentales qui permettent de progresser dans la
recherche de l’optimum.

 Principe général
On effectue d’abord un petit nombre d’essais, correspondant à des niveaux différents des facteurs
étudiés. Pour k facteurs, on réalise k + 1 essais au départ.
On récolte donc k + 1 mesures de la réponse y à optimiser.
Pour faire progresser la recherche, on part du principe que l’optimum doit se trouver à l’opposé de
l’essai ayant donné le plus mauvais résultat. On calcule alors cette direction, puis on effectue un
essai complémentaire pour vérifier si l’hypothèse est exacte.
On recommence l’opération précédente en éliminant le plus mauvais des points restants … et
ainsi de suite jusqu’à ce que la réponse ne s’améliore plus.

 Le simplex à 2 variables
Dans ce cas, on étudie 2 facteurs quantitatifs x1 et x2 (k =2) agissant sur la réponse y.

Le simplex initial
On réalise donc au départ 3 essais dont les conditions expérimentales dépendent,
du niveau de départ des 2 facteurs variables, nous les noterons x10 et x20
du pas de variation de ces facteurs, notés x1 et x2 , choisis par l’expérimentateur pour
faire progresser ces variables.

Comme dans les plans factoriels, la méthode du simplex travaille en variables réduites ; entre les
2 types de variables il existe la relation :
x xinitial
X
x
La valeur réelle x d’un facteur se déduit donc de sa valeur réduite X par :
x xinitial X x
 11

Le simplex de départ, en variables réduites, est un triangle équilatéral orienté de telle sorte que
l’origine des axes soit confondue avec le point de départ et que le centre du simplex soit situé sur la
première bissectrice, ainsi que le montre la figure suivante.

Les côtés du triangle équilatéral sont égaux à 1,

et on a :
p = 0,966
q = 0,259

d’où le tableau

point X1 X2
O 0 0
B 0,259 0,966
C 0,966 0,259

Exemple de construction d’un simplex initial

Reprenons l’exercice n°2 concernant l’optimisation du rendement de la réaction chimique ; on
recherche les rapports molaires x1 et x3 (que nous appellerons désormais x2) qui donnent le meilleur
rendement.

On décide de partir de x10 0,25 et x20 0,25 avec des pas de variation x1 x2 0,40 .

Les conditions expérimentales des 3 essais sont déterminées à partir des relations :
x 0,25 x 0,25
0,966 et 0,259
0,40 0,40
On peut ainsi dresser le tableau des conditions expérimentales :

Rapport molaire
n° point x1 x2 Rendement
mesuré
0 0,250 0,250 32%
1 0,636 0,354 50%
2 0,354 0,636 57%

Les 3 expériences ont donné comme rendements les valeurs figurant dans la colonne de droite en
grisé ; on voit que le plus mauvais point est le point 0.

Règles d’évolution du simplex

Règle n°1 d’évolution du simplex

Le point le plus mauvais est remplacé par son symétrique
par rapport aux points restants.

Cette règle détermine un nouveau simplex [1, 2, 3] et il faut calculer les conditions expérimentales
correspondant au nouveau point, noté 3.
 12

Pour trouver les coordonnées réduites de ce point

(3) symétrique du point (0), il suffit de calculer la
moyenne des coordonnées des points 1 et 2 et de
doubler ces coordonnées.

Les valeurs réelles x des rapports molaires

s’obtiennent en appliquant la formule de
transformation déjà vue :
0,25 + (0,40*1,225) = 0,74

Le tableau est le suivant :

Valeur réduite Rapport molaire

n° point X1 X2 x1 x2 rendement
1 0,966 0,259 50%
2 0,259 0,966 57%
Moyenne (G) 0,612 0,612
3 1,225 1,225 0,74 0,74 73%

Le rendement mesuré pour le point 3 étant égal à 73%, le plus mauvais point de ce simplex [1, 2,
3] est le point 1.

L’application de la règle 1 conduit à calculer le symétrique de ce point 1, que nous appellerons

point 4. Les valeurs réduites correspondant à ce point s’obtiennent en calculant les coordonnées du
point moyen G des points restants 2 et 3 ; les coordonnées X du point 4 s’en déduisent par la
relation :
X (4) 2 X (G) X (1)

Le tableau suivant résume ces calculs :

Valeur réduite Rapport molaire

n° point X1 X2 x1 x2 rendement
1 0,966 0,259
2 0,259 0,966 57%
3 1,225 1,225 73%
Moyenne (G) 0,742 1,095
4 0,518 1,932 0,457 1,023 63%

Le nouveau simplex à considérer est [2, 3, 4]. La règle précédente conduit à éliminer le point 2 qui
est le plus mauvais point. La procédure d’évolution continue…

Le tableau suivant résume les caractéristiques de l’évolution de cette procédure d’évolution du

simplex jusqu’au point 7.
ère
Dans la 1 colonne du tableau indiquant le numéro du point, nous avons mis entre parenthèses le point remplacé du simplex
précédent.

Valeur réduite Rapport molaire

n° point X1 X2 x1 x2 rendement simplex
3 (0) 1,225 1,225 0,74 0,74 73% 1-2-3
4 (1) 0,518 1,932 0,46 1,02 63% 2-3-4
5 (2) 1,484 2,191 0,84 1,13 86% 3-4-5
6 (4) 2,191 1,484 1,13 0,84 75% 3-5-6
7 (3) 2,450 2,450 1,23 1,23 85% 5-6-7

Dans les 3 derniers simplex, le meilleur point est le numéro 5. On peut se demander si ce point
n’est pas artificiellement bon par suite d’une erreur de mesure !
 13
Spendley a prévu ce cas et établi la règle suivante :

Règle n°2 du simplex : élimination éventuelle d’un point

surestimé.

Lorsqu’un point apparaît dans k + 1 simplex successifs, il faut

refaire la mesure de ce point pour s’assurer que ce fait ne résulte
pas d’une erreur dans la détermination expérimentale de ce point
qui aurait pour effet de surestimer ce point.
Si ce point est confirmé par la nouvelle mesure, l’évolution
normale de la procédure est poursuivie.
Si au contraire, ce point correspond en réalité à une réponse plus
basse, il est éliminé dans un des simplex et la procédure normale
d’évolution est reprise.

Supposons que la 2ème mesure du point 5 ait à nouveau conduit à 86%. Ce point est confirmé et
dans le simplex [5, 6, 7] le plus mauvais point est le point 6. Son symétrique est le point 8 dont les
caractéristiques figurent dans le tableau ci après ; le rendement obtenu est 81%.

Mais dans le simplex [5, 7, 8], le plus mauvais point est le nouveau point : si on applique la règle 1
d’évolution, alors on revient au point 6 …, qui a déjà été expérimenté !. On notera cependant que le
point 8 est meilleur que le point 6 qu’il remplace.

Pour faire progresser la recherche de l’optimum, il faut alors appliquer une nouvelle règle de
progression.

Règle n°3 d’évolution du simplex

Lorsque le symétrique du plus mauvais point dans un simplex est à

son tour le plus mauvais point dans le simplex suivant,

On prend le symétrique du 2ème plus mauvais point.

remarque. Cette règle est également appliquée quand il existe des

contraintes expérimentales ; le calcul du point réfléchi peut en effet
conduire à des conditions irréalisables en pratique : une
concentration a une limite (solubilité), une température peut en
avoir une (décomposition du produit), …etc.

Cette règle 3 implique ici de choisir pour essai n°9 le symétrique du point 7, 2ème plus mauvais
point dans le simplex [5, 7, 8].
Le calcul du point 9 se fait par la méthode habituelle et conduit au tableau suivant :

Valeur réduite Rapport molaire

n° point X1 X2 x1 x2 rendement
7 2,450 2,450 85%
5 1,484 2,191 86%
8 1,743 3,157 0,95 1,51 81%
9 0,777 2,898 0,56 1,41 64%

Le nouveau rendement observé (64%) est plus mauvais que ceux des 3 essais précédents :
visiblement on s’éloigne de l’optimum.
 14
On peut remarquer que dans les dernières expériences, les simplex tournent autour du point 5,
point pivot, qui correspond au meilleur rendement obtenu. Il est clair, puisqu’il n’y a pas eu erreur de
mesure, que ce point est le plus proche de l’optimum.

Arrêt de la procédure
Avec 2 variables, la recherche est arrêtée lorsqu’on retombe sur un simplex déjà connu ; c’est le
cas ici puisque le symétrique du point 9 du simplex [5, 8, 9] est le point 7 déjà expérimenté et que si
on choisit le 2ème plus mauvais point (8) on retombe sur le point 4 lui aussi déjà expérimenté.
L’optimum se situe dans l’un de ces simplex.

Il est évident que la précision avec laquelle on détermine les conditions optimales dépend de la
taille du simplex initial (le pas).

Très souvent on ne cherche pas à préciser mieux la position de l’optimum, en particulier quand les
différences entre les réponses des points est inférieure à une certaine valeur fixée par
l’expérimentateur et liée à l’incertitude des mesures effectuées.
Dans notre exemple d’optimisation, on peut considérer que les rapports molaires x1 = 0,84 et x3 =
1,13 donnent le rendement maximum de 86%. Il a fallu 11 expériences pour le déterminer (10 pour le
simplex et 1 de confirmation).

Il est en revanche des cas où on a besoin d’affiner la recherche de l’optimum. On peut alors
construire un nouveau simplex partant du meilleur point (le point 5 dans l’exemple) et en choisissant
un pas x plus petit (par exemple 0,1 ou 0,2) afin d’avoir des simplex plus petits, ce qui permet de
mieux localiser l’optimum.

Un exemple d’une telle succession d’optimisations de la sensibilité d’un dosage

spectrophotomètrique est figuré ci dessous.

Une autre technique alternative, préconisée par Spendley consiste à utiliser les points du simplex
comme un plan d’expériences et, en ajoutant quelques points, à déterminer un modèle du 2ème degré
qui fournit la position de l’optimum par calcul.
 15

 Généralisation au cas de plus de 2 facteurs

La méthode est facile à généraliser dans le cas de plus de 2 facteurs à optimiser : les règles de
progression sont les mêmes, les calculs sont analogues à ceux vus à l’occasion de 2 facteurs.

Les principales différences sont les suivantes :

1. Dans le simplex de départ, il faire 4 expériences dans le cas de 3 facteurs, 5 si on veut optimiser
avec 4 facteurs, 6 pour 5 facteurs, … etc.

Cas d’un simplex avec 3 facteurs

Les points initiaux sont 0, 1 2 et 3, définis par :

p = 0,943
q = 0,236

2. Les valeurs de p et q à utiliser dépendent du nombre k de facteurs. Elles sont données par les
formules :
1
p ( k 1 k 1)
k 2
1
q ( k 1 1)
k 2
A titre d’exemple, pour k = 5 facteurs, les valeurs de p et q sont p = 0,912 et q = 0,206 ; les 6
essais du simplex initial ont pour coordonnées réduites :

point X1 X2 X3 X4 X5
0 0 0 0 0 0
1 0,912 0,205 0,205 0,205 0,205
2 0,205 0,912 0,205 0,205 0,205
3 0,205 0,205 0,912 0,205 0,205
4 0,205 0,205 0,205 0,912 0,205
5 0,205 0,205 0,205 0,205 0,912

3. Il n’est plus possible de suivre l’évolution vers l’optimum par une représentation graphique plane
comme pour un simplex à 2 facteurs.

Remarquons pour terminer que l’augmentation du nombre de facteurs entraîne une augmentation
du nombre d’essais pour établir le simplex initial. L’obtention de l’optimum n’est ensuite pas liée de
façon directe au nombre de facteurs ; toutefois il est quand même souhaitable de limiter le nombre de
ceux-ci.
 16

3 – Une variante : le simplex modifié de Nelder et Mead

De nombreuses améliorations ont été proposées pour obtenir une meilleure rapidité dans la
progression vers l’optimum et une meilleure efficacité dans la localisation de cet optimum.
La plus utilisée est celle décrite par Nelder et Mead (1965), appelée simplex modifié.

Dans cette méthode, il est utilisé un facteur d’expansion / compression, noté γ .

Dans la figure ci dessus, les 3 points d’un simplex sont appelés W, N et B :

W est le point donnant la plus mauvaise réponse (Worst)
N est le second plus mauvais point (Next worst)
B est le point donnant la meilleure réponse (Best)

G est le centre de gravité des points après élimination de W (dans la figure, c’est le milieu de NB car
il s’agit d’un simplex à 2 facteurs)
R est le point réfléchi, symétrique de W par rapport à G ; c’est ce point qui est calculé puis utilisé
dans la procédure normale du simplex [W, N, B].

C’est après mesure de la réponse yR en ce point R que la modification de la procédure classique

du simplex intervient : les coordonnées du nouveau point sont données par :
X X G γ( X G XW )
où γ est un nombre qui prend la valeur 2 pour une expansion et +0,5 ou –0,5 selon les cas pour une
contraction. Notons que la valeur γ 1 correspond au point R, c’est à dire au simplex classique.

L’algorithme de décision dépend des valeurs respectives des réponses yR , yB , yN , yW :

Si yR yB , alors l’essai suivant est le point E résultant de l’expansion (rappelons que B était
jusqu’à présent le meilleur point) et ses coordonnées s’écrivent : X E X G 2( X G X W ) . La
mesure de yE indique le chemin à suivre : le simplex suivant est [N, B, E] si yE yR et [N, B,
R] si yE yR

Si yR yN , cela indique que la direction R E n’est pas la bonne et l’essai suivant dépend de
la valeur de yR par rapport à yW .
Lorsque yR yW , on effectue une contraction du côté de R, le point suivant
est CR défini
par X CR X G 0,5( X G X W ) .

Lorsque yR yW , on effectue une contraction du côté de W, le point suivant

est CW défini par X CW X G 0,5( X G X W ) .

La réponse yCR ou yCW , que nous appellerons yC pour simplifier, est alors comparée à yW pour
déterminer le simplex suivant :
Si yC yW , alors le nouveau simplex est [N, B, C]
Si yC yW , alors on revient au simplex initial [W, N, B] et on prend le symétrique de
ème
N par rapport à WB selon la procédure normale du simplex (3 règle).

Le simplex modifié présente les avantages d’aller plus vite vers l’optimum grâce à l’expansion et de
mieux le localiser par suite des compressions.
 17

4 – Optimisation dans le cas d’un seul facteur : la méthode

Uniplex
Le problème de l’optimisation d’une réponse y fonction d’une seule variable facteur x a suscité de
nombreuses méthodes plus ou moins efficaces.
Citons, sans les détailler, la méthode du nombre d’or qui est adaptée à des facteurs à variation
continue (une température, une concentration, …etc.), la méthode de Fibonacci qui, elle, s’applique
bien aux facteurs quantitatifs ne pouvant prendre que des valeurs discrètes.
Ces méthodes consistent à explorer l’ensemble du domaine expérimental XAXB en réalisant des
mesures successives de y en différents points, dont la situation est caractéristique de la méthode puis
en comparant 2 réponses : on en déduit vers quelle zone il faut se déplacer pour progresser vers
l’optimum. Ces méthodes sont itératives : on recommence la comparaison de 2 mesures sur un
intervalle plus restreint jusqu’à ce que la réponse ne s’améliore plus.

A titre d’illustration, un exemple d’application de la méthode de Fibonacci est donné ci-après.

Un inconvénient commun à ces 2 méthodes est qu’une erreur expérimentale sur la mesure de y peut
inverser la direction supposée de l’optimum.

Dans le cas où l’on s’attend à une incertitude expérimentale assez grande, il est préférable
d’utiliser la méthode Uniplex proposée par King et Deming en 1974.

Il s’agit d’une adaptation de la méthode du simplex modifié.

On choisit au départ 2 valeurs de la variable facteur, définies comme dans la méthode du simplex
par une valeur de départ x0 et un pas de variation x ; on a donc x1 x0 x . Le simplex est dans
le cas d’un facteur un segment de droite dont la longueur en coordonnées réduites ( X 0 0 et X1 1 )
est égale à 1.

On mesure les 2 réponses y ( yW et yB ) , ce qui permet de classer les points en W (plus mauvaise
réponse) et B (meilleure réponse).

W B R E

x
Symétrique de
W par rapport à
B.

On remplace W par son symétrique R par rapport à B : on mesure alors la réponse yR .

 18
La suite des opérations dépend de la valeur de yR par rapport à yB .

1 – Si yR yB , on effectue une expansion dont le coefficient γ est en général pris égal à 2. On

obtient alors comme nouveau point à expérimenter, E, symétrique de B par rapport à R.
On mesure yE et on compare sa valeur à yR :

Lorsque yE yR , le simplex suivant est BE.

Lorsque yE yR , le simplex suivant est BR.

2 – Si yR yB , on effectue alors une contraction du simplex ; 2 cas sont possibles selon la valeur
de yR par rapport à yW .

Lorsque yR yW , la contraction se fait du côté de R ; on prend généralement γ 0,5

et on obtient le point CR .

W B CR R

x
La mesure yCR du nouveau point CR détermine le simplex suivant : il s’agit de BCR si
yC R yR et BR si yCR yR .

Lorsque yR yW , la contraction se fait du côté de W ; on obtient le point CW défini

par la relation BCW 0,5 BW .

W CW B R

La mesure yCW détermine le simplex suivant : il s’agit de BCW si yCW yW . Dans le

cas où yCW yW , il s’agit de WB qui est le simplex de départ : il faut alors refaire la
mesure du point B pour vérifier que la réponse yB n’est pas erronée.

La procédure Uniplex est arrêtée quand on considère que les réponses obtenues n’évoluent plus
aux erreurs expérimentales près.
 19

Exemple d’application
On se propose d’optimiser la fraction molaire x d’un constituant d’une réaction chimique pour
obtenir le rendement y (en %) le plus élevé.
On décide de partir de x0 0,25 avec un pas x 0, 40 . Le 2ème essai est donc caractérisé par
x1 0,65 .
Les rendements mesurés sont : y0 32% et y1 47% .

0 0,5 1 x

W B R
32% 47% 43%

Le point 1 étant le meilleur des 2 points (B), on calcule le symétrique du point 0 (W) par rapport à
B : on obtient le point R, dont la valeur du rapport molaire est xR 1,05 . Le rendement mesuré en ce
point est yR 43% .

Compte tenu de l’imprécision sur la mesure des rendements que l’expérimentateur estime à 2%,
la différence observée, 4%, est significative : le rendement en R est moins bon que celui en B, mais il
est meilleur que celui en W.

On effectue donc alors une contraction du côté de R, ce qui détermine un nouveau point CR
correspondant au rapport molaire xCR 0,85 . Le rendement mesuré en ce point est yCR 51% .

0 0,5 1 x

B CR R
47% 51% 43%

Ce rendement de 51% est significativement plus grand que celui en B ; il faut donc poursuivre les
expériences d’optimisation. Le simplex suivant est BCR .
Notons que le symétrique de B par rapport à CR a déjà été expérimenté : c’est le point R dont on
sait qu’il est moins bon que ceux en CR et en B. On effectue donc une contraction vers B, ce qui
détermine un nouveau point à expérimenter C'R caractérisé par une fraction molaire égale à
xC' 0,75 .
R

Le rendement mesuré est yC' 50% .

R

C’R
0 0,5 50% 1 x

B CR
47% 51%

La réponse en C'R ne diffère pas significativement de celle en CR puisque l’incertitude sur la

mesure des rendements est de 2% : on peut arrêter la procédure de localisation de l’optimum.
On considèrera que celui ci se situe entre x 0,75 et x 0,85 , le rendement atteint étant
approximativement de 50%.
 20

Exercices sur les méthodes d’optimisation

Exercice 1

Pour homogénéiser une émulsion, on utilise un broyeur colloïdal. Deux conditions opératoires sont
particulièrement importantes pour la stabilité des émulsions obtenues :
la largeur de l’entrefer (valeur habituelle 1.25mm)
-1
la vitesse du rotor (valeur habituelle 750 t.min )

La stabilité des émulsions est évaluée par un indice (exprimé en points de stabilité) traduisant les
résultats de la centrifugation des émulsions homogénéisées ; plus le nombre de points est important,
plus l’émulsion est stable. L’incertitude sur une mesure de stabilité correspond à un écart type de 3
points de stabilité, valeur calculée à partir d’un très grand nombre d’expériences antérieures.

Il est décidé d’effectuer une expérimentation factorielle pour voir comment varie la stabilité en
fonction de ces deux facteurs. Les variations autour des valeurs habituelles sont choisies égales à ±
0,54mm pour la largeur de l’entrefer et ± 107 t.min-1 pour la vitesse de rotation.

Les résultats sont les suivants :

n° essai A = entrefer (mm) B = vitesse (t / min) Y = stabilité

1 0,71 643 85
2 1,79 643 71
3 0,71 857 102
4 1,79 857 83

3 mesures ont aussi été effectuées au centre du domaine expérimental (les valeurs habituelles des 2
facteurs). Les résultats sont les suivants :

n° essai A = entrefer (mm) B = vitesse (t / min) Y = stabilité

5 1,25 750 72
6 1,25 750 75
7 1,25 750 71

1ère question
Calculer les effets du plan factoriel 22 ; déterminer les effets significatifs ; écrire l’équation du 1er
degré permettant de prévoir la stabilité en fonction de la largeur de l’entrefer et de la vitesse du
rotor.

Montrer que cette équation du 1er degré n’est pas valable.

 21
2ème question
A la suite de cette constatation, il est effectué 4 essais en étoile et 2 essais complémentaires au
centre pour avoir tous les essais d’un plan composite centré.

Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :

n° essai A = entrefer (mm) B = vitesse (t / min) Y = stabilité

8 1,25 750 76
9 1,25 750 70
10 0,50 750 103
11 2,00 750 74
12 1,25 600 78
13 1,25 900 95

Ecrire la matrice du modèle du 2ème degré en faisant intervenir les valeurs des facteurs centrés
réduits : ce tableau comprend 13 lignes et 6 colonnes (les colonnes X1, X2, X1*X2, X²1 et X²2 des
termes du modèle et une colonne y pour les réponses).

Effectuer la régression linéaire multiple (utiliser le menu outils / utilitaire d’analyse / régression
linéaire ). Demander l’option résidus normalisés.

Quels sont les termes significatifs dans l’équation du modèle, au risque 0,10 ?

Peut-on dire qu’il existe des résidus suspects ?

Quelle stabilité peut on attendre pour une largeur d’entrefer de 0,8 mm et une vitesse de 800
t/min ?

3ème question

Faire un tableau à double entrée comportant en lignes les valeurs centrées réduites d’entrefer, en
colonnes les valeurs centrées réduites de vitesses de rotation (on débutera à –1,4 et on finira à
+1,4 ; on prendra comme intervalle de variation 0,2 pour les 2 variables) comportant à l’intérieur
les réponses prédites.

Représenter graphiquement ces résultats en faisant apparaître les courbes isoréponses (graphe
de surface 3D). Peut-on dire quelles valeurs il faut donner à E et V pour avoir une stabilité
supérieure à 90 points ?
 22

Exercice 2
Une molécule appelée PA, est un principe actif médicamenteux très onéreux en raison du coût
élevé du réactif principal M1 qui permet de synthétiser PA ; dès lors on conçoit qu’il est important
d’optimiser le rendement de la réaction.

La synthèse de PA est effectuée en une étape par action d’un réactif M2 sur M1 en présence de
triéthanolamine (Et3N).
Le mode opératoire est le suivant : charge du réacteur avec la quantité nécessaire de M1, de
solvant (dichloroéthane) et de triéthanolamine.
Le réactif M2 est ensuite introduit, tout en maintenant la température à une valeur fixée 1.
Puis on élève la température à une valeur 2 et on laisse réagir un temps t.
La quantité de PA synthétisée est enfin extraite et le rendement déterminé.
Ce mode opératoire a été entièrement automatisé afin d’assurer une bonne reproductibilité entre
les essais.

Les données de la littérature indiquent que pour obtenir un bon rendement de réaction, la
température 2 de la réaction doit impérativement être fixée à 35°C ( à 2°C près) et que le temps de
réaction peut être quelconque à la condition de dépasser 1.5 heures.
Une étude préliminaire a confirmé ces affirmations ( 2=35°C et t=1.5h) et a permis de constater,
par ailleurs, que le rendement était influencé par 3 facteurs, à savoir :
x1 le rapport molaire Et3N / M1
x2 la température 1 à laquelle est introduit M2
x3 le rapport molaire M2 / M1

Il a donc été décidé d’effectuer une recherche du maximum de rendement de la réaction en

fonction de ces 3 facteurs au moyen d’un plan composite centré.
Les conditions expérimentales au centre du domaine exploré et le pas de variation sont donnés
dans le tableau ci dessous :

valeur au centre
facteur du domaine pas de
variation
x1 1 0.5
x2 15°C 8°C
x3 1 0.5

Le tableau suivant donne la matrice des expériences à réaliser dans un plan composite centré à 3
facteurs (les niveaux sont ceux des facteurs codés X1, X2 et X3, c’est à dire centrés et réduits ).

n° essai X1 X2 X3
1 -1 -1 -1
2 1 -1 -1
3 -1 1 -1
4 1 1 -1
5 -1 -1 1
6 1 -1 1
7 -1 1 1
8 1 1 1
9 -1.682 0 0
10 1.682 0 0
11 0 -1.682 0
12 0 1.682 0
13 0 0 -1.682
14 0 0 1.682
15 0 0 0
16 0 0 0
17 0 0 0
18 0 0 0
 23
19 0 0 0
20 0 0 0

1ère question

Construire sur Excel cette matrice d’expériences.

A partir de celle ci, calculer les conditions expérimentales réelles (nombre de moles de Et 3N, 1 et
nombre de moles de M2) pour les 20 essais sachant que dans chaque essai il est utilisé 0,25 mole de
M1.

2ème question
ème
Construire la matrice du modèle du 2 degré comprenant 9 colonnes dont les intitulés seront X1, X2,
X3, X1*X2, X1*X3, X2*X3, X²1, X²2 et X²3.
Note : il suffit de prendre 6 colonnes immédiatement à droite de la matrice d’expériences (X1, X2 et X3) et
d’effectuer les calculs indiqués par les intitulés.

3ème question

Les mesures de rendement, exprimés en %, ont donné les résultats suivants :

n° essai rendement n° essai rendement n° essai rendement n° essai rendement

1 23 6 85 11 75 16 89
2 31 7 69 12 87 17 83
3 25 8 63 13 3 18 85
4 7 9 71 14 97 19 83
5 67 10 3 15 85 20 83

a) - Construire une colonne intitulée « rendement mesuré » à droite de la matrice du modèle.

b) - Effectuer alors la régression linéaire multiple au moyen de l’utilitaire d’analyse situé en bas du
menu outil (la variable y est le rendement et les variables x sont constituées par les 9 colonnes
constituées à la 2ème question). On placera le rapport donné par Excel sur la même feuille en dessous
du tableau.

c) - On ne retiendra dans l’équation du modèle que les termes dont le coefficient présente un degré
de signification inférieur à 0.10 (10%).
Quelle est alors l’expression numérique de l’équation du modèle ?
Construire immédiatement à droite de la colonne « rendement mesuré » une colonne « rendement
estimé » dans laquelle on calculera les rendements des 20 essais au moyen de l’équation de ce
modèle.

4ème question
En dérivant l’équation du modèle par rapport à X1 puis par rapport à X3, trouver les valeurs de ces
variables qui rendent le rendement maximum.
Pour quels rapports molaires x1 et x3, l’optimum est il atteint et quel rendement peut on espérer ?

5ème question

Construire la surface de réponse représentant la variation de la fonction rendement = f ( x1, x3 ) en

utilisant une représentation graphique en 3 dimensions.

Construire sur le plan x 1, x3 les courbes d’iso-rendement.

Que peut on conclure concernant les conditions permettant l’optimisation du rendement de la
réaction ?