Trait Signal PDF

Introduction au traitement
numrique du signal
Vers son utilisation en arithmtique entire
Olivier Sentieys
sentieys@enssat.fr
ENSSAT Universite de Rennes 1
IRISA Equipe
de recherche R2 D 2
ENSSAT
ENSSAT
Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

du signal p. 1
Agenda
Introduction et classification des signaux
1. chantillonnage et reconstruction des signaux
2. Signaux temps discret
Quelques outils du traitement du signal
3. Transformation en Z
4. Transformation de Fourier
Quelques applications typiques en traitement du signal
5. Systmes discrets
6. Filtrage numrique
7. Transforme de Fourier rapide (FFT)
8. Filtrage adaptatif
9. Quantification et arithmtique entire

du signal p. 2

Definitions
Modliser ou identifier consiste en lanalyse dun signal
ou dun systme, dans le domaine temporel ou frquentiel

(i.e. spectral). On parlera galement destimation.
Synthtiser ou gnrer un signal.
Transmettre un ensemble de signaux sur un support.
Transformer un ensemble de signaux laide dun systme
linaire : filtrer, moduler, coder, . . .
ou non linaire : ()2 , | |, . . .

du signal p. 3
`
Classification des signaux et systemes
Dimension du signal
Signal scalaire pouvant prendre des valeurs relles ou
complexes : x(t).
Signal vectoriel pouvant prendre des valeurs relles ou
complexes : [R, V, B] = T V (t).
Dimension des variables du signal
Signal mono-dimensionnel qui correspond des fonctions
un seul argument, comme par exemple le temps.

Signal multi-dimensionnel qui correspond des fonctions
plusieurs arguments : [I] = T V (t, x, y).

du signal p. 4
`
Caractristiques temporelles
Signaux temps continu ou signaux analogiques : s(t). La
variable t R.
Signaux temps discret : s(n) (ou s(nT )). La variable n Z.
Ces signaux sont dfinis pour certaines valeurs de la variable

t : s(n) = s(nT ) = s(t)ct=nT .

du signal p. 5
`
Valeurs prises par le signal
Signaux valeurs continues pouvant prendre une valeur
relle dans un intervalle continu.

Signaux valeurs discrtes prenant seulement des valeurs
parmi un ensemble fini de valeurs possibles (i.e.

quantification).

du signal p. 6
`
Prdictibilit des signaux
Signaux dterministes qui peuvent tre reprsents
explicitement par une fonction mathmatique.

Signaux alatoires qui voluent dans le temps dune manire
imprvisible. Il est cependant possible de dcrire

mathmatiquement certaines caractristiques statistiques de
ces signaux.

du signal p. 7

1 Echantillonnage
et reconstruction
des signaux
Thorme dchantillonnage de Shannon
1. Echantillonnage
et reconstruction des signaux p. 8
eme
`
Historique du Theor
dechantillonnage
-I
De tout temps, lHomme a cherch chantillonner ... a
1918 E.T. Whittaker sintresse aux reprsentations analytiques
dune fonction connue seulement pour des valeurs
quidistantes : a, a + w, a + 2w, ...a + nw
Ceci la conduit la forme finale de la srie cardinale :
X
sin w (t a nw)
f (a + nw)
w (t a nw)
n=
Merci a` Simon Mathieu de lUniversite Laval pour cet historique precis
1. Echantillonnage
eme
`
Historique du Theor
dechantillonnage
-I
De tout temps, lHomme a cherch chantillonner ... a
1918 E.T. Whittaker sintresse aux reprsentations analytiques
dune fonction connue seulement pour des valeurs
quidistantes : a, a + w, a + 2w, ...a + nw
Ceci la conduit la forme finale de la srie cardinale :
X
sin w (t a nw)
f (a + nw)
w (t a nw)
n=
1928 Nyquist sintresse la communication tlgraphique. La
vitesse dchantillonnage de Nyquist correspond la vitesse
minimale pour laquelle on peut obtenir une reconstruction
stable.
a
Merci a` Simon Mathieu de lUniversite Laval pour cet historique precis
1. Echantillonnage
eme
`
Historique du Theor
- II
1933 Kotelnikov a introduit ce thorme dans la littrature
scientifique russe.
1. Echantillonnage
eme
`
Historique du Theor
- II
1933 Kotelnikov a introduit ce thorme dans la littrature
scientifique russe.
1948 Shannon nonce un thorme qui selon lui est
gnralement admis dans le domaine des communications :
Whittaker Kotelnikov Shannon WKS
Si une fonction f (t) ne contient pas de frquences suprieures max en radians

par seconde, alors elle est compltement
dtermine par lordonne dune srie de
secondes.
points espacs de T = max
Ce thorme prend sa source dans les travaux de Borel,

Cauchy et De La Valle Poussin au milieu du XIXe sicle.
1. Echantillonnage
Reconstruction
Classe de fonctions de Paley-Wiener (largeur de bande limite)
regroupe les fonctions telles que :
n
o
P WB = f L2 (R) : supp f [, ] ,
o f est la transforme de Fourier dfinie dans L1 (R), i.e. la

dfinition usuelle de la transforme et supp f est le plus petit
support de f. Le thorme nous conduit la srie cardinale
utilise pour reconstruire la fonction originale :
X n
n
f (t) =
f
sinc t
(1)
w
w
nZ
1. Echantillonnage
eme
`
Theor
dechantillonnage
de Shannon
Il est possible de reconstruire le signal continu partir du signal
discret si le signal analogique est bande limite, i.e. X() est
nulle pour || > max
On obtient alors :
max
2
<
max
T
2fmax < fN
(2)
1
avec fN =
T
(3)
fN est la frquence limite dchantillonnage ou encore

appele frquence de Nyquist.
1. Echantillonnage

Exemple dechantillonnage
Soit xa (t) correspondant une sinusode de frquence f = 2Hz.
La frquence de Nyquist correspond fN = 2 2 = 4Hz.
Signal echantillone a 1.6Hz
1
0.8
0.6
Valeur du signal
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1.5
2.5
Temps
3.5
4.5
fe = 1.6Hz, reconstruction imparfaite
1. Echantillonnage

1
0.8
0.6
Valeur du signal
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1.5
2.5
Temps
3.5
4.5
fe = 3.2Hz, reconstruction imparfaite
1. Echantillonnage

1
0.8
0.6
Valeur du signal
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
0
0.5
1.5
2.5
Temps
3.5
4.5
fe = 6.4Hz, reconstruction parfaite
1. Echantillonnage
Chane de traitement
C a
A
P
T
E
U
A (v)
R
b
E/B
(a)
c
Convertisseur
d
Processeur
A/N
B (v)
Convertisseur
N/A
Action
Numrique
0.2 0.3 0.5 0.5 0.4
F (v)
t
(c)
E (v)
(f)
(e)
(b)
AC
TI
ON
NE
UR
0.3 0.3 0.2 0.3 0.4
(d)
1. Echantillonnage
Signaux a` temps discret
2. Signaux a` temps discret p. 15

Squence X de nombres dans laquelle le ni`eme nombre est
x(n). On crira :
X = {x(n)}
<n<
nZ
x(n) est gal la valeur du signal analogique xa (t) au temps
t = nT , i.e.
x(n) = xa (nT )
<n<
T : priode dchantillonnage, fe =
1
T
: frquence
dchantillonnage

1. Impulsion unit (n), (n k)
2. Echelon unit
u(n) =
(n k)
k=0
3. x1 (n) = An
x2 (n) = An u(n)
4. Sinusode
x3 (n) = A cos (n0 T + )
5. Cas gnral
x(n) =
+
X
x(k)(n k).
k=
e.g. p(n) = (n) + 0.5(n 2) 0.5(n 4)

es
des signaux a` temps discret
Propriet
1. Signaux causaux
x(n) = 0,
n < 0
2. nergie totale : finie ou infinie

E() ,
|x(n)|2
(4)
n=
3. Puissance moyenne : finie ou infinie

N
2
Pm
1 X
|x(n)|2
, lim
N N
N
n=
(5)
es
des signaux a` temps discret 2
Propriet
5. Intercorrlation entre deux signaux x(n) et y(n)
Rxy (k) ,
+
X
x(n)y(n + k) = Ryx (k)
(6)
n=
6. Convolution linaire entre deux signaux x(n) et y(n)

xy (k) = x(k) y(k) ,
+
X
x(n)y(k n)
(7)
n=

Signaux aleatoires
Un signal est dit alatoire si sa valeur instantane x(t) ne peut
tre prvue avec certitude.
Exemple
Soient a() et () deux variables alatoires,

X(t, ) = a() sin(2f0 t + ())
dfinit un signal alatoire.

Signaux de parole, mesures, thorie de linformation, ...
Protection aux perturbations alatoires
Statistique du premier ordre

Fonction de rpartition
FX (x; t) = P rob{X(t) x}
Fonction de densit de probabilit
d
fX (x; t) =
FX (x; t) FX (x; t) =
dx
fX (u; t)du
Moments non centrs dordre k
mk (t) = E[X k (t)] =
xk fX (x; t)dx
Moments centrs dordre k

Mk (t) = E[(X(t) E[X(t)])k ]
Moment centr dordre 2 : variance 2 (t)
X
Outils en traitement numrique du signal
en Z
Transformee
en Z p. 22
3. Transformee
en Z
Transformee
La transforme en Z tablit une correspondance entre lespace
des signaux temps discret et lespace des fonctions
analytiques (ou holomorphes) dfinies sur un sous-ensemble du
plan complexe, appel domaine de convergence DCV .
On dfinit la transforme en Z (dite unilatrale) par :
Z [x(n)] = X(z) =
x(n)z n
(8)
n=0
DCV correspond lextrieur du disque de convergence dfini

par |z| > r avec :
1
n
lim |x(n)| = r
en Z p. 23
3. Transformee
es
de la T Z
Propriet
1. Linarit
x(n) = ax1 (n) + bx2 (n) X(z) = aX1 (z) + bX2 (z)
2. Thorme du retard et de lavance

Z [x(n k)] = z k X(z)
Z [x(n + k)] = z +k X(z)
k1
X
x(n)z kn
n=0
3. Drivation dans lespace en z

d
Z [n.x(n)] = Y (z) = z X(z)
dz
en Z p. 24
3. Transformee
es
de la T Z 2
Propriet
5. Thorme de la valeur initiale
x(0) = lim X(z)
z
6. Thorme de la valeur finale

z1
lim x(n) = x() = lim
X(z) = lim (1 z 1 )X(z)
n
z1
z1
z
7. Thorme de la convolution linaire discrte

x(n) = x1 (n) x2 (n) X(z) = X1 (z)X2 (z)
en Z p. 25
3. Transformee
en Z inverse
Transformee
Soit X(z) la transforme en Z du signal x(n). On dfinit la
transforme en Z inverse, la relation dterminant x(n) partir
de X(z) telle que :
1
x(n) =
2j
z n1 X(z)dz
(9)
Il existe trois principales mthodes :

1. lintgration sur un contour ferm en utilisant le calcul des
rsidus,
2. le dveloppement en puissance de z ou de z 1 ,
3. le dveloppement en fractions lmentaires.
en Z p. 26
3. Transformee
Outils en traitement numrique du signal
de Fourier dun signal

4 Transformee
discret
de Fourier dun signal discret p. 27

4. Transformee
Rappels sur les signaux continus

Soit un signal analogique xa (t) dont la transforme de Fourier
est dfinie par :
Z
xa (t)ejt dt
(10)
Xa (j) =
avec = 2f .
On retrouve le signal temporel partir de sa transforme par la
transforme de Fourier inverse dfinie par la relation suivante :
Z
1
xa (t) =
Xa (j)ejt d
(11)
2

4. Transformee

T F dun signal discret non periodique
Pour un signal x(n) discret quelconque non priodique, sa
transforme de Fourier (T F ) scrit :
X(ej ) =
x(n)ejn
(12)
n=
X(ej ) peut tre exprime partir de la transforme en Z par la

relation :
j
X(e ) =
n=
x(n)z
z=ej
= X(z)|z=ej
(13)

4. Transformee

2
Lquation (12) implique que le T F nexiste que si le cercle unit,
caractris par z = ej , appartient au domaine de convergence de
X(z).
X() est priodique de priode 2. Ceci implique que le spectre
dun signal discret est priodique.
La T F inverse est obtenue partir de la transforme en Z

inverse de X(z). On obtient :
1
x(n) =
2
1
j jn
X(e )e d =
2
X(ej )ejn d
(14)

4. Transformee

3
Exemple : x(n) = an u(n)
1
n
a avec a=0.75
0.5
10
12
14
16
18
4
Module
3
2
1
0
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
Argument
0.5
0
0.5
1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

4. Transformee

4
Exemple : x(n) = an , pour n = 0 . . . N 1
1
n
a limit 6 points
0.5
10
12
14
16
18
4
Module
3
2
1
0
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
2
1
Argument
0
1
2
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

4. Transformee

T F dun signal discret periodique
Pour un signal xp (n) discret priodique de priode N , une
dcomposition en srie de Fourier doit tre utilise sous la
forme :
Xp (k) =
N
1
X
(2j n.k
)
N
xp (n).e
, k = 0, 1 . . . N 1
(15)
n=0
xp (n) =
N 1
1 X
)
(2j n.k
N
, n = 0, 1 . . . N 1
Xp (k).e
N
(16)
k=0
Sa Transforme de Fourier scrit alors :

Xp (ej ) =
k=
2
Xp (k) k
N
(17)

4. Transformee

T F dun signal discret periodique
2
Exemple : x(n) = an , pour n = 0 . . . N 1, periodique N
1
n
a priodique 6
0.5
10
12
14
16
18
4
Module
3
2
1
0
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
1
Argument
0.5
0
0.5
1
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5

4. Transformee
es
de la transformee
de Fourier
Propriet
1. Linarit ou superposition
a.x(n) + b.y(n) a.X(ej ) + b.Y (ej )
2. Dcalage en temps-frquence
x(n n0 ) ejn0 X(ej )
x(n)ejn0 X(ej(0 ) )
3. Drivation en frquence
dX(ej )
n.x(n) j
d
4. Transformee
es
de la transformee
de Fourier
Propriet
5. Produit de convolution
x1 (n) x2 (n) =
x1 (i) x2 (n i) X1 (ej ).X2 (ej )
i=
6. Thorme du fentrage (ou de la modulation)

Z
1
X1 (ej ).X2 (ej() )d
x1 (n).x2 (n)
2
7. Thorme de Parseval (conservation de la puissance)
1
2
|x(i)| =
2
i=
|X(ej )|2 d

4. Transformee
de Fourier discrete
` (TFD)
Transformee
X(k) =
N
1
X
j 2kn
N
x(n)e
k = 0, , N 1
(18)
n = 0, , N 1
(19)
n=0
N 1
1 X
j 2kn
Xk e N ,
x(n) =
N
k=0
Calcul rapide (Fast Fourier Transform, F F T )

4. Transformee
`
Systemes
discrets
`
5. Systemes
discrets p. 38

Representation
temporelle
Stratgie gnrale danalyse dun systme linaire invariant :
1. Dcomposition du signal dentre en une somme de signaux ou
fonctions de base.
X
k ek (n)
e(n) =
k
2. Etude de la rponse du systme pour lensemble des fonctions de

base.
sk (n) = T [ek (n)]
3. Recomposition de la sortie en appliquant le principe de
superposition.
X
s(n) =
k sk (n)
k
`
5. Systemes
discrets p. 39
Produit de convolution
e(n)
+
X
e(k)(n k)
k=
s(n)
= T [e(n)] = T [
+
X
k=
e(k)(n k)] =
+
X
e(k)T [(n k)]
k=
On pose h(n) = T [(n)], alors

s(n) =
+
X
e(k)h(n k) = e(n) h(n) = h(n) e(n)
k=
Un systme discret est donc entirement caractris par sa rponse

impulsionnelle h(n). Lopration liant la sortie s(n) lentre e(n) et
la rponse impulsionnelle du systme h(n) est appele produit de
convolution.
`
5. Systemes
discrets p. 40
Produit de convolution 2
Exemple
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.5
0.4
signal de sortie y(n)
signal entre e(n)
reponse impulsionnelle h(n)
0.6
0.5
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
-30
-20
-10
0
indice temporel: n
10
20
30
h(n) : rponse impulsionnelle
0
-30
-20
-10
0
indice temporel: n
10
20
30
e(n) : entre du systme
0
-30
-20
-10
0
indice temporel: n
10
20
30
s(n) : rponse du systme lentre
`
5. Systemes
discrets p. 41

Equation aux differences
finies
Une quation aux diffrences finies peut scrire sous la forme :
s(n) =
N
X
k=1
ak s(n k) +
M
X
bk e(n k)
(20)
k=0
Systme rcursif ou non-rcursif

Rponse impulsionnelle infinie (RII ou IIR) ou finie (RIF ou
FIR)
`
5. Systemes
discrets p. 42
Fonction de transfert en z
La fonction de transfert en z H(z) dun systme est dfinie par :
S(z)
H(z) =
E(z)
(21)
H(z) est galement la transforme en Z de la rponse

impulsionnelle h(n) du systme.
partir de lquation aux diffrences (20), on obtient :

H(z) =
PM
1+
k
k=0 bk z
PN
k
k=1 ak z
N (z)
D(z)
(22)
`
5. Systemes
discrets p. 43
Representation
frequentielle
Soit lentre e(n) = ejnT = ejn pour < n < + dun SLI
de rponse impulsionnelle h(k). La sortie peut alors scrire :
s(n) =
h(k)ej(nk) = ejn
k=
h(k)ejk
k=
H(ej ) =
h(k)ejk
k=
H(ej ) est appel rponse frquentielle du systme. On tudie

son module et sa phase :
j
j arg[H(ej )]
H(e ) = |H(e )|e
`
5. Systemes
discrets p. 44
Representation
frequentielle
2
Exemple : H(z) =
1
1+0.5z 1
1
0.8
0.6
Imaginary part
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
-1
-0.5
0
Real part
0.5
`
5. Systemes
discrets p. 45
Representation
frequentielle
2
Magnitude Response (dB)
Exemple : H(z) =
1
1+0.5z 1
10
-5
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Normalized frequency (Nyquist == 1)
0.8
0.9
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
Normalized frequency (Nyquist == 1)
0.8
0.9
Phase (degrees)
30
20
10
0
0
`
5. Systemes
discrets p. 45
Filtrage numerique
6. Filtrage numerique
p. 46

Filtrage numerique
Modification des rponses temporelles et frquentielles dun
signal discret
Un filtre numrique est dfini par :
sa rponse impulsionnelle ;
sa fonction de transfert en z ;
son quation aux diffrences finies ;
sa rponse frquentielle.
Deux principales classes :

filtre RIF ;
filtre RII.
p. 47
Fonction de transfert en z
H1(z)
X(z)
H(z)
Y(z)
X(z)
H2(z)
Y(z)
...
a) Forme directe
HM(z)
b) Forme parallle
X(z)
H1(z)
H2(z)
...
HM(z)
Y(z)
c) Forme cascade
F IG . 1 Reprsentations en fonction de transfert en z
p. 48

Specification
Gabarit dfini par sa slectivit, son ondulation en BP, son
attnuation en BA
|H(ej)|
|H(ej)| (dB)
p
1+1
1
1-1
20log(1+1)
0 dB
20log(1-1)
20log2
a) Gabarit frquentiel linaire
b) Gabarit frquentiel en dB
F IG . 2 Gabarit frquentiel dun filtre passe-bas
p. 49
Filtres RII
PN
i
b
.z
N (z)
i
i=0
=
H(z) =
P
i
D(z)
1+ N
a
.z
i
i=1
y(n) =
N
X
i=0
bi .x(n i)
N
X
ai .y(n i)
(23)
(24)
i=0
Principales caractristiques des filtres RII :

1. une bande de transition qui peut tre troite ;
2. une instabilit potentielle due des ples situs en dehors
du cercle unit (i.e. i, |pi | 1 ;
3. une instabilit numrique (i.e. aprs quantification des
coefficients et du signal).
p. 50
Filtres RIF
H(z) =
N
1
X
bi .z i
(25)
N
1
X
(26)
i=0
y(n) =
N
1
X
i=0
bi .x(n i) =
h(i).x(n i)
i=0
Principales caractristiques des filtres RIF :

1. une bande de transition plus large ;
2. des mthodes de synthse efficaces ;
PN 1
3. une stabilit inhrente ( n=0 |h(n)| < ) ;
4. une meilleure stabilit numrique que les RII ;

5. une phase qui peut tre exactement linaire.
p. 51
Structures des filtres RIF

Graphe flot de signal driv de lquation aux diffrences finies
x(n)
b0
x(n)
Z-1
x(n-1)
x(n-N)
y(n)
Z-1
y(n)
b1
b1
bN-1
+
Z-1
b0
Z-1
bN-1
+
bN
bN
Z-1
+
a) Structure directe
b) Structure transpose
F IG . 3 Structures des filtres RIF

Pcalcul (M M ACS) > (N + 1).Fe /106
(27)
p. 52
Structures des filtres RII

#
# "
"X
N
1
1
N (z)
i
bi .z
= [N (z)]
=
H(z) =
PN
D(z)
D(z)
1 + i=1 ai .z i
i=0
(28)
b0
x(n)
Z-1
b1
bN-1
+
Z-1
+
+
+
y(n)
-a1
Z-1
x(n-1)
-aN
RIF
RII
Z-1
b1
+
+
bN-1
+
-aN-1
bN
a) Cascade
Z-1
b0
x(n)
Z-1
x(n-N)
bN
y(n)
-a1
Z-1
y(n-1)
-aN-1
-aN
Z-1
y(n-N)
b) Structure directe
F IG . 4 Structures directes des filtres RII
p. 53
Structures des filtres RII 2

(
W (z) =
1
D(z) .X(z)
Y (z) = N (z).W (z)
x(n)
b0
w(n)
PN
w(n) = x(n) i=1 ai .w(n i)

PN
y(n) = i=0 bi .w(n i)
y(n)
x(n)
b0
Z-1
+
y(n)
Z-1
b1
-a1
(29)
b1
-a1
w(n-1)
Z-1
+
-aN-1
Z-1
bN-1
bN-1
+
Z-1
bN
-aN
w(n-N)
a) Structure canonique directe
bN
-aN-1
Z-1
+
-aN
b) Structure canonique transpose
F IG . 5 Structures canoniques des filtres RII
p. 54
de Fourier rapide
7 Transformee
(FFT)
de Fourier rapide (FFT) p. 55

7. Transformee
de Fourier rapide (FFT)

Transformee
La transformation de Fourier rapide (TFR), ou encore Fast
Fourier Transform (FFT), est directement issue dune
rorganisation du calcul des matrices de la transforme de
Fourier discrte (TFD).
X(0)
1
X(1)
.
= ..
..

.
1
X(N 1)
1
WN1
WN2
..
.
..
.
..
.
WN2
WN4
2(N 1)
WNN 1
WN
x(0)

x(1)

..
.
..
.
2(N 1)
WN
x(N 1)
(N 1)2
WN
WNN 1
(30)
)
(2j N
avec WN = e

7. Transformee
FFT Decimation in Time (DIT)

X(k)
x(n).WNnk
x(2n).WN2nk
nk
x(2n).WN/2
n pair
N/21
n=0
(2n+1)k
x(2n + 1).WN
(32)
N/21
n=0
X(k)
N
X(k + )
2
n=0
N/21
X(k)
(31)
n impair
N/21
X(k)
x(n).WNnk
= G(k) + WNk .H(k)
WNk
nk
(33)
x(2n + 1).WN/2
n=0
= G(k) WNk .H(k)
(34)
(35)
G(k) : TFD sur les N/2 points dindices pairs,

H(k) : TFD sur les N/2 points dindices impairs.

7. Transformee
FFT Decimation in Time (DIT) 2

x(0)
W80
x(2)
TFD
x(4)
N/2 points
x(6)
W82
W83
x(1)
W84
x(3)
TFD
x(5)
N/2 points
x(7)
W81
W85
W86
W87
X(0)
X(1)
X(2)
X(3)
X(4)
X(5)
X(6)
X(7)
F IG . 6 Dcomposition DIT de la TFD

N log2 N multiplications de nombres complexes
2
N log2 N additions/soustractions de nombres complexes

7. Transformee

Xm (p)
Xm+1 (p)
Xm (q)
W
-1
Xm+1 (q)
F IG . 7 Papillon DIT de la TFR

(
Xm+1 (p) = Xm (p) + WNr .Xm (q)

Xm+1 (q) = Xm (p) WNr .Xm (q)
(36)

7. Transformee

X(0)
X(0)
X(1)
X(8)
X(2)
X(4)
X(3)
X(12)
X(4)
X(2)
X(5)
X(10)
X(6)
X(6)
X(7)
X(14)
X(8)
X(1)
X(9)
X(9)
X(10)
X(5)
X(11)
X(13)
X(12)
X(3)
X(13)
X(11)
X(14)
X(7)
X(15)
X(15)
F IG . 8 Graphe dune FFT DIF sur 16 chantillons

7. Transformee
Autres graphes
Decimation in Frequency (DIF)

Radix 4, . . .
Gomtrie constante
...

7. Transformee
8 Filtrage adaptatif
8. Filtrage adaptatif p. 62
Filtrage adaptatif
Pas de connaissance a priori des proprits des signaux et
systmes alatoires traits

Le filtre optimal se construit au fur et mesure de larrive
des chantillons
Les coefficients du filtre sadaptent selon un critre derreur
Convergence vers le filtre optimal
galisation, codage, annulation dcho, caractrisation ou
extraction dinformations, filtrage et rduction de bruit

Annulation decho
acoustique
Ambient
Noise

near end
Microphone
speach
Ht
to far end
speaker
Computation
of coefficients
from far end

speaker
Reflections
Loud
speaker
F IG . 9 Annulation dcho acoustique
Algorithme du gradient stochastique

Minimise lerreur quadratique entre le filtre et son optimal :
Least Mean Square (LMS)

Minimisation de la fonction derreur par la mthode du
gradient stochastique
Filtrage :
yn = UnT Wn1
Erreur :
n = yn yn
Gradient :
Wn = Wn1 + n n Un

9 Quantification et arithmetique
`
entiere
` p. 66
9. Quantification et arithmetique
entiere

Bruit dune conversion analogique/numerique
F IG . 10 Bruit de conversion analogique numrique
` p. 67
entiere
` du bruit de quantification
Modele
x
Q( )
Hypothses :
e
e(n) est stationnaire,
e(n) nest pas corrl avec x(n),
les bruits de quantification sont statistiquement indpendants,
e(n) est un bruit blanc uniformment rparti,
e(n) est born par le pas de quantification,
la distribution de probabilit de e(n) est uniforme,
lergodicit implique que les moyennes temporelles et statistiques
sont quivalentes.
Selon la loi de quantification utilise :
2
arrondi : me = 0, e2 = q ,
12
2
troncature : me = q , e2 = q .
2
12
` p. 68
entiere
`
Modeles
du bruit (dus aux calculs)
Xe = 2m .S +
m1
X
bi 2i ,
Xs = 2m .S +
m1
X
bi 2i
(37)
Xs est le rsultat de la quantification de Xe , i.e. Xs = Q[Xe ]

2-j+1
bm-1
bm-2
b1
2-j
2-j-1
b-j+1
bb-jj
j-1
bj+1
-j-1
-n
2-n+2 2-n+1 2_n
bn-2
n-1
2-n b1-n
b-nn
Bits tronqus k bits
Bits restants b-k bits

avec
k = n- j
F IG . 11 Reprsentation des donnes lors dune troncature

Lexpression du bruit de quantification correspondant la diffrence
Pn
entre les deux variables Xe et Xs , est la suivante : bg = i=j1 bi 2i
` p. 69
entiere
`
Modeles
du bruit 2
p(xq ) =
k
2X
1
2k (xq i.2n )
(38)
i=0
p(xq)
2-k
1 2 3
2k -1
xq.2n
F IG . 12 Fonction de distribution du bruit gnr lors dune troncature
` p. 70
entiere
`
Modeles
du bruit 3
La moyenne de cette variable alatoire est la suivante :
+
X
bg =
yi p(yi ) =
soit
bg = 2
i.2n .2k
(39)
q
) = (1 2k )
2
(40)
i=0
i=
j1
k
2X
1
(1 2
jn
La variance de cette variable alatoire est gale :

b2g =
+
X
yi2 p(yi ) 2bg
(41)
i=
soit
b2g
22j
q2
2(jn)
=
(1 2
)=
(1 22k )
12
12
(42)
` p. 71
entiere
`
Modeles
du bruit 4
Erreur
propage
bp
bg Erreur
gnre
bx
x
y
op
bq
bs
bs
by
F IG . 13 Modlisation du bruit de calcul

Propagation des bruits dans le graphe
...
` p. 72
entiere
Filtrage dun bruit de quantification

RSB =
x2
x2
2(b1) 2
=
=
12
2
x
2
2
e
q /12
(43)
RSBdB = 10 log RSB = 6.02 b + 4.77 10 log x2
(44)
F IG . 14 Filtrage dun bruit de quantification
` p. 73
entiere
Filtrage dun bruit de quantification 2

En sortie du filtre, si on considre que le filtre ne gnre pas de
bruit, on aura alors :
y(n) = x(n) h(n) + e(n) h(n) = x(n) h(n) + f (n)
(45)
o f (n) est le bruit de quantification en sortie du filtre. On dfinit

alors les moyennes mf et puissance du bruit f2 du bruit f (n) :
mf
= me
+
X
h(n) = me H(ej0 )
(46)
n=
f2 = e2
+
X
n=
|h(n)|2 =
e2
2
|H(ej )|2 d
(47)
` p. 74
entiere
Effets de la quantification
Filtrage RIF H(z) =
PN 1
bi xni
i=0
F IG . 15 Bruits de quantification dans un filtre RIF
bgx reprsente le bruit en entre du filtre associ au signal x(n).

bgbi reprsente le bruit gnr par les multiplications.
bgadd reprsente le bruit gnr par le changement de format en sortie du filtre.
` p. 75
entiere
Effets de la quantification 2
Bruit en sortie du filtre RIF pour une architecture simple
prcision
N
1
2
X
q
f2 = e2
|h(n)|2 + N
12
n=0
Bruit en sortie du filtre RIF pour une architecture double
prcision
N
1
X
q2
2
2
2
|h(n)| +
f = e
12
n=0
(48)
(49)
Dbordement du filtre RIF

|y(n)| xmax
N
1
X
|h(n)|
(50)
n=0
` p. 76
entiere
Effets de la quantification 3
Filtrage RII du second ordre
` p. 77
entiere
Pour plus dinformations...
erences
Ref
[Bel87]
M. Bellanger. Traitement Numrique du Signal. Collection

CNET-ENST, MASSON, 1987.
[EW92]
Van Den Enden and Werdeckh. Traitement Numrique du

Signal : Une Introduction. Masson, 1992.
[HL97]
D. Hanselman and B. Littlefield. Matlab : the language of

technical computing. Prentice Hall, 1997.
[Ka91]
M. Kunt and al. Techniques modernes de Traitement

Numrique du Signal. Collection CNET-ENST, Presses
Romandes, Masson, 1991.
[ME93]
C. Marven and G. Ewers. a simple approach to Digital Signal

Processing. Texas Instruments Mentors, 1993.
` p. 78
entiere
erences
Ref
[MSY98] J. McClellan, R. Schafer, and M. Yoder. DSP First : a
Multimedia Approach. Prentice Hall, 1998.
[OS75]
A. V. Oppenheim and R. W. Schafer. Digital Signal

Processing. Prentice-Hall, 1975.
[OS99]
A. V. Oppenheim and R. W. Schafer. Discrete-Time Signal

Processing, second edition. Prentice-Hall, 1999.
[PM96]
J. Proakis and D. Manolakis. Digital Signal Processing :

Principles, Algorithms and Applications. Prentice Hall, 1996.
[Poa97]
B. Poart. A Course in Digital Signal Processing. John Wiley

& Sons, 1997.
[SS88]
R. David S. Stearns. Signal Processing Algorithms. Prentice

Hall, 1988.
` p. 79
entiere

Olivier.Sentieys@enssat.fr
http ://lasti.enssat.fr/GroupeArchi/enseignements/Tns
=
=

` p. 80
entiere
`
Table des matieres
`
Table des matieres
1 chantillonnage et reconstruction des signaux
2 Signaux temps discret
15
3 Transforme en Z
22
4 Transforme de Fourier dun signal discret
27
5 Systmes discrets
38
6 Filtrage numrique
46
7 Transforme de Fourier rapide (FFT)
55
8 Filtrage adaptatif
62
9 Quantification et arithmtique entire
66
` p. 81
entiere

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Introduction au traitement

ENSSAT Universite de Rennes 1

Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

ou dun systme, dans le domaine temporel ou frquentiel

Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

un seul argument, comme par exemple le temps.

Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

Ces signaux sont dfinis pour certaines valeurs de la variable

Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

relle dans un intervalle continu.

parmi un ensemble fini de valeurs possibles (i.e.

Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

explicitement par une fonction mathmatique.

imprvisible. Il est cependant possible de dcrire

Olivier Sentieys Introduction au traitement numerique

Thorme dchantillonnage de Shannon

Merci a` Simon Mathieu de lUniversite Laval pour cet historique precis

Merci a` Simon Mathieu de lUniversite Laval pour cet historique precis

Si une fonction f (t) ne contient pas de frquences suprieures max en radians

Ce thorme prend sa source dans les travaux de Borel,

o f est la transforme de Fourier dfinie dans L1 (R), i.e. la

fN est la frquence limite dchantillonnage ou encore

fe = 1.6Hz, reconstruction imparfaite

fe = 3.2Hz, reconstruction imparfaite

fe = 6.4Hz, reconstruction parfaite

0.2 0.3 0.5 0.5 0.4

0.3 0.3 0.2 0.3 0.4

Signaux a` temps discret

2. Signaux a` temps discret p. 15

Signaux a` temps discret

x(n) est gal la valeur du signal analogique xa (t) au temps

2. Signaux a` temps discret p. 16

Signaux a` temps discret

e.g. p(n) = (n) + 0.5(n 2) 0.5(n 4)

2. nergie totale : finie ou infinie

3. Puissance moyenne : finie ou infinie

2. Signaux a` temps discret p. 18

x(n)y(n + k) = Ryx (k)

6. Convolution linaire entre deux signaux x(n) et y(n)

2. Signaux a` temps discret p. 19

Soient a() et () deux variables alatoires,

dfinit un signal alatoire.

2. Signaux a` temps discret p. 20

Statistique du premier ordre

Moments non centrs dordre k

mk (t) = E[X k (t)] =

Moments centrs dordre k

Outils en traitement numrique du signal

DCV correspond lextrieur du disque de convergence dfini

2. Thorme du retard et de lavance

3. Drivation dans lespace en z

6. Thorme de la valeur finale

7. Thorme de la convolution linaire discrte

Il existe trois principales mthodes :

Outils en traitement numrique du signal

de Fourier dun signal

de Fourier dun signal discret p. 27

Rappels sur les signaux continus