Ceci est un document contenant 10 exercices portant sur les vecteurs gaussiens. Les exercices abordent des sujets comme les lois de probabilités de combinaisons linéaires de variables aléatoires gaussiennes, les densités de probabilités de vecteurs gaussiens, l'indépendance de composantes de vecteurs gaussiens.
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Vecteurs gaussiens
TD 06 Annee 2010-2011 Probabilite - M1 Exercice 1 : 1. Montrer quil existe un triplet gaussien (X1 , X2 , X3 ) tel que : 1 E[Xi ] = 0, E[Xi2 ] = 1, E[X1 X2 ] = E[X1 X3 ] = E[X2 X3 ] = . 2 2. Quelle est la loi de X1 X2 + 2X3 ? 3. Existe-t-il a tel que X1 + aX2 et X1 X2 soient independantes ? 4. (X1 , X2 , X3 ) admet-il une densite si oui laquelle ? 5. Calculer la fonction caracteristique de (X1 , X2 , X3 ). Exercice 2 : Soit X une v.a.r. de loi symetrique et admettant un moment dordre 2. 1. Pour tout a > 0, on definit la v.a. Ya par : Ya = X1|X|a + X1|X|>a . (a) Quelle est la loi de Ya ? (b) Calculer la covariance de X et Ya . 2. On suppose maintenant que X N (0, 1). (a) X + Ya est elle une v.a. gaussienne ? (b) Montrer quil existe a > 0 tel que Cov(X, Ya ) = 0. (c) Que peut on en deduire ? Exercice 3 : On consid` ere X, Yet Z trois v.a.r. independantes de loi gaussienne centree X+Y Z , Z est un vecteur gaussien. reduite. Montrer que 1+Z 2 Exercice 4 : Soit K une matrice de covariance sur Rn , m un vecteur de Rn et soit X un vecteur gaussien de dimension m et de covariance K. 1. On suppose que detK = 0. Montrer quil existe un vecteur a non nul de Rn tel que E[< a, X m >2 ] = 0. En deduire quil existe un hyperplan (affine) H de Rn tel que P(X H) = 1. 1
2. On suppose que le rang de K est r.
(a) Montrer quil existe i1 ir telles que (Xi1 , . . . , Xir ) admette une densite. (b) Montrer que lon peut trouver n r relations affines independantes entre les (Xi )1in . Exercice 5 : Soit (X, Y, Z) un vecteur gaussien de moyenne m = (2, 0, 1) et de covariance :
2 1 1 2 1 K= 1 1 1 2 1. La matrice est-elle bien une matrice de covariance. 2. Quelle est la loi de W = X Y ? 3. Quelle est la densite de (X, Y ) ? 4. (X, Y, Z) admet-il une densite ? Calculer E[Z|(X, Y )]. 5. Calculer E[(2X 4 Y )2 |Y ]. Exercice 6 : 1. Soit X une variable aleatoire de loi normale, centree, reduite. Quelle est la densite de X 2 ? 2. On consid`ere (Xi )iN une suite de variables aleatoires independantes telle que tout Xi soit de loi normale, centree, reduite. P (a) Montrer que la variable aleatoire Z = ni=1 Xi2 a pour densite : n
t 2 1 e 2 n 1t>0 . fZ (t) = n2 2 2 (b) Calculer de deux facons lesperance de Z. Remarque : On dit que Z suit la loi du chi-deux `a n degres de liberte que lon note 2 (n). 3. Soit Z une variable aleatoire qui suit une loi du chi-deux a` n degres de liberte et Y une loi normale centree reduite independante de Z. q (a) Quelle est la densite de W = Zn ? (b) On consid`ere Y une variable aleatoire independante de Z de loi normale standard.
Y Quelle est la densite du couple W, W ? Y (c) En deduire la densite de W . Remarque : On dit que W suit la loi de Student de n degres de liberte.
Exercice 7 : Soit :
1 1 1 0 K= 1 2 1 0 3
1. Montrer quil existe un triplet gaussien (X, Y, Z) centre et de matrice de covariance
K. Calculer sa densite. 2. Trouver la loi de U := X + 2Y Z. 2 2 3. Montrer que Y2 + Z3 2 (2). 4. Montrer que (X + Y, Y Z) est un couple gaussien. Calculer sa densite. Exercice 8 : Soit m = (1, 1, 1, 1) et :
2 1 0 1 1 2 1 0 K= 0 1 2 1 1 0 1 2
1. Montrer que K est une matrice de covariance.
2. Soit (N1 , N2 , N3 , N4 ) un vecteur gaussien de moyenne m et de matrice de covariance K. Le couple (N1 , N2 ) admet-il une densite ? Si oui, la calculer. 3. On pose R1 = N1 + N2 et R2 = N2 + N3 . Calculer la loi de (R1 , R2 ). 4. On rappelle que : ex ex . tanh x = x e + ex Calculer E[cosh R1 tanh R2 ]. 5. (N1 , N2 , N3 , N4 ) admet-il une densite ? Si oui, la calculer. 6. Calculer le rang de K. Montrer que N4 secrit comme combinaison lineaire de (N1 , N2 , N3 ). En deduire E[N4 |N1 , N2 , N3 ]. Exercice 9 : Soit X un vecteur gaussien de dimension, n centre, de matrice de covariance K et soit A une matrice m n et B une matrice p n. On definit Y = AX et Z = BX. montrer que Y et Z sont independants ssi AKB = 0. Exercice 10 : Soit (X, Y ) un couple gaussien tel que X et Y sont centrees, reduites, et de coefficient de correlation . On veut montrer que : r 1 E[max(X, Y )] = . (1)
1. Soit (U, V, W ) un triplet gaussien tel que les variables sont i.i.d., centrees, reduites. Donner sa matrice de covariance et sa densite.
2. Montrer que quand 0, (U + V 1 , U + W 1 ) a meme loi que
(X, Y ). 3. Calculer E[max(V, W ))] et en deduire E[max(X, Y )]. 4. On suppose maintenant que < 0 et on se donne une v.a.r. gaussienne centree reduite Z independante de (X, Y ) et un reel ]0, 1[. On pose :
X0 = 1 Z + X,
Y0 = 1 Z + Y. Montrer que (X 0 , Y 0 ) est un couple gaussien et quelles sont centrees reduites. Calculer leur coeffcient de correlation. Peut on choisir de telle sorte que 0 soit positif. En deduire que la formule 1 vaut aussi pour < 0. 3
