MVA005 Cnam
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Examen session 1
École Siti, Dpt Imath, Case 2D500
Date: 8 février 2014
Sujet UE MVA005HT.
Sujet de 2 pages.
Responsable: T. Horsin
Les calculatrices sont interdites, tous documents manuscrits
autorisés. Les téléphones mobiles et autres équipements
communicants doivent être éteints et rangés dans les sacs
pendant toute la durée de l'épreuve. Vérifiez que vous disposez
bien de la totalité des pages du sujet en début d'épreuve et
signalez tout problème de reprographie le cas échéant.
Exercice 1.
sin(𝑥 + 2) − (𝑥 + 2)
iii. Calculer lim + . On pourra, sans obligation, poser 𝑋 = 𝑥 + 2 et
u�→−2 (𝑥 + 2)2
se ramener en 0+ , et utiliser le développement limité de sin en 0 à un ordre au plus égal
à 3.
iv. Montrer que sur ] − 2, +∞[, 𝑓 est dérivable et que 𝑓 ′ (𝑥) est du signe de
(𝑥 + 2) cos(𝑥 + 2) − sin(𝑥 + 2).
v. Soit ℎ la fonction donnée sur ] − 2, +∞[ par ℎ(𝑥) = (𝑥 + 2) cos(𝑥 + 2) − sin(𝑥 + 2).
Montrer que les variations de ℎ sont données par le signe de −(𝑥 + 2) sin(𝑥 + 2).
vii. Que vaut ℎ(−2 + 3𝜋⁄2) ? En déduire que 𝑓 décroit d’abord sur ] − 2, +∞[ puis
recroît jusqu’à au moins −2 + 3𝜋⁄2.
Exercice 2.
𝑑𝑥
−3
iii. ∫
𝑥 2 + 8𝑥 + 17
.
−4
1
𝑥2 + 𝑥 𝑥2 + 𝑥 𝑥−1
iv. ∫ 𝑑𝑥. On pourra écrire =1+
1+𝑥 2 1 + 𝑥2 𝑥2 + 1
.
0
Exercice 3.
La qestion v exercice est hors barême. La traiter n’est pas nécessaire pour obtenir
v. (Question hors barême) Montrer que (𝑢u� ) est une suite convergente et que lim 𝑢u� =
0.
Exercice 4.