Chapitre 5 Convection Forcée Et Libre, Ebullition Et Condensation
Chapitre 5 Convection Forcée Et Libre, Ebullition Et Condensation
Chapitre 5 Convection Forcée Et Libre, Ebullition Et Condensation
Convection
V. 1. Introduction
Dans le deuxième chapitre nous avons vu qu’il y a trois
modes de transfert de chaleur qui sont la conduction, la
convection et le rayonnement. La conduction et la convection
sont similaires car les deux nécessitent la présence d’un
milieu matériel contrairement au rayonnement qui se
propage même dans le vide. Cependant, la conduction et la
convection se différencient par le fait que la dernière se
passe dans un fluide en mouvement.
Dans un solide, le transfert de chaleur se fait toujours par
conduction puisque les atomes ou les molécules du solide
oscillent autour de positions fixes. Dans les fluides,
cependant, le transfert de chaleur se fait par convection ou
conduction selon qu’il y a présence ou absence d’un
mouvement du fluide. Il est évident, que la conduction est le
cas limite de la convection quand le fluide est figé.
La convection est plus compliquée à étudier à cause du
mouvement du fluide, qui nécessite l’introduction de la
mécanique des fluides. Les quantités de chaleur transférées
lors de la convection sont plus importantes que dans le cas
de la conduction car le mouvement du fluide entraine
l’énergie d’un point à un autre et facilite les échanges. Par
conséquent, quand la vitesse du fluide augmente cela
entraine un plus grand transfert de chaleur.
86
Chapitre V
Convection
U , T
Q
a
Air Air
Plaque solide TP
b
Figure V. 1. Transfert de chaleur d’une surface chaude vers
l’air froid (a) convection forcée, (b) convection libre.
87
Chapitre V
Convection
V. 3. La loi de Newton
Lors du transfert de chaleur entre un fluide et un solide ou
entre deux fluides, la quantité de chaleur échangée est
donnée par la formule de Newton
Q hS TP T (V.1)
U , T
QConv
profil de la vitesse
QC
88
Chapitre V
Convection
T
h x TP T (V.3)
y y 0
T
où est la conductivité thermique du fluide, y est le
y 0
L
1
h
L h
0
x dx (V.5)
89
Chapitre V
Convection
hLC
Nu (V.6)
où LC est une longueur caractéristique du système et est
la conductivité thermique du fluide en question.
Pour comprendre la signification physique du nombre de
Nusselt, considérons un fluide confiné entre deux plaques
distantes de L et maintenues aux températures T1 et T2 .
Le transfert de chaleur dans ce cas est soit par convection si
le fluide se meut ou par conduction si le fluide est immobile.
T1
Q
fluide L
T2
QConv h T1 T2 (V.7)
si le fluide est immobile, le transfert de chaleur par
conduction à travers la couche fluide par unité de surface est
90
Chapitre V
Convection
QC
T1 T2
(V.8)
L
QConv h T1 T2 hL
Nu
QC
T1 T2 (V.9)
L
c’est le nombre de Nusselt. Par conséquent, le nombre de
Nusselt exprime l’augmentation du transfert de chaleur à
travers la couche fluide par convection relativement au
transfert de chaleur par conduction. Un nombre de Nusselt
égal à l’unité ( Nu 1 ) représente un transfert de chaleur par
conduction pure à travers la couche fluide.
91
Chapitre V
Convection
air
int erne
eau
externe
92
Chapitre V
Convection
V. 6. Equations de bilan
V. 6. 1. Équation de continuité
Soit v un élément de volume et s un élément de surface
autour d’une particule fluide, appelons la densité
volumique du fluide, la masse de toute particule fluide est
par conséquent m v dv .
J n
ds
s (t )
93
Chapitre V
Convection
Dm
Dt
v d v s J . n d s (V.10)
Dm
Dt
v ( div J )dv (V.11)
Dm D
Dt
Dt v dv v ( t divV ) dv (V.12)
v [ t div ( V J ) )]dv 0 (V.13)
soit
div ( V J ) (V.14)
t
U V W
0 (V.15)
t x y z
94
Chapitre V
Convection
U V W
0 (V.16)
t x y z
U V W
0 (V.17)
x y z
v dv v F dv s T . n ds (V.19)
v
i dv F dv T ds
v
i
s
i (V.20)
on a vu déjà que
ij
s Ti ds ij n j ds
s
v x j dv (V.21)
95
Chapitre V
Convection
ij
v i dv v ( Fi x j )dv (V.22)
DVi Vi Vi
i Vj (V.23)
Dt t xj
Vi Vi 1 ij
Vj Fi (V.24)
t xj xj
Vi Vi U 1 P 1 ij
Vj (V.26)
t xj xi xi xj
V V V V U 1 P 1 yx yy yz
U V W
t x y z y y x y z
W W W W U 1 P 1 zx zy zz
U V W
t x y z z z x y z
96
Chapitre V
Convection
(V.29)
en substituant cette expression dans l’équation V. 26,
l’équation du mouvement pour les fluides newtoniens prend
la forme
Vi Vi U 1 P 2
Vj ( divV ) ( V
t xj xi xi 3
1 V
grad ( grad Vi )
xi
(V.30)
Vi Vi U 1 P
Vj Vi (V.30a)
t xj xi xi
équation qui en coordonnées cylindriques s’écrit
97
Chapitre V
Convection
U U U U U 1 P 2U 2U 2U
U V W
t x y z x x x
2
y2 z2
V V V V U 1 P 2V 2 V 2 V
U V W
t x y z y y x
2
y2 z 2
W W W W U 1 P 2W 2W 2W
U V W
t x y z z z x
2
y2 z2
où est la viscosité cinématique du fluide. Ces
équations sont appelées équation de Navier-Stokes. Dans
chaque équation, les termes U x V y W z sont les
2 2 2
termes d’inertie et les termes 2 sont
x y 2
z 2
appelés les termes de diffusion.
V. 6. 3. Équation d’énergie
Appelons u l’énergie interne de l’élément de volume dv ,
U l’énergie interne du volume v et Ec son énergie
cinétique. La variation de l’énergie totale est la somme des
variations de l’énergie interne et l’énergie cinétique d’ou la
relation
1 2
D ( u V )
D (U E c ) 2 (V.31)
Dt
v Dt
dv
98
Chapitre V
Convection
Pc q. n ds
s
q
v
s dv (V.32)
où
q grad T (V.33)
est la conductivité thermique du fluide et T est la
température. En appliquant le théorème d’Ostrogradski
l’équation V. 32 devient
Pc (div( gradT ) q
v
s )dv
(V.34)
mais comme on a
1 2
D ( u V )
2 (V.36)
v Dt
dv Pc Pe
nous obtenons
1 2
D ( u V )
2
v Dt
dv v ( div(( gradT q s ))dv v Fi Vi dv s ijVi n j d
(V.37)
à présent éliminons le terme de l’énergie cinétique de
l’équation V. 37 en utilisant l’équation du mouvement
DVi ij
Fi (V.38)
Dt xj
99
Chapitre V
Convection
DVi ij
Vi Fi Vi Vi (V.40)
Dt xj
DVi ij
Vi
v
Dt
dv Fi Vi dv Vi
v v
xj
dv (V.41)
ij Vi
Vi V ij ij (V.42)
xj xj i xj
DVi Vi ij Vi
v Vi Dt
dv v FiVi dv v xj
dv v ij x j dv
(V.43)
DVi
le terme v Vi Dt
dv peut s’écrire comme
1 DV 2
2
v
Dt
dv c’est à dire
1 DV 2 Vi ij Vi
2 v
Dt
dv v Fi Vi dv v xj
dv ij
v
xj
dv
(V.44)
en injectons l’équation V. 44 dans l’équation V. 37, nous
obtenons l’équation d’énergie sous la forme
Du Vi
div ( grad T ) q s ij (V.45)
Dt xj
V. 6. 4. Équation de l’enthalpie
L’enthalpie h est définie par la relation
100
Chapitre V
Convection
P
hu (V.46)
Dh Du DP P D
(V.47)
Dt Dt Dt Dt
D
divV 0 (V.48)
Dt
on obtient
Du Dh DP
P divV (V.49)
Dt Dt Dt
Dh DP Vi
div( grad T ) PdivV q S ij (V.50)
Dt Dt xj
V. 6. 5. Equation de la chaleur
D’après la thermodynamique on sait que h est fonction de
la température et de la pression
h h(T , P ) (V.51)
d’où la relation
Dh h DT h DP
T
Dt
P Dt (V.52)
Dt P T
101
Chapitre V
Convection
h
le terme
n’est rien d’autre que la chaleur spécifique
T P
du fluide à pression constante
h
C P (V.53)
T P
h
calculons à présent le terme
et pour cela utilisons le
P T
premier principe de la thermodynamique, à savoir
du Q W Q P dv (V.54)
introduisons l’enthalpie h qui est définie par
h u Pv (V.55)
d’où
Q dh vdP (V.56)
Q
à partir de la définition de l’entropie qui est ds , nous
T
obtenons
dh dP
ds v (V.57)
T T
remplaçons le terme de l’enthalpie donné par l’expression
h h
dh dP dT (V.58)
P T T P
nous trouvons
1 h v 1h
ds dP dT (V.59)
T P T T P T T P
102
Chapitre V
Convection
1 h v 1 h
(V.60)
T T P T T P P T T P T
soit
h V
T v (V.61)
P T T P
1
si nous remplaçons le volume v par
, on déduit que
v 1
2 (V.62)
T P T P
v
(V.64)
T P
h
et ainsi le terme
devient
P T
h 1 T
(V.65)
P T
DT DP Vi
CP div( grad T ) q s P divV T ij
Dt Dt xj
(V.66)
103
Chapitre V
Convection
T
C P V gradT div( grad T ) q s
t
(V.67)
P Vi
PdivV T V gradP ij
t xj
Vi
Le denier terme ij x du membre droit de l’équation V.
j
Vi
ij P divV (V.68)
xj
104
Chapitre V
Convection
T T T T 2T 2T 2T
C P U V W 2 2 q s
x
t x y z 2
y z
(V.71)
la fonction de dissipation visqueuse dans ce cas, devient
V Vi Vj
2
1
2 ( i 2
xi
)
2
x
xi
(V.72)
i, j j
U
2
V
2
W
2
2
x y z
(V.73)
U V
2
V W
2
W U
2
y x z y x z
105
Chapitre V
Convection
U
P (V.74)
y y 0
U
où est la viscosité dynamique du fluide et
y
est le
y 0
gradient de la vitesse longitudinale sur la surface solide.
Cette contrainte de cisaillement pariétale est liée au
coefficient de frottement pariétal C fP par l’équation
P
C fP
U 2 (V.75)
2
cll rt clt
y
U
106
Chapitre V
Convection
U
U
V x
x
xcr
U 2
F f C fP S (V.76)
2
107
Chapitre V
Convection
y T
T
0,99T
T x
TP x
V. 9. Le nombre de Prandtl
L’épaisseur de la couche limite visqueuse V x est
intimement liée à l’épaisseur de la couche limite thermique
T x à travers le nombre adimensionnel Pr appelé le
nombre de Prandtl. Ce nombre est défini par le rapport
108
Chapitre V
Convection
C P
Pr (V.77)
a
où est la diffusion moléculaire de la quantité du
mouvement et a est la diffusion moléculaire de la chaleur.
Pour les gaz, le nombre de Prandtl est proche de l’unité (
Pr 1 ), ce qui montre que dans les gaz, la quantité du
mouvement et la chaleur se dissipent avec le même taux. La
chaleur se dissipe plus rapidement dans liquides ( Pr 1 )
que dans les huiles ( Pr 1 ).
Fluide Pr
Métaux liquides 0,004-0,030
Gaz 0,7-1,0
Eau 1,7-13,7
Fluides organiques légers 5-50
Huiles 50-100000
Glycérine 2000-100000
109
Chapitre V
Convection
U 2
L ULC ULC
Re C (V.78)
U
2
LC
U V
0 (V.79)
x y
U U 1 P 2U 2U
U V
(V.80)
x y x x
2
y 2
V V 1 P 2V 2V
U V 2
(V.81)
x y y x y 2
T T 2T 2T
U V a 2
(V.82)
x y x y 2
110
Chapitre V
Convection
x y
xˆ , yˆ Re L (V.83)
L L
U V T T ˆ P
Û , Vˆ U Re , Tˆ ,P (V.84)
U T TP U 2
UL
où Re L est le nombre de Reynolds. En injectant ces
nouvelles variables dans les équations V. 79, V. 80, V. 81 et
V. 82, nous obtenons une forme adimensionnelle des
équations de bilan pour un écoulement laminaire
bidimensionnel. Ces équations sont
Uˆ Vˆ
0 (V.85)
xˆ yˆ
U
y
U
V x
V
111
Chapitre V
Convection
x
x
L
x
Figure V. 8. Illustration de la couche limite sur une surface
plane.
Uˆ Vˆ
0 (V.89)
xˆ yˆ
Pˆ
0 (V.91)
yˆ
C P
où Pr est le nombre de Prandtl.
Si nous revenons aux variables physiques, les équations de la
couche limite bidimensionnelle en écoulement laminaire
sont
U V
0 (V.93)
x y
U U 1 P 2U
U V (V.94)
x y x y 2
112
Chapitre V
Convection
P
0 (V.95)
y
T T 2T
U V a (V.96)
x y y 2
x 0, U U , V 0, T T (V.97)
y 0, U 0, V 0, T TP (V.98)
y , U U , V 0, T T (V.99)
x y
xˆ , yˆ (V.100)
L L
U V T TP ˆ P
Û , Vˆ U , Tˆ ,P (V.101)
U T TP U 2
Uˆ Vˆ
0 (V.102)
xˆ yˆ
113
Chapitre V
Convection
V L C P
où Re L est le nombre de Reynolds et Pr est
le nombre de Prandtl. Les conditions aux limites
adimensionnelles pour ce problème sont alors
xˆ 0, Uˆ 1, Vˆ 0, Tˆ 1 (V.105)
yˆ 0, Uˆ 0, Vˆ 0, Tˆ 0 (V.106)
ˆ , Uˆ 1, V 0, Tˆ 1
y (V.107)
Les équations de la couche limite renferment trois inconnues
Û , Vˆ et Tˆ , deux variables x̂ et ŷ et deux paramètres
Re L et Pr . Pour une géométrie donnée, la solution pour Û
et Vˆ peuvent être écrites sous la forme
Uˆ F1 xˆ , yˆ , Re L (V.108)
Vˆ F2 xˆ , yˆ , Re L (V.109)
U Uˆ
P (V.111)
L yˆ
yˆ 0
114
Chapitre V
Convection
P
Cf P x
U 2 (V.112)
2
En substituant l’équation (), nous obtenons
2 U Uˆ
Cf P x (V.113)
U 2 L yˆ
yˆ 0
soit
2 Uˆ
Cf P x (V.114)
Re L yˆ
yˆ 0
Cf Px F3 xˆ , Re L (V.115)
Cette relation montre que ce coefficient de frottement
pariétal ne dépendra que du nombre de Reynolds Re et de
l’abscisse adimensionnelle x̂ .
Pour la température Tˆ , sa forme fonctionnelle s’écrit sous la
forme
Tˆ F4 xˆ , yˆ , Re L , Pr (V.116)
115
Chapitre V
Convection
Tˆ
h (V.119)
L
yˆ yˆ 0
soit
hL Tˆ
yˆ
(V.120)
yˆ 0
Nu x F5 xˆ , Re L , Pr (V.123)
Si nous nous intéressons aux valeurs moyennes du
coefficient de frottement pariétal et du nombre de Nusselt, il
faut intégrer les formes fonctionnelles par rapport à la
variable adimensionnelle entre zéro et un et dans ce cas,
nous pouvons écrire que
Cf P F6 Re L (V.124)
Nu F7 Re L , Pr (V.125)
Ces relations montrent que le coefficient de frottement
pariétal moyen ne dépend que du nombre de Reynolds et
que le nombre de Nusselt moyen ne dépend que du nombre
de Reynolds et du nombre de Prandtl.
116
Chapitre V
Convection
Uˆ Tˆ
(V.128)
yˆ
yˆ 0 yˆ yˆ 0
Uˆ
En exprimant la dérivée en fonction du coefficient
y
ˆ yˆ 0
Tˆ
de frottement pariétal Cf P x et la dérivée en
y
ˆ yˆ 0
fonction du nombre de Nusselt, nous avons
Uˆ Re L
Cf P x (V.129)
yˆ 2
yˆ 0
Tˆ
Nu x (V.130)
yˆ
yˆ 0
117
Chapitre V
Convection
U V
0 (V.132)
x y
U U 2U
U V (V.133)
x y y 2
118
Chapitre V
Convection
x, y x, y
0 (V.138)
x y y x
x, y x, y U U 2x '
U xU f ' f
y y x x
(V.142)
la composante longitudinale de la vitesse U devient
U U f ' (V.143)
La composante transversale de la vitesse V est définie par
l’équation V. 137
x, y
V
x
x
xU f (V.144)
comme nous avons la dérivée d’un produit de deux
fonctions, l’équation V. 144 peut se mettre sous la forme
xU f
V f xU
x x
(V.145)
xU f
f xU
x x
119
Chapitre V
Convection
xU 1 U
(V.147)
x 2 x
U
y
x 1 y U (V.148)
x x 2 x x
substituons les relations V. 147 et V. 148 dans la relation V.
146, nous obtenons
1 U 1 y U
V f xU f (V.149)
2 x 2 x x
U
, l’équation V. 151 se simplifie et on obtient la
x
relation ci-dessous
120
Chapitre V
Convection
1 U
V f f (V.152)
2 x
121
Chapitre V
Convection
x 0, U U , V 0 (V.161)
y 0, U V 0 (V.162)
y , U U ,V 0 (V.163)
122
Chapitre V
Convection
df
0 , f 0 , 0 (V.164)
d
, df 1 (V.165)
d
123
Chapitre V
Convection
U
5 V x (V.166)
x
d’où
124
Chapitre V
Convection
5 5x
V x
U Ux (V.167)
x
Ux
remarquons que le terme n’est rien d’autre que le
nombre de Reynolds
Ux
Re x (V.168)
ainsi, l’épaisseur de la couche limite V x devient
5x
V x (V.169)
Re x
U U Re x d 2 f
P (V.170)
y y 0
x d 2 0
0,664
Cf P x (V.172)
Re x
125
Chapitre V
Convection
1 L
Cf P
L Cf
0
Px dx (V.173)
L
2 0,664 2
1 1
1 L 0,664
Cf P
L 0 U
x 2 dx x
U (V.174)
L 0
1,328
Cf P (V.175)
Re L
3
V x
1
Cf P
0
0 2 4 6 8 10
x
126
Chapitre V
Convection
T T 2T
U V a (V.175)
x y y 2
127
Chapitre V
Convection
Pr
f d
0 e 2 0
d
(V.189)
Pr
f d
0
2 0
e d
128
Chapitre V
Convection
soit
d
hx
x d 0 (V.192)
U
hx x
comme le nombre de Nusselt local est Nu x , la relation
V. 191 devient
d
Nu x Re x (V.194)
d 0
129
Chapitre V
Convection
1
d
d
0,332 Pr 3 (V.196)
0
0,664
Comme le coefficient de frottement pariétal est Cf P x
Re x
, nous pouvons écrire alors que
2
Cf x
St x Pr 3 (V.201)
2
Cette relation relie le transfert de la quantité du mouvement
au transfert de chaleur par convection. En combinant les
équations V. 172 et V. 195, nous obtenons
1
Cf x
Re x Nu x Pr 3 (V.202)
2
ou bien
130
Chapitre V
Convection
2
Cf hx
jH x Pr 3 (V.203)
2 C PU
U U 1 P 2U
U V (V.205)
x y x y 2
y
U
U l
V x
131
Chapitre V
Convection
x x
l
U
V
0
x
dy (V.209)
l
U U l
U dU U
l
U
U dy U dy P
x
0
y 0
x dx y 0 y 0
132
Chapitre V
Convection
l
U
l U l
U l
dU
U
x
dy 0 dy dy U dy P
(V.211)
0 y
0
x 0
dx
posons que
l U l
U
I
y
0
0
x
dy dy
(V.212)
fg dy fg ba f gdy
(V.213)
a a
l
U U dU
2U
0
x
U
x
U
dx
dy P
(V.215)
133
Chapitre V
Convection
l
U
dU
U U U U dU dy P (V.217)
0
dx x dx
soit
l
dU dU
x U U
0
U U
dx
U
dx
dy P
(V.218)
l l
dU P
U U U dy
U U dy (V.219)
x 0 dx 0
dU
0 (V.220)
dx
V x
P
U U U dy (V.221)
x 0
134
Chapitre V
Convection
U y
2 3
y y y
a 0 a1 a 2 a 3 (V.223)
U V x V x V x
y 0, U 0 (V.224)
d 2U
y 0, U y , 0 (V.225)
dy 2
y V x , u u (V.226)
dU
y V x , 0 (V.226)
dy
3
U 3 y 1 y
(V.227)
U 2 V x 2 V x
135
Chapitre V
Convection
U 3 U
P (V.228)
y y 0
2 V x
V x
39
U U
0
U dy
280
U 2 V x (V.229)
4,64 x
V x (V.232)
Re x
136
Chapitre V
Convection
137
Chapitre V
Convection
et intégrons la entre y 0 et y T x
T x T x T x
T T 2T
0 U
x
dy 0 V
y
dy 0 a
y 2
dy (V.234)
T x T x
T T
remarquons que les termes 0 U
x
dy et 0 V
y
dy
T x T x T x
T U
0 U
x
dy
x 0 UT dy 0 T
x
dy (V.235a)
T x T x T x
T V
0 V
y
dy
y 0 VT dy 0 T
y
dy (V.235b)
(V.235c)
soit
T x T x T x T x
U V 2T
x 0 UT dy 0 T
x
dy
y y 0 VT dy 0 a
y 2
dy
U V
tenons compte de l’équation de continuité 0,
x y
l’équation précédente devient
138
Chapitre V
Convection
T x T x T x
2T
x
0
UT dy
y 0 VT dy 0 a
y 2
dy (V.235c)
T x
T x
y 0 VT dy VT 0 TV y T x (V.236)
l
U
en utilisant l’équation V. 209, à savoir V dy et
0
x
comme T est constante, nous pouvons écrire que
T x
UT
TV y t x 0
x
dy (V.236a)
T x
T
0 U T T dy a (V.238)
x y 0
3
T TP 3 y 1 y
(V.240)
T TP 2 T x 2 T x
139
Chapitre V
Convection
T x 3 x 2 3 T x
4
U T T dy T TP U V x
T
20 V x 280
x
0 V
sachant que
3 T x 3 x
4 2
T (V.241)
280 V x 20 V x
nous obtenons
x V x 3 a TP T
2
3
U TP T T (V.242)
20 V x x 2 T x
soit
x x
3
1
U T V x V a
10 V x x
4,64 x
en utilisant l’équation V x , nous avons
Re x
V x
V x 10,765 , d’où la relation entre l’épaisseur
x U
de la couche limite thermique et l’épaisseur de la couche
limite visqueuse
T x
3
10 a
(V.243)
V x 10,765
soit
1
T x 0,93 V x Pr 3
140
Chapitre V
Convection
V x
1
Pr 3 (V.244)
T x
T 3 T TP
q P (V.245)
y y 0
2 T x
nous obtenons
1
Nu x 0,332 Re x Pr 3 (V.246)
5x
V x (V.248)
Re x
0,376 x
V x 1 (V.250)
Re 5x
141
Chapitre V
Convection
0,074
Cf P 1 , 5 10 5 Re L 10 7 (V.252)
Re L5
1
xC L
Cf P
L Cf px lami dx Cf px turb dx
(V.254)
0 xC
142
Chapitre V
Convection
0,074 1742
Cf P
Re L , 5 10 Re L 10 (V.255)
1 5 7
Re L5
1
Nu 0,037 Re 0L,8 Pr 3 , 0,60 Pr 60 , 5 10 5 Re L 10 7 (V.260)
143
Chapitre V
Convection
1
Nu
0,037 Re 0L,8 871 Pr 3 , 0,60 Pr 60 , 5 10 5 Re L 10 7
(V.263)
Pour les métaux liquides, le nombre de Nusselt local est
144
Chapitre V
Convection
V x
T x
x x
L
Nu x 0
Nu x 1
3 3
(V.266)
1 4
x
Nu x 0
Nu x 1
9 9
(V.267)
1 10
x
145
Chapitre V
Convection
1
Nu x 0,453 Re x Pr 3 (V.270)
146
Chapitre V
Convection
UD
Re D (V.272)
où U est la vitesse d’approche du fluide sur le cylindre ou
la sphère. Le nombre de Reynolds critique pour un
écoulement autour d’un cylindre ou une sphère est de
l’ordre de 2 10 5 , c'est-à-dire que la couche limite autour du
cylindre ou de la sphère reste laminaire si le nombre de
Reynolds reste inférieur ou égal à 2 10 5 , et elle devient
turbulente si le nombre de Reynolds est supérieur ou égal à
2 10 5 .
L’allure de l’écoulement d’un fluide autour d’un cylindre ou
une sphère est très compliquée. Quand le fluide approche un
cylindre, il l’entoure et forme une couche limite de part et
d’autre, cependant au milieu, les particules fluides s’arrêtent
en point appelé point de stagnation où la pression augmente
énormément. Au-delà de ce point, la pression diminue dans
la direction d’écoulement et la vitesse par conséquent
augmente.
Sans entrer trop dans les détails de l’écoulement autour d’un
cylindre et une sphère, la complexité de l’écoulement
influence considérablement le transfert de chaleur autour
d’un cylindre ou une sphère. La figure montre les variations
du nombre de Nusselt Nu en fonction de l’angle polaire
pour différentes valeurs du nombre de Reynolds pour un
écoulement d’air autour d’un cylindre de diamètre D .
147
Chapitre V
Convection
D
148
Chapitre V
Convection
149
Chapitre V
Convection
1
2
4
Nu D 2 0,4 Re D 0,06 Re D
3
Pr 0, 4 (V.274)
P
Re D A
0,4-40 0,989 0,330
4-40 0,911 0,385
40-4000 0,683 0,466
4000-40000 0,193 0,618
40000-400000 0,027 0,805
150
Chapitre V
Convection
D 5 10 3 10 5 0,102 0,675
5 10 3 10 5 0,246 0,588
D
D 5 10 3 10 5 0,153 0,638
4 10 3 15 10 3 0,228 0,731
D
151
Chapitre V
Convection
UmD
Re D (V.277)
La vitesse U m est obtenue à partir du principe de
conservation de la masse pour un fluide incompressible. En
effet, pour un faisceau en ligne, nous avons
UA0 U m AT (V.278)
en utilisant les définitions de A0 et AT , nous obtenons
alors
UST L U m ST D L (V.279)
soit
ST
Um U (V.280)
ST D
152
Chapitre V
Convection
153
Chapitre V
Convection
U SL
ST
A0 AT
154
Chapitre V
Convection
U SL SD
ST
A0 AT
AD
155
Chapitre V
Convection
Faisceau Re D A
0 10 2 0,9 0,40 0,36 1
4
10 2 10 3 0,52 0,50 0,36 1
4
10 3 2.10 5 0,27 0,63 0,36 1
Ligne 4
2.10 5 2.10 6 0,033 0,80 0,40 1
4
0 5.10 2 1,04 0,40 0,36 1
4
5.10 2 10 3 0,71 0,50 0,36 1
4
10 3 2.10 5 S
0, 2 0,60 0,36 1
Quinconce 0,35 T 4
SL
2.10 5 2.10 6 S
0, 2 0,80 0,36 1
0,031 T 4
SL
156
Chapitre V
Convection
N 1 2 3 4 5 7 10 13
Ligne 0,70 0,80 0,86 0,90 0,93 0,96 0,98 0,99
Quinconce 0,64 0,76 0,84 0,89 0,93 0,96 0,98 0,99
U S
m S U r , z dS (V.287)
157
Chapitre V
Convection
U r , z dS (V.288)
U S
S
U r , z 2rdr 2
R
(V.289)
U 2 U r , z rdr
0
R 2
R 0
C PU r , z T r , z dS
T z S (V.293)
m
CP
158
Chapitre V
Convection
R
C P U r , z T r , z 2rdr R
2 (V.
T z 0
U r , z T r , z rdr
C P U R 2
UR2 0
294)
V. 22. 2. Ecoulement laminaire et écoulement turbulent
L’écoulement des fluides dans es tubes peut être laminaire
ou turbulent. Le critère de passage du régime laminaire au
régime turbulent est le nombre de Reynolds défini par
rapport à la vitesse moyenne d’écoulement. Pour un tube de
section circulaire, le nombre de Reynolds est
UD
Re D (V.295)
où D est le diamètre de la section du tube et est la
viscosité cinématique du fluide dans le tube.
Pour les tubes non-circulaire, le calcul du nombre de
Reynolds est défini par rapport au rayon hydraulique Dh
defini par la relation
4S
Dh (V.296)
p
159
Chapitre V
Convection
Section carrée
D 2
4a 2
Dh 4 a
4a
a
a
Section rectangulaire
D 2
4ab
2ab
Dh 4
2 a b ab
b
Tableau V. 7. Diamètre hydrauliques pour différentes
géométries de tubes.
V. 22. 3. Région d’entrée
Quand un fluide s’écoule à l’intérieur d’un tube, la vitesse
du fluide sur la paroi du tube est nulle à cause du frottement
et augmente vers le centre pour garder un débit constant. Il
se développe alors une couche limite le long de l’axe du
160
Chapitre V
Convection
r U r
Ue
z
U r, z
161
Chapitre V
Convection
TP z
T r
Te
r
z
T r, z
162
Chapitre V
Convection
U r, z U r (V.298)
sachant que le coefficient de frottement pariétal est
proportionnel à la pente de la vitesse calculée sur la paroi du
tube, et comme le profil de la vitesse est indépendant de la
direction z , le coefficient de frottement pariétal lui aussi
sera constant le long de cette direction.
Le fait que le profil de la température est thermiquement
développé, s’exprime mathématiquement par la relation
TP z T r , z
0 (V.299)
z TP z T z
T r
q hz TP T (V.301)
r r R
T r
r r R (V.302)
hz
TP T
coefficient qui sera constant et indépendant de la direction
z.
163
Chapitre V
Convection
Leh lami
0,05 Re D (V.303)
D
Let lami
0,05 Re D Pr (V.304)
D
Pour un écoulement turbulent dans un tube, la longueur
d’entrée hydrodynamique Leh est définie par la relation
1
Leh turb 1,359 Re D4 (V.305)
m
T dT
T
164
Chapitre V
Convection
qz
q z h z TP T (V.308)
165
Chapitre V
Convection
Te To
qz
C P d T q z Pdz
m (V.312)
où P est le périmètre du tube. Si la capacité calorifique et le
débit sont constants, nous pouvons écrire alors la relation
dT q P
z (V.313)
dz m CP
dT
const (V.314)
dz
166
Chapitre V
Convection
TP T
0 (V.316)
z TP T
soit
TP T
0 (V.318)
z z
En combinant les relations V. 313 et V. 315, nous pouvons
écrire que
dT dTP d T q P
z (V.319)
dz dz dz m CP
167
Chapitre V
Convection
T
TP
To
T
Te
z
0 L
Q hS L TP T (V.320)
168
Chapitre V
Convection
Te To
T TP TP T (V.322)
2
où T est la température moyenne du fluide entre l’entrée et
la sortie du tube.
Si nous considérons un fluide qui s’écoule dans un tube
isotherme à la température TP , nous pouvons écrire le bilan
énergétique suivant
C P d T h TP T dS L
m
(V.323)
Comme la température TS est constante, et sachant que
dS L Pdz où TP est le périmètre du tube, la relation V. 323
devient
m
C P d TP T hP TP T dz (V.324)
En séparant les variables, nous obtenons
d TP T hP
T P T m
CP
dz (V.325)
Te
TP T
0
m
CP
dz (V.326)
Soit
TP To hPL hS L
ln (V.327)
TP Te mC P
m
CP
169
Chapitre V
Convection
hS L
m C P
T To (V.329)
ln P
TP Te
En utilisant la relation
C P To Te
Qm (V.330)
Et en y substituant la valeur de m
C P , nous avons
hS L To Te hS L Te To
Q
TP To T T (V.331)
ln ln P o
TP Te TP Te
T l
Te To
TS To (V.333)
ln
TS Te
T TP
To
To
Te
T
170
Chapitre V
Convection
Te
0 L z
P P dP
171
Chapitre V
Convection
U z r
z x
z z dz
R 2 P r
2
U z r 1 (V.338)
4 z R
R 4 P
m (V.340)
8 z
172
Chapitre V
Convection
R 2 P
U max (V.343)
4 z
2,0
1,6
U z r 1,2
Uz
0,8
0,4
0,0
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0
r
R
U z r
Figure V. 26. Profil de la vitesse .
Uz
U r
p z (V.346)
r r R
U z r
Uz
173
r
R
Chapitre V
Convection
U z r
Calculons le terme à partir de la relation, en effet on
r
a
U z r 2r 4U
2U z 0 2 2z r (V.347)
r R R
U z r
En substituant la valeur de la dérivée de la vitesse
r
prise pour r R , nous obtenons l’expression de la contrainte
de cisaillement pariétale
4 U z
p (V.348)
R
Au sein du fluide la contrainte de cisaillement est
U z r 4 U z
r r (V.349)
r R2
En combinant les relations, nous trouvons la distribution de
la contrainte de cisaillement au sein du fluide, cette
distribution est
r r
(V.350)
P R
174
Chapitre V
Convection
U z D
Si nous introduisons le nombre de Reynolds Re D ,
le coefficient de frottement pariétal s’écrit alors
16
C fP (V.353)
Re D
soit
32L
P Uz (V.356)
D2
Introduisons un coefficient adimensionnel appelé
coefficient de Darcy-Weisbach ou coefficient de pertes de
charge, défini par
P
1
2
Uz
2 L
D
(V.357)
175
Chapitre V
Convection
T U T T 1 T 1 2T 2T
Ur U z a r 2 2 (V.360)
r r z r r r r
2
z
176
Chapitre V
Convection
dT dTS dTm q P
z (V.362)
dz dz dz m C P
Le débit massique m
est lié à la vitesse moyenne U z par la
relation
U z S R 2 U z
m (V.363)
en substituant cette relation dans l’équation V. 362, nous
arrivons à
dT dTS dTm q z 2R 2q z
(V.364)
dz dz dz R U z C P U z C P R
2
dT
introduisons les expressions de et de la vitesse U z r
dz
dans l’équation de la chaleur, et on obtient
r
2
2q z a T
2U z 1 r (V.365)
R U z CP R r r r
2
4q z 1 r 1 r T (V.366)
R R r r r
T 4q z r 2 r4
r C1 (V.368)
r 2 R 4 R 3
Soit
177
Chapitre V
Convection
T 4q z r r3 C1
(V.369)
r 2 R 4 R 3 r
4q z r2 r4
T r
4 R 16 R 3
C1 ln r C2
(V.370)
r R , T TP z (V.371)
Ainsi, on a
4q z r2 r4
TP z
4 R 16 R 3
C2 (V.372)
r R
q z R r 3
2 4
1 r
T r TP z (V.374)
R 4 R 4
178
Chapitre V
Convection
r 2 q R r 2 1 r 4 3
U z r T r , z 2U z 1 z TP z
R R 4 R 4
(V.376)
Soit
2U z q z R 7 r 3
2 4 6
5 r 1 r
U z r T r , z
4 R 4 R 4 R 4
(V.377)
r
2
2U z TP z 1
R
4q z
R
7 r 2 5 r 4 1 r 6 3
T z rdr
R 04 R 4 R 4 R 4
(V.378)
4
R
r
2
2 TS z 1 rdr
R R
0
soit
11 q z R
T z TP z (V.380)
24
D’où
11 q z R
TP z T z (V.381)
24
A partir de la loi de Newton, nous avons
q z hz TP z T z (V.382)
C'est-à-dire que
179
Chapitre V
Convection
11 q z R
q z hz (V.383)
24
D’où le nombre de Nusselt
hD 48
Nu z 4,363 (V.384)
11
Ainsi, le nombre de Nusselt pour un tube soumis à un flux
de chaleur pariétal uniforme est constant le long du tube.
T T
C PU z r (V.385)
z r r r
T TP U z
r , , , W
r z
(V.386)
T0 TP R R Uz
T T 1 T
(V.388)
r r R
180
Chapitre V
Convection
C P U z R
Travaillons le terme constant , en effet, nous
avons
C P U z R C P U z R C P U z D Re D Pr
(V.392)
2 2
T
T0 TP (V.396)
r r
181
Chapitre V
Convection
T
T0 TP (V.397)
Re D Pr T T0 TP
W 0 (V.398)
2
1
Re D Pr T0 (V.399)
T0 TP W
2
Cette équation est une équation à variables séparables, qui
s’écrit en introduisant la constante 2 , comme
1
Re D Pr T0 (V.400)
2
T0 TP W
2
Ainsi, nous arrivons à deux équations différentielles
ordinaires indépendantes
T0
2 (V.401)
T0 TP Re D Pr
1 2
W 0 (V.402)
2
182
Chapitre V
Convection
d T0 TP 2
d (V.403)
T0 TP Re D Pr
soit
2 1
2
2 1 2 0 (V.407)
183
Chapitre V
Convection
d
A1 2 A2 3 A3 2 4 A4 3 . ... m 1 Am1 m V.414)
d
d 2
2 A2 6 A3 12 A4 2 . ... m 1 m 2 Am 2 m (V.415)
d 2
2 1
2
2 1 2 0 (V.416)
9 A3 2 A1 0 (V.420)
25 A5 2 A3 2 A0 (V.421)
184
Chapitre V
Convection
D’où la relation
2
A2 n 2 A A (V.425)
2n 2 2 2 n 2 2 n
Par conséquent la solution peut être écrite sous la
forme
n
A2 n 2n (V.426)
n 0
2
A2 n A A , n2 (V.427)
2n 2 2 n 4 2 n 2
Remarquons que la solution ne renferme que les puissances
paires de la variable , soit
A0 A2 2 A4 4 A6 6 .... A2 n 2 n (V.428)
A partir des conditions aux limites pour la température
adimensionnelle
0, 1 (V.429)
1, 0 (V.430)
nous arrivons aux relations suivantes pour les coefficients
A2 n , à savoir
A0 1 (V.431)
A0 A2 A4 A6 .... A2 n 0 (V.432)
185
Chapitre V
Convection
2
A2 A0 (V.433)
4
2
A4 A0 A2 (V.434)
16
2
A6 A2 A4 (V.435)
36
2 2 2 2
A0
A6 1 (V.437)
36 4 16 4
2 2 2 2 2 2 2
A0 A0 1 A 1 A0 .... 0
16 4 36 4 16 4
0
4
(V.438)
réarrangeant cette égalité sous la forme
2 2 2 2 5 2 4
A0 A0 1 A0 A0 .... 0 (V.439)
4 16 4 36 16 64
ou bien
2 2 2 2 5 2 4
A0 1 1
4 16 4 36 16 64 .... 0 (V.440)
soit
186
Chapitre V
Convection
2 2 4 5 4 5 6
A0 1 .... 0 (V.441)
4 16 64 576 2304
4 4 108 2 576
0 (V.443)
576
Ou bien
4 4 108 2 576 0 (V.444)
D’où
4 27 2 144 0 (V.445)
La solution de cette équation algébrique du quatrième ordre
en est
2,704364 (V.446)
Reprenons l’équation de la chaleur
C PU z T0 T
r (V.447)
R r r r
R R
C PU z T0 T
0
R
rdr r
0
r rdr
r r
(V.448)
187
Chapitre V
Convection
R R r R
T T T
0
r rdr
r r r 0
r dr r
r r
r r 0
(V.450)
rR
T T T T T
r r r r r R
r 0 r r R r r 0 r r R r r R
(V.451)
L’équation s’écrit dans ce cas comme
R
C PU z T0 T
0
R
rdr R
r r R
(V.452)
d’où
R
C PU z T TP T0 T
0 R
T0 TP
rdr R
r r R
(V.454)
ou bien
T0
R
C PU z
0 T TP rdr R T (V.455)
R T0 TP r r R
T
Remarquons que le terme q P est le flux de
r r R
chaleur sur la paroi du tube, et faisons quelques petites
transformations pour faire apparaître le nombre de Prandtl
et de Reynolds, en effet, après cela, l’équation s’écrit
188
Chapitre V
Convection
T0
R
Uz 2 R
C P Uz T TP rdr Rq P (V.456)
0
Uz 2 R T0 TP
2
soit
T0
R
U z Pr Re D (V.457)
T TP rdr Rq P
0
U z 2 R 2
T0 TP
A partir de l’équation
T0
2 (V.458)
T0 TP Re D Pr
U z T TP rdr
R
2
2 0 R 2U z
Rq P (V.460)
En séparant l’intégrale, on a
2 1 R T
R
2
2
R U z 0
U z Trdr 2 P
R Uz 0
U z rdr Rq P
(V.461)
189
Chapitre V
Convection
2
Et par conséquent le nombre de Nusselt est
hD 2
Nu D (V.465)
2
En replaçant la constante par sa valeur numérique, nous
obtenons la valeur du nombre de Nusselt pour un tube
isotherme, à savoir
Nu D
2,704364 2 3,656 (V.466)
2
V. 26. Ecoulement turbulent dans un tube
Pour un écoulement turbulent dans un tube ( Re D 10 4 ), les
corrélations sont le plus souvent déduites d’études
expérimentales car leurs dérivations théoriques sont très
quasiment impossibles à cause de la complexité de la
turbulence. Pour les écoulements turbulents dans des tubes
lisses, le coefficient de Darcy-Weisbach est donné par la
formule
1
, 10 4 Re D 10 6 (V.467)
0,790 ln Re D 1,64 2
Le nombre de Nusselt dans ce cas est donné par la relation
dite de Chilton-Colburn
1
Nu D 0,125 Re D Pr 3 (V.468)
190
Chapitre V
Convection
0,4 chauffage
Nu D 0,023 Re 0D,8 Pr , (V.471)
0,3 refroidiss ement
Cette équation modifiée est dite relation de Dittus-Boelter.
Les propriétés thermophysiques sont évaluées à la
T To
température moyenne T e . Il existe une autre
2
formule plus précise dite relation de Petukhov, c’est
Re D Pr
8 104 Re D 5.106
Nu D
3
0, 5 1 , (V.472)
1,07 12,7
8
Pr 1
0,5 Pr 2000
Pour des faibles nombres de Reynolds, la formule V. 472
s’écrit
191
Chapitre V
Convection
Re D 1000 Pr 3.103 Re D 5.106
8
Nu D
0,5 1 , (V.473)
1 12,7 Pr 3 1
8
0,5 Pr 2000
Pour les métaux liquides, le nombre de Nusselt pour un tube
isotherme est donné par la relation
1
10 4 Re D 106
Nu D 4,8 0,0156 Re 0D,85 PrP3 , (V.474)
0,004 Pr 0,01
Pour un tube soumis à un flux de chaleur, le nombre de
Nusselt est donné par la relation
1
10 4 Re D 106
Nu D 6,3 0,0167 Re 0D,85 PrP3 , (V.475)
0,004 Pr 0,01
Dans les deux cas, le nombre de Prandtl est évalué à la
température de la paroi du tube TP .
Pour un tube rugueux, le coefficient de Darcy-Weisbach
est donné par la relation
1 2,51
2,0 log D (V.476)
3,7 Re D
où est la rugosité relative de la paroi interne du tube.
D
Cette relation s’appelle relation de Colebrooke.
192
Chapitre V
Convection
U U 1 P 2U
U V g (V.478)
x y x y 2
T T 2T
U V a (V.479)
x y y 2
U x, y
TP
T
193
Chapitre V
Convection
Soit
U U 2U
U V g (V.482)
x y y 2
194
Chapitre V
Convection
U U 2U
U V g T T (V.489)
x y y 2
T T 2T
U V a (V.490)
x y y 2
V. 27. 2. Adimensionnalisation
Si nous considérons le changement de variables suivant
x y
xˆ , yˆ (V.491)
L L
U V T TP
Û , Vˆ U , Tˆ (V.492)
U TP T
U U g TP T L ˆ 1 2U
U Vˆ T (V.494)
xˆ yˆ U 2 Re L yˆ 2
g TP T L
Le terme peut être transformé comme suit
U 2
195
Chapitre V
Convection
g TP T L g TP T L3 2 Gr
(V.496)
U2
2 2 2
UL Re 2L
g TP T L3
Gr (V.497)
2
Le nombre de Grashof est le rapport entre les forces de
flottaison et les forces d’inertie. Ainsi, les équations de la
couche limite deviennent
Uˆ Vˆ
0 (V.498)
x y
U U Gr ˆ 1 2U
U Vˆ T (V.499)
xˆ yˆ Re 2L Re L yˆ 2
Gr
Regardons de près l’influence du terme sur le transfert
Re 2L
Gr
de chaleur. Si 1 , nous sommes en présence des deux
Re 2L
types de convection, la convection forcée et la convection
libre, c’est ce que nous appelons la convection mixte. Si
Gr
1 , c’est la convection forcée qui domine et
Re 2L
Gr
finalement si 1 , c’est la convection libre qui est
Re 2L
prépondérante.
Comme nous l’avons fait en convection forcée, nous pouvons
déduire certaines relations fonctionnelles concernant les
profils adimensionnels des vitesses et de la température. Ces
relations fonctionnelles sont
196
Chapitre V
Convection
Uˆ F1 xˆ , yˆ , Re L , Gr (V.501)
Vˆ F2 xˆ , yˆ , Re L , Gr (V.502)
Tˆ F1 xˆ , yˆ , Re L , Gr , Pr (V.503)
V. 27. 3. Convection libre sur une surface plane verticale et
isotherme
Pour une surface plane verticale et isotherme, les équations
de la couche limite laminaire sont
U V
0 (V.504)
x y
U U 2U
U V g T T (V.505)
x y y 2
T T 2T
U V a (V.506)
x y y 2
g TP T x 3
où Grx .
2
Introduisons aussi une certaine fonction f telle que la
fonction du courant x, y s’écrit
4
Gr
x, y 4 x f (V.510)
4
Sachant que
197
Chapitre V
Convection
x, y x, y
U ,V (V.511)
y x
Nous pouvons calculer la composante U de la vitesse, en
effet nous avons
x, y x, y
U (V.512)
y y
198
Chapitre V
Convection
T
Le gradient de température s’écrit en fonction de la
T
variable et de la température adimensionnelle
comme
1
Grx 4
qP TP T
(V.521)
x 4 0
199
Chapitre V
Convection
soit
1
g TP T 4
L
dx
h F4 Pr 1 (V.529)
L 4 2
0
x4
1
4 g TP T L3 4
(V.530)
h F4 Pr
3 L 4 2
1
4 GrL 4 (V.531)
Nu F4 Pr
3 4
ou bien
4
Nu Nu L (V.532)
3
Comme aussi dans la convection libre il y a un mouvement
du fluide, il est possible d’avoir des instabilités qui mènent
vers la turbulence. La transition vers la turbulence dépend
du rapport des forces de flottabilté aux forces visqueuses
dans le fluide. Le critère de transition dans ce cas est le
nombre de Rayleigh défini comme le produit du nombre de
Grashof par le nombre de Prandtl, soit
g TP T x 3
Ra x Grx Pr 10 9 (V.533)
a
V. 27. 4. Corrélations expérimentales pour la convection
libre
Généralement les corrélations sont de la forme
200
Chapitre V
Convection
Nu ARa L (V.534)
1 1
où est égale à pour le cas laminaire et pour le cas
4 3
turbulent.
V. 27. 4. 1. Plaque verticale
Pour une plaque verticale, le nombre de Nusselt moyen est
donné par les formules
1
0,59Ra L4 , 10 4 RaL 109
Nu (V.535)
1
9 13
0,10Ra L , 10 Ra L 10
3
Géométrie LC Rayleigh Ra L Nu
201
Chapitre V
Convection
L 10 4 Ra L 109
1
L 109 Ra L 1013 0,59RaL4
Nu
1
3
0,10RaL
L Ra L 10 9 g cos TP T L3
Ra L
a
10 4 Ra L 10 7 1
Nu 0,54 Ra L4
10 7 Ra L 1011
1
S 9
10 Ra L 10 11 Nu 0,15 Ra L3
P
1
Nu 0,27 Ra L4
35 L
D 1
L GrL4
2
1
6
0,387 Ra D
Nu 0,6 8
Ra D 1012 0,559 16
9
27
D 1
Pr
1
0,589 Ra D4
Nu 2
D Ra D 1011 9
4
9
1 0,464 16
Pr 0,7 Pr
202
Chapitre V
Convection
Air
203
Chapitre V
Convection
m e
Figure V. 29. Surface verticale ailettée.
Pour ce cas de figure, le nombre de Nusselt moyen pour le
cas où les plaques sont isothermes est donné par la formule
1
2
Nu
he
576
2
2,873
1 (V.540)
Ra e e 2
e
L Ra e
L
204
Chapitre V
Convection
TP T
T .
2
Si les plaques sont soumises à un flux de chaleur pariétal q P
, le nombre de Grashof dans ce cas est
gq P e 4
Rae (V.544)
a
et par conséquent le nombre de Nusselt moyen sera
1
2
Nu L
hL e
48
2,51
(V.545)
Ra
e e
0, 4
e
L Ra e
L
205
Chapitre V
Convection
1
e4 L 5
eopt 2,714
Ra
(V.546)
e
TL T
T , TL est la température du bord supérieur de
2
l’ailette et elle déterminée à partir de la relation
qP
TL T (V.548)
hL
206
Chapitre V
Convection
g TC TF L3C
Ra L (V.538)
a
où LC est la longueur caractéristique qui est dans ce cas la
distance séparant les parois chaude et froide, TC et TF sont
respectivement les températures de la paroi chaude et la
paroi froide.
(a )
(b)
207
Chapitre V
Convection
0,2 Pr 2
pour les liquides, le Nusselt moyen est
1
Nu 0,069 Ra L3 Pr 0,074 , 3.105 Ra L 7.109 (V.535)
TF
L
Q
TC
208
Chapitre V
Convection
H
dépendant du rapport comme le montre le tableau ci-
L
dessous.
H C (°)
L
1 25
3 53
6 60
209
Chapitre V
Convection
12 67
12 70
1
Nu Nu 90 sin 4 , C 90 (V.535)
Nu 1 Nu 90 1 sin , 90 180 (V.535)
L
H
Q
TF
TC
210
Chapitre V
Convection
H
1 L 2
0,29
Pr RaL Pr RaL 3
Nu 0,18 , 10 (V.535)
0,2 Pr 0,2 Pr
0 Pr
H
2 10
1 L
Pr Ra L H 4
0,28
Nu 0,22 , RaL 1010 (V.535)
0,2 Pr L
0 Pr
TC TF
H
211
Chapitre V
Convection
H
Si le rapport est très grand, nous pouvons utiliser les
L
realtions suivantes
H
10 L 40
1
H
0 ,3
4
Nu 0,42RaL Pr , 10 RaL 107
4 0 , 012
(V.535)
L
1 Pr 2.104
H
1 L 40
1
Nu 0,42RaL3 , 106 RaL 109 (V.535)
1 Pr 20
V. 28. Ebullition et condensation
Dans cette partie nous nous intéressons au transfert de
chaleur associé au changement de phase d’un fluide. Plus
spécialement, nous étudions les processus qui se passent à
l’interface solide-liquide et solide-vapeur c’est-à-dire à
l’ébulition et la condensaion. Lors du chagement de phase
212
Chapitre V
Convection
213
Chapitre V
Convection
h h TP Tsat , g l v , h fg , , L, , C P , , (V.536)
214
Chapitre V
Convection
215
Chapitre V
Convection
216
Chapitre V
Convection
217
Chapitre V
Convection
q a b c d
C
10 6
E
10 5
B
10 4 A
D
a a Tex
10 3
5 10 30 120 1000
218
Chapitre V
Convection
Intervalle de
Liquide Intervalle de Tension surfacique
température °C
Ammoniaque -70, -40 0,0264 0,000223T
Benzène 10, 80 0,0315 0,000129T
Butane -70, -20 0,0149 0,000121T
Dioxyde de carbone -30, -20 0,0043 0,000160T
Alcool ethyléque 10, 70 0,0241 0,000083T
Mercure 5, 200 0,4906 0,000205T
219
Chapitre V
Convection
1
q max Bh fg g v2 l v 4 (V.541)
220
Chapitre V
Convection
1
g l v 4
q min 0,09 v h fg (V.542)
2
l v
V. 28. 5. Condensation
La condensation apparaît quand a température de la vapeur
est inférieure à sa température de saturation. Elle se
manifeste quand une vapeur est mise au contact d’une
surface froide. La chaleur latente de la vapeur est libérée à la
surface et un condensat se forme. Dans la condensation
homogène, la vapeur se condense en gouttes qui restent
suspendues dans la phase gazeuse et forme un brouillard, et
dans la condensation directe, la vapeur est au contact avec
un liquide froid.
La condensation apparaît de deux façons selon l’état de la
surface. La forme la plus répandu de la condensation est
celle où le film liquide couvre la totalité de la surface et, sous
l’effet de la gravitation, il ruissele le long de cette surface. La
formation d’un film liquide à partir de la condensation de la
vapeur est un signe de la propreté de la surface. Si la surface
a subi un traitement anti-mouillage, la condensation se
manifeste en gouttes qui couvrent par conséquent toutes la
surface. Ces gouttes ont des diamètres très variées, allant du
221
Chapitre V
Convection
222
Chapitre V
Convection
l Dh U l
Re (V.544)
l
4 lU l S 4 m x
Re (V.547)
p l p l
223
Chapitre V
Convection
S
x
S
x
x
224
Chapitre V
Convection
Cylindre
Géométrie Plaque Cylindre horizontal
verticale vertical
Périmètre
moulli L D 2L
p
Surface de
section L x D x 2 L x
S
Diamètre
hydrauliqu 4 x 4 x 4 x
e
Dh
Q hS Tsat TP m
x hˆ fg (V.550)
225
Chapitre V
Convection
Re 0
La min aire
Re 30
La min aire
avec ondes
Re 1800
Turbulent
226
Chapitre V
Convection
TP
Ul y
Tsat
227
Chapitre V
Convection
TP Tsat
dx
y
x
Fax
y x
dx
F fx
228
Chapitre V
Convection
Px
Px F fx Fax (V.552)
En substituant les expressions de ces forces, l’équation du
mouvement devient
dU l
l g x y Ldx l Ldx v g x y Ldx (V.553)
dy
dU l g l v x y
(V.554)
dy l
C’est une équation différentielle du premier ordre qui
nécissite une seule condition aux limites qui
y 0, U l 0 (V.555)
L’intégration de l’équation du mouvement nous donne
g l v y2
U l y x y
C (V.556)
l 2
229
Chapitre V
Convection
g l v 2 x y y2
U l y
x 2 2 x (V.557)
l
x
x
m U l l x Ldy (V.558)
0
g l l v L 3
m x x (V.559)
3 l
Le taux de condensation sur une distance dx le long de la
plaque est
dm x g l l v L 2 x d x
(V.560)
dx l dx
La quantité de chaleur dQ transmise à la plaque durant la
condensation est
x
dQ h fg dm (V.561)
Tsat TP
dQ l Ldx (V.562)
x
En combinant ces deux équations, nous pouvons écrire
x l L Tsat TP
dm
(V.563)
dx h fg x
230
Chapitre V
Convection
x
dm
Eliminons le terme entre les relations V. 560 et V.
dx
563, nous trouvons
l l Tsat TP
3 x d x (V.564)
g l l v h fg
1
4 T TP x 4
x l l sat (V.565)
g l l v h fg
l Tsat TP
q x hx Tsat TP (V.566)
x
l
hx (V.567)
x
1
g l 3l l v h fg 4
hx (V.568)
4 l Tsat TP x
231
Chapitre V
Convection
1
g l 3l l v h fg 4
h 0,943 (V.569)
l Tsat TP L
Cette formule est valable pour un écoulement laminaire, ‘est-
à-dire pour 0 Re 30 . Généralement la masse volumique
v de la vapeur est très petite par rapport à la masse
volumiuque l du liquide, et dans ce cas, le coefficient
d’échange convectif moyen h peut s’écrire en fonction du
nombre de Reynolds sous la forme
1
1
0 Re 30
g 3
h 1,47 Re 3 , (V.570)
v l
2
l
1
30 Re 1800
h
Re l g
3
, (V.571)
v l
1,08 Re1, 22
5,2 l2
1
Re 1800
h
Re l g
3
, (V.572)
v l
8750 58 Pr 0,5 Re 0, 75
253 l2
232
Chapitre V
Convection
1
h inc h vert cos 4
(V.573)
g l 3l l v h fg
1
4
C 0,729, cylindre
h C , (V.574)
l Tsat TP D
C 0,815, sphère
Pour un faisceau de n tubes horizontaux, le coefficent
d’échange convectif moyen h est
1
g l 3l l v h fg 4
h 0,729 (V.575)
l Tsat TP nD
1
g 3 v 3 4
h 0,555 l l l h fg C Pl Tsat TP (V.576)
l Tsat TP D 8
U D
Re v v v 35000 (V.577)
v e
233
Chapitre V
Convection
234