LYCEE CAMP PARCHAND DE RUFISQUE Cellule Pédagogique De Mathématiques

NIVEAU 1S2 2012/2013

THEME : Produit Scalaire dans le plan

Exercice1 ABC est un triangle et H le pied de la hauteur issue de A

⃗⃗⃗⃗⃗ • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1) Montrer que 𝐵𝐶 𝐵𝐻 = 𝐵𝐴2 + ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 . 𝐵𝐶
2) Montrer que ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐻𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐻 • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 • ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 2
3) Déduisez en que le triangle ABC est rectangle en A ssi −𝐻𝐶 𝐻𝐵 = ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗ • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 𝐴𝐻 2
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝟏
On donne un triangle ABC
1) Démontrer que pour tout point M du plan on a : ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 • 𝐵𝐶 𝑀𝐵 • ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝐴 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 • ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝐶𝐴
2) Démontrer que les hauteurs issues des sommets B et C se coupent en un point H tel que 𝐻𝐵
0 𝑒𝑡 ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐻𝐶 • ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 = 0
3) Déduire de 1°) et 2°) que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐻𝐴 • 𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗ = 0. Conclure
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆𝟐
On donne deux points A et B et note AB=a. Soit l’application f de P dans IR définie par : 𝑓: 𝑀 → 𝑀𝐴² − 𝑀𝐵²
𝑎²
Construire les lignes de niveau de l’application f associées aux valeurs −2𝑎² ; −𝑎² ; 0 ; ; 3𝑎²
2
Déterminer le réel k pour que la ligne de niveau k passe par le barycentre des points A et B affectés des
coefficients respectifs 7 et -3
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆𝟑
Soit un triangle ABC et soit l’application f de p dans R définie par f(M)=MA²+MB ²-2MC²
𝐴𝐵²
⃗⃗⃗⃗⃗ • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
1) Démontrer que f(M) peut s’écrire sous la forme f(M)=4𝑅𝐶 𝑆𝑀 + 2
2) Soit R le milieu de [𝐴𝐵]et S le milieu de [𝑅𝐶]
3) En déduire les lignes de niveau de l’application f
4) On suppose que le triangle ABC est rectangle en C Construire la ligne de niveau O de f
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆𝟒
On donne un quadrilatère ABCD. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales
(AC) et (BD) soient perpendiculaires est : AB² +CD² = AD² +CB². On pourra considérer les lignes de niveau de
l’application
𝑀 → 𝑀𝐵² − 𝑀𝐷²
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝟓
On donne un triangle ABC déterminer l’ensemble des points m du plan tels que :
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
(𝑀𝐴 𝑀𝐵 − 4𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = (𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ) • ⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐵 − 4𝑀𝐶 𝐴𝐵
Soit ABCD un rectangle tel que AC =BD=a
𝑎²
Déterminer puis construire l’ensemble des points M du plan tels que : MA²-MB²+MC²= 4
Exercice 6
Soit A et B deux points distincts du plan tels que AB=a ; où a est un réel positif donnés.
1) Construire le barycentre G des points pondérés (A ;2) et (B ;3)
2) Calculer en fonction de a les distances GA et GB
6
3) Démontrer que pour tout M du plan 2MA²+3MB²=5MG²+ 5 a²
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que : 2MA²+3MB²=11a²
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝟕
One donne deux points A et B tels que AB=3 et l’on considère l’application f de P dans IR qui , à tout point M
du plan associe le réel f(M)=MA² + 2MB² .
1) Démontrer que f(M) est minimum lorsque M est en G, barycentre des points pondérés (A ;1) et (B ;
2).Calculer la valeur minimum ,f(G) , de l’application f
2) On donne AB=4 et f(m)=-5MA² + 3MB². Montrer que f(M) est maximum pour un point G du plan que
l’on déterminera. Calculer la valeur maximale , f(G) ,application f .
Exercice 8
Soit ABC un triangle isocèle tel que AB=AC=5 et BC=6
1) Montrer que ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐵 • ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝐶 = 7
2) a) Construire le barycentre G du système {(𝐴; 2); (𝐵; 3); (𝐶; 3)}
a) Montrer que (AG) est la médiatrice de [𝐵𝐶]
b) Montrer que AG=3
3) Soit f l’application du plan qui à tout point M associe 𝑓(𝑀) = 2𝑀𝐵 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝑀𝐶 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑀𝐴
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝑀𝐵
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Montrer que f(M)=f(G)+4MG²
4) Calculer f(A) et f(G)
5) Déterminer et représenter l’ensemble des points M du plan tels que f(M)=f(A)
Exercice9
Le plan est muni du repère orthonormé (O ;I ;J).Soit les cercles 𝐶 𝑒𝑡 𝐶′ d’équations respectives :
𝑥² + 𝑦² + 𝑥 + 3𝑦 − 4 = 0 𝑒𝑡 𝑥² + 𝑦² − 8𝑥 − 3𝑦 + 2 = 0
1) Démontrer que si un point M du plan appartient à (C) et à (C’), il appartient à la droite (D) : 3x+2y-2=0
2) En déduire l’intersection des cercles (C) et (C’)
𝑥² + 𝑦² + 2𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0
3) Résoudre algébriquement le système {
𝑥² + 𝑦² − 10𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
4) On donne le cercle (C₁) : 𝑥² + 𝑦² + 2𝑥 − 4𝑦 − 5 = 0 et (C₂) : 𝑥² + 𝑦² − 10𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0
c) Déterminer le centre et le rayon de (C₁) et (C₂)
d) Tracer (C₁) et (C₂) et vérifier les résultats du 3)
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆𝟏𝟎
On donne un rectangle ABCD tel que AB=a et AD=b et l’on considère l’application f de P dans IR définie par
𝑀 → 𝑀𝐴² + 𝑀𝐵² + 𝑀𝐶² + 𝑀𝐷²
1) Pour tout point M, démontrer que 𝑓(𝑀) = 4𝑂𝑀² + ℎ où O est le centre du rectangle et h est un réel
qu’on exprimera en fonction de a et b
2) En déduire les lignes de niveau de l’application f
3) Comment choisir le réel k pour que la ligne de niveau k soit le cercle circonscrit au rectangle
Exercice 11
Soit ABC un triangle tel que AB=4 ; AC=3 et BC=5
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
a) (𝑀𝐴 𝑀𝐵 + ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 ) • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐴 = 0
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
b) (2𝑀𝐴 𝑀𝐵 − ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑀𝐶 ) • ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑀 = 0
c) MA²+MB²=1/2AB²
7
d) 2MA² + 3𝑀𝐵² = 5 𝐴𝐵²
𝑀𝐴
e) =3
𝑀𝐵
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝟏𝟓
On donne ABCD un quadrilatère. Démontrer qu’une condition nécessaire et suffisante pour que les diagonales (AC) et
(BD) soient perpendiculaire est : AB²+CD²=AD²+CB²
On pourra considérer les lignes de niveau de l’application M→MB² - MB²
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝟏𝟔
On considère un triangle ABC tel que AB=7 ; AC=5 et BC=4 et I le milieu de [𝐵𝐶].
1) Montrer que 𝐴𝐼 = √33
2) Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :
a) MA²+2MB²+MC²=40
b) -2MA² + MB² + MC² =0
c) -2MA²+MB²+MC²=6
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆 𝟏𝟕
Soit ABCD un rectangle tel que AC = BD =a
Déterminer l’ensemble des points M du plan tels que :
a) MA² + MB² + MC² = a² /4
b) MA² + 3 MB² + 3 MC² + MD² = 3 a² + 1
𝑬𝒙𝒆𝒓𝒄𝒊𝒄𝒆𝟏𝟖
Le Triangle ABC est rectangle en A
Une droite (∆) variable passant C rencontre la hauteur (AH) en M et le cercle de diamètre BC en N.
Montrer que le produit scalaire ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑀. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑁 ne dépend pas de la droite ∆.
(Indication : prouver que ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑀. ⃗⃗⃗⃗⃗
𝐶𝑁 = CA²)
4)
Exercice5
⃗⃗⃗⃗⃗ = 1 𝐴𝐵
Soit ABC un triangle équilatéral de coté 6cm, B’ le milieu de [𝐴𝐶] et D le point définie par 𝐴𝐷 ⃗⃗⃗⃗⃗ + 3 𝐵𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗
4 4
1) Monter que D est le barycentre du système {(𝐴; 3); (𝐵; −2); (𝐶; 3)}
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 3 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
2) Démontrer que 𝐵𝐷 𝐵𝐵′, puis construire le point D
2
3) Calculer DA², DB² et DC²
4) Déterminer et construire l’ensemble des points M vérifiant : 3MA² -2MB² + 3MC²=-11
Exercice6
1) Démonter que pour tous vecteurs 𝑈 ⃗ on a : − 1 (‖𝑈
⃗ 𝑒𝑡 𝑉 ⃗ ‖² + ‖𝑉⃗ ‖²) ≤ 𝑈 ⃗ ≤ 1 (‖𝑈
⃗ •𝑉 ⃗ ‖² + ‖𝑉
⃗ ‖²)
2 2
2) On pose ‖𝑈⃗ ‖ = 2; ‖𝑉 ⃗ ‖ = 3 et ‖𝑈
⃗ + 𝑉
⃗ ‖ = 4. Calculer 𝑈
⃗ •𝑉⃗ puis vérifier le résultat du 1°)
Exercice7
On donne dans le plan P le segment [𝐴𝐵] de milieu 𝐼. On considère l’application
𝑓: 𝑃 → 𝐼𝑅
 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • 𝑀𝐵
𝑀 → 𝑀𝐴 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ et on pose a=AB
1) Calculer 𝑓(𝐴), 𝑓(𝐵)𝑒𝑡 𝑓(𝐼)
𝑎²
2) Démontrer que pour tout point M du plan 𝑓(𝑀) = 𝐼𝑀² − 2
3) Déterminer et construire
a) La ligne de niveau 0 de l’application 𝑓
b) La ligne de niveau 2a² de l’application 𝑓
Exercice9
Soit (D) :2x – 3y + 1 = 0
1) Préciser les coordonnées d’un vecteur 𝑢 ⃗ non nul orthogonal à un vecteur directeur de (D)
2) Soit A un point du plan. Notons 𝑥𝐴 𝑒𝑡 𝑦𝐴 ses coordonnées. Soit H le projeté orthogonal de A sur (D)
|2𝑥𝐴 −3 𝑦𝐴 +1|
Démontrer que 𝑢 ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2𝑥𝐴 − 3 𝑦𝐴 + 1. En déduire que 𝐴𝐻 =
⃗ • 𝐻𝐴 ‖𝑢
⃗‖
3) Calculer la distance du point 𝐴(7 ; 4) à la droite (D) ; puis la distance du point 𝐵(2; 6)à (D)
4) Déterminer une équation cartésienne du cercle (C) de centre Ω (- 1 ; - 3) et tangent à la droite d’équation :
X – y + 4 =0
Exercice10
On considère les deux cercles C1 et C2 d'équations respectives : x² y² 4 et x² y² 2x 4.
1. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection de chaque cercle avec les axes de
coordonnées. (C1 (Ox) ; C1 (Oy) ; C2 (Ox) et C2 (Oy))
2. Déterminer les coordonnées des éventuels points d'intersection des deux cercles. (C1 C2)
3. Soit D la droite d'équation y 2x 1.
Déterminer les coordonnées des éventuels points de D C1 et D C2