Microsoft Word - Dynamique Des Fluides Rã©els
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=
2 ℎ
En SI, l’unité de la viscosité est : Poiseuille 1 =1 . .
Remarque :
La viscosité de produits industriels (huile en particulier) est exprimée au moyen d’autres unités empiriques :
Degré ENGLER en Europe
Degré Redwood en GBR
Les observations expérimentales de Reynolds ont permis de montrer que la transition du régime
laminaire au régime turbulent est gouvernée par plusieurs paramètres. Ces derniers sont regroupés pour
former un paramètre sans dimension dit ‘’Nombre de Reynolds’’ qui prend en compte la vitesse moyenne de
l’écoulement, le diamètre ou tout autre paramètre de longueur caractérisant l’écoulement ainsi que les
propriétés intrinsèques du fluide.
= =
: Diamètre de la conduite, en
: Vitesse moyenne de l’écoulement en .
: Masse volumique du fluide en .
: Viscosité dynamique en PI
: Viscosité cinématique en .
On constate généralement que la transition d’un régime laminaire à un régime turbulent s’effectue lorsque le
nombre de Reynolds vaut une valeur critique = = 2000.
Si < = 2000 : L’écoulement est laminaire et la perturbation localisée introduite dans
l’écoulement est progressivement dissipée.
Si 2000 < < 3000 : L’écoulement est transitoire.
Si 3000 < : Le régime est turbulent. On distingue deux types :
< 100000 = 10 : Le régime est turbulent lisse.
> 10 : Le régime est turbulent rugueux.
Remarque :
Si la section de la conduite n’est pas circulaire, on adopte en général le diamètre équivalent défini comme
suivant :
4.
=
é è é
3. Perte de charge :
Considérons un réservoir contenant un fluide réel incompressible, qui garde son niveau constant grâce
à un système de trop plein, qui se déverse dans une canalisation de section uniforme sur laquelle est disposée
un certain nombre de prises de pression statique.
On constate que :
Le niveau affiché dans les prises de pression est différent.
Le niveau diminue avec l’éloignement du réservoir.
La diminution est proportionnelle à cet éloignement.
Le théorème de Bernoulli, s’il était ici appliqué, sous sa forme déjà établie, indiquerait que les
hauteurs de liquide seraient les mêmes puisque la pression entre deux points A et B devrait être la même. Or
on voit bien que les hauteurs sont différentes. Cette diminution de la pression est dite perte de charge. Elle
est due au fait qu’une partie de l’énergie mécanique introduite est dissipée sous forme thermique au cours de
l’écoulement. Une partie est dissipée par frottement entre les couches de fluide et une autre par frottement
avec les parois de la conduite.
Pom
pe Tur
bine
Σ
Σ
La référence
∆ = + = + +
1 1 1 1
+ + + + − − −
2 2 2 2
− = − + +
Il vient alors :
1 1
+ + − − = − + +
2 2
Le régime étant permanent et l’écoulement est incompressible. On aboutit donc à l’équation de Bernoulli
généralisée comportant un terme d’échange et un terme de perte de charge :
− −
+ − + = +
2
: est la perte d’énergie par unité de masse traversant la conduite entre l’entrée et la sortie.
Ce sont des pertes de charge régulières ou systématiques qui se répartissent régulièrement le long de la
conduite. Elles dépendent de la vitesse moyenne du fluide, de la longueur et du diamètre ainsi que de la
rugosité moyenne de la conduite. La représentation graphique de l’écoulement permanent sans terme
d’échange prend l’allure ci-dessous.
Plan de charge
Référence
= ,
2ème cas : Si > 3000 , Les phénomènes d'écoulement sont beaucoup plus complexes et la
détermination du coefficient de perte de charge résulte de mesures expérimentales. C'est ce qui
explique la diversité des formules anciennes qui ont été proposées pour sa détermination. En régime
turbulent l'état de la surface devient sensible et son influence est d'autant plus grande que le
nombre de Reynolds est grand. Tous les travaux ont montré l'influence de la rugosité et on s'est
attaché par la suite à chercher la variation du coefficient λ en fonction du nombre de Reynolds et
de la rugosité. La formule de Colebrook est actuellement considérée comme celle qui traduit le
mieux les phénomènes d'écoulement en régime turbulent. Elle est présentée sous la forme suivante :
1 2.51
= −2 +
√ 3.7 √
Pour simplifier la relation précédente, on peut chercher à savoir si l'écoulement est hydrauliquement
lisse ou rugueux pour évaluer la prédominance des deux termes entre crochets dans la relation de Colebrook.
On fait souvent appel à des formules empiriques plus simples valables pour des cas particuliers et dans un
certain domaine du nombre de Reynolds, par exemple :
Si 3000 < < 10000 : l’écoulement est turbulent lisse et le coefficient de perte
de charge ne dépend que du nombre de Reynolds suivant la loi de Blasius :
= 0.316
= 0.79
Avec :
ε : rugosité de la surface interne de la conduite (mm)
d : diamètre intérieur de la conduite (mm).
Parfois, on lit la valeur de λ sur un abaque établie par Moody.
3ème cas : Si 2000 < < 3000, c’est le régime transitoire entre le laminaire organisé et
le turbulent. Pour ce cas, il n’y a pas de loi expérimentale gouvernant cet écoulement. Mais on peut
utiliser la loi de Blasius.
Remarque :
Parfois, on lit la valeur de λ directement sur un abaque. On désigne par le diamètre interne la
taille moyenne des grains collés sur la face interne de la conduite.
1
+ + = + +
2 2 2
+ + = +
2
Deux cas à distinguer :
Pompe hydraulique :
é =
= =
é
é
Turbine hydraulique:
é
= é
5. Equation de Navier-Stokes :
En tenant compte des forces de frottement caractérisées par le coefficient de viscosité , l’équation
d’Euler devient celle qui porte le non de Navier-Stokes qui caractérise les fluides réels. Dans le cas d’un
fluide incompressible, cette équation s’écrit comme suivant :
= + + ⋀ = − + Δ
2
Notons qu’apparait naturellement le rapport = appelé la viscosité cinématique exprimée en / .
En général, la résolution de cette équation est difficile même impossible. C’est pour cette raison, on
s’appuie sur l’analyse dimensionnelle qui sera traité dans le chapitre 4.
L’équation de Bernoulli peut être déterminée à partir de l’équation de Navier-Stokes. Ce type de
démonstration n’est pas l’objet de ce cours.
II. Applications :
1. Ecoulement laminaire dans une conduite horizontale (Loi de Poiseuille):
Considérons un écoulement laminaire dans un tube cylindrique. La vitesse de l’écoulement est
maximale au centre du tube car c’est là où il y a le moins de forces de frottements. Elle est nulle au contact
de la paroi du tube qui est immobile. Autrement, le liquide s’écoule sous la forme de cylindres concentriques,
coaxiaux, ayant des vitesses différentes, et frottant les unes contre les autres.
Tube étroit
Tube large
Considérons l’écoulement permanent d’un liquide réel incompressible dans un tube cylindrique, étroit
et horizontal en régimes laminaire et permanent. Le rayon du tube cylindrique est noté R et sa longueur L.
la pression à l’entrée de la canalisation est et la pression à la sortie est avec > .
R
r
Expression de la vitesse :
La résultante des forces de pression à l’entrée et à la sortie est:
= + = − = −
La résultante des forces de frottement est :
=− 2
− − 2 =0
Il vient alors :
−
=
2
Ce qui donne :
−
=−
2
En intégrant cette équation, on obtient :
−
=− +
4
En posant ∆ = − et en tenant compte de la CL ( = 0), on obtient finalement :
∆
= −
4
Expression du débit :
Connaissant l’expression de la vitesse en chacun des points compris entre l’axe du tube et la paroi, il
est possible de déterminer l’expression du débit volumique.
r r+dr
= ∆
8
Remarque :
A partir de l’expression de la force motrice dans le cas du tube non horizontal, on en déduit la loi de
Poiseuille dans le cas d’un tube non horizontal telle que :
= ∆ + ℎ
8
2. Loi de Stokes :
Cette loi donne la force de frottement d’un fluide sur une sphère en chute libre, loin de tout obstacle.
Dans un fluide, cette loi donne accès à la vitesse de sédimentation de particules en solution, ou bien, elle
permet la détermination de la viscosité de liquides inconnus.
On considère une bille de rayon et de masse volumique se déplaçant dans un fluide visqueux de
viscosité et de masse volumique .
Poids de la bille : =−
La poussée d’Archimède : =
Force de frottement : = −6 =6
Fluide visqueux
4 4
− + +6 =0
3 3
D’où la loi de Stokes donnant la relation entre la vitesse de la bille et la viscosité du fluide :
2 −
=
9
Exercice résolu :
On pompe de l'huile, de densité = 0,86, par un tuyau horizontal de diamètre D = 5,0 cm, de
longueur L = 300 m, avec un débit volume de = 1.20 . . La différence de pression entre les
extrémités du tuyau vaut 20,6.10 Pa. Pour un écoulement laminaire, le débit volume, , est relié aux
dimensions du tuyau, rayon intérieur et longueur , à la viscosité dynamique et aux pressions et
en début et fin de tuyau par :
= − (loi de Poiseuille)
1. Calculer les viscosités cinématique et dynamique de l'huile en supposant un écoulement laminaire.
= = AN : =
AN : = .
= =
= =
AN : ≅ .
− −
+ − + = +
−
+ − + − = +
= =∆ = =
AN : ≅ .
− −
+ − + = +
Cette équation peut être écrite en termes de pression comme suivant :
− −
+ − + = +
Avec : =∆ = =
AN : =∆ =