Poly Copie Volume Finis
Poly Copie Volume Finis
Poly Copie Volume Finis
KAMAL GUERAOUI
Professeur de lEnseignement Suprieur et Responsable de lquipe
de Modlisation Thorique et Numrique en Mcanique des Fluides
et en Environnement
1
Les problmes physiques rencontrs dans notre
quotidien (le transport de polluants, les problmes
de convection, les coulements dans les conduites, la
modlisation de lcoulement des polymres fondus, la
modlisation de la pollution atmosphrique, etc.)
sont dcrits par des quations drives partielles
fortement couples et non linaires.
En gnral, Ces quations nadmettent pas de
solutions analytiques sauf dans des cas trs
simplifis. Cest pourquoi un recours aux mthodes de
rsolution numriques savre ncessaire.
Il existe plusieurs mthodes numriques :
- mthode des diffrences finies
- mthode des volumes finis
- mthode des lments finis
- mthodes spectrales,
Chaque mthode de rsolution numrique dun
problme continu comporte une phase de maillage et
une phase de discrtisation.
La phase de maillage consiste diviser le domaine
dtude en de petits volumes appels volumes de
contrle.
La phase de discrtisation transforme le problme
continu en un problme discret. Les quations ainsi
que les conditions aux limites sont approches par
des quations et conditions discrtes.
Lobjectif de ce polycopi est de dvelopper les
principes de la mthode des volumes finis.
2
Le premier chapitre sera consacr
lexposer de la mthode des volumes finis pour le
problme de la diffusion pure.
Lobjet du deuxime chapitre sera
lutilisation de la mthode des volumes finis pour le
problme stationnaire de diffusion - convection.
Le chapitre trois expose la mthode des
volumes finis en coordonnes cylindriques.
Le quatrime chapitre sera rserv
lillustration de la mthode de rsolution itrative
de double balayage.
Lobjet du dernier chapitre sera ltude du
problme instationnaire de diffusion convection.
3
Chapitre 1
Problme stationnaire de diffusion pure
4
I- Introduction
5
O : est le coefficient de diffusion et S le terme
source.
A une dimension, lquation (1) prend la forme
suivante :
d d
S 0 (2)
dx dx
II-1 Maillage
6
commodit, on sarrange pour que les facettes des
nuds de frontires concident exactement avec les
valeurs aux frontires du domaine de calcul. Dans
notre exemple, le domaine est divis en cinq volumes
de contrle.
II-2 Discrtisation
d d
dx dx S V 0 (4)
e o
O : S est la valeur moyenne de la source et V le
volume de contrle correspondant.
Signalons que dans ce cas, une dimension, V x .
En gnral, le terme source peut dpendre de la
fonction elle-mme. Cest pourquoi on lcrit:
S V S u S P P (5)
Le coefficient de diffusivit nest pas toujours
constant. Ses valeurs sur les facettes " e " et " o
" du volume de contrle sont exprimes en fonction
des valeurs aux points nodaux P, O et E par les
relations suivantes :
E O P O
e et o (6)
2 2
7
Par application dun schma centr dordre deux,
on remplace les drives premires sur les facettes
du volume de contrle par les relations :
d E P
dx (7)
x
e
e
d P O
dx o (8)
o X
8
limites, un traitement spcial est rserv aux nuds
se trouvant aux frontires. Le systme dquations
rsultant est un systme dquations algbriques
linaires comportant autant dquations que
dinconnues.
La distribution discrte de la variable sur
le domaine de calcul peut alors tre obtenue par les
mthodes directes de rsolution des systmes
dquations linaires : inversion de la matrice du
systme, mthode des dterminants,...
Cependant, on prfre les mthodes itratives
telles que la mthode de Gauss-Seidel ou la mthode
de Jacobi qui sont bien adaptes pour ce genre de
systmes matrice bande. Mais comme pour tout calcul
itratif, il faudra alors dfinir un critre de
convergence pour pouvoir arrter les calculs un
moment donn.
III-1 Introduction
Lquation qui gouverne le problme stationnaire
de diffusion en deux dimensions dpend des variables
de lespace "x" et "z. Il convient de rappeler que
dans ce cas, deux dimensions de lespace, le volume
de contrle est constitu du produit "x.z ".
A deux dimensions, lquation (1) prend la forme
suivante :
9
d d d d
S 0 (13)
dx dx dz dz
III-2 Maillage
A deux dimensions, le domaine est subdivis en
un nombre fini de volumes de contrle qui sont alors
constitus dlments de surface rguliers.
Le maillage a la forme suivante :
10
Par la suite, nous allons adopter les maillages
suivants :
Suivant laxe des "x" :
x(i) = (i1)x
O : x est le pas de discrtisation suivant cette
direction.
Suivant laxe des "z" :
z(j) = (j-1)z
O : z est le pas de discrtisation suivant cette
direction.
III-3 Discrtisation
Lintgration de lquation (13) sur le volume de
contrle de centre P donne :
d d d d
VC dx
dv
dx
VC dz
dv
dz
VC
S dv 0 (14)
d d d d
dx
dx
dz dz S V 0 (15)
e o n s
11
S V S u S P P (16)
Le coefficient de diffusivit nest pas toujours
constant. Ses valeurs sur les facettes " e ", " o ",
" n " et " s ", du volume de contrle sont
exprimes en fonction des valeurs aux points nodaux
P, S, N, O et E par les relations suivantes :
E P P O
e et o (17)
2 2
P N S P
n
et s (18)
2 2
d E P
dx e (19)
e x
d P O
dx o (20)
o X
d N P
dx (21)
n
n z
d P S
dx (22)
s
s z
12
Et aprs arrangement on trouve :
a P P a O O a E E a N N a S S Su (24)
o e n s
Avec : aO , aE , aN et aS
x x z z
a P a E a O a N a S SP (25)
13
Chapitre 2
Problme stationnaire de diffusion convection
14
I- Introduction
Le problme stationnaire de diffusion convection
de la variable est gouvern par les quations
suivantes :
div grad S div(V) (1)
div(V) = 0 (2)
est appel coefficient de diffusion, la masse
volumique du fluide, V la vitesse du fluide et S
terme source.
d
u 0 (4)
dx
II- Maillage
15
lexemple dun maillage comprenant cinq volumes de
contrle quon peut adopter pour la discrtisation
des quations (3) et (4):
II-2 Discrtisation
16
d d
dx dx S V ue uo (6)
e o
O : S est la valeur moyenne de la source et V le
volume de contrle correspondant.
Lintgration de lquation (4) sur le volume de
contrle de centre P donne :
d
u dv 0 (7)
VC dx
u e u o 0 (8)
d E P
dx e x
(11)
e
d P O
dx (12)
o
o X
17
On pose : F u , le flux massique par convection et on
o Fo e Fe
Avec : a O , E
a
x 2 x 2
et a P a E a O Fe Fo SP
18
un systme dquations algbriques linaires
comportant autant dquations que dinconnues.
Cependant, on prfre les mthodes itratives
telles que la mthode de Gauss-Seidel ou la mthode
de Jacobi qui sont bien adaptes pour ce genre de
systmes matrice bande. Mais comme pour tout calcul
itratif, il faudra alors dfinir un critre de
convergence pour pouvoir arrter les calculs un
moment donn.
19
Chapitre 3
Etude dun problme de transfert de chaleur deux
dimensions en coordonnes cylindriques
20
I- Introduction
2T 1 T 1 2T
S 0 (1)
r 2 r r r 2 2
O :
T est la temprature, S le terme source, la
variable azimutale et r la variable radiale .
II- Maillage
21
N
j+1
n
O o P e E
j r
S
j-1
i-1 i+1
i
III- Discrtisation
Soit :
2
1 T 1 T
VC (r ) rdrd V rdrd V Srdrd 0
r r r c 2 2 c
r
T T 1 T T
re ( )e ro ( )o (( ) N ( ) S )r SV 0 (2)
r r rp
O :
S est la valeur moyenne de la source et V Le
volume de contrle.
22
Signalons que dans ce cas : V rr
En gnral, le terme source peut dpendre de la
temprature T . Cest pourquoi on lcrit :
SV ST S PTP (3)
Or:
rE rP rO rP
re et ro (4)
2 2
Par application dun schma centr dordre deux, on
remplace les drives premires sur les facettes du
volume de contrle par les relations :
T T T T T T
(r )e (r )o re ( E P ) ro ( P O ) (5)
r r r r
T T T TP TP TS
( )n ( ) s N (6)
Ce qui conduit :
aPTP aNTN aSTS aETE aOTO ST (8)
Avec :
1 r
a N aS ;
rP
rE rP
aE ;
2 r
rO rP
aO ;
2 r
23
Et : aP aN aS aE aO S P
position dindice i, j 1 .
Lquation (8) peut donc se mettre sous la
forme suivante :
a i, j T i, j a i, j 1 T i, j 1 a i, j 1 T i, j 1 a i 1, j T i 1, j a i 1, j T i 1, j (9)
24
Chapitre 4
Mthode de double balayage
25
On considre lquation algbrique suivante qui
peut reprsenter nimporte quelle grandeur
physique :
Ai i 1 Bi i C i i 1 Di (1)
i i i 1 i (2)
O encore :
i 1 i 1 i i 1 (3)
Ai i 1 i Bi i C i i 1 Ai i 1 Di (4)
C i Di Ai i 1
i i 1 (5)
Bi Ai i 1 Bi Ai i 1
26
Et :
Di Ai i 1
i (7)
Bi Ai i 1
27
Chapitre 5
Problme instationnaire de diffusion convection
28
I- Introduction
Les tapes de maillage et discrtisation restent
les mme que pour les cas des problmes
stationnaires. La diffrence majeure repose sur
lintgration qui se fait aussi bien sur le volume du
domaine que sur lintervalle de temps t , t t .
La mthode des volumes finis permet en gnral
une permutation des intgrations suivant le temps et
suivant lespace.
t t
On pose : f dt
t f t t 1 f t
t
t t t
O : f et f sont respectivement les images de
la fonction f respectivement aux temps t et t + t
et un nombre rel tel que 0 1.
Dans la suite, nous nous baserons sur le cas o
t t
1, cest dire f dt
t
f t t , ce qui correspond
Remarque :
Notre tude portant sur un modle bidimensionnel
et instationnaire, nous avons prfr traiter en
dtail ces aspects dans le paragraphe suivant
correspondant justement au cas de notre tude. Quant
au cas tridimensionnel, il constitue juste une
extension des autres cas, mais le principe concernant
le maillage et la discrtisation reste pratiquement
le mme.
29
Dans la suite nous allons appliquer la mthode
des volumes finis aux quations (49), (50) et (51),
ainsi quaux conditions aux limites, en tenant compte
du maillage ci-dessus.
2 U W 2 a U
Ra Pr Pr 2 H 0 (1)
Pr t x z x W0 z
En intgrant cette quation suivant le volume de
contrle et le long de lintervalle de temps de
longueur dt, on aura :
U W
t t t t
2 a U
VC T
Pr t
dt dx dz
VC t
x
z
Ra Pr
x
H 0
W0 z
Pr 2 dt dx dz
2 2
On rappelle que dans notre cas, 2 2
2
x z
t t
2 2
A = Pr t
dt dx dz
Pr
x z tP t tP
VC t
B =
U
t t
z t
dt dx dz U E U O P U E U P E U P U O O
VC t
x 4
30
C =
W
t t
x z
dt dx dz WN WS P WN WP N WP WO S
VC t
z 4
D =
t t
a U
VC t
Ra Pr
x
H 0
W0 z
dt dx dz S P x z t
E =
t t
2 2 P t z
Pr dt dx dz r E 2 P O Pr t x N 2P S
VC t x z x z
2 z t x t t x t z
t t
x z U U W W 2 P 2 P
z x
P E O N S r r
Pr 4 4
z t
tE t U E U P Pr t z tO t z t U P U O Pr t z
4 x 4 x
x t
tN t WN WP Pr x t tS t x t WP WS Pr x t
4 z 4 z
t t 2
S P x z t x z tP
Pr
31
En tenant compte du maillage fait pour les
variables de lespace ainsi que pour le temps, On
obtient le systme dquations algbriques suivant:
2 z t
x z U i 1, j , k 1 U i 1, j , k 1
Pr
i, j , k 1
4
x t
W i , j 1, k 1 W i , j 1 , k 1 2
P r t z
2
Pr t x
4 x z
z t
i 1, j , k 1 U i 1, j, k 1 U i, j, k 1 Pr t z
4 x
z t t z
i 1, j , k 1 U i, j, k 1 U i 1, j, k 1 Pr
4 x
x t t x
i, j 1, k 1 W i, j 1, k 1 W i, j, k 1 Pr
4 z
x t
i, j 1, k 1 W i, j, k 1 W i, j 1, k 1 Pr x t
4 z
x z t S i, j , k 1
2
x z i, j , k
Pr
32
influencs directement par les conditions aux limites
sont donc ceux situs i=2 et i=20. Cest donc pour
ces nuds que nous allons dterminer les quations
particulires qui tiendront compte des conditions aux
limites.
Il en est bien videmment de mme pour laxe des
ctes index par lindice "j". Ici il sagira par
contre des nuds situs sur les lignes j=2 et j=20.
Pour obtenir lquation algbrique suivant la
colonne indexe par lindice i=2, on considre comme
nud principal le nud i=2 et on suit la mme
procdure dintgration que prcdemment. Ceci sera
aussi appliqu pour la colonne indexe par i=20, la
ligne indexe par j=2 et la ligne j=20.
Lopration sera reprise pour lquation (1).
33
2 z t
x z U 3, j, k 1 U CL
P
2, j , k 1 r
4
x t W 2, j 1, k 1 W 2, j 1, k 1 2 Pr t z 2 Pr t x
4 x z
z t
3, j , k 1 U 3, j, k 1 U 2, j, k 1 Pr t z
4 x
z t
CL U 2, j, k 1 U CL Pr t z
4 x
x t
2, j 1, k 1 W 2, j 1, k 1 W 2, j, k 1 Pr t x
4 z
x t
2, j 1, k 1 W i, j, k 1 W 2, j 1, k 1 Pr x t
4 z
2
x z t S 2, j , k 1 x z 2, j , k
Pr
34
2 z t
x z U i 1,2, k 1 U i 1,2, k 1
P
i,2, k 1 r
4
x t
W i,3, k 1WCL 2 r P t z
2 r
P t x
4 x z
z t
i 1,2, k 1 U i 1,2, k 1U i,2, k 1 Pr t z
4 x
z t
i 1,2, k 1 U i,2, k 1 U i 1,2, k 1 Pr t z
4 x
x t
i,3, k 1 W i,3, k 1 W i,2, k 1 Pr t x
4 z
x t
CL W i,2, k 1WCL Pr x t
4 4
2
x z t S i,2, k 1 x z i,2, k
Pr
2 z t
x z U i 1,20, k 1 U i 1,20, k 1
P
I ,20, k 1 r
4
x t W W i,19, k 1 2 Pr t z 2 Pr t x
4
CL
x z
z t
i 1,20, k 1 U i 1,20, k 1U i,20, k 1 Pr t z
4 x
z t
i 1,20, k 1 U i,20, k 1U i 1,20, k 1 Pr t z
4 x
x t
CL WCL W i,20, k 1 Pr t x
4 z
x t
i,19, k 1 W i,20, k 1W i,19, k 1 Pr x t
4 4
2
x z t S i,20, k 1 x z i, j 20, k
Pr
35
III- Cas de lquation de temprature rduite
Cette quation est :
2 U W 2 2
2 2
Pr t x z x z
En intgrant cette quation on a :
U W
t t t t
2 2 2
VC t
Pr t
dt dx dz
VC t
x
z
2 2
x z
dt dx dz
2 t z t z
x z U i 1, j , k 1 U i 1, j , k 1 2
x
i, j , k 1
Pr 4
4 W i, j 1, k 1 W i, j 1, k 1 2 z
t x t x
t z
i 1, j , k 1 U i 1, j, k 1 U i, j, k 1 t z
4 x
t z
i 1, j , k 1 U i, j, k 1 U i 1, j, k 1 t z
4 x
t x
i, j 1, k 1 W i, j 1, k 1 W i, j, k 1 t x
4 z
t x
i, j 1, k 1 W i, j, k 1 W i, j 1, k 1 t x
4 z
2
x z i, j , k
Pr
Le systme dquations ci-dessus concerne les
zones non influences par les conditions aux limites.
Nous allons comme prcdemment dterminer les
quations les quations des zones sous influence
36
savoir les colonnes (2) et (20) ainsi que les lignes
(2) et (20).
2 t z t z
P x z 4 U 3, j , k 1 U CL 2 x
2, j , k 1 r
t x W 2, j 1, k 1 W 2, j 1, k 1 2 t x
4 z
t z
3, j , k 1 U 3, j, k 1 U 2, j, k 1 t z
4 x
t z
CL U 2, j, k 1 U CL t z
4 x
t x
2, j 1, k 1 W 2, j 1, k 1 W 2, j, k 1 t x
4 z
t x
2, j 1, k 1 W 2, j, k 1 W 2, j 1, k 1 t x
4 z
2
x z 2, j , k
Pr
III-2 Equation suivant la colonne (20)
37
2 t z t z
P x z 4 U CL U 19, j , k 1 2 x
20, j , k 1 r
4 W 20, j 1, k 1 W 20, j 1, k 1 2 z
t x t x
t z
CL U CL U 20, j, k 1 t z
4 x
t z
19, j , k 1 U 20, j, k 1 U 19, j, k 1 t z
4 x
t x t x
20, j 1, k 1 W 20, j 1, k 1 W 20, j, k 1
4 z
t x t x
20, j 1, k 1 W 20, j, k 1 W 20, j 1, k 1
4 z
2
x z 20, j , k
Pr
2 t z t z
x z U i 1, 2, k 1 U i 1, 2, k 1 2
Pr x
i,2, k 1
4
4 W i,3, k 1 WCL 2 z
t x t x
t z
i 1, 2, k 1 U i 1, 2, k 1 U i,2, k 1 t z
4 x
t z
i 1, 2, k 1 U i,2, k 1 U i 1, 2, k 1 t z
4 x
t x
i,3, k 1 W i,3, k 1 W i,2, k 1 t x
4 z
t x 2
CL W i,2, k 1 WCL t x x z i,2, k
4 z Pr
38
III-4 Equation suivant la ligne (20)
2 t z t z
P x z 4 U i 1, 20, k 1 U i 1, 20, k 1 2 x
i,20, k 1 r
4 WCL W i,19, k 1 2 z
t x t x
t z
i 1, 20, k 1 U i 1,20, k 1 U i,20, k 1 t z
4 x
t z
i 1,20, k 1 U i,20, k 1 U i 1, j 20, k 1 t z
4 x
t x
CL WCL W i,20, k 1 t x
4 z
t x
i,19, k 1 W i,20, k 1 W i,19, k 1 t x
4 z
2
x z i,20, k
Pr
39
IV-1 Conditions la paroi
Sur la paroi latrale de lenceinte, on a :
x 0, z 1 z
Do les conditions discrtises :
1, j, k 1 1 j 1z (11)
21, j, k 1 1 j 1z (12)
x, z 1 2
Do : i, 21, k 1 2 (14)
x, z 0 0
Do : i,1, k 1 0 (15)
x, z 1 0
Do : i,21, k 1 0 (16)
x 0, z 0
Do : 1, j, k 1 0 (17)
x 1, z 0
Do : 21, j, k 1 0 (18)
40
41
Abbs AZZI,"Mthodes numriques, la mthode des
volumes finis"
Facult de Gnie Mcanique, USTO, Oran, Algrie.
Mrabti A. "Simulation numrique dcoulement de
convection naturelle", Thse de doctorat, 1999.
J.M.Seinfed et S.N.Pandis, "Atmospheric chemistry and physicis from air
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H.K.Versteg et W. Malalasekera, "an introduction to computational fluid
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Launder B.E.et Splanding D.b.1974, the numerical computation of turbulent
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42