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    sur 1

    Planche no 2.

    Raisonnement par rcurrence

    * trs facile ** facile *** difficult moyenne **** difficile


    I : Incontournable T : pour travailler et mmoriser le cours

    Exercice no 1 (**T)
    Montrer par rcurrence que, pour tout n N, 2n > n.
    Exercice no 2 (**T)
    Montrer par rcurrence que, pour tout n > 4, n! > n2 (o n! = 1 2 . . . n).
    Exercice no 3 (***)
    Montrer par rcurrence que, pour tout entier n > 2 est divisible par au moins un nombre premier.
    Exercice no 4 (**T)
    Soit (un )nN la suite dfinie par :

    u0 = 2, u1 = 1 et pour tout entier naturel n, un+2 un+1 6un = 0.

    Montrer par rcurrence que, pour tout n N, un = (2)n + 3n .


    Exercice no 5 (***I)

    X
    n
    n(n + 1)
    1) Montrer par rcurrence que, pour tout naturel non nul n, k= . En calculant la diffrence (k + 1)2 k2 ,
    2
    k=1
    trouver une dmonstration directe de ce rsultat.
    Xn X
    n X
    n
    2) Calculer de mme les sommes k2 , k3 et k4 (et mmoriser les rsultats). On donne les identits remarquables
    k=1 k=1 k=1
    (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ,
    (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 et
    (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 .
    Exercice no 6 (**T)
    X
    n
    1 n
    1) Montrer par rcurrence que, pour tout n N , = . Trouver une dmonstration directe.
    k(k + 1) n+1
    k=1

    X
    n
    1 n(n + 3)
    2) Montrer par rcurrence que, pour tout n N , = . Trouver une dmonstration
    k(k + 1)(k + 2) 4(n + 1)(n + 2)
    k=1
    directe.
    Exercice no 7 (****)
    Xn
    1
    Pour n 1, on pose Hn = . Montrer que, pour n > 2, Hn nest jamais un entier (indication : montrer par rcurrence
    k
    k=1
    que Hn est le quotient dun entier impair par un entier pair en distinguant les cas o n est pair et n est impair).

    http ://www.maths-france.fr 1 c Jean-Louis Rouget, 2014. Tous droits rservs.

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