Corrige Ecole de L Air MP 2003

Ecole de lAir MP
Corrig UPSTI
Session 2003
pivot
Table basculante
R1 : h mc 6. N c
avec mc = 1 (pas de mobilit interne)
=1
N c =1+1+2+1=5
do h =2 dans lespace.
pivot
pivot
2
3
pivot glissant
R2 : le problme peut tre considr comme plan puisque toutes les vitesses sont dans le plan.
Dans la modlisation 2D, la liaison pivot-glissant entre 2 et 3 est remplace par une glissire
(la pivot en A empche la rotation) et les pivots remplaces par des articulations sans changer
la cinmatique du mcanisme.
articulation
R3 : hp mcP 3. N cP
avec mcP = 1
=1
N cP =1+1+1+1=4
do h =0 dans le plan : mcanisme isostatique.
0
articulation
articulation
3
glissire
R4 : fermeture cinmatique : V1/ 0 V3/1 V2 / 3 V0 / 2 0

Par
uuuuexemple
uu
r uuuuuau
u
r point
uuuuuuA
r : uuuuuu
u
r r
V A,1/ 0 V A,3/1 V A,2/ 3 V A,0 / 2 0
uuuuuu
r g uu
r uuu
r r g uu
r uuuuuu
u
r g uu
r uuu
r r
V 0,1/ 0 .z0 OA 0 x .x2 V B ,0/ 2 .z0 BA 0
g u
g u
g uu
u
r
ur g uu
r g uu
r
uu
r r
u
r g uu
r
r r
.z0 r.x1 x .x2 .z0 x.x2 0 puis r. . y1 x .x2 x. . y2 0
g
do , en projection : r. .cos x. 0
g
r. .sin x 0
Lcriture de la fermeture gomtrique (lnonc ne la propose pas mais elle permet
dliminer ) donne :
h r.sin x.sin
r.cos x.cos d
g
r. .sin x r. . sin .cos cos .sin x 0

g
g
g
g
r
r.cos d
h r.sin
r. . sin .
cos .
x . d .sin h.cos . x 0
x
x
x
g
g
r
x . d .sin h.cos .
x
R5 : Energie cintique du solide 1 en mouvement par rapport au bti 0 :

2
uuuuuur 2
uu
r g2
uu
r g2
uu
r
g
2.T1/ 0 M . V G ,1/ 0 I 1, G, z0 M . l. I 1, G , z0 M .l 2 I 1, G , z0

2
g
u
u
r
1
T1/ 0 . M .l 2 I 1, G , z0
2
1/4
g2
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R6 : Energie cintique du vrin [2+3] en mouvement par rapport au bti 0 :

Par extensivit, 2.T 23 / 0 2.T2 / 0 2.T3/ 0
uu
r g2
2.T2 / 0 I 2, B, z0 . puisque le point B qui appartient physiquement 2 est fixe par
rapport au bti 0.
uuuuuuu
r uuuuuur
uu
r g2
2.T3/ 0 mtige . V G3 ,3/ 0 .V B ,3/ 0 I 3, B, z0 .

uuuuuur uuuu
r uuuur uuuuuur
uu
r
2.T m . V
G B .V
I 3, B, z .
uuuuuur uuuuuu
u
r uuuu
r uuuur uuuuuur uuuuuu
u
r
uu
r
2.T m . V
V
G B . V
V
I 3, B, z .
uuuuuur uuuu
r uuuur uuuuuur
uu
r
2.T m . V
G
B
.
V
I
3,
B
,
z
.
uuuuuur uuuu
r uuuur
uuuuuur
uu
r
uu
r
G
B
et V
or V
donc 2.T m . x I 3, B, z .
x .x
uu
r
uu
r
1
do T . I 2, B, z I 3, B, z . m . x
2
g2
3/ 0
tige
B ,3/ 0
3/ 0
B ,3/ 0
g2
3/ 0
tige
B ,3/ 2
B ,2 / 0
3/ 0
B ,3/ 2
B ,2/ 0
g2
3/ 0
tige
B ,3/ 2
3/ 0
B ,3/ 2
B ,3/ 2
3/ 0
B ,3/ 2
3/ 0
tige
g2
23 / 0
g2
tige
R7 : Puissance des efforts extrieurs

Les pivot en O et B sont parfaites.
La seule puissance extrieure dveloppe est
donc celle de la gravit sur 1.
Gravit
pivot
0
pivot
uu
r uuuuuur
uu
r g uu
r
Pext M .g . y0 .V G ,1/ 0 M .g . y0 .l. . y1
pivot
Pext M .g.l. .cos
3
pivot glissant
R8 : Puissance des efforts intrieurs

La puissance des efforts intrieurs est uniquement due laction de la pression entre 2 et 3
(les pivots sont parfaites)
g
Pint F . x
d
T
Pint Pext . Puisque T 23 / 0 est nglige
dt 1 23 / 0
R9 : Thorme de lnergie cintique :

devant T1/ 0 alors :
F. x M .g.l. .cos
uu
r
d 1
2
. M .l I 1, G, z0
dt 2
g2
g
g
uu
r
F . x M .g .l . .cos M .l 2 I 1, G , z0
g
uu
r
F g M .l 2 I 1, G, z0
x
gg
gg
uu
r
2
M
.
l
I
1,
G
,
z
.
M .g .l.cos
0
x
. M .g.l.cos .
r
d .sin h.cos
gg
2/4
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R10 : Courbe de vitesse.

g
Lacclration est max et pour parcourir 110 avec cette loi de vitesse, il faut :
tc / 2
gg
tc / 2
tc / 2
110 max 2. .dt 2.

0
2. max / tc
4. max
do
tc / 2
tc 2
max
.t.dt 2. max .
tc / 2
tc / 2
gg
gg
A.N. 4.
t 2
tc / 2
.t
max c
2
110
0,1454 / s 2
2
55
gg
R11 : Calcul de F : pour 0 , 0 et 0,1454 / s 2 0, 00254rad / s 2

Dans cette configuration, puisque h r.sin x.sin et r.cos x.cos d daprs la
fermeture gomtrique, x h 2 r d 3, 06m
2
. M .g.l
uu
r
2
M
.
l
I
1,
G
,
z
0
x
F .
r
h
gg
2
3, 06 500.2 670 .0, 00254 500.9,81.2
.
50065 N
1
0.6
R12 : pour une pression de 100 bars :

F P.Su 100.105.Su 50065 N
50065
Su
0.0050065m 2 50, 065cm 2
5
100.10
R13 : Automatique continue : fluide incompressible

g
q (t ) Su . x (t ) ou Q( p ) Su . p. X ( p ) puisque les conditions initiales sont nulles.

X ( p)
1
Do
Q ( p ) Su . p
R14 :
T
T
C(p)
KA
I ( p ) K Q( p)
1
p.Su
X ( p)
U mes ( p)
KB
Pour que X c ( p ) et X ( p) soient homogne et que X c ( p ) X ( p ) lorsque la tige du vrin a
atteint sa position dsire, il faut que la sortie du comparateur soit nulle, donc que KB=T.
R15 : Fonction de transfert en boucle ouverte. Puisque KB=T, tout se passe comme si ces 2
gains taient remplacs par un gain KB en sortie de comparateur (donc inclus dans la FTBO).
T
Q( p) 1
X ( p)
+
C(p)
KA
K
KB
I ( p)
p.Su
3/4
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FTBO K B .C ( p ).K A .K .
1
p.Su
Q16 : Fonction de transfert en boucle ferme

1
p.Su
K B .C ( p ).K A .K
FTBF
1
p.Su K B .C ( p ).K A .K
1 K B .C ( p).K A .K .
p.Su
K B .C ( p ).K A .K .
Q17 : erreur statique du systme non corrig C(p)=1

Il sagit vraisemblablement de lerreur statique en position puisquil sagit dun
asservissement en position.
FTBO
1
Estat lim xc (t ) x(t ) lim p. X c ( p) X ( p) lim p. X c ( p) 1

lim p. X c ( p)
t
p 0
p 0
p 0
1 FTBO
1 FTBO
si lentre xc (t ) est de la forme xc (t ) x0 .u (t ) ou X c ( p) x0 .
0
1 K .K .K . 1
B
A
p.Su
Estat lim x0 .
p 0
1
alors :
p
Q18 : influence de Su :
Su na pas dinfluence sur lerreur statique de position (elle est toujours nulle).
Su augmente la stabilit et diminue la rapidit (car diminue le gain de la FTBO).
4/4

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R4 : fermeture cinmatique : V1/ 0 V3/1 V2 / 3 V0 / 2 0

r. .sin x r. . sin .cos cos .sin x 0

R5 : Energie cintique du solide 1 en mouvement par rapport au bti 0 :

R6 : Energie cintique du vrin [2+3] en mouvement par rapport au bti 0 :

R7 : Puissance des efforts extrieurs

Pext M .g.l. .cos

R8 : Puissance des efforts intrieurs

R9 : Thorme de lnergie cintique :

R10 : Courbe de vitesse.

110 max 2. .dt 2.

R11 : Calcul de F : pour 0 , 0 et 0,1454 / s 2 0, 00254rad / s 2

R12 : pour une pression de 100 bars :

R13 : Automatique continue : fluide incompressible

q (t ) Su . x (t ) ou Q( p ) Su . p. X ( p ) puisque les conditions initiales sont nulles.

Q16 : Fonction de transfert en boucle ferme

Q17 : erreur statique du systme non corrig C(p)=1

Estat lim xc (t ) x(t ) lim p. X c ( p) X ( p) lim p. X c ( p) 1

si lentre xc (t ) est de la forme xc (t ) x0 .u (t ) ou X c ( p) x0 .

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