CHAPITRE 3

SERIES DE F OURIER
3.1

Sries trigonomtriques

Dfinition 3.1.1 On appelle srie trigonomtrique relle, toute srie de fonctions de la forme
:

X
a0
cos(nx) + b sin(nx)
(1)
+
a
2

n=1

avec x R, > 0 , an , bn R, pour tout n dans N.

Le problme est de dterminer lensemble tel que la srie (1) soit convergente pour tout
x .
Remarque 3.1.1
Supposons que la srie (1) converge et posons

a0 X cos(nx) + b sin(nx).
+
f (x) =
a
2

n=1

Sachant que pour tous n N et k Z :

cos (n(x + 2k/)) = cos(nx + 2nk) = cos(nx)
sin (n(x + 2k/)) = sin(nx + 2nk) = sin(nx).
2k
Alors la srie (1) converge en tout point de la forme x + , k Z.
2k
! et par suite la fonction f est
Si la srie (1) converge dans R, on aura f (x) = f x +

priodique de priode T = 2/.

En conclusion, les proprits suivantes sont quivalentes :
i) La srie trigonomtrique (1) converge dans R.

ii) La srie trigonomtrique (1) converge dans [0, 2/] .

41

3.1 Sries trigonomtriques

SERIES DE F OURIER

iii La srie trigonomtrique (1) converge dans [, + 2/], R

Proposition 3.1.1
Si les sries numriques X an et X bn sont absolument convergentes
alors la srie trigonomtrique (1) est normalement convergente sur R ; donc
absolument et uniformment sur R.
Preuve :
Cest vident puisque |an cos(nx) + bn sin(nx)| |an | + |bn |.
Proposition 3.1.2
Si les suites numriques (an ) et (bn ) sont dcroissantes et tendent vers 0,
alors
2k
la srie trigonomtrique (1) est convergente pour x , Z. o k
Preuve :
Cest une application direct du thorme dAbel. Pour cela il suffit tout simplement de
montrer que les sommes suivantes sont majores indpendamment de m et n.
p=n

p=n

S = X sin px

C = X cos px.

p=m

p=m

Commenons par calculer les sommes suivantes ; On a pour t , 2k o k Z :

p=n

p=n

Cn + iSn

p=n

= X cos pt + i X sin pt = X(cos pt + i sin pt)

p=0
p =n

X
=

p=0

ipt

it

p=0
2it

= 1+e +e ++e

i(n+1)t
int

1e

1e
it
(n + 1)
(n + 1)
(n + 1)
2
2i sin
t
t
cos
t
(1 cos(n + 1)t) i sin(n + 1)t 2 sin
2
2
2
=
=
2
(1 cos t) i
2 sin (t/2) 2i sin(t/2) cos(t/2)
sin t
p=0

(n + 1) t
(n + 1)t + i sin (n + 1)t
cos
2i sin
2
2
2

!
.

t
t
2i sin(t/2) cos + i sin
2
2

(n + 1)
(n + 1)t

(n + 1)t
t cos
+ i sin
sin

(n +
=
sin(t/2)
1)
sin
t
42
42

M A N -E

2
cos
r

M A N -E

42
42

t
2


3.1 Sries trigonomtriques
2
t

+ i sin
2
= sin(t/2)

43
43

M A N -E

nt
nt
cos 2 + i sin 2

SERIES DE F OURIER

M A N -E

43
43

Do lon tire :

(n + 1)t
nt

cos
sin

2
2
Cn =
sin(t/2)

(n + 1)t
nt
sin

sin
2
2

Sn =
.
sin(t/2)

Maintenant on peut majorer, on a :

p=n
X

|S| =

p=m

sin

sin px = |Sn Sm1 | |Sn | + |Sm1 |

(n + 1)x
nx
sin
2
2
sin(x/2)

mx
(m 1)x
sin
sin
2
+ 2
sin(x/2)

1
1
2
+
=

|sin(x/2)| |sin(x/2)|
|sin(x/2)|

2 Les deux sommes tant majores indpendamment de m et

On a de mme |C|
|sin(x/2)|

n ; la srie X(an cos nx + bn sin nx) est donc convergente pour x ,

n=1

3.1.1

Reprsentation complexe dune srie trigonomtrique

Daprs les relations dEuler :

cos(nx) = einx + einx et sin(nx) =

"
+X

n=1

an

einx + einx
2

En posant :
an
ibn
cn =

einx

la srie (1) devient :

a0

2k , k Z.

einx inx
e
+ bn
2i

an + ibn
cn = cn =

c0 + X(cn e

inx

X "

a0
2

ibn

ein

+cn e

inx

n=1

n=1

, la srie devient :

) = c0 + X cn e

inx

inx

+ X cn e

n=1

= c 0 + X cn e
n=1

an

a0
et c0 =

einx
2i

1
inx

+ X cn e

inx

n=

n=1

= X cn e

inx

nZ

inx

+ e

an + ibn
2

Cette dernire expression est appele forme complexe dune srie trigonomtrique.

3.1.2

Calcul des cfficients de la srie trigonomtrique. Cas rel

Mettons nous dans les conditions de convergence uniforme de la srie trigonomtrique

a0 X
+
(1) et posons f (x) =
(a cos(kx) + b sin(kx)). Alors
k
k
2
k=1

X
a0
cos(kx) cos(nx) + b sin(kx) cos(nx)]
f (x) cos(nx) =
cos(nx) +
[a

f (x) sin(nx) =
[a

2
a0

k=1

cos(kx) sin(nx) + b sin(kx) sin(nx)]

sin(nx) +
k

2
k=1
LaZconvergence uniforme nous permet
davoir :
Z
Z 2/

X
2/
a0 2/
cos(kx) cos(nx)dx

cos(nx)dx +
ak
f (x) cos(nx)dx = 2
0
0 Z
0
2/

+
2/

f (x) sin(nx)dx =

X bk
0
k=1
a0 Z 2/

X bk
k=1

k=1

sin(kx) cos(nx)dx.
Z 2/ cos(kx) sin(nx)dx

X
sin(nx)dx +
ak

2/

sin(kx) sin(nx)dx.

Or on a : ( faire titre dexercices.)

Z 2/
cos(kx) cos(nx)dx =
Z0 2/
sin(kx) sin(nx)dx =
Z0 2/
0

k=1

cos(nx) sin(kx)dx

0
/

si k ,
si kn = n

si k ,
n
si k = n

0.

On dduit alors les cfficients par les expressions suivantes :

an =

bn =

2/

f (x) cos(nx)dx

2/

f (x) sin(nx)dx.

Ces expressions sont valables mme pour n = 0.

Lemme 3.1.1

Soit f une fonction priodique de priode T > 0 et intgrable dans

lintervalle

[0, T]. Alors pour tout R, on a Z

T
0

Z
f (t)dt =

+T

f (t)dt.

3.2 Sries de F ourier

SERIES DE F OURIER

Preuve.
La relation de Chasles
nousZpermet dcrire
Z
Z +T:
Z
Z 0
+T
T
f (t)dt =
f (t)dt +
f (t)dt. Dans lintgrale
f (t)dt +
T

+T

f (t)dt on fait le

changement de variables
Z T.
Z
Z +T y = t

f (t)dt =
f (y)dy.
f (y + T)dy =
Ceci nous donne
Z T
TZ
Z0 T
Z 0
Z +T
0
Donc

f (t)dt =

f (t)dt +

f (t)dt +

f (t)dt =

f (t)dt.

Moyennant ce lemme, les cfficients peuvent scrire :

Z 2/
Z +2/
f (x) cos(nx)dx

an =
f (x) cos(nx)dx =

0
Z +2/
Z 2/
f (x) sin(nx)dx;

bn =
f (x) sin(nx)dx =

0

R.
R.

En particulier si = 1, cas des fonctions 2-priodique ;

Z 2
Z
f (x) cos(nx)dx.
1
1
f (x) cos(nx)dx =
an =

0
Z
Z 2
f (x) sin(nx)dx.
1
1
f (x) sin(nx)dx =
bn =

0

3.1.3

Calcul des cfficients de la srie trigonomtrique. Cas complexe

On a f (x) =
Z

X ck e
k=

2/
0

Or,

f (x) e
X ck

inx

ikx

2/

eix(kn) dx.

dx =k=
0
Z
0

2/

ix(kn)

dx =

0
2/

si

k,

n
si k = n.

Les cfficients sont alors donns par la relation :

Z 2/
Z +2/
f (x) einx; n Z.

cn =
f (x)
=
dx
2 0
2
inx
e

3.2

Sries de F ourier

Dans cette partie, on ne va considrer que les fonctions de priode 2. A chaque fois on
prcisera les formules pour une priode quelconque.
Soit f : R 7 R une application priodique de priode T = 2. On suppose que Z | f (t)|
I dt
converge sur un intervalle I = [, + 2] de longueur 2, R.

3.2 Sries de F ourier

SERIES DE F OURIER

Dfinition 3.2.1
On appelle srie de F ourier associe f , la srie trigonomtrique

cos(nx) + b sin(nx)]
a0 X
+
[a
2
avec an = 1

2
0

n=1

f (x) cos(nx)dx et bn = 1

2
0

f (x) sin(nx)dx

Deux questions se posent :

1. La srie de F ourier associe f est-elle convergente ?
2. En cas de convergence, peut-on dire que la srie converge vers f
? Rappelons la notion de discontinuit de premire espce.
Dfinition 3.2.2
Une fonction f admet une discontinuit de premire espce en un point x0 si les limites
droite et gauche de x0 existent. (Celles-ci ne sont pas forcment gales sauf en cas de
continuit.)
Thorme 3.2.1 ( Dirichlet)
Soit f : R 7 R une fonction priodique de priode T = 2 satisfaisant
aux conditions suivantes (appeles conditions de Dirichlet) :
D1) Les discontinuits de f (si elles existent) sont de premire espce et sont
en nombre fini dans tout intervalle fini.
D2) f admet en tout point une drive droite et une drive gauche.
Alors la srie de F ourier associe f est convergente et on a :

cos(nx) + b sin(nx)]
a0 X
+
[a
2

n=1

f (x)
si f est continue en x

=
f (x + 0) + f (x 0)

si f est discontinue en x
2
De plus la convergence est uniforme sur tout intervalle o la fonction f est
continue.
Les notations f (x + 0) et f (x 0) reprsentent respectivement les limites droite et
gauche de f au point x.
Remarque 3.2.1
Il y a un autre thorme quivalent au thorme (3.2.1) d Jordan.
Thorme 3.2.2 (Jordan)
Soit f : R 7 R une fonction priodique de priode T = 2 satisfaisant aux

conditions suivantes :
J1) Il existe M > 0 tel que | f (x)| M (i.e f est borne)
J2) On peut partager lintervalle [, + 2] en sous-intervalles [1 , 2 [,
[2 , 3 [. . ., [n1 , n ], avec 1 = et n = + 2 tels que la
restriction
soit monotone et continue.
f
]j , j+1 [

Alors la srie de F ourier associe f est convergente et on a :

cos(nx) + b sin(nx)]
a0 X
+
[a
2

n=1

f (x)
si f est continue en x

=
f (x + 0) + f (x 0)

si f est discontinue en x
2
De plus, la convergence est uniforme sur tout intervalle o f est continue.
Remarque 3.2.2
Nous allons tudier quelques cas particuliers. Rappelons dabord quelques proprits.
f : [k, k] 7 R une fonction intgrable sur [k, k].
Z k
Z k
f (x)dx.
Si f est paire alors
f (x)dx = 2
Z
Si f est impaire

f (x)dx = 0.

Si f est dveloppable en srie de F ourier :

a) Si f est paire : Z
Z

1
2
f (x) cos(nx)dx
f (x) cos(nx)dx =
an =

0
car la fonction x 7 f (x) cos(nx) est paire.
bn = 0 car la fonction x 7 f (x) sin(nx) est impaire
b) Si f est impaire :
an = 0 car
(x) cos(nx) est impaire.
Z la fonction x 7 f Z

1
2
f (x) sin(nx)dx
f (x) sin(nx)dx =
bn =

0
car la fonction x 7 f (x) sin(nx) est paire.
Rsum 1

f fonction paire :

2
an =

bn = 0,
f fonction impaire : an = 0,
bn = 2

f (x) cos(nx)dx.

n N.
n N.
Z

f (x) sin(nx)dx.

Exemple 3.2.1
Soit f :] , ] 7 R une fonction priodique, T = 2 dfinie par f (x) = x.
1. Les discontinuits de f sont les points de la forme xk = (2k + 1), k Z et sont de
premire espce car f ( + 0) = et f ( 0) =
2. f est partout drivable sauf aux points xk. En ces points nous avons :
f (x) f () = 1 et lim f (x) f () = 1.
lim
x+
x
x
x
f vrifie les conditions de Dirichlet, donc dveloppable en srie de F ourier.
Z
Z x sin(nx)dx = 2
n 1
(1) +
1
2
x sin(nx)dx =
f est impaire donc a0 = an = 0 et bn =
et par

n
0
suite

f (x) = 2

X (1)
n=1

n+1

sin(nx)

Exemple 3.2.2
Soit f : [, ] 7 R une fonction de priode T = 2, dfinie par f (x) = |x|.
1. On a | f (x)|
2. f| , est dcroissante continue et f| , est croissante continue.
[
0]
[0 ]
f satisfait les conditions du thorme de Jordan donc dveloppable en srie de F ourier.
De plus f estZpaire, ce qui nous
Z donne bn = 0.

1
2
xdx =
f (x)dx =
a0 =

Z
Z
0
0
si n
pair
2
1

|x| cos(nx)dx =
an =
x cos(nx)dx =
4

0
2 si n impair
n
X cos(2n + 1)x
La srie de F ourier converge alors vers f et on a f (x) =
2 n=1 (2n + 1)2 .

Puisque f est continue, la convergence est uniforme.

1
4X

(2n + 1)2 et par consquent
Remarquons enfin que lgalit f (0) = 0 se traduit par
n=1
=
2

X
2
1
.
=
2
(2n
+
1)
8
n=1
Une des particularits des sries de F ourier est le calcul des sommes de certaines sries
numriques.

3.2.1

Dveloppement en srie de F ourier de fonctions non priodiques

Il est clair que le dveloppement en srie de F ourier se pratique sur les fonctions
prio- diques. Cependant, il est possible, dans certains cas, de faire de tels
dveloppements pour des fonctions quelconques.
Soit f : [a, b] 7 R une fonction non priodique dfinie sur lintervalle [a, b]. Soit g : R 7
R
une fonction priodique de priode T b a telle que la restriction g
= f . Si g satisfait
[a,b]

les conditions de Dirichlet, on aura :

g(x) =
[a

a0

cos(nx) + b sin(nx)]

+
n

2 n=1
avec an et bn les cfficients de F ourier associs g. La somme de cette srie concide
partout avec f dans lintervalle [a, b] sauf peut-tre aux points de discontinuits de f .
Remarque 3.2.3
Soit f :]0, [7 R une fonction quelconque, et > 0. On suppose que f peut-tre prolonge
sur
] , 0[ et que les conditions de Dirichlet ou de Jordan soient satisfaites. Dans ce cas, on a
le
choix sur ce prolongement. On peut choisir soit un prolongement pair soit un
prolongement
impair pour viter les longs calculs des cfficients.
Exercice 1
x
Donner une srie de Fourier de priode 2 qui concide sur ]0, [ avec la fonction f (x) = e .
Rponse :
f
Ici on ne prcise que lintervalle o la srie de Fourier concide
avec f , cest dire ]0, [.
i
Comme la priode de la srie de Fourier est 2, il ya alors une infinit de rponses ;
examinons trois cas diffrents.
sera une fonction de priode
Notons fi , i = 1, 2, 3, le prolongement de f R tout
entier.
x
2 qui vaut exactement e pour tout x dans ]0, [.

a) Choisissons un prolongement pair et posons : f (x) =

si

x ]0, [

ex si x ] , 0[

On vrifie aisment que f1 est une fonction paire. Posons f (0) = 1 et f1 () = e , on a

alors un prolongement continue sur R. Le graphe de f1 et celui de la srie de Fourier
seront identiques.
Le calcul
des cfficients donne
:
n
e 1
2(e 1), a
(1)
n = 2
et bn = 0.
a0 =

1 + n2

On a alors :
n
ex si x [0, ]

(1) e
e 1 X
1
S1 (x) =
+
2 n2 + 1 cos(nx) = ex si x [, 0]

n=1
e

F. 3.1 graphe de la fonction f (x)

F. 3.2 graphe de la fonction S1 (x) identique celui de f1

ex
si
x ]0, [ . On

b) Choisissons un prolongement impair et posons : f 2 (x) =

x
e

si x ] ,
0[
remarque que f est une fonction impaire mais nest pas continue sur R . Elle est
2

discontinue en tout point de la forme k, k Z.

Le calcul des cfficients donne
:
2n (1 e )(1)n
.
an = 0 n N, bn =
(1 + n2 )
On a alors :
ex si x ]0, [

n
2n (1 (1)
e)

S2 (x) = X

x
(1 + n2 )
sin(nx) = e si x ] , 0[

n=1
0 si x = 0 ou x =
e
1

f2 (x)

F. 3.3 graphe de la
fonction

F. 3.4 graphe de la srie S2 (x)

x
c) Choisissons un prolongement ni pair ni impair et posons : f3 (x) = e si x ] , [.
On remarque que f est une fonction discontinue en tout point de la forme + 2k, k
Z. On a le rsultat
final :
ex

si x ] , [

e e 1
n

(1)
= e + e
S3 (x) =
+ X n2 + 1 cos(nx) n sin(nx)
si x = .

n=1
2

2
x

On a obtenu trois sries diffrentes qui valent exactement e sur lintervalle ]0, [. On

50
50

M A N -E

M A N -E

50
50

pouvait choisir dautres prolongements et obtenir dautres sries.

51
51

M A N -E

M A N -E

51
51

1
3

F. 3.5 graphe de la fonction 3f (x)

e +2e

F. 3.6 graphe de la srie S3 (x)

Remarque 3.2.4 Si on voulait une srie de Fourier de priode , alors il ny a quune seule
qui concide avec f sur ]0, [.
On trouve ;

ex
si x ]0, [

2(e 1) 1
1

2
= 1+e
S4 (x) =
+ X 4n cos(2nx) 2n sin(2nx)
si x = 0 ou x = .

n=1 1
2

2
e
1+e

2
1

F. 3.7 graphe de la srie S4 (x)

3.2.2

galit de Parseval

Thorme 3.2.3
galit de Parseval : Soit f une fonction dveloppable en srie de F ourier
2
> 0, alors on a pour rel quelconque :
et de priode T =

X
+

cn

n=1

2
(an

2
bn )

= an ibn

et c

+2/
2

2
f (x)dx = 2nZ |cn |

an + ibn
o n N.
2

Remarque 3.2.5 1. Si f est de priode 2, on a :

Z
Z

X
2

2
1
1
a0
2
2
2
2
n
n
+
+
=
=
f (x)dx
b )
f (x)dx
2 n=1 (a
0

2.
f fonction paire
=

f fonction impaire =
=

f
f

fonction paire
fonction paire

a0
2

2
an =

n=1

X
n=1

2
bn =

f (x)dx
0

Z
2

f (x)dx
0

3.3 Applications

3.3

SERIES DE F OURIER

Applications

Exemple 3.3.1 f tant une fonction 2-priodique telle que :

1 si x ]0, [
1 si x ] ,
0[

f (x) =

1
-5

-4

-3

-2

-1

F. 3.8 graphe de la fonction f (x)

f tant une fonction impaire === an = 0,n N
Z
0
si n est pair
2
2

(1 (1)n ) =
sin(nt)dt =
On a : bn =
4

n
si n est impair
0
La nsrie
de F ourier associe est :

4 X sin(2n + 1)x
1 si x ]0, [
=
= 0 si x = 0 ou si x =
S(x)
2n + 1
n=0

-5

-3

-2 -

-4

-1

F. 3.9 graphe de la fonction S(x)

Remarque 3.3.1 :Pour x = /2 on a S(/2) = 1 =
On tire :

4 X sin(2n + 1)/2
4 X (1)
.
=
n=0
n=0 2n + 1
2n + 1

1 1 1

(1)n
1
+

=
=

2n + 1
3 5 7
4

n=0

Appliquons lgalit de Parseval :

2

Z
0

f (t)dt = 1 =

X
16

n=0

(2n + 1)2

3.3 Applications

SERIES DE F OURIER

et lon tire donc :

X
n=0

2
1
=
(2n + 1)2
8

X
1 srie convergente daprs le critre de Riemann. En
Remarque 3.3.2 Posons S =
n2
n=1

1
1
1
().
Comme
sparant les pairs et les impairs on a : S = X
X
+
X
2 =
2
2
(2n)
(2n)
(2n
+
1)
n=1
n=1
n=0

X
1X
1
S
1
=
= ; en substituant dans lgalit () on a :
2
4 n=1 n2 4
4n
n=1

S X
3S X
1

2
1
1

=
=
S= +

=
=
2
S
2
2
2
(2n + 1)
8
4 n=0 (2n + 1)
n
6
4
n=0
n=1

La mthode complexe :
Z in
Z 0
t
1
1
e

cn =
f (t)dt =
2
e
2
1
=
(1)n
= 1/2(an ibn )
i
n

in
t

dt +

!
int

dt =

eint

2
in

!0

eint

+ i

!
0

Exemple 3.3.2 f tant une fonction 2-priodique telle que :

f (x) = |x|

si x [,
]

=== bn = 0, n
f tant une fonction
paire Z
! N
Z

2
2
2 t
On a : a0 = 1
= .
t dt =
|t|dt =
2 0

Puis on a : an =
t cos nt dt =
|t| cos nt dt =
0

dt n 0

0
Z
0
si n est pair
2
sin nt dt = 2 cos nt
2
n

=
(1) 1 = 4
=
2

n
n 0
n
n 0
si n est impair
La srie associe est donc :

n2

4 X cos(2n + 1)x

.
S(x) =
2 n=0 (2n + 1)2

f tant une fonction continue sur R, et admet partout des drives droite et gauche alors
f (x) = S(x), x R.

F. 3.10 graphe de la fonction f (x) et celui de S(x).

Remarque 3.3.3 pour x = 0 on a f (0) = 0 et comme f (0) = S(0) on tire :

4X

2
1
1

X
=
S(0) = 0 =
2
(2n + 1)2
8
2
n=0 (2n + 1)
n=0
Lgalit de ParsevalZdonne :
Z

1
1
2 2 1 16 X
1
2
2
=
=
+

=
t
dt
f
(t)dt
2
2
2
3
4
2 n=0 (2n + 1)4

X
1
4
4 =
(2n + 1)
96
n=0
Remarque 3.3.4 En crivant S =

X
1
n=1

n4

=X

1
15S
4
=X
On dduit alors :
4 =
(2n + 1)
96
16
n=0

n=1

1
1
X
+
4.
(2n)4 n=0 (2n + 1)

X
4
1
=
n4 90
n=1

Exemple 3.3.3 f tant une fonction 2-priodique telle que :

f (x) = x

si x ] ,
[

2
3
+

3
+

F. 3.11 graphe de la fonction f (x).

f est une fonction impaire, continue pour tout x R sauf aux points x = (2k + 1), k
Z. Elle admet en chaque point une drive droite et une drive gauche. elle admet
un

dveloppement en srie de F ourier. f : impaire = an = 0, n N, et lon a :

Z
"
# 2(1)n+1
Z

2
t cos nt
cos nt
bn =
t sin(nt)dt =
+
dt =
n

n
n
0
0
0

X
f (x) si x , (2k + 1) avec k Z
(1)n+1
sin nx =
S(x) = 2

n
n=1
0
si x = (2k + 1) avec k Z

F. 3.12 graphe de la fonction S(x).

Remarque 3.3.5 En appliquant lgalit de Parseval, on obtient :

Z

X 1
1X
4
1 2

2 2 =
t dt =
2 =
3
n
6
2 n=1 n
0
n=1
Exemple 3.3.4 f tant une fonction 2-priodique telle que :
2

f (x) = x

si x ] , ]

f est une fonction paire, continue pour tout x R. Elle admet en chaque point une drive
droite et une drive gauche. elle admet un dveloppement en srie de F ourier.

-6

-5

-4

-3

-2

2
-

F. 3.13 graphe de la fonction f (x) et celui de S(x)

f : paire
0, n N, et lon a :
Z = bn =
2
2
2
2
t dt =
a0 =
3
0

" 2
# Z
!
Z
2
2
t
sin
nt
2t
sin
nt
2
an =
t cos nt dt =
0Z
dt n 0 Z 0
n !

4(1)
4
cos nt
t sin nt dt = 4 t cos nt
=
+
=
dt
0

n 0
n
n2
0
Comme f est continue sur R ; on a donc f (x) = S(x) et donc :

X
n
2
4(1) cos nx = f (x) x R
S(x) = +
3
n=1
n2
Le graphe de f et celui de S sont identiques.
Remarque 3.3.6 Pour x = 0, on a f (0) = S(0) = 0 ce qui donne

(1)n+1
n

n=1

2
12

Exemple 3.3.5 f tant une fonction de priodique 2, telle que :

x si 0 x <
1

f (x) =
1

si 1 x < 2

-1
-

+
-6

+
-5

+
-4

+
-3

+
-2

+
-1

+
O 1

+
2

+
4

+
5

F. 3.14 graphe de la fonction f (x)

f nest ni paire ni impaire et ne prsente des discontinuits que pour les points
dabscisses un nombre entier positif ou ngatif. f admet alors un dveloppement de F
ourier.
2
= 2 = .
On a p =

Z 2
Z /
Z 2
Z 1

1
f
(t)dt
=
a0 =
dt = 1
f (t)dt =
t dt +
/
0
0
1 2
Z 2
Z 1
cos nt dt = (1)n 1
an =
t cos nt dt +
2
2 n 2
Z 12
Z0 1
sin nt dt = (1)n+1 1
bn =
t sin nt dt +
2
2n
0
1
La srie de F ourier associe f est donc :

S(x) =

1
2

2X
cos(2n + 1)x

1
n=0

(2n + 1)2

X sin 2nx

n=1

En prenant les demis sommes aux points de discontinuit on a pour x [0, 2[ :

1

si x = 0
4

x si 0 < x < 1

1
2 X cos(2n + 1)x
1 X sin 2nx
=3

2 2 n=0 (2n + 1)2

2 n=1
n

si x = 1
4
1

si 1 < x < 2
2

-6

+
-5

+
-3

-4

-2

-1
-

3/
4

1/

+
-1

+
O 1

+
3

x
+
5

F. 3.15 graphe de la fonction

S(x)
Exemple 3.3.6 Donner la srie de F ourier en sinus de la fonction :
f (x) = cos x pour x ]0, [.
On va faire un prolongement en fonction impaire de la fonction f . Comme la fonction
sinus est de priode 2, posons alors :
f (x) = cos x
si x ]0, [
f(x) = f (x) = cos x si x ] , 0[
La fonction f est une fonction impaire de priode 2, continue partout sur R sauf aux
points x = k o k Z, o elle nest pas dfinie, et concide avec la fonction f sur ]0, [. Elle
admet donc un dveloppement de F ourier.
Comme f est impaire, an = 0, et on a
:
Z
Z
2
1
bn =
cos x sin nx dx =
sin(n + 1)x + sin(n 1)x dx

1 " cos(n + 1)x cos(n 2n((1)n + 1)

=
+
=
si n , 1.
1)x #
2
n+1

1)
Z(n
0
Z n

1
1
2
Pour n = 1, b1 =
cos x sin x dx =
sin 2x dx = 0
0
0
finalement on a :
8n
b2n+1 = 0 et b2n =
(4n2 1)

x ]0, [

cos x = X
n=1

8n
sin 2nx
(4n2 1)

Remarque 3.3.7 La demi somme aux points de discontinuit est gale 0. On a donc :
i
h

cos x si x [ 2k, (2k + 1)

X
kZ i
h
8
n sin 2nx

= cos x si x (2k + 1), (2k + 2)

S(x) =
[

n=1 4n2

kZ
1

0
si x = k, k Z
La fonction S(x) est priodique de priode .

-2

-1
F. 3.16 graphe de la fonction S(x)
Quelques dveloppements intressants.
1. R/Z et x [, ]
cos x =

2 sin

2. Fonction impaire de priode 2.

2 +
2

n=1

(1)

cos nx

(n )
2

pour

<x

1
2

pour x =

3.

2
X

sin nx

pour 0 x <
sin

2nx
4
n
x
1
(X
1) n

sin
4n2 sin
=
2

n=1

pour 2 < x < 0

pour 0 < x < 2

n=1

pour x = 0, x = 2, x = 2.

4.

5.

2 + 6x + 22

3x
X cos nx
12

= 2
2
n

3x 6x + 22
n=1
12

2 + 3x + 22 x

x
X sin nx
12
= 2
3
2
n

n=1
x 3x + 2 x
12

M A N -E

pour 2 x 0

pour 0 x 2

pour 2 x 0

pour 0 x 2

60
60