Théories de la Terre creuse

Attraction induite par la seule rotation de la Terre

Accélération centripète due à la rotation de la Terre : ${\displaystyle a_{c}=\omega ^{2}\,R}$ .

Avec la vitesse angulaire de la Terre ${\displaystyle \omega =2\pi }$  rad/jour et son rayon équatorial R = 6 378 km, le calcul donne (après adaptation des unités) ${\displaystyle a_{c}=}$ 0,033 7 m/s². En comparaison avec l’attraction terrestre g = 9,81 m/s², le rapport atteint 0,344 %.

Gravitation nulle à l'intérieur d'une sphère creuse

En se basant sur la loi universelle de la gravitation de Newton, il s’agit de montrer que la force de gravité à l’intérieur d’une sphère creuse et sans rotation est rigoureusement nulle.

On admet les hypothèses suivantes :

• la coque (solide) est une sphère parfaite (pas un ellipsoïde) ;
• elle n’est pas en rotation et n’est pas soumise à l’attraction d’autres corps célestes (Lune, Soleil) ;
• l’intérieur de la coque est également sphérique et vide (pas d’atmosphère interne) ;
• la matière solide constituant la coque respecte une symétrie sphérique : si la masse volumique de la coque varie d’un endroit à l’autre, elle ne dépend que du rayon.

La gravité à l’intérieur d’une coque « épaisse » étant la somme des gravités engendrées par chaque coque mince qui la constitue, il suffit de montrer que la gravité à l’intérieur d’une coque mince est nulle.

Avec les coordonnées sphériques ${\displaystyle {\overrightarrow {r}}=r{\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}}}$ , on se donne un point intérieur sur l’axe vertical défini par ${\displaystyle {\overrightarrow {d}}={\begin{pmatrix}0\\0\\d\end{pmatrix}}}$  avec ${\displaystyle d<r}$ .

Le choix de ce point est quelconque mais on peut se restreindre à l’axe vertical grâce à la symétrie sphérique. La force gravitaire exercée en ce point s’écrit :

${\displaystyle {\overrightarrow {F}}({\vec {d}})=G\,m_{d}\,\rho \,\int _{0}^{\pi }\mathrm {d} \theta \,\int _{0}^{2\pi }r^{2}\sin \theta \,{\frac {{\vec {r}}-{\vec {d}}}{\|{\vec {r}}-{\vec {d}}\|^{3}}}\,\mathrm {d} \varphi }$ 

où :

• ${\displaystyle G}$  est la constante gravitationnelle ;
• ${\displaystyle m_{d}}$  est la masse située au point ${\displaystyle {\overrightarrow {d}}}$  ;
• ${\displaystyle \rho }$  est la densité surfacique de la coque ;
• ${\displaystyle r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi }$  est l'élément différentiel de surface.

Les deux premières composantes de la force gravitaire étant nulles pour des raisons de symétrie, il reste à montrer que la composante ${\displaystyle F_{z}({\vec {d}})}$  est également nulle.

On vérifie :

${\displaystyle \|{\vec {r}}-{\vec {d}}\|^{2}=r^{2}-2\,d\,r\,\cos \theta +d^{2}}$ .

En posant ${\displaystyle e={\frac {d}{r}}<1}$  et en regroupant les termes multiplicateurs dans le coefficient ${\displaystyle K=2\pi \,G\,m_{d}\,\rho }$  dont la dimension est celle d'une force, on obtient

${\displaystyle F_{z}({\vec {d}})=K\int _{0}^{\pi }\,\sin \theta \,{\frac {\cos \theta -e}{(1-2\,e\,\cos \theta +e^{2})^{\frac {3}{2}}}}\,\mathrm {d} \theta }$ .

Cette intégrale peut se résoudre analytiquement en appliquant successivement deux changements de variables :

• ${\displaystyle x=\cos \theta }$ 
• ${\displaystyle y=1-2\,e\,x+e^{2}}$ 

par lesquels on obtient finalement :

${\displaystyle F_{z}({\vec {d}})={\frac {K}{4\,e^{2}}}\int _{(1-e)^{2}}^{(1+e)^{2}}(1-e^{2}-y)\,y^{-{\frac {3}{2}}}\,\mathrm {d} y}$ 

Étant maintenant en mesure d’intégrer chaque terme de cette relation, il reste à vérifier que ce calcul conduit bien à ${\displaystyle F_{z}({\vec {d}})=0}$ .

Théorème de Gauss

On peut également utiliser le théorème de Gauss pour calculer le champ gravitationnel à l'intérieur d'une sphère creuse. Avec les mêmes hypothèses de symétrie, on peut écrire le champ gravitationnel

${\displaystyle {\vec {\mathcal {G}}}({\vec {r}})={\mathcal {G}}(r)\cdot {\vec {\mathrm {e} }}_{r}}$ .

On prend pour surface de Gauss la sphère ${\displaystyle \Sigma }$  de rayon ${\displaystyle r<R_{\mathrm {Terre} }}$  et centrée en ${\displaystyle O}$ . L'application du théorème de Gauss à ${\displaystyle \Sigma }$  donne

${\displaystyle \,\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\mathcal {G}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}={\mathcal {G}}(r)\int \!\!\!\!\!\!\!\subset \!\!\!\supset \!\!\!\!\!\!\!\int _{\Sigma }{\vec {\mathrm {e} }}_{r}\cdot \mathrm {d} {\vec {S}}=4\pi r^{2}{\mathcal {G}}(r)=0{\text{,}}\quad \forall \,r<R_{\mathrm {Terre} }}$ ,

Car la masse à contenue dans ${\displaystyle \Sigma }$  est nulle. Ainsi on a

${\displaystyle {\mathcal {G}}(r)=0{\text{,}}\quad \forall \,r<R_{\mathrm {Terre} }}$ .