Statistique de Fermi-Dirac

Avant l'avènement de la distribution de Fermi-Dirac dans les années 1920, la compréhension du comportement des électrons dans les métaux était très rudimentaire. Le modèle de Drude utilisait la statistique classique de Maxwell-Boltzmann pour décrire la dynamique des électrons. Ainsi les scientifiques ne comprenaient pas bien pourquoi les électrons participaient en grand nombre dans la conduction du courant électrique dans un métal et que ce nombre devenait extrêmement réduit quand il s'agit de contribuer à la capacité calorifique du même métal. Il y a manifestement ici un problème de statistique qui se pose dans l'évaluation de la capacité calorifique des métaux.

L'explication fut apportée par le modèle de l'électron libre de Arnold Sommerfeld (1927) qui introduisait la distribution de Fermi-Dirac, en révélant que seuls les états situés près du niveau de Fermi, étaient sollicités pour la contribution à la capacité calorifique du métal.

La statistique de Fermi-Dirac a été introduite en 1926 par Enrico Fermi et Paul Dirac. En 1927 elle fut appliquée aux électrons dans un métal par Arnold Sommerfeld. Statistiquement, le nombre n_i de particules dans l'état d'énergie E_i est donné par :

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{\exp \left({\frac {E_{i}-\mu }{k_{\rm {B}}T}}\right)+1}}\ }$ 

où :

• g_i   est la dégénérescence de l'état d'énergie E_i , à savoir le nombre d'états possédant cette énergie ;
• μ   est le potentiel chimique ;
• k_B   est la constante de Boltzmann ;
• T   est la température absolue.

Les distributions de Fermi-Dirac pour les fermions, en même temps que la distribution de Bose-Einstein analogue pour les bosons, sont utilisées lorsque les effets quantiques sont pris en compte, et lorsque les particules sont considérées comme indiscernables. Cela correspond à une concentration de particules (N/V) supérieure à une certaine densité d'état, c'est-à-dire que la distance intermoléculaire est inférieure à celle de la longueur d'onde thermique de de Broglie.

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  Distribution de Fermi-Dirac en fonction de ε/μ et de différentes températures
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  Représentation de ${\displaystyle \langle n(E)\rangle }$  pour les bosons (courbe du haut) et les fermions (courbe du bas).

L'entropie d'un système constitué par des fermions, décrits par des fonctions d'onde antisymétriques (spin demi-entier), peut être trouvée en utilisant le principe d'exclusion de Pauli et la description statistique due à J. Willard Gibbs^[1]. Elle vaut

${\displaystyle S=-k_{\rm {B}}\sum _{j}G_{j}\left[(1-n_{j})\log {(1-n_{j})}+n_{j}\log n_{j}\right]}$ 

où

${\displaystyle k_{\rm {B}}}$	constante de Boltzmann,
${\displaystyle n_{j}}$	nombre d'occupation (proportion de fermions dans un état d'énergie donné),
${\displaystyle G_{j}}$	nombre d'états possibles dans le groupe j (dégénérescence).

Dans l'ensemble microcanonique, les variables thermodynamiques à l’équilibre sont obtenus par maximisation de l'entropie sous contrainte de respecter le nombre total de fermions ${\displaystyle N=\sum _{i}G_{i}n_{i}}$   et l'énergie totale  ${\displaystyle E=\sum _{i}n_{i}G_{i}E_{i}}$ . En utilisant la méthode des multiplicateurs de Lagrange, α pour le nombre de particules et β pour l'énergie, la solution vérifie

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial n_{j}}}\left(S-\alpha N-\beta E\right)=0\,,\qquad \forall j}$ 

La solution de ce système d'équations indépendantes est la distribution statistique de Fermi-Dirac

${\displaystyle n_{j}={\frac {1}{\mathrm {e} ^{\alpha +\beta E_{j}}+1}}}$ 

On peut retrouver les valeurs de α et β à partir du premier principe de la thermodynamique. Donc, α=-μ β et β=(k_BT)^-1.

 

À haute température, lorsque les effets quantiques ne se font plus sentir, la statistique de Fermi-Dirac tend vers la statistique de Maxwell-Boltzmann ; il en est de même pour la statistique de Bose-Einstein qui régit les bosons. À basse température, si les particules occupent en priorité les niveaux d'énergie les plus faibles, les statistiques diffèrent cependant. Par exemple, à température nulle :

• avec la statistique de Fermi-Dirac, le niveau de plus basse énergie, E₀, est occupé par au plus g₀ fermions ; les états de basse énergie E_i sont ensuite occupés chacun dans l'ordre croissant des énergies par au plus g_i fermions jusqu'à épuisement de ces derniers;
• avec la statistique de Bose-Einstein, le niveau de plus basse énergie contient tous les bosons (cas limite du condensat de Bose-Einstein).

Les électrons dans les solides forment un gaz de fermions dont la description requiert la statistique de Fermi-Dirac. Récemment, le refroidissement de gaz d'atomes dilués fermioniques jusqu'à des températures de l'ordre du μK a permis d'obtenir des condensats fermioniques, uniquement descriptibles par cette statistique.

• Cet article est partiellement ou en totalité issu de l'article intitulé « Entropie (fermions) » (voir la liste des auteurs).

• Charles Kittel (trad. Nathalie Bardou, Évelyne Kolb), Physique de l’état solide [« Solid state physics »], 1998 [détail des éditions]
• (en) Lev Landau et Evgueni Lifchits, Statistical Physics, Pergamon Press, 1969 (lire en ligne)

• Autres distributions statistiques en physique statistique :
  • en mécanique quantique : Statistique de Bose-Einstein et Anyon
  • en mécanique classique : Statistique de Maxwell-Boltzmann
• Gaz de Fermi
• Physique statistique
• Physique quantique

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