Estadística de Fermi-Dirac

En estadística de partícules, l'estadística Fermi-Dirac (o més col·loquialment estadística F-D) determina la distribució estadística d'un conjunt de fermions indistingibles en equilibri tèrmic sobre un conjunt d'estats d'energia.

Els fermions estan subjectes al principi d'exclusió de Pauli: un determinat estat quàntic pot estar ocupat per no més d'un fermió en cada instant de temps. Matemàticament, això s'expressa dient que el nombre mitjà de fermions en un estat i ${\displaystyle n_{i}}$ ve determinat per l'expressió

${\displaystyle n_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\varepsilon _{i}-\mu )/kT}+1}}}$

on ${\displaystyle \varepsilon _{i}\geq \mu }$ i:

${\displaystyle g_{i}}$ és la degeneració de l'estat i

${\displaystyle \varepsilon _{i}}$ és l'energia de l'estat i

${\displaystyle \mu }$ és el potencial químic del sistema

${\displaystyle k_{B}}$ és la constant de Boltzmann

${\displaystyle T}$ és la temperatura absoluta

Aquesta expressió es redueix a la corresponent a l'estadística de Maxwell-Boltzmann per a energies grans (${\displaystyle \varepsilon _{i}-\mu \gg k_{B}T}$).

A baixes temperatures ${\displaystyle T}$, un sistema de ${\displaystyle N}$ fermions tendirà a omplir els ${\displaystyle N}$ estats de menor energia. A ${\displaystyle T=0}$, parlem de mar de Fermi per referir-nos al conjunt de nivells energètics ocupats. El(s) darrer(s) estats ocupats tindran una energia ${\displaystyle E_{F}}$ que s'anomena 'energia de Fermi'. Anàlogament, anomenem superfície de Fermi el conjunt d'estats l'energia dels quals és igual a ${\displaystyle E_{F}}$. Per exemple, en el cas d'un sistema homogeni de fermions no interaccionants, a ${\displaystyle T=0}$ els estats ocupats són els estats amb moment ${\displaystyle {\vec {p}}}$ tal que ${\displaystyle p=|{\vec {p}}|\leq p_{F}}$, on ${\displaystyle p_{F}}$ és el moment de Fermi, i ${\displaystyle E_{F}=\hbar ^{2}p_{F}^{2}/(2m)}$, essent ${\displaystyle m}$ la massa dels fermions.

L'estadísitca de Fermi-Dirac va ser introduïda el 1926 per Enrico Fermi,^[1] i posteriorment redescoberta independentment per P. A. M. Dirac,^[2] per comprendre com els electrons ocupaven els estats energètics atòmics d'acord amb la nova teoria quàntica. A partir d'aquests treballs va ser possible comprendre des d'un punt de vista fonamental l'estructura de la taula periòdica dels elements.

A Wikimedia Commons hi ha contingut multimèdia relatiu a: Estadística de Fermi-Dirac

• Estadística de Bose-Einstein
• Estadística de Maxwell-Boltzmann
• Bosó
• Fermió