Distance ultramétrique

Soit E un ensemble ; on appelle distance ultramétrique (sur E) une application ${\displaystyle d:\mathrm {E} \times \mathrm {E} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$  vérifiant les propriétés suivantes :

Nom	Propriété
symétrie	${\displaystyle \forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=d(y,x)}$
séparation	${\displaystyle \forall x,y\in \mathrm {E} ,\ d(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}$
inégalité ultratriangulaire[2]	${\displaystyle \forall x,y,z\in \mathrm {E} ,\ d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$

Compte tenu de la symétrie, l'inégalité ultratriangulaire signifie que dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure ou égale à la plus grande des longueurs des deux autres côtés (donc à la somme de ces deux longueurs, ce qu'exprime l'inégalité triangulaire). Cela implique en particulier que tout triangle est isocèle et la base est le plus petit des côtés.

Tout ensemble peut être muni de la distance dite triviale ou discrète définie par:

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\1&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$ 

L'inégalité

${\displaystyle d(x,z)\leq \max(d(x,y),d(y,z))}$ 

est vraie, que x soit égal à z ou non. Il s'agit donc d'une distance ultramétrique.

Pour un nombre premier p, on peut définir la valuation p-adique ${\displaystyle v_{p}(r)}$  de tout nombre rationnel r non nul.

On prouve facilement que cette application vérifie

${\displaystyle v_{p}(r+r')\geq \inf(v_{p}(r),v_{p}(r'))}$  et ${\displaystyle v_{p}(-r)=v_{p}(r).}$ 

On définit alors la distance p-adique sur ℚ par :

${\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{si }}x=y\\p^{-v_{p}(x-y)}&{\text{si }}x\neq y\end{cases}}}$ 

La propriété précédente de ${\displaystyle v_{p}}$  conduit facilement à l'inégalité ultramétrique. Les deux autres vérifications sont aisées.

Il s'agit donc bien d'une distance ultramétrique sur ℚ^[3].

• Soient X un ensemble quelconque et E = X^ℕ l'ensemble des suites à valeurs dans X. On munit E d'une structure d'espace ultramétrique complet en posant${\displaystyle k(x,y)=\inf\{n\in \mathbb {N} \mid x_{n}\neq y_{n}\}}$  (autrement dit : ${\displaystyle k(x,x)=+\infty }$  et si ${\displaystyle x\neq y}$ , ${\displaystyle k(x,y)}$  est le rang du premier terme où les deux suites diffèrent), puis${\displaystyle d(x,y)={\frac {1}{1+k(x,y)}}}$ ^[4],[5]ou encore, pour un réel ${\displaystyle a>1}$  arbitraire :${\displaystyle d_{a}(x,y)=a^{-k(x,y)}}$ ^[6],qui est une distance uniformément équivalente à ${\displaystyle d}$ .Pour X = {0, 1}, on obtient l'espace de Cantor et pour X = ℕ, l'espace de Baire.
• En génétique, la distance entre génotypes le long des branches d'un arbre phylogénétique peut être mesurée par une distance ultramétrique.^{[réf. souhaitée]}

Voici quelques propriétés^[7] d'un espace ultramétrique, qui semblent aller contre l'intuition.

• Il n'existe pas de boules sécantes, en ce sens que si deux boules ouvertes (ou deux boules fermées) ont un point commun, alors l'une contient l'autre :

  ${\displaystyle B(a,r)\cap B(a',r')\neq \varnothing {\text{ et }}r\leq r'\Rightarrow B(a,r)\subset B(a',r')}$ .

• Tout point d'une boule en est un centre :

  ${\displaystyle \forall x\in B(a,r)\quad B(x,r)=B(a,r)}$ .

• Dans un espace métrique, toute boule ouverte est ouverte, toute boule fermée est fermée. Dans un espace ultramétrique, on a de plus :

  Toute boule fermée de rayon non nul est ouverte. Toute boule ouverte est fermée.

  Par conséquent, tout espace topologique ultramétrisable est de dimension nulle donc totalement discontinu, c'est-à-dire que ses composantes connexes sont les singletons.

• Étant donné trois points, les deux plus proches sont à la même distance du troisième, autrement dit : « tout triangle est isocèle et sa base est au plus égale aux côtés égaux^[8] », ce qui s'écrit aussi :

  ${\displaystyle d(x,y)\neq d(y,z)\Rightarrow d(x,z)=\max(d(x,y),d(y,z))}$ .

• Pour qu'une suite ${\displaystyle (x_{n})}$  soit de Cauchy, il suffit que ${\displaystyle d(x_{n},x_{n+1})\to 0.}$ 

Soit X un ensemble muni d'une distance ultramétrique d, et soit r un nombre positif. L'ensemble des boules de rayon r définies sur X constitue une partition de X. En faisant croître r à partir de 0, on forme une chaîne de finesse entre ces partitions, de la plus fine (partition discrète pour r = 0) à la moins fine (partition universelle pour r maximal). C'est une des bases de la classification automatique par regroupement hiérarchique^[9].

• Norme ultramétrique
• Valeur absolue ultramétrique

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