Dimension topologique

La petite dimension inductive ind, ou dimension de Urysohn-Menger, et la grande dimension inductive Ind, ou dimension de Čech, seront définies par récurrence à partir de la notion suivante^[2] : on dira qu'un fermé sépare deux parties A et B si son complémentaire est la réunion de deux ouverts disjoints dont l'un contient A et l'autre contient B.

On définit la valeur de ind(E) pour tout espace régulier^{[N 1]} E et de Ind(E) pour tout espace normal^{[N 2]} E par l'ensemble de ses majorants :

• ind(∅) = Ind(∅) = –1
• pour n ≥ 0 :
  • ind(E) ≤ n si (dans E) un point et un fermé ne contenant pas ce point sont toujours séparés par un sous-espace L tel que ind(L) < n^[3],[4] ;
  • Ind(E) ≤ n si (dans E) deux fermés disjoints sont toujours séparés par un sous-espace L tel que Ind(L) < n^[5],[6].

Remarques

• Pour tout espace normal E, ind(E) ≤ Ind(E)^[5], d'où les notations ind et Ind et les qualificatifs de petite et grande.
• Pour tout sous-espace F de E, on a ind(F) ≤ ind(E).
• On obtient la même^[7],[8] fonction ind sur les espaces réguliers lorsqu'on remplace sa définition récursive par :ind(E) ≤ n si les ouverts U tels que ind(∂U) < n forment une base de E,où ∂U désigne la frontière de U.
• De même^{[N 3]}, la condition ci-dessus pour Ind(E) ≤ n peut être remplacée (pour E normal) par : pour tout fermé F, les ouverts U contenant F et tels que ind(∂U) < n forment une base de voisinages de F^[5].

Un espace topologique non vide est dit « de dimension zéro^[9] » s'il possède une base d'ouverts-fermés ; un tel espace vérifie l'axiome T₃^[10].

Les espaces de dimension zéro sont donc exactement les espaces T₃ pour lesquels ind = 0 (d'après la définition ci-dessus en termes de base d'ouverts).

Propriétés

• Un espace de Lindelöf E non vide et de dimension zéro vérifie même (T₄^{[N 4]} et) Ind(E) = 0^[11].
• Pour tout espace E non vide, Ind(E) = 0 si et seulement si dim(E) = 0^[12].
• Tout produit d'espaces de dimension zéro est de dimension zéro^[13].
• Un espace régulier de dimension zéro est totalement discontinu^{[N 5],[10]}(la réciproque est fausse ; l’espace d’Erdős (en) est un contre-exemple)

Exemples

• Tous les espaces (séparés) localement compacts totalement discontinus — en particulier les espaces discrets — sont de dimension zéro^[14].
• Une partie non vide de R est de dimension zéro si et seulement si elle est d'intérieur vide^[13] (comme Q, R\Q ou le compact de Cantor, ces deux derniers étant d'ailleurs homéomorphes à des produits d'espaces discrets : N^N et {0, 1}^N).
• Il existe un espace compact de dimension zéro contenant un sous-espace M tel que dim(M) = Ind(M) = 1^[15].

• La dimension de tout ouvert non vide de Rⁿ est n^{[N 6]}.
• Un arc de Jordan rectifiable dans Rⁿ est de dimension 1, une portion de surface régulière est de dimension 2, etc.

• Pour tout espace E de Lindelöf, dim(E) ≤ ind(E) ≤ Ind(E) (inégalités d'Aleksandrov) et si ind(E) = 1 alors Ind(E) = 1^{[16],[17],[N 7]}. À partir de 1, les trois dimensions peuvent être distinctes : pour tout entier i ≥ 1, il existe un compact X_i tel que dim(X_i) = 1, ind(X_i) = i et Ind(X_i) = 2i – 1^[16].
• Pour tout espace normal E, si F est fermé dans E alors Ind(F) ≤ Ind(E)^[18], mais il existe des contre-exemples si F n'est pas fermé (cf. § « Espace de dimension zéro » ci-dessus).
• Il existe un compact E réunion de deux fermés F₁ et F₂ tels que Ind(F₁) = Ind(F₂) = 1 mais Ind(E) = 2^[19].
• Cependant, si E est un espace parfaitement normal, alors^{[N 8],[20]} :
  • pour tout sous-espace F de E, on a Ind(F) ≤ Ind(E) ;
  • si E est réunion d'une suite de fermés F_n alors Ind(E) =^[21] sup_n Ind(F_n).
• Il existe :
  • des espaces normaux dont le produit n'est pas normal ;
  • des compacts X et Y tels que Ind(X) = 1 et dim(Y) = Ind (Y) = 2 mais ind(X×Y) = 4^[22] ;
  • un espace de Lindelöf X de dimension zéro tel que X² soit normal et dim(X²) = 1^[23].
• Cependant, Ind(X×Y) ≤ Ind(X) + Ind (Y) (pour X et Y non tous deux vides) dès que X est parfaitement normal et Y est métrisable^[24],[25] (mais l'inégalité peut être stricte : il existe même^[26] un espace métrisable séparable X homéomorphe à X² et de dimension 1).

La dimension de recouvrement de Lebesgue, dim, se définit de même par ses majorants mais sans récurrence : dim(E) ≤ n si tout recouvrement ouvert fini de E admet un recouvrement ouvert fini plus fin tel que chaque point de E appartient à au plus n + 1 ouverts de ce dernier recouvrement.

• Pour tout espace normal E, dim(E) ≤ Ind(E)^[27].
• Pour tout espace métrisable E, ind(E) ≤ Ind(E) = dim(E)^[28], l'inégalité pouvant être stricte^[29].
• Un espace normal E vérifie dim(E) ≤ n si et seulement si toute application continue d'un fermé de E dans la sphère Sⁿ peut se prolonger à E^[30].
• La dimension de la réalisation géométrique d'un complexe simplicial est égale à sa dimension de recouvrement.^{[réf. nécessaire]}

La dimension de Hausdorff d'un espace métrisable dépend spécifiquement de la distance utilisée. La dimension topologique d'un espace métrisable séparable E est le minimum des dimensions de Hausdorff de E pour toutes les distances sur E compatibles avec sa topologie^[31].

La définition de fractale initialement donnée par Benoît Mandelbrot est celle d'un espace métrique dont la dimension topologique est strictement inférieure à la dimension de Hausdorff^[32], mais il l'a rapidement remplacée par une définition plus vague, permettant d'inclure par exemple la courbe de Hilbert.

(en) Stephen Willard, General Topology, Mineola, N.Y., Dover, 2004 (1^re éd. 1968), 369 p. (ISBN 978-0-486-43479-7, lire en ligne)

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