Base (topologie)

Soit (X, T) un espace topologique.

Un réseau^[1] de T est un ensemble N de parties de X tel que tout ouvert U de T est une réunion d'éléments de N, autrement dit : pour tout point x de U, il existe dans N une partie incluse dans U et contenant x.

Une base de T est un réseau constitué d'ouverts.

Un ensemble B de parties de X est une base d'une topologie sur X si et seulement s'il vérifie les deux conditions suivantes :

1. B est un recouvrement de X ;
2. L’intersection de deux éléments de B est une union (d’un nombre quelconque) d’éléments de B.

Une condition suffisante pour que 2. soit vérifiée est que B soit stable par intersections finies.

Si B vérifie 1. et 2., il existe une unique topologie sur X dont B est une base : la topologie engendrée par B. Ses ouverts sont toutes les réunions d'éléments de B et pour tout ouvert O, on peut expliciter l'union qui forme O (notamment pour éviter l'axiome du choix) : O est la réunion de tous les éléments de B qui sont inclus dans O.

Si B est une base d'une topologie T, tout ensemble d'ouverts de T qui contient B est aussi une base de T.

Pour toute topologie T sur X, un ensemble B de parties de X est une base de T si et seulement si, pour tout point x de X, le sous-ensemble des éléments de B qui contiennent x est une base de voisinages de x^[2].

• Une topologie d'ordre est généralement définie par une collection d'ensembles analogues à des intervalles ouverts.
• Une topologie métrique est généralement définie par une collection de boules ouvertes.
• Un espace à base dénombrable possède précisément une base dénombrable.
• Une topologie discrète possède une base constituée des singletons.

Sur l'ensemble ℝ des nombres réels :

• L'ensemble des intervalles ouverts forme une base de la topologie usuelle sur ℝ. On peut même se limiter aux intervalles dont les extrémités sont rationnelles, faisant de ℝ un espace à base dénombrable ;
• En revanche, l'ensemble des intervalles semi-infinis de type ]−∞, a[ ou ]a, +∞[, où a est un nombre réel, n'est pas une base d'une topologie sur ℝ. Par exemple, ]−∞, 1[ et ]0, +∞[ appartiennent bien à cet ensemble, mais leur intersection ]0, 1[ ne peut pas être exprimée comme union d'éléments de cet ensemble.

On définit diverses fonctions cardinales d'un espace topologique (X, T)^[3] (T sera souvent implicite), parmi lesquelles :

• le poids de X, noté w(X), comme le plus petit cardinal d'une base de T ;
• son poids de réseau, noté nw(X), comme le plus petit cardinal d'un réseau ;
• le caractère d'un point x de X, noté χ(x, X), comme le plus petit cardinal d'une base de voisinages de x ;
• le caractère de X, noté χ(X), comme la borne supérieure de tous les χ(x, X).

Ces différents cardinaux sont reliés par les propriétés suivantes :

• nw(X) ≤ w(X) ;
• si X est discret, alors w(X) = nw(X) = |X| ;
• si X est séparé, alors nw(X) est fini si et seulement si X est fini et discret ;
• toute base de T contient une base de T de cardinal w(X) ;
• toute base de voisinages d'un point x contient une base de voisinages de x de cardinal χ(x, X) ;
• pour toute image continue Y de X, nw(Y) ≤ w(X) (car l'image de toute base de X est un réseau de Y) ;
• si (X, T) est séparé, il existe sur X une topologie séparée moins fine T' telle que w(X, T') ≤ nw(X, T). A fortiori, si (X, T) est compact, nw(X) = w(X) (d'après le premier point et parce que les deux topologies coïncident).

Ces notions permettent par exemple^[4] de redémontrer^[5] que toute image continue Y d'un compact métrisable X dans un séparé est métrisable (car un compact est métrisable si et seulement s'il est à base dénombrable, or Y est compact donc w(Y) = nw(Y) ≤ w(X) ≤ ℵ₀).

• Il n'existe pas de famille strictement croissante d'ouverts (ou strictement décroissante de fermés) indexée par w(X)⁺.
• On définit également le π-poids πw(X) comme le plus petit cardinal d'une « π-base », c'est-à-dire d'une famille d'ouverts telle que tout ouvert non vide de X contient un ouvert de cette famille^[6].

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