Nilpotent

Ne doit pas être confondu avec Groupe nilpotent.

En mathématiques, un élément x d'un anneau unitaire (ou même d'un pseudo-anneau) est dit nilpotent s'il existe un entier naturel n non nul tel que xⁿ = 0.

Cette définition peut être appliquée en particulier aux matrices carrées. La matrice

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}$

est nilpotente parce que A³ = 0. On parle alors de matrice nilpotente et d'endomorphisme nilpotent.

Dans l'anneau ℤ/9ℤ, la classe de 3 est nilpotente parce que 3² est congru à 0 modulo 9.

L'anneau des coquaternions contient un cône de nilpotents.

Aucun élément nilpotent n'est inversible (sauf dans l'anneau nul). Tous les éléments nilpotents non nuls sont des diviseurs de zéro.

Une matrice carrée A d'ordre n à coefficients dans un corps commutatif est nilpotente si et seulement si son polynôme caractéristique est Xⁿ, ce qui est le cas si et seulement si Aⁿ = 0.

Les éléments nilpotents d'un anneau commutatif forment un idéal, qui est le nilradical de l'anneau.

Si x est nilpotent, alors 1 – x est inversible ; en effet, xⁿ = 0 entraîne :

(1 – x)(1 + x + x² + … + x^{n – 1}) = 1 – xⁿ = 1, et de même (1 + x + x² + … + x^{n – 1})(1 – x) = 1 – xⁿ = 1.

Ainsi 1 – x est inversible, d'inverse 1 + x + x² + … + x^{n – 1}.

Un anneau sans élément nilpotent autre que 0 est dit réduit ; cette notion est importante en géométrie algébrique. L'anneau quotient d'un anneau commutatif par son nilradical est un anneau réduit.

Un opérateur Q qui satisfait à Q² = 0 est nilpotent. La charge BRST (en) est un exemple important en physique.

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