Tore d'application

Pour l’article homonyme, voir Tore.

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

Vous pouvez partager vos connaissances en l’améliorant (comment ?) selon les recommandations des projets correspondants.

En mathématiques et plus particulièrement en topologie, le tore d'application, dit aussi mapping torus ou encore tore de suspension, d'un homéomorphisme ${\displaystyle f}$ d'un espace topologique ${\displaystyle X}$ est l'espace produit ${\displaystyle \scriptstyle X\times [0,1]}$ quotienté par la relation d'équivalence ${\displaystyle \scriptstyle (x,1)\sim (f(x),0)}$.

• Le tore d'un homéomorphisme de X est l'espace total d'un fibré sur S¹, de fibre X.
• Les tores de deux homéomorphismes f et g de X sont homéomorphes (et même isomorphes, en tant que fibrés) dès que f et g sont conjugués ou isotopes (dans le groupe topologique des homéomorphismes de X, muni de la topologie compacte-ouverte), ou plus synthétiquement : dès qu'il existe un chemin continu (h_t)_t∈[0,1] d'homéomorphismes de X tel que h₁∘f = g∘h₀.
• Le tore d'un homéomorphisme f de X est l'espace des orbites de l'action de ℤ sur X×ℝ donnée par n∙(x, y) = (f ⁿ(x), y + n).

• Le tore de l'application identité de ${\displaystyle X}$ est le fibré trivial.
• Si ${\displaystyle X=S^{1}}$, le tore de ${\displaystyle f}$ est le tore T² ou la bouteille de Klein, selon que ${\displaystyle f}$ conserve ou renverse l'orientation.
• Le ruban de Möbius est le tore de l'homéomorphisme ${\displaystyle \scriptstyle [-1,1]\to [-1,1],x\mapsto -x}$.

• (en) William Thurston, « On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 19,‎ 1988, p. 417–431
• François Gautero, Quatre problèmes géométriques, dynamiques ou algébriques autour de la suspension, Habilitation à diriger des recherches, 2006

• Conjecture de géométrisation
• Mapping class group

• Portail des mathématiques