Métrique de Kasner

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La métrique de Kasner est une forme particulière de métrique introduite par le physicien Edward Kasner en 1921 pour étudier les modèles d'univers anisotropes.

La métrique est donnée par l'équation suivante :

${\displaystyle g_{ij}={\rm {d}}s^{2}=c^{2}{\rm {d}}t^{2}-K_{1}t^{2p_{1}}{\rm {d}}x^{2}-K_{2}t^{2p_{2}}{\rm {d}}y^{2}-K_{3}t^{2p_{3}}{\rm {d}}z^{2}}$,

les paramètres de la métrique, ${\displaystyle (p_{1},p_{2},p_{3})}$ vérifient les conditions suivantes :

${\displaystyle p_{1}+p_{2}+p_{3}={p_{1}}^{2}+{p_{2}}^{2}+{p_{3}}^{2}=1}$.

D'un point de vue géométrique, la métrique de Kasner correspond à un univers dont les sections spatiales sont homogènes, c'est-à-dire identiques quel que soit le point depuis lequel elles sont observées. Cette propriété indique que cette métrique fait partie de la classe plus générale des métriques d'espace-temps quadri-dimensionnels spatialement homogènes. Cette classe a été intégralement décrite par le mathématicien italien Luigi Bianchi et nommée en son honneur classification de Bianchi. La métrique de Kasner correspond au type I dans cette classification.

La condition sur la valeur des paramètres implique que l'un d'entre eux est négatif (sauf dans le cas trivial où l'un d'entre eux est égal à 1 et les deux autres à zéro). En effet : ${\displaystyle (p_{1}+p_{2}+p_{3})^{2}={p_{1}}^{2}+{p_{2}}^{2}+{p_{3}}^{2}+2p_{1}p_{2}+2p_{1}p_{3}+2p_{2}p_{3}}$ d'où : ${\displaystyle p_{1}p_{2}+p_{1}p_{3}+p_{2}p_{3}=0}$, condition qui ne peut être réalisée si tous les ${\displaystyle p_{i}}$ sont positifs. On montre que (par exemple) : ${\displaystyle -{\frac {1}{3}}<p_{1}<0}$.

L'élément de volume élémentaire dans cette métrique a pour mesure ${\displaystyle {\sqrt {-g}}=t}$. L'univers décrit par cette métrique est donc en expansion. Cependant, du fait qu'un au moins des ${\displaystyle p_{i}}$ est négatif, cette expansion se transforme en contraction dans l'une des directions.

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