Transformation de Möbius

Ne doit pas être confondu avec transformée de Möbius.

En mathématiques, et plus particulièrement en géométrie, les transformations de Möbius sont de manière générale des automorphismes du compactifié d'Alexandrov de ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ noté ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}}$, définies comme la composée d'un nombre fini d'inversions par rapport à des hyperplans ou des hypersphères.

En particulier, si on identifie ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{2}}}}$ à la sphère de Riemann ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}$, alors on peut prouver que les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme :

${\displaystyle M:z\mapsto {az+b \over cz+d}}$

avec a, b, c et d quatre complexes tels que ad – bc ≠ 0, la formule ci-dessus étant à prendre au sens suivant si z = ∞ ou si cz + d = 0 :

${\displaystyle {\text{si }}c\neq 0,~M(-d/c)=\infty {\text{ et }}M(\infty )=a/c~;~{\text{si }}c=0,~M(\infty )=\infty .}$

Soit n un entier naturel, on munit ℝⁿ de sa structure euclidienne canonique et on définit alors les inversions de ${\displaystyle {\widehat {\mathbb {R} ^{n}}}}$ par rapport à un hyperplan ou à une hypersphère (qu'on appellera parfois plan et sphère par abus de langage) :

• pour un hyperplan ${\displaystyle P(a,t)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid x\cdot a=t\}\quad (a\in \mathbb {R} ^{n},t\in \mathbb {R} )}$, l'inversion par rapport à P(a, t), notée σ_{P(a, t)}, est la réflexion par rapport à l'hyperplan P(a, t) et a donc pour expression :${\displaystyle \sigma _{P(a,t)}(x)={\begin{cases}x-2{\frac {(x\cdot a)-t}{\|a\|^{2}}}a&{\text{si }}x\neq \infty ,\\\infty &{\text{si }}x=\infty \end{cases}}}$
• pour une sphère ${\displaystyle S(a,r)=\{x\in \mathbb {R} ^{n}\mid \|x-a\|=r\}\quad (a\in \mathbb {R} ^{n},r\in \mathbb {R} ^{+}),}$, l'inversion par rapport à S(a, r), notée σ_{S(a, r)}, s'exprime par :${\displaystyle \sigma _{S(a,r)}(x)={\begin{cases}a+{\frac {r^{2}}{\|x-a\|^{2}}}(x-a)&{\text{si }}x\notin \{\infty ,a\},\\a&{\text{si }}x=\infty ,\\\infty &{\text{si }}x=a.\end{cases}}}$

On remarque que les inversions sont involutives : si σ est une inversion, σ² = Id.

De plus, ces inversions sont des homéomorphismes.

Les principaux exemples de transformations de Möbius sont :

• les isométries de ℝⁿ (par composition de n réflexions au plus), parmi lesquelles les translations (par composition de deux réflexions),
• les homothéties de rapport positif (par composition de deux inversions par rapport à des sphères de même centre).

Une transformation de Möbius particulière est très utile en géométrie hyperbolique : l'inversion dans ℝⁿ⁺¹ par rapport à la sphère S(e_n+1, √2) qui, restreinte à ℝⁿ, correspond à la projection stéréographique de ℝⁿ sur Sⁿ = S(0, 1) dans ℝⁿ⁺¹. C'est en fait le difféomorphisme naturel entre le demi-espace ℋⁿ⁺¹ = { x | x_n+1 > 0 } et la boule Bⁿ⁺¹ = { x | ‖x‖ < 1 } : il fait le pont entre deux points de vue pour la géométrie hyperbolique.

La transformation bilinéaire, qui associe la droite imaginaire à la sphère unité et qui est utilisée en traitement du signal pour faire le lien entre transformée en Z et transformée de Laplace, est un autre cas particulier de transformation de Möbius.

Dorénavant, on appelle sphère soit une sphère soit un plan (Beardon 1995). En remarquant que les inversions transforment les sphères en sphères, on obtient :

ce qui constitue une de leurs caractéristiques fondamentales.

Le théorème suivant est tout aussi important :

Il permet notamment de montrer l'unicité de l'extension de Poincaré d'une transformation ${\displaystyle \phi \in {\mathcal {GM}}({\widehat {\mathbb {R} ^{n}}})}$ : c'est l'unique élément ${\displaystyle {\tilde {\phi }}\in {\mathcal {GM}}({\widehat {\mathbb {R} ^{n+1}}})}$ qui conserve ℋⁿ⁺¹ et dont la restriction à ℝⁿ est ${\displaystyle \phi }$, en considérant ℝⁿ comme l'hyperplan de ℝⁿ⁺¹ constitué des points dont la (n + 1)-ième coordonnée est nulle. Pour démontrer l'existence d'une telle extension, il suffit de la définir pour les inversions, l'extension d'une composée d'inversions étant alors la composée des extensions de ces inversions. Si ${\displaystyle a\in \mathbb {R} ^{n}}$, on note ${\displaystyle {\tilde {a}}}$ l'élément de ℝⁿ⁺¹ dont les n premières coordonnées sont celles de a, la (n + 1)-ième étant nulle. L'inversion par rapport à ${\displaystyle P(a,t)}$ sera alors naturellement étendue en l'inversion par rapport à ${\displaystyle P({\tilde {a}},t)}$, et de même ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{S(a,r)}=\sigma _{S({\tilde {a}},r)}}$. On a la propriété remarquable suivante :

Les transformations de Möbius conservant l'orientation sont de la forme

${\displaystyle g(z)={az+b \over cz+d}{\text{ avec }}ad-bc\neq 0.}$

Réciproquement, une telle fonction est bien une transformation de Möbius par composition des fonctions suivantes (g = f₃ ∘ f₂ ∘ f₁) :

• ${\displaystyle f_{1}(z)=z+d/c}$ (translation) ;
• ${\displaystyle f_{2}(z)=1/z}$ (inversion par rapport à la sphère unité puis réflexion par rapport à la droite réelle) ;
• ${\displaystyle f_{3}(z)={\frac {bc-ad}{c^{2}}}z+{\frac {a}{c}}}$ (similitude directe).

• Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme ${\displaystyle z\to {az+b \over cz+d}}$ avec a, b, c, d réels et ad - bc > 0 sont celles qui laissent le demi-plan de Poincaré globalement invariant.
• Les transformations de Möbius conservant l'orientation, de la forme ${\displaystyle z\to e^{i\phi }{z-a \over {\overline {a}}z-1}}$ avec ${\displaystyle |a|\neq 1}$ sont celles qui laissent le cercle unité globalement invariant^[1] (y compris celles avec a infini pour prendre en compte les transformations du type ${\displaystyle z\to {e^{i\theta } \over z}}$).

Si z₁, z₂ et z₃ sont trois points distincts ainsi que w₁, w₂ et w₃, alors il existe une unique transformation de Möbius ${\displaystyle g\in {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }}){\text{ telle que }}g(z_{1})=w_{1},g(z_{2})=w_{2}{\text{ et }}g(z_{3})=w_{3}.}$ Autrement dit :

En effet, en résolvant

${\displaystyle A(z_{1})=0,~A(z_{2})=1{\text{ et }}A(z_{3})=\infty }$

on trouve comme unique solution ${\displaystyle A\in {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})}$ :

${\displaystyle A(z)={\begin{cases}{\frac {(z-z_{1})(z_{2}-z_{3})}{(z-z_{3})(z_{2}-z_{1})}}&{\text{si }}z_{1},z_{2},z_{3}\neq \infty \\{\frac {z_{2}-z_{3}}{z-z_{3}}}&{\text{si }}z_{1}=\infty \\{\frac {z-z_{1}}{z-z_{3}}}&{\text{si }}z_{2}=\infty \\{\frac {z-z_{1}}{z_{2}-z_{1}}}&{\text{si }}z_{3}=\infty \end{cases}}}$

et de même on peut construire B telle que ${\displaystyle B(w_{1})=0,B(w_{2})=1{\text{ et }}B(w_{3})=\infty .}$ Alors, g répond à la question si et seulement si Bg coïncide avec A en z₁, z₂ et z₃ donc si et seulement si g = B⁻¹A.

En associant à toute matrice ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}}$ telle que ${\displaystyle ad-bc\neq 0}$ la transformation de Möbius ${\displaystyle g_{A}}$ définie par ${\displaystyle g_{A}(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$, on obtient un morphisme de groupes de GL₂(ℂ) dans ${\displaystyle {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})}$. En effet, un calcul algébrique trivial montre que ${\displaystyle g_{AB}=g_{A}\circ g_{B}}$.

De plus, ce morphisme est surjectif et son noyau est réduit aux homothéties. On a ainsi :

${\displaystyle {\mathcal {M}}({\widehat {\mathbb {C} }})\simeq {\rm {PGL}}_{2}(\mathbb {C} )={\rm {GL}}_{2}(\mathbb {C} )/\mathbb {C} ^{*}{\rm {I}}_{2}\simeq {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {C} )={\rm {SL}}_{2}(\mathbb {C} )/\{-{\rm {I}}_{2},+{\rm {I}}_{2}\}.}$

Nous avons vu dans les propriétés générales que les transformations de Möbius admettent une extension de Poincaré. Nous allons l'expliciter dans le cas d'une transformation du plan complexe en considérant ℝ³ comme le ℝ-sous-espace vectoriel de base (1, i, j) du corps des quaternions. Si on a ${\displaystyle g(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$ alors son extension de Poincaré a pour expression :

${\displaystyle \forall z\in \mathbb {C} ,t\in \mathbb {R} _{*}^{+},\quad {\tilde {g}}(z+t{\rm {j}})={\frac {(az+b){\overline {(cz+d)}}+a{\bar {c}}t^{2}+|ad-bc|t{\rm {j}}}{|cz+d|^{2}+|c|^{2}t^{2}}}.}$

Par stricte 3-transitivité de l'action, une transformation de Möbius du plan différente de l'identité ne peut admettre que 1 ou 2 points fixes, ce qui pourrait être un critère de classification. Cependant, un critère plus précis est le nombre de points fixes de son extension de Poincaré (1, 2 ou une infinité) : si on définit les transformations normales ${\displaystyle m_{k}}$, ${\displaystyle k\in \mathbb {C} }$ par

${\displaystyle m_{k}:z\mapsto kz{\text{ si }}k\neq 1}$

${\displaystyle m_{1}:z\mapsto z+1}$

on s'aperçoit que chaque transformation de Möbius est conjuguée à une unique transformation normale ${\displaystyle m_{k}}$, avec

• ${\displaystyle k=1}$ si ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ possède un point fixe,
• ${\displaystyle |k|\neq 1}$ si ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ a deux points fixes et
• ${\displaystyle |k|=1,k\neq 1}$ si ${\displaystyle {\tilde {g}}}$ a une infinité de points fixes.

Enfin, la trace au carré d'un représentant ${\displaystyle A\in {\rm {PSL}}_{2}(\mathbb {C} )}$ de ${\displaystyle g}$ (qui est invariante par conjugaison et caractérise ${\displaystyle m_{k}}$ modulo les conjugaisons) permet elle aussi de caractériser le nombre de points fixes de ${\displaystyle {\tilde {g}}}$. On définit alors les termes de transformation loxodromique, parabolique ou elliptique, ce qui est résumé dans le tableau suivant :

Transformation	Points fixes de ${\displaystyle {\tilde {g}}}$	Trace au carré ${\displaystyle \sigma }$	Forme normale	Représentant
Parabolique	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \sigma =4}$	${\displaystyle m_{1}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle z\mapsto z+a}$
Loxodromique	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle \sigma \in \mathbb {C} ,\sigma \not \in [0,4]}$	${\displaystyle m_{k},|k|\neq 1}$ ${\displaystyle k=\lambda ^{2},\lambda ^{-2}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&\lambda ^{-1}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle z\mapsto kz}$
Elliptique	${\displaystyle \infty }$	${\displaystyle 0\leq \sigma <4}$	${\displaystyle m_{k},}$ ${\displaystyle k={\rm {e}}^{\pm {\rm {i}}\theta }\neq 1}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta /2}&0\\0&{\rm {e}}^{-{\rm {i}}\theta /2}\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle z\mapsto {\rm {e}}^{{\rm {i}}\theta }z}$

On peut encore affiner cette classification dans le cas loxodromique : g sera hyperbolique si sa trace au carré est réelle, strictement loxodromique dans le cas contraire.

La projection stéréographique envoie le plan complexe sur la sphère de Riemann, sur laquelle on aperçoit plus aisément l'action des transformations de Möbius, comme en témoignent les représentations suivantes.

	Elliptique	Hyperbolique	Loxodromique
Un point fixe à l'infini
Points fixes diamétralement opposés
Points fixes arbitraires

• (en) Alan F. Beardon, The Geometry of Discrete Groups, New York, Springer, 1995, 340 p. (ISBN 0-387-90788-2)
• Jean-Denis Eiden, Géométrie analytique classique, Calvage & Mounet, 2009 (ISBN 978-2-91-635208-4)
• Jean Fresnel, Méthodes modernes en géométrie

(en) Douglas N. Arnold et Jonathan Rogness, « Moebius Transformations Revealed », sur Université du Minnesota, film de 2 min 34 (version Youtube)

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