Conjecture d'Elliott-Halberstam

En mathématiques et dans la théorie des nombres, la conjecture de Elliott-Halberstam est une conjecture à propos de la distribution des nombres premiers dans les progressions arithmétiques. Elle a beaucoup d'applications dans la théorie du crible. Elle fut nommée ainsi en l'honneur de Peter T. D. A. Elliott et Heini Halberstam.

Enoncer la conjecture requiert une certaine notation. Notons ${\displaystyle \pi (x)\,}$, le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x. Si q est un entier positif et a est premier avec q, nous notons

${\displaystyle \pi (x;q,a)\,}$

le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à x qui sont égaux à a modulo q. Le théorème de Dirichlet sur les nombres premiers dans les progressions arithmétiques nous dit alors que

${\displaystyle \pi (x;q,a)\approx {\frac {\pi (x)}{\phi (q)}}}$

lorsque a est premier avec q. Si nous définissons alors la fonction erreur

${\displaystyle E(x;q)=\max _{(a,q)=1}\left|\pi (x;q,a)-{\frac {\pi (x)}{\phi (q)}}\right|}$

où le max est pris sur tous les a premiers avec q, alors la conjecture de Elliott-Halberstam est l'assertion que pour chaque ${\displaystyle \theta <1\,}$ et ${\displaystyle A>0\,}$, il existe une constante ${\displaystyle C>0\,}$ telle que

${\displaystyle \sum _{1\leq q\leq x^{\theta }}E(x;q)\leq Cx/\log ^{A}x}$

pour tous les

${\displaystyle x>2\,}$.

Cette conjecture a été démontrée pour tous les

${\displaystyle \theta <1/2\,}$

par Bombieri et A. I. Vinogradov (le théorème de Bombieri-Vinogradov, quelquefois connu simplement sous le nom théorème de Bombieri); ce résultat est déjà tout à fait utile, étant une forme moyenne de l'hypothèse de Riemann généralisée. Il est connu que la conjecture échoue au point final

${\displaystyle \theta =1\,}$.

La conjecture de Elliott-Halberstam a plusieurs conséquences. Une conséquence frappante est le résultat récent de Dan Goldston, Pintz, et Cem Yildirim [1] (voir aussi [2], [3]), qui montre (en supposant cette conjecture) qu'il existe infiniment beaucoup de paires de nombres premiers qui diffèrent par au plus 16.

• Le théorème de Barban-Davenport-Halberstam
• Le théorème de Barban-Montgomery

1. E. Bombieri, On the large sieve, Mathematika 12 (1965), 201-225
2. P.D.T.A. Elliot and H. Halberstam, A conjecture in prime number theory, Symp. Math. 4 (1968-1969), 59-72.
3. A.I. Vinogradov, The density hypothesis for Dirichlet L-series (in Russian), Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 29 (1965), 903-934.