Pintagravitaatio

Pintagravitaatio eli painovoima taivaankappaleen pinnalla, g, on se kiihtyvyys, jonka gravitaatio saa aikaan taivaan­kappaleen pinnalla. Se voidaan ajatella kiihtyvyydeksi, jonka koe­kappale saisi hyvin lähellä kohteen pintaa, edellyttäen että koe­kappaleen massa on paljon pienempi kuin itse taivaan­kappaleen, niin, ettei se itse aiheuta häiriötä.

Pinta­gravitaatio mitataan kiihtyvyyden yksiköillä, jollainen SI-järjestelmäsä on metri sekunnin neliötä kohti, m/s². Usein se kuitenkin ilmaistaan Maan pinnalla vaikuttavan paino­voiman kiihtyvyyden, g = 9.80665 m/s², moni­kertana.^[1] Astro­fysiikassa sille käytetään usein loga­ritmista asteikkoa, jolloin käytetty mittaluku, log g, on cgs-yksiköissä (cm/s²) ilmaistun kiihtyvyyden 10-kantainen eli Briggsin logaritmi.^[2] Koska gravitaatio aiheuttaa kaikille kappaleille yhtä suuren kiihtyvyyden ja koska 1 m/s² = 100 cm/s², on paino­voiman kiihtyvyys Maan pinnalla cgs-yksiköissä 980,665 cm², jonka 10-kantainen logaritmi log g = 2,992.

Valkoisen kääpiön pinta­gravitaatio on hyvin suuri, neutroni­tähden vielä suurempi. Neutroni­tähden suuren tiheyden vuoksi sen pinta­gravitaatio voi olla jopa 7·10¹² m/s², yli 7·10¹¹ kertaa suurempi kuin Maassa. Yksi seuraus tästä suuresta paino­voimasta on sekin, että pakonopeus neutroni­tähden pinnalta voi olla jopa luokkaa 100 000 km/s, eli noin kolmasosa valon nopeudesta.

Newtonin gravitaatio­lain mukaan kappaleen aiheuttama gravitaatiovoima on suoraan verrannollinen sen massaan: kaksin­kertainen massa aiheuttaa kaksin­kertaisen voiman. Gravitaatio noudattaa myös käänteisen neliön lakia, niin että kappaleen siirtäminen kaksin­kertaiselle etäisyydelle pienentää paino­voiman neljäs­osaansa, kymmen­kertaiselle etäisyydelle taas sadas­osaan. Samaan tapaan myös esimerkiksi valon intensiteetti on kääntäen verrannollinen etäisyyden neliöön: kaukaisista valonlähteistä havaitsija saa vähemmän valoa.

Suuret kappaleet kuten planeetat ja tähdet ovat yleensä liki­pitäen pallon muotoisia, jolloin niiden pinnalla vallitsee hydrostaattinen tasapaino ja gravitaation potentiaalienergia on niiden pinnalla kaikkialla yhtä suuri. Niiden pinnassa voi kyllä olla epätasaisuuksia, mutta pienessä mitta­kaavassa eroosiovoimat pyrkivät vähitellen siirtämään keski­määräisen pinnan ylä­puolella olevan aineen alemmaksi. Suuremmassa mitta­kaavassa taas planeetta tai tähti itse muuttaa muotoaan, kunnes tasapaino on saavutettu.^[3] Useimpia taivaan­kappaleita voidaankin pitää lähes täydellisinä palloina, mikäli niiden pyörimisliike on hidasta. Nuorten, massiivisten tähtien pyörimis­nopeus voi kuitenkin olla niin suuri, ekvaattorilla jopa 20 km/s, että tuloksena on suuri päiväntasaajan pullistuma. Tällaisia nopeasti pyöriviä tähtiä ovat esimerkiksi Achernar, Altair, Regulus A ja Vega.

Se seikka, että monet suuret taivaankappaleet ovat lähes pallomaisia, helpottaa pintagravitaation laskemista. Painovoima pallo­symmetrisen kappaleen ulkopuolella on yhtä suuri kuin jos kappaleen koko massa olisi keskittynyt sen keski­pisteeseen, kuten jo Isaac Newton osoitti.^[4] Tämän vuoksi tietyn massaisen tähden tai planeetan pinta­­gravitaatio on liki­­pitäen kääntäen verrannollinen sen säteeseen, ja tietyn tiheyden omaavan tähden tai planeetan pinta­gravitaatio suoraan verrannollinen sen säteeseen. Esimerkiksi Gliese 581 c-nimisen ekso­planeetan massa on arvioiden mukaan viisi kertaa niin suuri kuin Maan.^[5] Jos se on kiviplaneetta, jonka keskus on rautaa, sen säde lienee vain noin 50 % suurempi kuin Maan,^[6][7] missä tapauksessa sen pinta­gravitaatio on noin 2,2 kertaa niin suuri kuin Maassa. Jos se sen sijaan koostuu pää­asiassa jäästä tai vedestä, sen säde voisi olla kaksi kertaa niin suuri kuin Maan, missä tapauksessa pintagravitaatio olisi 1,25 kertaa niin suuri kuin Maassa.

Nämä verrannollisuudet voidaan ilmaista kaavalla ${\displaystyle g=Gm/r^{2}}$, missä g on planeetan pintagravitaatio, G gravitaatiovakio, m sen massa ja r sen säde. Jos kiihtyvyyden yksikkönä käytetään painovoiman kiihtyvyyttä Maan pinnalla (9,81 m/s²), massan yksikkönä Maan massaa (5,976·10²⁴kg) ja pituusyksikkönä Maan sädettä (6371 km), saadaan kaava muotoon ${\displaystyle g=m/r^{2}}$.^[8] Esimerkiksi Marsin massa on 6.4185·10²³ kg = 0,107 Maan massaa ja säde 3390 km = 0,532 Maan sädettä^[9]. Niinpä Marsin pintagravitaatio on likimäärin

${\displaystyle {\frac {0.107}{0.532^{2}}}=0.38}$

kertaa Maan pintagravitaatio.

Pintagravitaatio voidaan ilmaista myös taivaankappaleen tiheyden ρ = m/V avulla seuraavasti:

${\displaystyle g={{\frac {4\pi }{3}}G\rho r}}$.

Nin ollen yhtä tiheiden taivaan­kappaleiden pinta­gravitaatio on suoraan verrannollinen taivaan­kappaleen säteeseen r.

Koska painovoima on kääntäen verrannollinen etäisyyteen taivaan­kappaleen keski­pisteestä, avaruus­asemalla, joka on 160 kilometrin korkeudessa, se on lähes yhtä suuri kuin Maan pinnalla. Syy siihen, ettei avaruusasema putoa maan pinnalle, ei ole, ettei se olisi gravitaation vaikutuksen alainen, vaan että se on nopeassa kierto­liikkeessä Maan ympäri, jolloin sen keskeiskiihtyvyys on yhtä suuri kuin paino­voiman kiihtyvyys.

Useimmat todelliset taivaankappaleet eivät ole tarkalleen pallomaisia. Yksi syy tähän on, että monet niistä pyörivät, minkä vuoksi niihin vaikuttavat painovoiman ja keskipakoisvoima yhdessä. Tämän vuoksi tähdet ja planeetat ovat navoiltaan litistyneitä, ja pintagravitaatio on päiväntasaajalla pienempi kuin navoilla. Hal Clement kuvittelikin tieteisromaanissaan Mission of Gravity hyvin nopeasti pyörivän suuri­massaisen planeetan, jonka pinnalla gravitaatio oli navoilla paljon suurempi kuin päivän­tasaajalla.

Siinä määrin kuin kappaleen sisäinen tiheysjakauma poikkeaa symmetrisestä mallista, mitatun pintagravitaation perusteella voidaan tehdä päätelmiä kappaleen sisäisestä rakenteesta. Tätä on käytetty käytännössä hyväksi vuosista 1915-1916 lähtien, jolloin Loránd Eötvösin torsiovaakaa käytettiin öljyn etsimiseen läheltä Egbelliä (nyk. Gbelyä) Slovakiassa.^{[10], p. 1663;[11], p. 223.} Vuonna 1924 torsiovaa'an avulla paikannettiin Nash Domen öljykentät Texasissa.^{[11], p. 223.}

Jos kappale olisi muodoltaan esimerkiksi laaja taso, putkimainen, viiva, ontto kuori, kartio tai muu eri tavoin symmetrinen kappale, painovoima sen pinnalla olisi eri kohdissa hyvin eri suuri, mutta laskettavissa. Tällaisia taivaankappaleita ei tosin ole olemassa, mutta tällaisiakin tapauksia voidaan käyttää laskuesimerkkeinä, jotka havainnollistavat myös todellisten kappaleiden käyttäytymistä.

Tähtien läpimittaa ei voida mitata suoraan havaintojen perusteella, koska ne näyttävät pistemäisiltä suurimmillakin kaukoputkilla. Niiden pintagravitaatio, ja sen avulla myös säde, voidaan kuitenkin arvioida niiden luminositeettiluokan perusteella. Tämä perustuu siihen, että tähden spektriviivat riippuvat voimakkaasti tähden pintagravitaatiosta, johon myös tähden luminositeetti on tiukasti sidoksissa.^[12]

Esimerkiksi jättiläis- ja kääpiötähtien massat voivat olla samaa luokkaa, mutta niiden läpimitat ja sen mukaisesti pintagravitaatio ovat hyvin eri suuret, sillä jättiläistähden tiheys on paljon pienempi. Jättiläis- ja kääpiötähdet voidaankin erottaa toisistaan luminositeettiefektien avulla.

Esimerkiksi spektriluokissa B, A ja F vedyn spekrtiviivat ovat sitä kapeammat, mitä suurempi on tähden luminositeetti. Tämä johtuu Starkin ilmiöstä: metalli-ionit aiheuttavat vetyatomien kohdalle sitä voimakkaamman sähkökentän, mitä suurempi on tähden tiheys ja samalla gravitaatio. Tämä saa vedyn energiatasot jakautumaan ja spektriviitat levenemään. Tämän vuoksi viivat ovat kirkkaimmilla tähdillä kapeat mutta pääsarjan tähdillä ja varsinkin valkoisilla kääpiöillä levenneet.^[12]

Auringon tyyppisten G-spektriluokan tähtien luminositteeti ja samalla painovoima mitataan neutraalin raudan ja ionisoituneen strontiumin spektriviivojen Fe I ja Sr II avulla. Molemmat viivat muuttuvat lämpötilasta riippuen suunnilleen samoin, mutta Sr II -viivat voimistuvat luminositeetin kasvaessa (ja pintagravitaation samalla pienentyessä) paljon enemmän kuin Fe I -viivat.^[12]

Saman spektriluokan jättiläinen on punaisempi kuin pääsarjan tähti. Spektriluokkien G ja K jättiläisten spektreissä on voimakas syaanin absorptiovyö, joka on hyvin heikko pääsarjan tähdillä. Samanlaisia viivoja vastaa viileä jättiläinen ja kuuma pääsarjan tähti.^[12]

Yleisessä suhteellisuusteoriassa newtonilainen kiihtyvyyden käsite ei ole yhtä käyttökelpoinen. Mustien aukkojen tapauksessa pintagravitaatiota ei voida määritellä kiihtyvyydeksi, jonka testikappale saisi sellaisen pinnalla. Tämä johtuu siitä, että tapahtumahorisontilla testikappaleen kiihtyvyys olisi suhteellisuusteorian mukaan ääretön. Tämän vuoksi käytetään renormalisoitua arvoa, joka vastaa newtonilaista arvoa heikkojen gravitaatiokenttien tapauksessa, joita voidaan käsitellä Newtonin fysiikan avulla. Yleisesti käytetty arvo on paikallinen ominaiskiihtyvyys kerrottuna gravitaatiosta aiheutuvan punasiirtymän kertoimella. Näistä edellinen on tapahtumahoristontilla ääretön, jälkimmäinen nolla, mutta niiden tulolla on sitä lähestyttäessä äärellinen raja-arvo. Tapauksessa, jolloin musta aukko ei pyöri ja tapahtumahorisontin säde on sama kuin Schwarzschildin säde, tämä arvo on määriteltävissä, olipa mustan aukon massa mikä tahansa.

Kun puhutaan mustan aukon pintagravitaatiosta, on kyseessä käsite, joka on analoginen newtonilaiselle pintagravitaatiolle mutta ei ole sama asia. Itse asiassa mustan aukon pintagravitaatio ei yleisessä tapauksessa ole määriteltävissä, sen sijaan kyllä siinä tapauksessa, jos tapahtumahorisontti on Killingin horisontti.

Staattisen Killingin horisointin pintagravitaatio ${\displaystyle \kappa }$ on kiihtyvyys, joka tarvitaan pitämään kappale tapahtumahorisontilla. Matemaattisesti, jos ${\displaystyle k^{a}}$ on sopivasti normalisoitu Killingin vektori, pintagravitaatio on määriteltävissä kaavalla

${\displaystyle k^{a}\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$,

missä arvot ovat tapahtumahorisontilla vallitsevat. Staattisessa ja asymptoottisesti suoraviivaisessa aika-avaruudessa normalisointi on suoritettava siten, että ${\displaystyle k^{a}k_{a}\rightarrow -1=r\rightarrow \infty }$ ja ${\displaystyle \kappa \geq 0}$. Schwarzschildin ratkaisulla valitaan ${\displaystyle k^{a}}$ aikasiirtymän Killingin vektoriksi ${\displaystyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}}$, ja yleisemmin Kerr-Newmanin ratkaisussa vastaavasti ${\displaystyle k^{a}\partial _{a}={\frac {\partial }{\partial t}}+\Omega {\frac {\partial }{\partial \phi }}}$, jolloin aikasiirtymän ja aksiaalisesti symmetristen Killingin vektorien lineaarikombinaatio on nolla horisontilla, jossa kulmanopeus on ${\displaystyle \Omega }$.

Koska ${\displaystyle k^{a}}$ on Killingin vektori, yhtälöstä ${\displaystyle k^{a}\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ seuraa, että ${\displaystyle -k^{a}\nabla ^{b}k_{a}=\kappa k^{b}}$. Jos käytetään napakoordinaateissa ${\displaystyle (t,r,\theta ,\phi )}$, se on ${\displaystyle k^{a}=(1,0,0,0)}$. Jos koordinaatit muunnetaan Eddingtonin-Finkelsteinin koordinaateiksi ${\displaystyle v=t+r+2M\ln |r-2M|}$, metriikka saa muodon ${\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {2M}{r}}\right)dv^{2}+2dvdr+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}).}$

Yleisessä koordinaattimuunnoksessa Killingin vektori muuttuu kuin ${\displaystyle k^{v}=A_{t}^{v}k^{t}}$ , jolloin saadaan vektorit ${\displaystyle k^{a'}=(1,0,0,0)}$ ja ${\displaystyle k_{a'}=\left(-1+{\frac {2M}{r}},1,0,0\right).}$

Jos tähän sijoitetaan b=v, yhtälö ${\displaystyle k^{a}\nabla _{a}k^{b}=\kappa k^{b}}$ johtaa differentiaaliyhtälöön ${\displaystyle -{\frac {1}{2}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(-1+{\frac {2M}{r}}\right)=\kappa .}$

Tämän vuoksi Schwarzschildin ratkaisuksi saadaan mustan aukon pintagravitaatioksi ${\displaystyle \kappa ={\frac {1}{4M}}.}$, missä ${\displaystyle M}$ on sen massa.

Kerrin-Newmanin ratkaisun mukainen pintagravitaatio on

${\displaystyle \kappa ={\frac {r_{+}-r_{-}}{2(r_{+}^{2}+a^{2})}}={\frac {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}{2M^{2}-Q^{2}+2M{\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}}}$,

missä ${\displaystyle Q}$ on sähkövaraus ja ${\displaystyle J}$ liikemäärämomentti. Tällöin määritellään, että ${\displaystyle r_{\pm }:=M\pm {\sqrt {M^{2}-Q^{2}-J^{2}/M^{2}}}}$ vastaa kahta horisonttia ja ${\displaystyle a:=J/M}$.

Stationaarisen mustan aukon pintagravitaatio on hyvin määritelty, koska kaikilla stationaarisilla mustilla aukoilla on Killingin mukainen tapahtumahorisontti.^[13] Viime aikoina on pyritty määrittelemään pintagravitaatio myös dynaamisille mustille aukoille, joissa aika-avaruudelle ei voida esittää Killingin vektorikenttää.^[14] Eri kirjoittajat ovat vuosien kuluessa esittäneet erilaisia määritelmiä. Vielä ei ole päästy yksimielisyyteen siitä, mikä määritelmä, jos mikään, on oikea.^[15]

• Luminositeettiluokka

• Newtonian surface gravity