Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetti satunnaismuuttuja ^[1] (engl. discrete random variable) ^[2] eli diskreetti stokastinen muuttuja ^[3] on todennäköisyyslaskennassa äärellisen tai numeroituvasti äärettömän määrän arvoja saava satunnaismuuttuja. Satunnaismuuttuja tarkoittaa satunnaisilmiön määräämää lukua, joka saadaan ilmiön alkeistapauksista mitallisen funktion kuvauksena. Se nähdään usein "vastakkaisena" jatkuvalle satunnaismuuttujalle, jonka arvot muodostavat reaalilukujen jatkumona ylinumeroituvasti äärettömän määrän arvoja. Äärellistä diskreettiä satunnaismuuttujaa kutsutaan yksinkertaiseksi.^[1][4][5][6]

Satunnaismuuttuja voi olla tyypiltään diskreettinen tai jatkuva. Esimerkiksi pilkkikilpailun tulos riippuu onnesta ja "Ahdin" tarjoamat kalat voidaan ilmaista lukumääränä (diskreettinen) tai painona (jatkuva). Painot mieletään reaaliluvuiksi ja kahden kalan painot voivat olla kuinka lähellä toisiaan hyvänsä. Siksi jatkuvan satunnaismuuttujan arvot muodostavat realilukujen joukon, joka on hyvin "tiheä". Diskreettiset arvot, jotka ovat tässä lukumääriä, sijaitsevat kokonaislukujen tapaan lukusuoralla hyppäyksen päässä toisistaan. Lukujen väliin jää siten "raot" eikä arvojoukko ole "tiheä". Esimerkiksi ihmisen pituus on tällainen satunnaismuuttuja, mikäli pituudet pyöristetään senttimetrin tarkkuuteen. Siksi arvojoukkoa kutsutaan diskreetiksi (suom. erillinen). Satunnaismuuttujan mittaamistavan valinta ratkaisee sen numeerisen esitystavan. Satunnaismuuttujaa, jotka eivät ole pelkästään toista tyyppiä, kutsutaan sekatyyppiseksi.^[1][4][5]

Satunnaismuuttujan saamat lukuarvot muodostavat perusjoukon, jossa kaikki arvot eivät aina esiinny symmetrisesti yhtä yleisesti. Arvon yleisyys ilmaistaan todennäköisyydellä ja kaikkien arvojen todennäköisyydet muodostavat todennäköisyysjakauman. Jakauma määrittää satunnaismuuttujan täysin, joten satunnaisumuuttujat luokitellaankin jakaumiensa perusteella.^[1]

Satunnaismuuttuja ${\displaystyle X}$ on mitallisen funktion kuvaus ${\displaystyle X:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$, missä määrittelyjoukko ${\displaystyle \Omega }$ on todennäköisyysilmiön alkeistapauksien ${\displaystyle \omega }$ muodostana perusjoukko ${\displaystyle \Omega }$ eli otosavaruus, ja arvojoukkona ovat reaaliluvut. Perusjoukko sisältää kaikki satunnaisilmiön mahdolliset alkeistapaukset, mikä merkitään joukko-opissa ${\displaystyle \{\omega |\omega \in \Omega \}.}$ Silloin alkeistapaukset ovat satunnaismuuttujan argumenttina, mikä on tapana merkitä ${\displaystyle X(\omega )}$. Todennäköisyyslaskennassa argumentit jätetään aina pois.^[4][7]

Samoin kuin klassisessa todennäköisyyslaskennassakin, alkeistapauksien yhdisteet muodostavat perusjoukon osajoukkoja, joita kutsutaan tapahtumiksi. Tapahtuma ${\displaystyle A}$ on siis joukko-opillinen käsite ${\displaystyle \{\omega :\omega \in A\}.}$ Myös satunnaismuuttujille määritellään tapahtuma ${\displaystyle M}$ samalla idealla eli ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\in M\}}$ eli lyhyemmin kirjoitettuna ${\displaystyle X\in M}$, kun on huomioitu satunnaismuuttujan määrittelemä kuvaus ${\displaystyle X(\omega )}$. Kun todennäköisyyslaskennassa määritellään todennäköisyydet kaikille perusjoukon ${\displaystyle \Omega }$ alkeistapauksien joukoille, jotka kuuluvat perusjoukon osajoukkojen sigma-algebraan (${\displaystyle \sigma }$-algebra) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$. Vain osajoukot ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$ ovat tapahtumia. Tästä muodostuukin satunnaismuuttujan määritelmä: ${\displaystyle X}$ on satunnaismuuttuja, jos ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\in M\}}$ on tapaus (eli ${\displaystyle \{\omega :X(\omega )\in M\}\in {\mathcal {F}}}$) kaikilla Borel-joukoilla ${\displaystyle M.}$ Kun satunnaismuuttuja määritellään näin, täyttää se mittateoreettiset kriteerit. On varsin helppo osoittaa tapauskohtaisestikin, että äärellinen eli yksinkertainen satunnaismuuttuja voidaan saada toteuttamaan mittateoreettiset kriteerit aina.^[4][7]

Satunnaismuuttujan määrittelevä funktio tulee olla mitallinen funktio. Nimitys juontuu siitä, että käänteiskuvalle ${\displaystyle X^{-1}(M)}$ voidaan liittää tietty mitta eli tässä tapauksessa todennäköisyys.^[4][7]

Pääartikkeli: Todennäköisyysfunktio

Yksinkertaisen eli äärellisen diskreetin satunnaismuuttujan perusjoukko käsittää ${\displaystyle n}$ alkeistapausta ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},...,x_{n}\}}$, joista kukin esiintyy todennäköisyydellä ${\displaystyle \{p_{1},p_{2},...,p_{n}\}.}$ Diskreetin satunnaismuuttujan todennäköisyyttä kutsutaan pistetodennäköisyydeksi. Sille on yleisesti käytössä merkinnät

${\displaystyle P(X=x_{i})=p_{i}=p(x_{i})=f(x_{i}),}$ ^[1][8]

missä ${\displaystyle 0\leq p_{i}\leq 1}$.

Satunnaismuuttujan arvot ja todennäköisyysfunktion arvot muodostavat yhdessä satunnaismuuttujan jakauman. Diskreetin luonteensa vuoksi nämä arvot voidaan luetella taulukossa, mutta joissakin jakaumissa todennäköisyysfunktiolle on määritelty kompakti lauseke.^[4][8]

Todennäköisyyksien summa tulee aina olla yksi:

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}p_{i}=1.}$ ^[1][4][8]

Pääartikkeli: Kertymäfunktio

Todennäköisyyslaskennassa halutaan usein laskea todennäköisyyksiä tapahtumille, jotka ovat muotoa ${\displaystyle \{X\leq a\}}$, ${\displaystyle \{X>a\}}$ tai ${\displaystyle \{a<X\leq b\}.}$ Näiden kaikkien todennäköisyydet voidaan esittää pelkästään todennäköisyyksien ${\displaystyle P(X\leq a)}$ avulla. Diskreetin satunnaisfunktion kertymäfunktio eli jakaumafunktio määritetään

${\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}p_{i}=p_{1}+p_{2}+...+p_{k},}$ ^[1][9]

Todennäköisyysfunktion arvot eli pistetodennäköisyydet voidaan laskea kahden kertymäfunktion arvon avulla

${\displaystyle p(x_{i})=F(x_{i})-F(x_{i-1}).}$

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiolla ${\displaystyle F(x)}$ on seuraavia omainaisuuksia:

• Sen arvoalue: ${\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1,\,x\in \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle F(x)}$ on oikealta jatkuva porrasfunktio ^[9]
• ${\displaystyle F(x)}$ on ei-vähenevä funktio ^[9]
• Raja-arvo on olemassa: ${\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1}$
• Raja-arvo on olemassa: ${\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0}$

Pääartikkeli: Tunnusluku

Pääartikkeli: Momentti

Äärellisen ja diskreetin satunnaismuuttujan odotusarvo merkitään ja määritellään

${\displaystyle E[X]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}.}$ ^[1][10]

Äärettömän ja diskreetin satunnaismuuttujan odotosarvo ei välttämättä ole äärellisenä olemassa. Yleensä ääretön summa lukuja kasvaa yli kaikkien rajojen, koska silloin pienetkin termit kasvavat äärettömän suureksi summaksi. Siksi odotusarvo on olemassa vain, kun se suppenee itseisesti eli

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|p_{i}x_{i}|=\sum _{i=1}^{\infty }p_{i}|x_{i}|<\infty }$

Odostusarvoa kutsutaan satunnaismuuttujan ensimmäiseksi momentiksi. Muut momentit ovat

${\displaystyle E[X^{2}]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{2}}$ (toinen momentti)

${\displaystyle E[X^{3}]=\sum _{i=1}^{n}p_{i}x_{i}^{3}}$ (kolmas momentti) jne.^[4]

Näissäkin ääretön summa on olemassa, jos se suppenee itseisesti. Satunnaismuuttujan varianssi merkitään ja määritellään

${\displaystyle Var(X)=E[(X-\mu )^{2}]=E[X^{2}]-(E[X])^{2}=\sigma ^{2},}$ missä ${\displaystyle \mu =E(X)}$ ^[1][4][10]

ja sama erilaisilla summakaavoilla

${\displaystyle Var(X)=\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-\mu )^{2}p_{i}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}p_{i}-\mu ^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}(x_{i}-1)p_{i}+\mu -\mu ^{2},}$ ^[1][4]

missä itseinen suppeneminen on äärettömien summien lisäehtona. Satunnaismuuttujan keskihajonta on varianssin neliöjuuri

${\displaystyle D(X)={\sqrt {Var(X)}}=\sigma }$ ^[1][10]

Tunnettuja diskreettien satunnaismuuttujien jakaumia on lukuisia. Niissä käsitellään useimmiten lukumääriä ja niiden esiintymisen todennäköisyyksiä. Alla on muutama yleisesti tunnettuja esimerkkejä satunnaismuuttujista, jotka kuvaavat lukumääriä.

• Diskreetti tasainen jakauma kuvaa satunnaismuuttujia, joiden pistetodennäköisyydet ovat kaikki samansuuruiset. Tällainen tilanne on esimerkiksi, kolikonheitossa, jossa kruuna ja klaava ovat yhtä todennäköiset, nopanheitossa, jossa kukin silmäluku esiintyy yhtä todennäköisesti.^[5]
• Bernoullin jakauma kuvaa kaksiarvoista satunnaismuuttujaa, jollainen on esimerkiksi yhden kerran suoritettu kolikonheitto. Nyt todennäköisyydet eivät ole yhtäsuuret. Nopanheitossa tulee tarkastella tilannetta, jossa joko tulee "kuutonen" tai tulee "jokin muu" silmäluku.^[5]
• Binomijakauma (toistokoe) kuvaa toistojen aikana sattuneiden onnistumisten lukumääriä, kun onnistumisen todennäköisyys tunnetaan etukäteen. Tällainen on useaan kertaan suoritettu nopanheitto, jossa yritetään saada "kuutosia".^[1][5]
• Geometrinen jakauma kuvaa epäonnistumisten lukumäärää ennen kuin saadaan ensimmäinen onnistuminen. Tällainen tilanne syntyy on taas nopanheitossa, kun yritetään heittoja toistamalla saada "kuutonen" kerran.^[5]
• Hypergeometrinen jakauma kuvaa onnistumisten määrää, kun vaihtoehdoista poimitaan tietyn suuruinen otos. Esimerkiksi lotossa se kuvaa "oikeita" arvauksia, kun oikeita on seitsemän ja arvauksia on myös seitseman (otanta ilman takaisinpanoa).^[5]
• Negatiivinen binomijakauma kuvaa lukumäärää, jota tulee toistaa ennen kuin onnistutaan halutun monta kertaa. Jakauman lukumääräksi tosin ilmoitetaan tähän tulokseen pääsemiseen vaadittavien epäonnistumisten lukumäärä.
• Poissonin jakauma kuvaa sattuvien tapahtuien lukumäärää vakioaikavälillä (Poisson-prosessin insidenssien lukumäärä).^[5]

• Weisstein, Eric W.: Discrete Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research. (englanniksi)