بسط دوجمله‌ای

در ریاضیات و جبر مقدماتی، قضیهٔ بسط دو جمله‌ای (به انگلیسی: Binomial theorem or binomial expansion) گسترش جبری توان‌های دو جمله‌ای را توصیف می‌کند. بنابراین قضیه؛ می‌توان چندجمله‌ای‌های $(x+y)^{n}$ را به صورت $a x b y c$ گسترش داد: در حالی‌که $b$ و $c$ اعداد حسابیِ غیر انتزاعی هستند و نیز ، $b + c = n$ و ضریب $a$ خود یک عدد صحیح مثبت است، و به $n$ و $b$ وابسته است.

فرمولها برای محاسبهٔ توانهای دو جمله‌ای‌هایی- مثلاً برای $2<=n<=5$ به این صورت آمده‌اند:

(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}\,

(x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}\,

(x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}\,

(x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\,

هدف این است که فرمولی برای $(x+y)^{n}$ که در آن n عدد طبیعی است بدست آوریم. در این‌جا قضیه دو جمله‌ای را بیان و ثابت می‌کنیم.

قضیه دو جمله‌ای

اگر n عدد طبیعی باشد، آنگاه

(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\quad \quad \quad (1)

که: ${n \choose k}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}$ ضریب دوجمله‌ای است و !n فاکتوریل n را بیان می‌کند. این فرمول و آرایش مثلثی ضرایب ثابت دو جمله‌ای که به مثلث پاسکال نسبت داده می‌شود (کسی که در قرن هفدهم آنها را توصیف کرده اما اینها توسط ریاضیدانان زیادی زودتر از او کشف شده بود در قرن یازدهم توسط عمر خیام ریاضیدان ایرانی، در قرن سیزدهم توسط یانگ هو ریاضیدان چینی)

در این‌جا همهٔ x و yهای حقیقی و مختلط صدق می‌کند و به‌طور کلی تر برای مقادیر x و y به طوری که xy=yx باشد

اثبات

یک روش برای اثبات قضیه دو جمله ای، استقرای ریاضی است وقتی که n = ۰ است ما داریم

(a+b)^{0}=1=\sum _{k=0}^{0}{0 \choose k}a^{0-k}b^{k}.

برای گام استقرا فرض می‌کنیم که قضیه برای m درست، آنگاه n = m + 1

(a+b)^{m+1}=a(a+b)^{m}+b(a+b)^{m}\,

=\sum _{k=0}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}

=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{j=0}^{m}{m \choose j}a^{m-j}b^{j+1}

=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m+1}{m \choose k-1}a^{m-k+1}b^{k}

=a^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k}a^{m-k+1}b^{k}+\sum _{k=1}^{m}{m \choose k-1}a^{m+1-k}b^{k}+b^{m+1}

=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}\left[{m \choose k}+{m \choose k-1}\right]a^{m+1-k}b^{k}

=a^{m+1}+b^{m+1}+\sum _{k=1}^{m}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}

=\sum _{k=0}^{m+1}{m+1 \choose k}a^{m+1-k}b^{k}

اعداد دو جمله‌ای

یک عدد از فرم $\scriptstyle x^{n}\,\pm \,y^{n}$ بدست می‌آید یک عدد دو جمله‌ای است که n نا منفی یا فرد است وقتی که n منفی یا فرد است می‌توان از این اعداد فاکتورگیری کرد

یک روش ساده برای بسط دادن دو جمله‌ای‌ها

برای بسط دادن دو جمله ای های به فرم: $(x+y)^{n}\,$

عبارت اول: $x^{n}\,$ است و ضریب ثابت عبارت بعدی برابراست با ضرب ضریب ثابت فعلی در توان x تقسیم بر تعداد عبارت موجود، توان x کاهش و توان y افزایش میابد تا این که توان x به صفر و توان y به n برسد

برای مثال:

(x+y)^{10}\,

عبارت اول: $x^{10}\,$

برای یافتن ضریب دومین عبارت: ضرب ۱ (ضریب ثابت فعلی) در ۱۰ (توان فعلی x)و تقسیم بر تعداد عبارت موجود (۱، چون یک عبارت وجود دارد) پس حاصل ۱۰ بدست می‌آید: $10x^{9}y\,$

به همین شکل ضریب ثابت بعدی ۲/(۱۰×۹) و به همین روش ادامه می‌دهیم تا اینکه توان y برابر ۱۰ و توان x برابر صفر شود

x^{10}+10x^{9}y+45x^{8}y^{2}+120x^{7}y^{3}+210x^{6}y^{4}+252x^{5}y^{5}+210x^{4}y^{6}+120x^{3}y^{7}+45x^{2}y^{8}+10xy^{9}+y^{10}.

متوجه می‌شوید که ضرایب ثابت متقارن هستند این زمانی اتفاق می‌افتد که ضرایب ثابت x و y در پرانتز عبارت اصلی یکی باشند پی بردن به این نکته می‌تواند در صرفه جویی در وقت کمک کند

ظاهراً عبارت بعدی، عبارت: $kx^{m}y^{n}\,$ در دو جمله ای ها برابراست با

{\frac {km}{n+1}}x^{m-1}y^{n+1}={\frac {d}{dx}}\left(\int kx^{m}y^{n}\,dy\right)

جستارهای وابسته

پیوند به بیرون

محاسبه ضرایب بسط دو جمله ای^{^{[پیوند مرده]}}

منابع

Carl B. Boyer, A history of mathematics, 2nd edition, by John Wiley & Sons, Inc. , page 393, 1991

ن ب و حسابان
پیش حسابان	بسط دوجمله‌ای تابع مقعر تابع پیوسته فاکتوریل تفاضل محدود متغیر آزاد و متغیر پابند نمودار تابع Linear function رادیان قضیه رول سکانت شیب مماس
حد (ریاضی)	شکل نامعلوم حد تابع حد یک-طرفه حد دنباله مرتبه تخمین حد تابع
حساب دیفرانسیل	مشتق دیفرانسیل (ریاضیات) معادله دیفرانسیل عملگر دیفرانسیلی قضیه مقدار میانگین نمادگذاری‌های مشتق Leibniz's notation نمادگذاری‌های مشتق قواعد دیفرانسیل گیری linearity Power قواعد دیفرانسیل گیری قاعده زنجیری قاعده هوپیتال قاعده ضرب General Leibniz's rule قاعده خارج قسمت Other techniques تابع ضمنی Inverse functions and differentiation Logarithmic derivative Related rates نقاط مانا First derivative test Second derivative test Extreme value theorem بیشینه و کمینه کاربرد های دیگر روش نیوتن قضیه تیلور
انتگرال	پاد مشتق طول قوس انتگرال Constant of integration Differentiation under the integral sign قضیه اساسی حسابان Differentiating under the integral sign انتگرال‌گیری جزء به جزء Integration by substitution جانشینی مثلثاتی تغییر متغیر اویلر Weierstrass Partial fractions in integration Quadratic integral قانون ذوزنقه حجم‌ها Washer method روش پوسته
حساب برداری	مشتق‌ها تاو (ریاضی) مشتق جهت‌دار دیورژانس گرادیان عملگر لاپلاس قضایای پایه‌ای قضیه گرادیان قضیه گرین Stokes' قضیه دیورژانس
حساب چندمتغیره	قضیه دیورژانس Geometric ماتریس هسین ماتریس ژاکوبی ضرایب لاگرانژ انتگرال خطی حساب ماتریس‌ها انتگرال چندگانه مشتق جزئی انتگرال سطحی انتگرال حجمی مباحث پیشرفته Differential forms Exterior derivative قضیه استوکس حساب تنسوری
دنباله و سری	Arithmetico–geometric sequence انواع سری Alternating سری دو جمله‌ای سری فوریه سری هندسی سری هارمونیک سری (ریاضیات) سری توانی بسط تیلور بسط تیلور Telescoping آزمون‌های همگرایی Abel's Alternating series Cauchy condensation Direct comparison Dirichlet's Integral Limit comparison آزمون نسبت Root آزمون جمله
توابع خاص و اعداد	عدد برنولی E (عدد) تابع نمایی لگاریتم طبیعی تقریب استرلینگ
تاریخچه حسابان	Adequality بروک تیلور کولین مک‌لورین Generality of algebra گوتفرید لایبنیتس بی‌نهایت کوچک حسابان آیزاک نیوتن Fluxion Law of Continuity لئونارد اویلر Method of Fluxions The Method of Mechanical Theorems
لیست‌ها	قواعد دیفرانسیل گیری فهرست انتگرال تابع‌های نمایی فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی فهرست انتگرال تابع‌های گنگ فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی فهرست انتگرال توابع گویا فهرست انتگرال توابع مثلثاتی Secant Secant cubed فهرست حدها فهرست‌های انتگرال‌ها
موضوعات متفرقه	هندسهٔ دیفرانسیل انحنا of curves of surfaces Euler–Maclaurin formula Gabriel's Horn برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی Regiomontanus' angle maximization problem Steinmetz solid