Aljebra

Aljebra eragiketak eta erlazioak aztertzen dituen matematikaren atala da. Aritmetikaz haraindi, zenbaki, aldagai eta beste elementu abstraktuen arteko eragiketak eta erlazioak osatuz (zenbakien arteko eragiketak eginez, adibidez), polinomioak, ekuazioak eta egitura aljebraikoak eratzen dira. Matematikaren atal nagusietako bat da, geometria, topologia, analisia eta zenbaki-teoriarekin batera.

Aljebra oinarrian objektu matematiko ez-zenbakidunak erabiliz aritmetikan egiten diren antzeko kalkuluak egiten duen matematika ataltzat hartu ahal da.^[1] Hasieran, objektu horiek ezagutzen ez ziren zenbakiak (ezezagunak) edo zehaztu gabeko zenbakiak (zehaztugabe edo parametroak) irudikatzen zituzten aldagaiak ziren, horrela finkatu eta egiaztatu ahal izateko zehaztugabeen ordez edozein zenbakiak jarrita beteko diren propietateak. Adibidez,

${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}$ 

ekuazio koadratikoan ${\displaystyle a,b,c}$  aldagai zehaztugabeak dira eta ${\displaystyle x}$  aldagai ezezaguna da. Ekuazio horren ebazpena berdintza beteko duen aldagai ezezagunaren balioa aurkitzeko zehaztugabeekin kalkuluak nola egin behar diren zehaztean datza. Gero, zehaztugabeen ordez kasu konkretu bateko zenbakiak erabiliz eragiketa aritmetiko arrunten bidez lortzeko kasu partikular horren soluzioa.

Garatu ahala, aljebra beste objektu ez-numerikotara zabaldu zen, hala nola bektore, matrize edo polinomiotara. Geroago, objektu ez-zenbakidun horien egiturazko ezaugarrien abstrakzioa eginez talde, eraztun, gorputz eta aljebren erako egitura aljebraikoak zehaztu ziren.

Hamaseigarren mendea baino lehen matematika azpiatal bitan bakarrik banatzen zen: aritmetika eta geometria. Askoz lehenago garatutako metodo batzuk gaur egun aljebraikoak legez hartu ahal badira ere, aljebraren sorrera, eta kalkulu infinitesimalarena handik gutxira, matematikaren azpiatalen bezala 16. eta 17. mendeetan gertatu zen. Geroago, 19. mendeko bigarren erditik aurrera matematikaren atal asko agertu dira eta euretariko asko, guztira edo hein batean, aljebran sartuta daude.

Horren ondorioz, aljebra, matematikaren benetako adar bat izan beharrean, gaur egun metodo berberak erabiltzen dituzten matematikaren adar multzo bat legez hartzen da. Hori argi ikusten da Matematikaren gaien klasifikazioan ^[2] Bertan lehen mailako atalen artean (bi digituko sarreren artean) bat ere ez da izendatzen aljebra (kalifikatzaile barik). Berez, aljebra, gutxi gorabehera, atal hauen bilkura da: 08-Sistema aljebraiko orokorrak, 12-Gorputz teoria eta polinomioak, 13-Aljebra trukakorrak, 15-Aljebra lineal eta multilineala eta matrize-teoria, 16-Eraztun elkarkorrak eta aljebrak, 17-Eraztun eta Aljebra ez-elkarkorrak, 18-Kategoria-teoria; Homologia-aljebrak, 19-K-teoria eta 20-Talde-teoria. Beste lehen mailako atal batzuk ere, hein batean behintzat, aljebraren barrukoak legez hartu ahal dira, hala nola 11-Zenbaki-teoria (gehien bat Zenbaki-teoria aljebraikoagatik) eta 14-Geometria aljebraikoa.

Aljebraren hasiera matematikaren atal bat legez 16. mendearen bukaeran kokatu ahal da, François Viète-ren lanarekin. Hala ere, aljebrarekin zerikusia duten aurreko lan batzuk garrantzitsuak izan ziren eta hemen haietariko batzuen aipamena egingo da 'Protoaljebraren historia' atalean.

 

Aljebraren lehenengo sustraiak antzinako babiloniarren matematikan aurki ditzakegu^[3]. Babiloniarrek kalkuluak modu algoritmikoan bideratzeko baliagarria zuten sistema aritmetiko aurreratu bat garatu zuten eta gaur egun, normalean, ekuazio linealak, ekuazio koadratikoak edo ekuazio zehaztugabeak erabiliz ebazten diren problemen soluzioak aurkitzeko metodoak ere bai. Aitzitik, garai horretako egiptoar gehienek, K.a. 1. milurtekoko greziarrek eta txinatarrek bezala, Rhind matematika-papiroan eta Euklidesen Elementuak eta Arte matematikoaren bederatzi kapituluak tratatuetan adierazitakoen antzeko metodo geometrikoz ebazten zituzten ekuazio horiek normalean. Elemenuak tratatuan tipifikatutako greziarren lan geometrikoek eman zuten euskarria formulak orokortzeko problema jakin baten ebazpenaren haraindian eta ekuazioak jarri eta ebazteko modu orokorragotan; nahiz eta hori ez zen ikusiko erdi aroan islamean matematika garatu arte.^[1]

Platonen garairako, Greziar matematikan aldaketa handiak egon ziren. Antzinako greziarrek gaiak hizkiak lotuta zituzten eta normalean lerroak ziren objektu geometrikoren ertzez irudikatuz, aljebra geometriko bat sortu zuten. Diofanto (K.a. 3. mendea), batzuetan "aljebraren sortzailea" izendatua, Alexandrian jaiotako greziar matematikari bat izan zen eta Aritmetika izendatutako liburu sorta baten egilea. Testuak ekuazio aljebraikoen ebazteko metodorekin lotuta daude.^[4]

Alexandriako Heron eta Diofanto^[5] matematikari helenistikoek eta Brahmagupta-ren antzeko matematikari indiarrek jarraitu zituzten Egiptoko eta Babiloniako tradizioak, baina Diofantoren Arithmetica eta Brahmaguptaren Brahmasphutasiddhanta lehengo lanak baino maila handiagokoak dira.^[6] Adibidez, ekuazio koadratikoen lehenengo ebazpen aritmetiko osoa ( zero eta soluzio negatiboak barne) Brahmagupta-k azaldu zuen Brahmasphutasiddhanta bere liburuan. Geroago, matematikari arabiar eta musulmanek horretarako metodo askoz sofistikatuagoak garatu zituzten.

Aljebra izena arabierazko al-jabr (الجبر) izenetik dator, osaketa, burutze esanahiarekin. Lehen aldiz Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (c.780-850) matematikari pertsiarrak idatzitako saiakera batean agertzen da, Al-Kitab al-Jabr wa-l-Muqabala izenekoa (arabieraz كتاب الجبر والمقابلة , euskaraz Burutze eta orekatze bidezko kalkuluaz). Aldi berean, etimologiaz, arabierazko aljebra, hezurrak osatzearen jakintzarekin du zerikusia.

Gorago aipatutako aurreko tradizioek eragin zuzena izan zuten l-Khwarizmi-ren lanean baina bere ekarpena funtsezkoa izan zen. Aipatutako bere saiakeran finkatu zuen aljebra geometria eta aritmetikatik banandutako irakasgai matematiko legez.^[7] Aljebraren metodo batzuk arabiar/islamiar matematikan garatutakoak dira. Diofantok eta babiloniarrek ekuazioak ebazteko gehien bat ad hoc metodo bereziak erabiltzen zituzten. Al-Khwarizmi-k sinbolismo aljebraikorik gabeko ekuazio lineal eta koadratikoak ebatzi zituen eta, beraz, ekuazio mota batzuk bereizi behar izan zituen.^[8]

Diofanto matematikari greziarra aspaldidanik "aljebraren sortzailea"tzat hartua izan bada ere, gaur egun batzuek al-jabr irakasgaia sortu zuen al-Khwarizmi-k titulu hori merezi duela uste dute eta azken garaiotan asko eztabaidatu den kontua da.^[1] Diofantoren aldekoek Al-Jabr-eko aljebra Aritmetika-koa baino apur bat oinarrizkoagoa dela eta Aritmetika-koa laburtua izanda Al-Jabr-ekoa guztiz erretorikoa dela diote. Al-Khwarizmi-ren aldekoek "laburketa" eta "orekatze" metodoak (gaien transposizioa ekuazioaren beste aldera eta gai berdinen ezabapena ekuazioaren bi aldetan) berak sortu zituela diote, eta ekuazio koadratikoak ebazteko azalpen sakon bat berak eman zuela diote, froga geometrikotan oinarrituta eta aljebra gai bereizi bezala erabiliz^[9].

Omar Khayyam matematikari pertsiarrak geometria aljebraikoaren oinarria eta ekuazio kubikoaren ebazpen geometriko orokorra aurkitu zituela onartuta dago. Beste matematikari pertsiar batek, Sharaf al-Din al-Tusi-k, ekuazio kubiko batzuen ebazpen aljebraiko eta zenbakizkoak aurkitu zituen. Funtzio matematikoaren kontzeptua ere berak garatu zuen.^[10] Mahavira eta Bhaskara II.a matematikari indiarrek, Al-Karaji^[1] matematikari pertsiarrak eta Zhu Shijie matematikari txinatarrak, 3. mailako, 4. mailako, 5. mailako eta maila handiagoko ekuazio polinomiko batzuk ebatzi zituzten zenbakizko metodoak erabiliz. Fibonacci-ren ekuazio kubikoaren ebazpena 13.mendean, Europako aljebran hasitako berpiztearen adierazgarria izan zen. Hortik aurrera aljebra beste inon baino gehiago Europan garatuko zen.

 

François Viète-ren lanak, 16. mendearen amaieran, seinalatzen du aljebra klasikoaren hasiera. Beste jazoera garrantzitsu bat aljebraren garapenean 16. mendearen erdian garatutako 3. mailako eta 4. mailako ekuazioen.ebazpen aljebraiko orokorra izan zen. Geroago, 1637an, René Descartes La Géométrie argitaratu zuen, geometria analitikoa asmatuz eta notazio aljebraiko modernoa sortuz. Determinantearen ideia Kowa Seki japoniar matematikariak garatu zuen 17. mendean, baita, era independentean, Gottfried Leibniz-ek ere hamar urte geroago, matrizeak erabiliz ekuazio linealen sistemak ebazteko xedearekin. Gabriel Cramerek ere landu zituen matrize eta determinanteak 18. mendean. Permutazioak Joseph-Louis Lagrange-k ikertu zituen 1770ean ekuazio aljebraikoen soluzioei bideratutako bere Réflexions sur la résolution algébrique des équations txostenean, non Lagrange “resolvent”ak sartu zituen. Paolo Ruffini izan zen permutazio taldeen teoria garatzen lehenengoa, bere aurrekoen bezala, bera ere ekuazio aljebraikoen ebazpenaren testuinguruan ari zela.

Aljebra abstraktua 19. mendean garatu zen, ekuazioak ebazteko interesagatik eta hasieran gaur egun Galois teoria eta eraikortasun kontuak deitzen direnetara zuzenduta.^[11] "Aljebra modernoa" hemeretzigarren mendean egindako Richard Dedekind eta Leopold Kronecker-en lanen antzeko lanetan sustraitzen da eta zenbaki-teoria aljebraiko eta geometria aljebraikoaren moduko matematikaren beste adar batzuekin sakon lotuta dago.^[12] George Peacock-ek pentsaera axiomatikoa sortu zuen aritmetika eta aljebran. Augustus De Morgan-ek bere Syllabus of a Proposed System of Logic liburuan erlazio-aljebra asmatu zuen. Josiah Willard Gibbs-ek bektore aljebra bat garatu zuen hiru dimentsioko espazioan eta Arthur Cayley-k matrize aljebra bat (eztrukakorra den aljebra bat).^[13]

Matematikaren esparruan:

• Oinarrizko aljebra, adierazpen aljebraiko eta ekuazioen hasierako ikasketa eta behe mailako matematikako ikastaroetan irakasten den aljebraren zatia dena.
• Aljebra abstraktua, egitura aljebraiko izeneko objektu matematikoez aritzen dena; talde, eraztun eta gorputzen antzeko egitura aljebraikoak axiomatikoki definitu eta ikertzeko erabilia.
• Aljebra lineala, ekuazio lineal, bektore espazio eta matrizeen ezaugarri espezifikoak aztertzen dituena.
• Aljebra trukakorra, eraztun trukakorren azterketarakoa.
• konputazio aljebra, metodo aljebraikoen as algoritmo eta konputagailu programen bidezko inplementaziorako.
• Homologia-aljebra, espazio topologikotarako funtsezkoak diren egitura aljebraikoen azterketarakoa.
• Aljebra orokorra, egitura aljebraiko guztiek dituzten ezaugarri komunen azterketarakoa.
• Zenbaki teoria aljebraikoa, zenbakien ezaugarriak ikuspuntu aljebraiko batetik aztertzekoa.
• Geometria aljebraikoa, hasieran ekuazio polinomikoen ebazpenez kurbak eta gainazalak zehazteko sortutako geometriaren adarra.
• Konbinatoria aljebraikoa, kontu konbinatorioak aztertzeko metodo aljebraikoen bidez .

Egitura matematiko asko deitzen dira aljebrak.

• Gorputz baten gaineko aljebra edo modu orokorragoan eraztun baten gaineko aljebra.
  Gorputz edo eraztun baten gaineko aljebra mota askok izen berezia dute:
  • Aljebra elkarkorra
  • Aljebra ez-elkarkorra
  • Lie aljebra
  • Hopf aljebra
  • C*-aljebra
  • Aljebra simetrikoa
  • Kanpo aljebra
  • Tentsore-aljebra
• Neurketa-teorian,
  • Sigma-aljebra
  • Aljebra multzo baten gainean
• kategorien teorian
  • F-aljebra eta F-koaljebra
  • T-aljebra
• Logikan,
  • Erlazio-aljebra, eragile batzuen menpean erlazio-multzo itxiak direnen azterketarako.
  • Boolear aljebra, faltsu eta egiazko egiazko balioekin egindako kalkuluen abstrakzioa egiten duen egitura. Ikus Boolear aljebra (egitura) ere.
  • Heyting aljebra

 

Oinarrizko aljebra aljebraren formarik oinarrizkoena, aritmetikaren oinarrizko printzipioena baino handiagoa ez den matematika ezaguera dutenei irakasten zaiena. Aritmetikan, zenbakiak eta haiekin egin ahal diren eragiketa aritmetikoak ( +, −, ×, ÷ eragileez adierazitakoen modukoak) baino ez dira erabiltzen. Aljebran sarritan zenbakiak a, n, x, y edo z-ren moduzko ikurrez ordezkatzen dira. Mesedegarria dena hurrengo zioengatik:

• Errazten du lege aritmetikoen formulazio orokorra (a + b = b + a edozein a eta b-rentzat esaten denean bezala), eta hori zenbaki sistemen ezaugarrien ikerketa sistematikorako lehen urratsa da.
• Zenbaki "ezezagun"ei erreferentziak egin, ekuazioak adierazi eta horiek nola ebatzi daitezken aztertzea ahalbidetzen du. (Esate baterako, “Aurki 3x + 1 = 10" betetzen duen x zenbaki bat" edo, apur bat urrunago joanda, "Aurki ax + b = c" berdintza betetzen duen x zenbakia”. Urrats hori eginda, ekuazioa ebaztea ahalbidetzen dutenak parte hartzen duten eragiketak direlako konklusiora heldu ahal da, ez zenbaki jakin batzuen izaerak.)
• Erlazio funtzionalak adieraztea ahalbidetzen du. (Adibidez, " x txartel saltzen badituzu, orduan 3x − 10 euro irabaziko dituzu, edo f(x) = 3x − 10, non f funtzio bat den, eta x funtzioa aplikatzen zaion aldagaia".)

 

Polinomio bat gaiak aldaezin bat eta aldagai kopuru finitu baten berreketen biderketaz osatuak dituen gai kopuru finitu baten batuketaz osatutako adierazpen matematiko bat da, beti ere berreketen berretzaileak zenbaki oso ez negatiboak eta gaien kopurua zero baino handiagoa badira. Adibidez, x² + 2x − 3 x aldagai bakarreko polinomio bat da. Adierazpen polinomiko bat, batuketaren eta biderketaren trukakortasuna, elkarkortasuna eta bien arteko banakortasuna kontuan hartuz, polinomio bat bezala berridatzi ahal den adierazpen bat da. Adibidez, (x − 1)(x + 3) adierazpen polinomiko bat da, baina, zehatz berba eginez, polinomio bat ez. Funtzio polinomiko bat polinomio batez edo adierazpen polinomiko batez definitutako funtzio bat da. Aurreko bi adibideak funtzio polinomiko berbera zehazten dute.

Polinomioen faktorizazioa, hau da, polinomio bat gehiago faktorizatu ezin diren beste polinomio batzuen biderkadura bezala idaztea, eta polinomioen zatitzaile komunetako handienaren kalkulua erlazionatuta dauden aljebraren arazo garrantzitsu bi dira. Goiko ereduaren polinomioa (x − 1)(x + 3) eran jarrita faktorizatu ahal da. Erlazionatuta dagoen beste problema bat aldagai bateko polinomio baten erroentzako adierazpen aljebraikoak aurkitzean datza.

Aljebra abstraktuak oinarrizko aljebra eta aritmetikan ezagunak diren zenbakien kontzeptuak baino orokorragoak diren beste kontzeptu batzuk ditu aztergai. Hurrengo lerrotan agertzen dira aljebra abstraktuaren funtsezko kontzeptuak.

Multzoak: Multzoak ezaugarri espezifikoak dituzten elementuak izendatutako objektu bildumak dira. Multzoaren kontzeptua zenbakiarena baino orokorragoa da, zenbaki mota ezagunen sorta guztiak multzoak dira, baina badaude beste multzo asko. Zenbaki mota ezberdinak bakarrik kontuan hartu beharrean, aljebra abstraktuak multzoak hartzen ditu kontuan. Multzoren beste adibide batzuk hurrengoak dira: bi bider bi matrize karratu guztien multzoa, bigarren mailako polinomio guztien multzoa (ax² + bx + c), plano bateko dimentsio biko bektore guztien multzoa eta talde ziklikoen moduko talde finitu batzuk, n modulu baterako kongruenteak diren zenbaki osoko multzoez osatuta dauden taldeak. Berez, Multzo-teoria logikaren adar bat da eta ez aljebrarena.

Eragiketa bitarrak: Batuketa (+) eta biderketaren (×) nozioetatik abiatuta, abstrakzioaren bidez, eragiketa bitarraren nozioa sor daiteke, eta eragiketa hori ∗ ikurraz (eragileaz) adierazi adibidez. S multzo bateko a eta b edozein bi elementuen a ∗ b eragiketaren emaitza S multzoaren beste elementu bat bada multzo hori eragiketa horretarako itxitura bat dela esaten da. Batuketa (+), kenketa (-), biderketa (×), eta zatiketa (÷) zenbaki multzo batzuetan definitutako eragiketa bitarrez gain badaude beste eragiketa bitar asko, esate baterako, matrize, bektore eta polinomioen batuketa eta biderketa.

Elementu neutroak: Zero eta bat zenbakien abstrakzioaren bidez eragiketa baten elementu neutroaren nozioa sortzen da. Zeroa batuketaren elementu neutroa da a + 0 = 0 + a = a delako eta bata biderketarena a × 1 = 1 × a = a delako. Era berean, ∗ eragileaz adierazitako eragiketa bitar orokor batek e elementu neutroa izango du a ∗ e = e ∗ a = a betetzen bada. Multzo eta eragiketa konbinazio guztiek ez dute elementu neutrorik; adibidez, zenbaki arrunten multzoak (1, 2, 3, ...) ez du elementu neutrorik batuketarako.

Elementu simetrikoak: Zenbaki negatiboetatik abiatuta eragiketa baten elementu simetrikoaren kontzeptua sor daiteke. Batuketan, a-ren elementu simetrikoa −a idazten da eta a + −a = −a + a = 0 betetzen da; biderketan a-ren elementu simetrikoa a⁻¹ idazten da eta a × a⁻¹ = a⁻¹ × a = 1 betetzen da. Normalean, batuketaren elementu simetrikoei aurkakoak deitzen zaie eta biderketarenei alderantzizkoak. Orokorrean, * eragileaz adierazitako eragiketa bitar batek bi albotako elementu simetrikoak dituela esaten da (eta, izatekotan, a⁻¹ ikurrekin irudikatzen da) dagokion multzoko edozein elementu a-rentzat a ∗ a⁻¹ = 1 eta a⁻¹ ∗ a = 1 badira.

Elkarkortasuna: Aritmetikan erabiltzen diren zenbaki arrunt, oso, arrazional, erreal eta konplexuekin batuketa elkarkorra dela edo elkartze-legea betetzen dela esaten da, batuko diren zenbakiak elkartzeagatik batura (batuketaren emaitza) aldatzen ez delako. Adibidez, (2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4). Orokorrean, edozein eragiketa elkarkorra izango da (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) betetzen bada. Eragiketa bitar askok dute propietate hau baina ez, esate baterako, kenketa, zatiketa edo oktonioi-biderketa.

Trukakortasuna: Zenbaki arrunt, oso, arrazional, erreal eta konplexuekin bai batuketa eta bai biderketa biak dira trukakorrak, eragiketa biekin betetzen delako trukatze-legea; zenbakien hurrenkera ez duelako eraginik eragiketaren emaitzan. Adibidez 2 + 3 = 3 + 2 eta 7 × 5 = 5 × 7. Orokorrean, * ikurraz irudikatutako edozein eragiketa bitar trukakorra da a ∗ b = b ∗ a bada. Eragiketa bitar guztiek ez dute propietate hau; adibidez, kenketa, zatiketa, berreketa, matrize-biderketa eta koaternioi-biderketa ez-trukakorrak dira (ez dira trukakorrak).

Ikus Talde teoria eta Talde ereduak ere

Aurreko kontzeptuak elkartuz sortzen da matematikan garrantzitsuenetarikoa den egitura bat: talde (aljebraiko)arena. S multzo batek eta haren barruan edozein modutan definitutako eragiketa bitar batek (* eragileaz irudikatuta) osatutako egitura aljebraikoa talde bat da eragiketak hurrengo ezaugarriak baditu:

• Eragiketa elkarkorra da: hau da a, b eta c S multzoaren elementuak badira, (a ∗ b) ∗ c eta a ∗ (b ∗ c) berdinak direla betetzen da.
• Elementu neutro bat dago: multzoan badago e elementu bat S multzoaren edozein a elementuarekin eragiketa horrez konbinatuta a bera ematen duena, hau da e ∗ a = a ∗ e = a betetzen da.
• Elementu simetrikoak daude: S multzoaren a elementu guztiek badute a⁻¹ elementu simetrikoak a ∗ a⁻¹ = a⁻¹ ∗ a = .e betetzen dutenak

Talde batean trukatze-legea ere betetzen bada—hau da Sren a eta b edozein elementuekin , a ∗ b = b ∗ a bada— taldea talde abeldarra edo talde trukakorra dela esaten da.

Adibidez, zenbaki osoen multzoa batuketa eragiketarekin talde bat da; multzoan batuketa elkarkorra delako, elkartze legea betetzen delako, hau da a, b eta c edozein zenbaki osorekin, (a + b) + c = a + (b + c) delako eta elementu neutroa eta elementu simetrikoak badaudelako. Talde horren elementu neutroa 0a da eta a edozein elementuren elementu simetrikoa −a da, eta bere aurkakoa esaten zaio.

Zenbaki arrazionalek (zeroa barik) biderketarekin talde bat osatzen dute. Taldearen elementu neutroa 1 da; 1 × a = a × 1 = a izateagatik edozein a zenbaki arrazionalentzat. Taldearen edozein a elementuren elementu simetrikoa 1/a da, a × 1/a = 1 delako.

Zenbaki osoek biderketa eragiketarekin, aldiz, ez dute osatzen talde bat. Zenbaki oso baten biderketaren alderantzizkoa normalean zenbaki osoa ez delako. Adibidez, 4 zenbaki osoa da, baina bere alderantzizkoa ¼, ez da zenbaki osoa.

Taldeei buruzko teoria talde-teorian aztertzen da. Teoria honen emaitza garrantzitsua talde sinple finituen klasifikazioa da, gehien bat 1955 eta 1983 urteen artean argitaratua, klasifikazio horretan talde sinple finituak gutxi gorabehera 30 oinarrizko motatan banatzen dira.

Erditaldeak, kuasitaldeak eta erditalde unitario edo monoideak taldeen antzekok baina orokorragoak diren egitura aljebraikoak dira. Itxia den eragiketa bat dute (eragiketa hori multzoko edozein elementu birekin eginda emaitza multzoko beste elementu bat da) baina ez dute betetzen derrigorrez taldeak izateko beste baldintzak. Erditaldeek eragiketa bitar elkarkorra dute baina ez dute elementu neutrorik izan behar. Monoideak edo erditalde unitarioak elementu neutroa duten baina elementu guztien simetrikorik izan behar ez duten erditaldeak dira. Kuasitalde batean edozein elementu bihurtu ahal da beste edozein elementu eskuin aldeko biderketa batez edo ezker aldeko biderketa batez; hala ere eragiketa bitarra beharbada ez da elkarkorra.

Talde guztiak dira monoideak, eta monoide guztiak dira erditaldeak.

Ikus Eraztun-teoria, Eraztun-teoriaren glosarioa, Gorputz-teoria (matematika) eta Gorputz-teoriaren glosarioa ere.

Taldeak eragiketa batekin bakarrik daude hornituta. Zenbakien portaera hobeto azaltzeko eragile bi dituzten egiturak aztertu behar dira. Horien artean garrantzitsuenak eraztunak, eta gorputzak dira.

Banakortasuna: zenbakien banatze-legea orokortuz, × eragileaz irudikatutako eragiketa bat + eragileaz irudikatutako beste eragiketa batekiko banatzailea dela esaten da (a + b) × c = a × c + b × c eta c × (a + b) = c × a + c × b, badira, kasu horretan eragiketak banakorrak direla edo/eta banatze-legea betetzen dela esaten da. Zenbaki arruntekin biderketa banatzailea da batuketarekiko baina ez alderantziz ( hau da, c × (a + b) = c × a + c × b baina c + (a × b) ≠ c + a × c + b ), horrelako kasuetan c + a × b eragiketak ezin dira egin edozein ordenetan, lehenengo bestearekiko banatzailea den eragiketa egin behar da

Eraztun batek bi eragiketa bitar ditu, (+) eta (×) eragileekin irudikatuta, eta bigarrena lehenengoarekiko banatzailea da. Lehenengo eragiketarekin (+) talde abeldarra da. Bigarren eragiketarako (×) elkartze-legea betetzen da (eragiketa elkarkorra da) baina eragiketak ez du elementu neutro edo elementu simetrikorik izan behar. Lehenengo eragiketaren (+) elementu neutroa 0 idazten da eta eragiketa horrekiko a elementu baten elementu simetrikoa −a.

Zenbaki osoak eraztun baten eredua dira. Hala ere, zenbaki osoek badituzte beste propietate batzuk ere, eta horregatik eurek osatutako multzoak osotasun-eremu izeneko egitura aljebraikoa duela esaten da.

Bigarren eragiketarako elementu neutroa duen eraztun bati eraztun unitarioa esaten zaio.

Gorputz bat 0a kenduta bere elementu guztiek bigarren eragiketarentzat (×) talde abeldar bat osatzen duten eraztun bat da. Bigarren eragiketaren (×) elementu neutroa 1 idazten da eta eragiketa horrekiko a elementu baten elementu simetrikoa a⁻¹.

Zenbaki arrazionalez, errealez eta konplexuez osatutako hiru multzoak gorputzak dira.

• Adierazpen aljebraikoak
• Adierazpen aljebraikoen itzulpenak lantzeko ariketa.
• Adierazpen aljebraikoen zenbakizko balioa lantzeko ariketa.

• Donald R. Hill, Islamic Science and Engineering (Edinburgh University Press, 1994).
• Ziauddin Sardar, Jerry Ravetz, and Borin Van Loon, Introducing Mathematics (Totem Books, 1999).
• George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (Penguin Books, 2000).
• John J O'Connor and Edmund F Robertson, History Topics: Algebra Index. In MacTutor History of Mathematics archive (University of St Andrews, 2005).
• I.N. Herstein: Topics in Algebra. ISBN 0-471-02371-X
• R.B.J.T. Allenby: Rings, Fields and Groups. ISBN 0-340-54440-6
• L. Euler: Elements of Algebra, ISBN 978-1-899618-73-6
• Asimov, Isaac. (1961). Realm of Algebra. Houghton Mifflin.

• Aljebraren eskema
• Aljebra linealaren eskema

• Khan akademia: Bideo kontzeptualak eta landutako ereduak (ingelesez)
• Khan akademia: Aljebraren hastapenak: doan erabili ahal den hitzaldi laburra (ingelesez)
• 4000 Years of Algebra, Robin Wilsonen hitzaldia, Gresham Collegen, 2007eko urriaren 17 (MP3 eta MP4 rako eta testu legez jaisteko moduan).