Algebro

Algebro (de araba "al-ĝabr" tio signifas reunuiĝo de rompitaj partoj) ^[1] estas unu el la plej fundamentaj branĉoj de matematiko. Ĝi estas malfacile difinebla, sed ĝi estas karakterizita per uzo de simboloj por reprezenti iujn operaciojn kaj de variabloj por reprezenti nombrojn aŭ aliajn matematikajn objektojn.

La vorto algebro devenas de la araba الجبر (al-ĝabr "restarigo") de la titolo de la libro al-Kitāb al-muĥtaṣar fī ḥisāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala de Al-Ĥorezmi. La vorto origine rilatis al la kirurgia proceduro ripari rompitajn aŭ dismetitajn ostojn. La matematika signifo unue estis registrita en la dek-sesa jarcento.^[2]

Algebro povas esti dividita laŭ jenaj fakoj:

• La baza algebro studas la ecojn de kaj operaciojn sur la naturaj nombroj, entjeroj, racionalaj kaj reelaj nombroj, kaj kiel oni povas solvi ekvaciojn kun variabloj.

Jen ekzemplo de algebraj esprimoj:

${\displaystyle x+3\,}$

${\displaystyle y^{2}+2x-3\,}$

${\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,}$

• La lineara algebro estas teorio pri vektoraj spacoj kaj moduloj, kies parto estas teorio de linearaj ekvacioj kaj teorio de matricoj. Ideoj kaj metodoj de lineara algebro uzeblas en diversaj branĉoj de matematiko. Tiel, la ĉefobjekto de la studo de funkcia analizo estas nefiniaj vektoraj spacoj.

Lineara algebro estas branĉo de matematiko, kiu origine okupiĝis pri sistemoj de linearaj ekvacioj, kiel

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}=b}$

kaj linearaj transformoj, kiel

${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})\mapsto a_{1}x_{1}+\ldots +a_{n}x_{n}}$.

La moderna lineara algebro uzas la nociojn vektoro, vektorspaco, matrico kaj lineara transformo kiel ilojn por esplorado. Lineara algebro estas grava kampo en matematiko, kiu estas esenca al multaj aliaj kampoj. Ekzemple, lineara algebro estas esenca por moderna prezento de geometrio, ĉar ĝi difinas la bazajn terminojn "punkto", "rekto" kaj "ebeno". Ĉar vektorspacoj estas grava ilo en multaj branĉoj de la matematiko, lineara algebro estas unu el la bazoj de matematiko. Lineara algebro estas vaste uzata en abstrakta algebro, funkcia analizo kaj analitika geometrio. Lineara algebro estas uzata ankaŭ en informadiko kaj komputoscienco. Ekster la pura matematiko, lineara algebro estas uzata precipe en natursciencoj, sociosciencoj, inĝenierarto kaj ekonomiko (por optimumigo).

• La abstrakta algebro studas algebrajn strukturojn kiel grupo, ringo kaj kampo, kiuj ĝeneraligas la konceptojn de la baza algebro. Abstrakta algebro estas kampo de matematiko koncernanta studadon de algebraj strukturoj: grupoj, ringoj, kampoj, matricoj, moduloj, vektoraj spacoj, idealoj ktp. La enkonduko de abstrakta algebro estis motivita per la bezono plirigorigi matematikon. La studo de abstrakta algebro aliras al plena vido de la komplikaĵoj de la logika algebro sur kiu la tuta matematiko kaj la natursciencoj estas konstruitaj, kaj hodiaŭ estas apenaŭ branĉo de matematiko kiu ne komplete ekspluatas la rezultojn de algebro. Cetere, en la kurso de studado, algebristoj esploras aparte diversajn logikajn strukturojn kiuj povas tre ofte esti atingitaj analoge al tre malgranda kerno de aksiomoj. La termino abstrakta algebro estas uzata por diferencigi tiun ĉi kampon disde la "baza algebro", kiu studas regulojn por formuloj kaj algebraj esprimoj engaĝantaj reelajn nombrojn kaj kompleksajn nombrojn; dum la unua duono de la 20-a jarcento ĝi estis konata kiel moderna algebro.

Algebro, same kiel aritmetiko kaj geometrio, estas unu el la plej malnovaj branĉoj de matematiko. La nomo devenas de la traktaĵo de mezazia matematikisto Al-Ĥorezmi, kies araba nomo estis al-Kitāb al-ĝabr ŭa-ʾl-muqābala. La origino de algebro baziĝis sur la klopodoj por solvi matematikajn problemojn inkludantajn aritmetikajn kalkulojn kaj nekonatajn kvantojn. Tiuj disvolviĝoj okazis en la Antikveco en diversaj mondoregionoj kiel Babilonio, Egipto, Grekio, Ĉinio kaj Hindio. Unu el la plej fruaj dokumentoj estas la Papiruso de Rhind el antikva Egiptio, kiu estis verkita ĉirkaŭ 1650 a.n.e. (kvankam pri la preciza dato estas diskutoj) kaj oni studas pri kiel solvi linearajn ekvaciojn, kiel estas esprimita en problemoj kiel "Kvanto; ĝia kvaronon oni aldonas al ĝi. Ĝi iĝas dek kvin. Kio estas la kvanto?" Babiloniaj argiltabuletoj el ĉirkaŭ la sama tempo klarigas metodojn por solvi linearajn kaj kvadratajn polinomiajn ekvaciojn, kiel por ekzemplo la metodon plenigi la kvadraton.^[3]

Algebro aperis pro la bezonoj solvi algebrajn ekvaciojn. La solvo de unuagrada kaj duagrada ekvacioj estis konata jam en antikveco. Multaj el tiuj enrigardoj trovis sian vojon el la antikvaj grekoj. Starte en la 6a jarcento a.n.e., ilia ĉefa intereso estis geometrio pli ol algebro, sed ili uzis algebrajn metodojn por solvi geometriajn problemojn. Por ekzemplo, ili studis geometriajn figurojn prenante iliajn longojn kaj areojn kiel nekonataj kvantoj determinotaj, kiel ekzempligis Pitagoro en sia formulado pri la metodo por la diferenco de du kvadratoj kaj poste en la Eŭklido en siaj Elementoj.^[4] En la 3a jarcento a.n.e., Diofanto havigis detalan traktadon kiel solvi algebrajn ekvaciojn en serio de libroj nomita "Aritmetiko". Li estis la unua kiu eksperimentis per simbola notacio por esprimi polinomojn.^[5] En antikva Ĉinio, la libro "La naŭ ĉapitroj pri la matematika arto" esploris variajn teknikojn por solvi algebrajn ekvaciojn, kiel la uzado de matriksecaj konstruktoj.^[6]

Estas polemiko pri je kiu etendo tiuj fruaj disvolviĝoj povus esti konsiderataj parto de algebro mem pli propre ol anstataŭe nur antaŭenirantoj. Ili proponis solvojn al algebraj problemoj sed ili ne komprenis ilin laŭ abstrakta kaj ĝenerala maniero, fokuse anstataŭe al specifaj kazoj kaj aplikaĵoj.^[7] Tio ŝanĝiĝis kun la persa matematikisto Al-Ĥorezmi (kelkaj historiistoj konsideras lin la "patro de algebro", dum aliaj rezervas tiun titolon por Diofanto.^[8]), kiu publikigis sian verkon Al-Ĝabr (Kompendio pri kalkulado per kompletigo kaj ekvilibro) en la jaro 825 n.e. Ĝi prezentas la unuan detalan traktadon de ĝeneralaj metodoj kiuj povas esti uzataj por manipuli linearajn kaj kvadratajn ekvaciojn per "reduktado" kaj "ekvilibro" en ambaŭ flankoj.^[9] Aliaj gravaj kontribuoj al algebro venis el la araba matematikisto Thābit ibn Qurra en la 9-a jarcento kaj la persa matematikisto Omar Ĥajam en la 11a kaj 12a jarcentoj.^[10]

En Hindio, Brahmagupta esploris kiel solvo kvadratajn ekvaciojn kaj sistemojn de ekvacioj kun kelkaj variabloj en la 7-a jarcento n.e. Inter liaj aliaj plinovigoj estis la uzado de nulo kaj de negativaj nombroj en algebraj ekvacioj.^[11] La hindia matematikisto Mahavira en la 9-a jarcento kaj Bhāskara la 2-a en la 12-a jarcento plue rafinis la metodojn kaj konceptojn de Brahmagupta.^[12] En 1247, la ĉina matematikisto Qin Jiushao verkis la "Matematikan traktaĵon en naŭ partoj", kio inkludas algoritmon por la nombra taksado de polinomoj, inklude polinomojn de pli altaj gradoj.^[13]

En la 16-a jarcento italaj matematikistoj trovis solvojn de triagrada kaj kvaragrada ekvacioj. La itala matematikisto Fibonacci enkondukis la ideojn kaj teknikojn de Al-Ĥorezmi en Eŭropon en libroj kiel sia Liber Abaci.^[14] En 1545, la itala saĝulo Gerolamo Cardano publikigis sian libron Ars Magna, kiu traktis multajn temojn pri algebro kaj estis la unua kiu prezentis ĝeneralajn metodojn por solvi kubajn kaj kvaragradajn ekvaciojn.^[15] En la 16a kaj 17a jarcentoj, la francaj matematikistoj François Viète kaj René Descartes enkondukis leterojn kaj simbolojn por referenci variablojn kaj operaciojn, kio ebligis esprimadon de ekvacioj laŭ abstrakta kaj konciza maniero. Iliaj antaŭuloj estis fidintaj en parolaj priskriboj de problemoj kaj solvoj.^[16] Kelkaj historiistoj konsideras tiun disvolvigon kiel ŝlosila turnopunkto en la historio de algebro kaj konsideras tion kio venis antaŭ tio kiel la prahistorio de algebro ĉar al ĝi mankis la abstrakta naturo bazita sur simbola manipulado.^[17]

Multaj klopodoj en la 17-a kaj 18-a jarcentoj por trovi ĝeneralajn solvoj al la polinomoj de kvina kaj pli alta gradoj malsukcesis.^[18] En 1799 la germana matematikisto Gauss evidentigis, ke “ĉiu algebra ekvacio de n-a grado, havas n radikojn (solvojn), reelajn aŭ imaginarajn”. Tio pruvis la fundamentan teoremon de algebro, kio priskribas la ekzistadon de nuloj de polinomoj de ajna grado ne havigante ĝeneralan solvon.^[19] Komence de la 19-a jarcento, la itala matematikisto Paolo Ruffini kaj la norvega matematikisto Niels Henrik Abel kapablis montri, ke ne estas ĝenerala solvo por polinomoj de kvina kaj pli alta grado.^[20]

Reage kaj tuj post tiuj trovitaĵoj, la franca matematikisto Évariste Galois disvolvis tion kio poste estis konata kiel Teorio de Galois, kiu havigis pli profundan analizon de la solvoj de polinomoj kvankam metante ankaŭ nur la fundamenton de la grupo-teorio.^[21] Matematikistoj tuj konstatis la gravon de la grupo-teorio por aliaj fakoj kaj aplikis ĝin al kampoj kiel geometrio kaj nombro-teorio.^[22] Tiel jam en la komenco de 19-a jarcento Abel kaj Galois pruvis, ke la solvojn de la ekvacio kun pli ol 4 gradoj, ne eblas esprimi per koeficiento de la ekvacio pere de la algebraj operacioj.

En moderna algebro oni pristudas ĝeneralan grupteorion, por kiuj estas difinita algebraj operacioj, similaj laŭ sia propreco al operacioj por nombroj. Tiaj operacioj povas esti plenumitaj por plurtermoj, vektoroj, matricoj. Starte en la mezeo de la 19-a jarcento, intereso en algebro ŝanĝiĝis el la studo de polinomoj asocia kun elementa algebro al pli ĝenerala esploro pri algebraj strukturoj, markante la aperon de abstrakta algebro. Tiu alproksimiĝo esploris la aksioman bazon de arbitraj algebraj operacioj.^[23] La invento de novaj algebraj sistemoj bazitaj sur diferencaj operacioj kaj elementoj akompanis tiun disvolvigon, kiel ĉe la Bulea algebro, vektora algebro, kaj matrica algebro.^[24] Gravajn fruajn disvolvigojn en abstrakta algebro faris la germanaj matematikistoj David Hilbert, Ernst Steinitz, Emmy Noether, kaj Emil Artin. Ili esploris diferencajn formojn de algebraj strukturoj kaj kategoriigis ilin baze sur siaj subkuŝaj aksiomoj en tipojn, kiel grupoj, ringoj, kaj kampoj.^[25] La ideon de eĉ pli ĝenerala alproksimiĝo asocia kun la universala algebro konceptigis la angla matematikisto Alfred North Whitehead en sia libro de 1898 nome A Treatise on Universal Algebra. Starte en la 1930-aj jaroj, la usona matematikisto Garrett Birkhoff etendis tiujn ideojn kaj disvolvis multajn de la fundamentajn konceptojn de tiu kampo.^[26] Proksime rilataj disvolvigoj estis la formulado de la modeloteorio, kategoriteorio, topologia algebro, homologia algebro, Lie-algebroj, liberaj algebroj, kaj homologiaj grupoj.^[27]

Ekvacio estas egalaĵo, enhavanta almenaŭ unu nekonatan grandon. Depende de la variabloj ĝi povas esti unuvariabla, duvariabla ktp. La radiko de unuvariabla ekvacio estas tiu valoro de la variablo, kiu transformas ekvacion al vera egalaĵo. Ekz. la radiko de la ekvacio 3x - 1 = 2x + 5 estas la nombro 6, ĉar 3 · 6 - 1 = 2 · 6 + 5.

La aro de la radikoj de iu ekvacio povas esti finia, malplena aŭ nefinia. Ekz. la aro de la radikoj de la ekvacio 5x + 3 = 5x estas malplena (t.e. ĝi ne havas radikon); por la ekvacio (x+2)(x-3)=0, ĝi estas {-2; 3}, kaj por la ekvacio |x| = x, ĝi estas [0; +∞).

Rimarko: funkcio |x| nomiĝas modulo de x kaj difineblas jene: |a|=a, se a>=0 kaj |a|=-a, se a<0.

Solvi ekvacion signifas trovi la aron de ĝiaj radikoj (solvoj). Ekvacioj estas ekvivalentaj, se ili havas la samajn solvojn. Ĝenerale, ĉiu unuvariabla ekvacio povas esti prezentita kiel f(x)=0 kaj la aro de ĝiaj solvoj estas aro de abscisoj de la punktoj, rezultitaj pro la intersekco de la grafiko y=f(x) kun OX akso.

Oni konas sekvajn ekvaciojn en matematiko:

• Algebra ekvacio - ekvacio egaliganta polinomon al nulo.
  • Lineara unuvariabla ekvacio - ${\displaystyle ax+b=0}$
  • Kvadrata ekvacio - entenanta la kvadraton (duagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto - ${\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}$.
  • Kuba ekvacio - entenanta la kubon (triagradon) de la serĉata nombro aŭ kvanto.
  • Dukvadrata ekvacio: ${\displaystyle ax^{4}+bx^{2}+c=0}$

Esprimo estas sinsekvo da simboloj indikanta matematikan aŭ programan objekton.

Ekzistas grandoj dutipaj: konstanto, kiu havas ĉiam la saman nombran valoron kaj variablo, kiu povas preni iun ajn valoron en donita aro de nombroj, ekz. en la aro de ĉiuj reelaj nombroj aŭ en certa intervalo. Ekzemple, la nombro de la tagoj en semajno estas konstanta (7), same kiel la sumo de la internaj anguloj de triangulo (180^o), sed aera temperaturo aŭ ventoforto estas variabloj.

La kombinaĵo de nombroj kaj signoj, kiu montras kiajn operaciojn oni devas fari kaj per kia ordo per nombroj, estas nomita nombra esprimo. Ekzemple, 17 aŭ (125 - 11,5) · 2 estas nombraj esprimoj. La esprimo, kiu enhavas variablon aŭ variablojn, nomiĝas variablohava esprimo. Ekzemple, x + 3y estas variablohava esprimo, kies signifo estas 7, kiam x=1 kaj y=2.

Du egalaj grandoj kunigitaj per la signo de egaleco, nomiĝas egalaĵo. Ekz. A=B. Du algebraj esprimoj povas esti egalaj sur iu aro de valoroj, se ambaŭ havas la sencon en ĉi tiu aro kaj iliaj ĉiuj konvenaj signifoj estas egalaj. Ekz. (a²-b²) kaj (a-b)(a+b) estas identaj esprimoj, ĉar ĉiuj iliaj signifoj estas egalaj. Du identaj esprimoj kunigitaj per la signo de egaleco estas nomata identaĵo. Tiamaniere a²-b²=(a - b)(a + b) prezentas identaĵon. Ĉiu nombra egalaĵo ankaŭ estas identaĵo. Du grandoj aŭ esprimoj kunigitaj per la signo < aŭ >, nomiĝas neegalaĵo.

La fundamenta teoremo de algebro asertas, ke ĉiu ne-konstanta unu-variabla polinomo kun kompleksaj koeficientoj havas almenaŭ unu kompleksan radikon. Tio inkludas polinomojn kun reelaj koeficientoj, ĉar ĉiu reela nombro estas kompleksa nombro kun sia imaga parto egala al nulo. Alivorte (laŭ difino), la teoremo asertas, ke la kampo de kompleksaj nombroj estas algebre fermita.

La teoremo estas vortumita ankaŭ tiel: ĉiu ne-nula, unu-variabla, grado de polinomo n kun kompleksaj koeficientoj havas, kalkulita kun obleco, precize n kompleksajn radikojn.

${\displaystyle x+3\,}$

${\displaystyle y^{2}+2x-3\,}$

${\displaystyle z^{7}+a(b+x^{3})+42/y-\pi .\,}$

Alĝebro (aŭ algebrao) estas algebra strukturo, kiu estas kaj ringo kaj vektora spaco. En matematiko, asocieca alĝebro estas vektora spaco (aŭ pli ĝenerale, modulo (modela teorio)) kiu ankaŭ permesas la multiplikon de vektoroj en distribueca kaj asocieca maniero. Ili estas tial specialaj alĝebroj. (Kelkfoje nomataj "algebro" aŭ "algebrao" anstataŭ "alĝebro".)

En algebro, la asociilo estas trilineara bildigo, kiu estas la diferenco inter la du metodoj krampi produton de tri elementoj per eble neasocieca dulineara operacio.

En algebro, pra-Lie-alĝebro estas ĝeneraligo de la koncepto de asocieca alĝebro, plenumanta malfortigitan aksiomon de asocieco, kies komutilo tamen plenumas la aksiomon de alĝebro de Lie.^[28]

En matematiko, la grupa alĝebro estas ĉiu el diversaj konstruoj por asigni al grupo (loke kompakta topologia grupo, aŭ grupo sen topologio, kio estas diskreta grupo) ringon aŭ alĝebron, tiel ke la grupa multipliko igas la multiplikon en la ringo aŭ alĝebro. Tiel ili estas similaj al la grupa ringo asociita al diskreta grupo.

• Abas, Syed Jan; Salman, Amer Shaker (1994). Symmetries Of Islamic Geometrical Patterns. World Scientific. ISBN 978-981-4502-21-4.
• Aguliar, A., Bravo, F. V., Gallegos, H. A., Cerón, M., & Reyes, R. (2009). Álgebra. México, D. F.: Prentice Hall.
• Aleskerov, Fuad; Ersel, Hasan; Piontkovski, Dmitri (18a de Aŭgusto 2011). Linear Algebra for Economists. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-20570-5.
• Andréka, H.; Németi, I.; Sain, I. (2001). "Algebraic Logic". Handbook of Philosophical Logic. Springer Netherlands. doi:10.1007/978-94-017-0452-6_3. ISBN 978-94-017-0452-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-24. Alirita en 2024-01-24.
• Andréka, H.; Madarász, J. X.; Németi, I. (2020). "Algebraic Logic". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Arkivita el la originalo la 24an de Januaro 2024. Alirita la 23an de Oktobro 2023.
• Andrilli, Stephen; Hecker, David (2022). Elementary Linear Algebra. Academic Press. ISBN 978-0-323-98426-3. Arkivita el la originalo en 2024-01-17. Alirita en 2024-01-18.
• Anton, Howard; Rorres, Chris (2013). Elementary Linear Algebra: Applications Version. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-47422-8. Arkivita el la originalo en 2024-01-17. Alirita en 2024-01-18.
• Anton, Howard (2013). Elementary Linear Algebra. John Wiley & Sons. ISBN 978-1-118-67730-8. Arkivita el la originalo en 2024-01-18. Alirita en 2024-01-18.
• Arcavi, Abraham; Drijvers, Paul; Stacey, Kaye (2016). The Learning and Teaching of Algebra: Ideas, Insights and Activities. Routledge. ISBN 978-1-134-82077-1. Arkivita el la originalo en 2024-01-23. Alirita en 2024-01-24.
• Artamonov, V. A. (2003). "Quasivarieties". En Hazewinkel, M. (eld.). Handbook of Algebra. Elsevier. ISBN 978-0-08-053297-4. Arkivita el la originalo en 2024-01-29. Alirita en 2024-01-21.
• Michael Artin: Algebra. Prentice Hall, 1991.
• Baldor, A. (2007). Álgebra. México, D. F.: Grupo Editorial Patria.
• Jörg Bewersdorff: Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie. Vieweg+Teubner Verlag, 4. Auflage 2009, ISBN 3-8348-0776-1, doi:10.1007/978-3-8348-9326-0.
• Siegfried Bosch: Algebra. 7. Auflage 2009, Springer-Verlag, ISBN 3-540-40388-4, doi:10.1007/978-3-540-92812-6.
• Boyer, Carl B. (1991). A History of Mathematics (2a eld.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-54397-8.
• Boyer, Carl B.; Merzbach, Uta C. (2011). A History of Mathematics. John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-63056-3. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Chang, C. C.; Keisler, H. J. (1990). Model Theory. Elsevier. ISBN 978-0-08-088007-5. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Corry, Leo (2024). "Algebra". Encyclopædia Britannica. Arkivita el la originalo en la 19an de Januaro 2024. Alirita la 25an de Januaro 2024.
• Derbyshire, John (2006). "2. The Father of Algebra". Unknown Quantity: A Real and Imaginary History of Algebra. National Academies Press. ISBN 978-0-309-09657-7. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Gerd Fischer: Lehrbuch der Algebra. Vieweg, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0226-2, doi:10.1007/978-3-8348-8333-9.
• Gandz, S. (Januaro 1936). "The Sources of Al-Khowārizmī's Algebra". Osiris. 1: 263–277. doi:10.1086/368426. JSTOR 301610.
• Grätzer, George (2008). Universal Algebra (2a eld.). Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-77487-9. Arkivita el la originalo en 2024-01-27. Alirita en 2024-01-27.
• Hazewinkel, Michiel (1994). Encyclopaedia of Mathematics (Set). Springer Science & Business Media. ISBN 978-1-55608-010-4. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Herstein, I. N. (1964). Topics in Algebra. Ginn and Company. ISBN 0-471-02371-X.
• Higgins, Peter M. (2015). Algebra: A Very Short Introduction. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-104746-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Hill, Donald R. (1994). Islamic Science and Engineering. Edinburgh University Press.
• Joseph, George Gheverghese (2000). The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics. Penguin Books.
• Christian Karpfinger, Kurt Meyberg: Algebra. Gruppen – Ringe – Körper. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg 2009, ISBN 978-3-8274-2018-3, doi:10.1007/978-3-8274-2601-7.
• Knoebel, Arthur (2011). Sheaves of Algebras Over Boolean Spaces. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-8176-4218-1. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Kvasz, L. (2006). "The History of Algebra and the Development of the Form of Its Language". Philosophia Mathematica. 14 (3): 287–317. doi:10.1093/philmat/nkj017.
• Serge Lang: Algebra. 3. Auflage, Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2005, ISBN 978-0-387-95385-4.
• Merzlyakov, Yu. I.; Shirshov, A. I. (2020). "Algebra (2)". Encyclopedia of Mathematics. Springer. Arkivita el la originalo la 7an de Aprilo 2023. Alirita la 11an de Januaro 2023.
• Musielak, Dora (2020). Sophie Germain: Revolutionary Mathematician. Springer Nature. ISBN 978-3-030-38375-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-25. Alirita en 2024-01-27.
• O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. (2005). "History Topics: Algebra Index". MacTutor History of Mathematics archive. University of St Andrews. Arkivita el la originalo en 2016-03-03. Alirita en 2011-12-10.
• Pratt, Vaughan (2022). "Algebra". The Stanford Encyclopedia of Philosophy. Metaphysics Research Lab, Stanford University. Arkivita el la originalo en 29a de Januaro 2024. Alirita en 11a de Januaro 2024.
• Sardar, Ziauddin; Ravetz, Jerry; Loon, Borin Van (1999). Introducing Mathematics. Totem Books.
• Seshadri, C. S. (2010). Studies in the History of Indian Mathematics. Springer. ISBN 978-93-86279-49-1. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Sialaros, Michalis (2018). Revolutions and Continuity in Greek Mathematics. Walter de Gruyter GmbH & Co KG. ISBN 978-3-11-056527-0. Arkivita el la originalo en 2024-01-25. Alirita en 2024-01-27.
• Smorynski, Craig (2007). History of Mathematics: A Supplement. Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-75481-9. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• B. L. van der Waerden: Algebra I, II. Springer-Verlag, Berlin 1993, ISBN 978-3-662-01514-8, ISBN 978-3-642-63446-8, doi:10.1007/978-3-662-01513-1, doi:10.1007/978-3-642-58038-3 (zuerst als Moderne Algebra, 1930, 1931).
• Waerden, Bartel L. van der (2013). A History of Algebra: From al-Khwārizmī to Emmy Noether. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-51599-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.
• Tanton, James (2005). Encyclopedia of Mathematics. Facts On File. ISBN 978-0-8160-5124-3.
• Zwillinger, Daniel (2002). CRC Standard Mathematical Tables and Formulae. CRC Press. ISBN 978-1-4200-3534-6. Arkivita el la originalo en 2024-01-26. Alirita en 2024-01-27.

• Analitiko
• Algebra esprimo
• Algebra ekvacio
• Atraktoro
• Determinanto
• Fundamenta teoremo de algebro
• Grupo
• Duongrupo
• Konuoloĝio
• Kampo
• Matrico
• Ringo
• Spaco
• Strukturo
• Termo kaj Plurtermo
• Variablo

• A. James Clark School of Ingeniering
• en Gallica
• en Gallica
• textus en latina lingvo