Itxitura (topologia)

Intuitiboki, espazio topologiko bateko A azpimultzo baten itxitura A multzotik “hurbil” dauden edo A-n dauden puntu guztiek osatzen duten multzoa da.  Beste modu batean esanda, itxitura A multzoaren eta bere “mugaren” arteko bildura bezala defini daiteke.

Definizio formalago bat emanez, itxitura A multzoa barruan duten multzo itxi guztien arteko ebakidura da.

A multzoaren itxituran dagoen puntu bati, A-ren puntu itsatsia deitzen zaio.

Itxituraren kontzeptua era askotan erlazionatuta dago barrualde kontzeptuarekin.

Izan bedi A, espazio topologiko  baten edozein azpimultzo. x A-ren puntu itsatsia da x puntuaren edozein ingurunek A ebakitzen badu. Beraz, A-ren edozein puntu A-ren puntu itsatsia da.

Bereziki, X espazio metrikoa (d metrika izanik) eta A X-ren azpimultzo bat izanik, x A-ren puntu itsatsia da x puntuan zentratutako edozein bola irekik A multzoa ebakitzen badu.

Beste modu batera esanda, x A-ren puntu itsatsia da baldin eta soilik baldin (b.s.b)

${\displaystyle d(x,A)=inf\{(x,x'):x'\in A\}=0}$ bada.

Metatze-puntuak eta puntu itsatsiak antzekoak dira, baina desberdintasun garrantzitsu bat dute. Izan ere,x  puntu itsatsi baten inguruneek eta A multzoak sortzen duten ebakidura x bera izan daiteke. Baina metatze puntuen kasuan ebakidura ezin da x izan. Beraz, A-ren puntu bat (x) A-ren metatze-puntua izango da, x-ren edozein ingurunek A ebakitzen badu x bera ez den beste puntu batean.

Ondorioz, edozein metatze-puntu puntu itsatsia da, baina ez alderantziz. Metatze-puntuak ez diren puntu itsatsiei puntu isolatu deritze. Beste modu batean esanda, x puntua A-ren puntu isolatua izango da, x-ren ingurune bat aurki badaiteke A multzoarekin duen ebaki puntu bakarra x bera izanik.

Beraz, A multzo bat eta x puntu bat izanik, A-ren puntu itsatsia izango da, x A multzoan badago edo x A-ren metatze-puntua bada (edo bi gauzak).

A multzo baten itxitura A-ren puntu itsatsi guztiek osatzen duten multzoa da, hau da, A multzoa eta bere metatze-puntu guztien arteko bildura. A-ren itxitura gehienetan honela adierazten da: cl(A), Cl(A) edo A.

Itxiturak honako propietate hauek ditu:

• Cl(A) A partetzat duten azpimultzo itxi guztien arteko ebakidura da.
• Cl(A) A partetzat duen azpimultzo itxirik txikiena.
• A multzo bat itxia da b.s.b A=cl(A) bada.
• Cl(A) A eta bere mugaren bildura da.
• A T-ren azpimultzo bat bada, cl(A) cl(T)-ren azpimultzoa da.
• A multzo itxia bada,orduan,  S⊆A da b.s.b cl(S) ⊆A bada.

Horrez gain, esaten da (X, Ԏ) espazio topologikoan A ${\displaystyle {\displaystyle \subseteq }}$ X multzoa dentsoa dela, Cl(A)=X bada.

Izan bedi zuzen erreala ohiko topologiarekin.

• (a,b) moduko tarte irekien itxitura Cl((a,b))=[a,b] da.
• Q zenbaki arrazionalen multzoaren itxitura Cl(Q)= ℝ da. Beraz, Q dentsoa da espazio horretan

Orain, X=ℝ hartuz beste topologia batzurekin:

• Topologia diskretua hartuta: cl((0,1))=(0,1) da.

(Ԏdisk=P(ℝ)={U:U⊆ ℝ) izanik.

• Topologia indiskretua hartuta, cl((0,1))= ℝ

(Ԏindisk={ ℝ, ∅}) izanik.

• Sorgenfrey-ren topologia hartuz, edo behe limitearen topologia, cl((0,1))=[0,1) da.

Adibide hauek multzo baten itxitura aukeratutako topologiaren menpe dagoela erakusten dute. Azken aurreko bi adibideak hurrengo hauen kasu konkretuak dira:

• Topologia diskretua badugu, edozein multzo irekia eta itxia denez, edozein multzo bere itxituraren berdina da (Cl(A)=A)
• Topologia indiskretua badugu, multzo itxi bakarrak ∅ eta X direnez, edozein ∅≠A⊆X multzorako cl(A)=X da. Beste modu batean esanda, ez-hutsa den espazio indiskretuko edozein azpimultzo dentsoa da.

Bestalde, multzo baten itxitura hartutako espazioaren menpe ere badago.

Adibidez, izan bedi S={q∈Q :${\displaystyle q^{2}}$>2,q>0} ⊆ ℝ. Orduan,  X=Q hartuz ohiko topologiaren azpiespazio gisa, cl(S)=S betetzen da S itxia baita espazio horretan.  

X=ℝ bada, berriz, cl(S)={x∈ℝ :x≥ ${\displaystyle {\displaystyle {\sqrt {2}}}}$}da.

Espazio topologikoak itxiturak erabiliz ere zehaztu daitezke, hain zuzen ere, itxitura eragileak erabiliz.

X multzo baten itxitura eragilea ϕ aplikazio bat da P(X)-tik P(X)-ra doana eta Kuratowski-ren axiomak betetzen dituena. Hau da honako propietate hauek betetzen dituena:

• A ⊆ ϕ(A)
• ϕ(ϕ(A)) = ϕ(A)
• ϕ(A${\displaystyle \cup }$B) = ϕ(A) ${\displaystyle \cup }$ϕ(B)
• ϕ(∅) = ∅

Ohartu (X,Ԏ) espazio topologikoa bada, itxiturak honako propietateak betetzen dituela. Alderantziz, itxitura eragile bat dugunean, automatikoki espazio topologiko bat zehaztuta dugu.

Itxitura eragileak sortutako topologia honakoa izango da:

Ԏ={U⊆X: ϕ(X-U)=X-U }

Espazio topologiko horretan, edozein  A⊆ X azpimultzorako cl(A)= ϕ(A) izango da.

Izan bitez X eta Y espazio topologikoak eta f:X→Y aplikazioa. Orduan, itxiturak jarraitutasunari buruzko  karakterizazio hauek ematen dizkigu:

${\displaystyle {\displaystyle fjarraitua\Longleftrightarrow \forall A\subseteq X,f(cl(A))\subseteq cl(f(A))}}$

${\displaystyle {\displaystyle fjarraitua\Longleftrightarrow \forall B\subseteq Ycl(f^{-}1(B))\subseteq f^{-}1(cl(B))}}$

X espazio topologiko bat eta A honen azpimultzo bat izanik, A multzoaren itxituraren eta barrualdearen artean honako erlazio hau daukagu:

(i) X-Aº=Cl (X-A)

(ii) X-Cl(A)=(X-A)º

Beraz, itxiturarako erabili ditugun Kuratowski-ren axiomak barrualdeen menpe ere erabil ditzakegu multzoak beraien osagarriekin ordezkatuz:

• Å ⊆ A
• (A°)° = A°
• (A∩B)° = A°∩B°
• X° = X

Ondorioz, itxituraren eta barrualdearen artean dualtasun bat dagoela ikus dezakegu.

• Baker, Crump W. (1991), Introduction to Topology, Wm. C. Brown Publisher, {{ISBN|0-697-05972-3}}
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology, Saunders College Publishing, {{ISBN|0-03-012813-7}}
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2nd ed.), Dover, {{ISBN|0-486-66522-4}}
• Hocking, John G.; Young, Gail S. (1988) [1961], Topology, Dover, {{ISBN|0-486-65676-4}}
• Kuratowski, K. (1966), Topology, I, Academic Press
• Pervin, William J. (1965), Foundations of General Topology, Academic Press
• Schubert, Horst (1968), Topology, Allyn and Bacon

Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Closure of a set", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4