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Proporcionalidad Directa 8°

Este documento explica la proporcionalidad directa e inversa. La proporcionalidad directa ocurre cuando dos variables aumentan o disminuyen a la misma tasa, manteniendo una constante razón entre ellas. La proporcionalidad inversa ocurre cuando una variable aumenta mientras la otra disminuye, manteniendo constante su producto. Se proveen ejemplos y preguntas para analizar diferentes situaciones y determinar qué tipo de proporcionalidad existe.

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Ana Maria Sanchez Lopez
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Proporcionalidad Directa 8°

Este documento explica la proporcionalidad directa e inversa. La proporcionalidad directa ocurre cuando dos variables aumentan o disminuyen a la misma tasa, manteniendo una constante razón entre ellas. La proporcionalidad inversa ocurre cuando una variable aumenta mientras la otra disminuye, manteniendo constante su producto. Se proveen ejemplos y preguntas para analizar diferentes situaciones y determinar qué tipo de proporcionalidad existe.

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PROPORCIONALIDAD DIRECTA

¿QUÉ SABES DE PROPORCIÓN DIRECTA?


PROPORCIONALIDAD DIRECTA

 Una proporción es directa, cuando las variables


que están en juego aumentan o disminuyen en
la misma razón.
 El cociente entre estas cantidades es
constante y recibe el nombre de constante de
proporcionalidad.
 Su gráfica representa una línea recta.
EJEMPLO
INDICA SI LAS MAGNITUDES SON PROPORCIONALES O NO
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
 En una ciudad del país, el valor de un boleto de
locomoción pública cuesta $ 430.
 El gráfico y la tabla que se muestran a continuación
representan la relación entre la cantidad de boletos
vendidos y el precio.
PARA DISCUTIR
 ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por
veinticuatro?
 ¿Cuál es la función que modela esta situación?
 ¿Cuál es la variable dependiente y la
independiente?
 ¿cuál es su dominio y recorrido?
 ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la
cantidad de boletos vendidos?
 ¿cuál es el valor de la razón?
 ¿es siempre el mismo?
La situación presentada se puede modelar mediante la función f (x) = 430x. En este caso, el
precio total (variable y) depende de la cantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto,
el total corresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a la variable
independiente. Además, dado que se trata de cantidad de boletos, podemos notar que los
valores que puede tomar la variable x, son el conjunto de los números naturales, es decir,
Dom ( f ) = y los valores que resultan al remplazar los números naturales en la función son
múltiplos de 430, es decir, Rec ( f ) = 430, 860, 1290, 1720, ….

Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular el valor de la función para x =
5, remplazando obtenemos:
f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150.

Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletos calculamos f (24) = 430 • 24 =
10 320, es decir, se pagará $ 10 320.
En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos vendidos
es constante, ya que,

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta forma, es decir, si el valor
de la razón es constante, las variables son directamente proporcionales.

Además, notemos que, en este ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero
debemos pagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa si una de las
variables aumenta o disminuye, la otra también aumenta o disminuye en la misma razón.
RESOLVAMOS EL EJEMPLO
RESOLVER
PROPORCIONALIDAD INDIRECTA O INVERSA
¿QUÉ SABES DE PROPORCIÓN INDIRECTA?
PROPORCIONALIDAD INVERSA

El producto entre estas magnitudes es constante, y


recibe el nombre de constante de proporcionalidad
inversa.

Dicho de otra manera si una de las variables


aumenta, la otra disminuye; y si una de las variables
disminuye, la otra variable aumenta.
Indica si las variables son inversamente proporcionales

a) La longitud de los lados de un triángulo


NO
equilátero y su perímetro

b) El número de días que tardan en realizar


SI
un trabajo un cierto número de secretarias.

c) El número de dulces del mismo tipo que


compró y lo que pagó por ellos. NO

d) La rapidez con la que se recorre un


camino y el tiempo en que se recorre. SI

e) Litros de bencina del estanque de un


automóvil y los kilómetros que rinde. NO

f) El caudal de una llave y el tiempo que se


SI
demora en llenar un estanque.
RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA
PARA DISCUTIR

 ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y


trabajaran todos al mismo ritmo?
 ¿se demorarían más o menos tiempo?
 ¿y si contratara a la mitad de obreros
considerados inicialmente?
 ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y
los días que tardan en terminar el edificio?, ¿es
constante?
 ¿Cuál es la función que modela esta situación?,
¿cuál es su dominio y su recorrido?
En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinte
obreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues al
duplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían la
mitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contrataran
a cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar el
trabajo, ya que como corresponden a la mitad de los considerados
inicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo.

Notemos que la variable independiente x es el número de obreros


y la variable dependiente y es el número de días.

Observa que, el producto entre el número de obreros y los días


que tardan en terminar el edificio es constante, pues
5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300.

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta


forma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables son
inversamente proporcionales.
NO OLVIDES QUE...

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