I. INTRODUCCIN.

Las bases tericas y mtodos numricos que se utilizan en el anlisis estructural

han sido formulados desde hace mucho tiempo. Estos principios plantearon la
solucin de las estructuras por medio de mtodos , dentro de estos mtodos
tenemos :
El mtodo de las fuerzas (o de flexibilidad), en el que se introducen liberaciones
para convertir la estructura en estticamente determinada; se calculan los
desplazamientos resultantes y se corrigen las inconsistencias en los
desplazamientos con la aplicacin de fuerzas adicionales en la direccin de las
liberaciones.
El otro mtodo de los desplazamientos (o de las rigideces), se introducen
restricciones en los nudos. Se calculan las fuerzas restrictivas que se necesitan
para impedir los desplazamientos de los nudos
II. OBJETIVOS
II.1. OBJETIVO PRINCIPAL:
Entender los conceptos del mtodo de rigidez y flexibilidad.

II.2. OBJETIVO SECUNDARIO:

Llegar aplicar los mtodos de rigidez y flexibilidad en el anlisis de una
estructura (viga).
III. DESARROLLO.

III.2. METODO DE LA RIGIDEZ

Es un mtodo de clculo aplicable a estructuras hiperestticas de barras que se

comportan de forma elstica y lineal.
Las propiedades de rigidez del material son compilados en una nica ecuacin
matricial que gobierna el comportamiento interno de la estructura idealizada. Los
datos que se desconocen de la estructura son las fuerzas y los desplazamientos que
pueden ser determinados resolviendo esta ecuacin.
ACCIONES Y DESPLAZAMIENTOS
Las acciones son aquellas fuerzas o pares de tal manera que combinados deben guardar
relacin. Si la carga en una viga simplemente apoyada AB, es posible pensar en la
combinacin de las dos cargas mas las reacciones RA y RB en los apoyos como una sola
accin, puesto que las cuatro guardan una relacin nica la una con la otra.
Los desplazamientos generalmente son la traslacin o rotacin en un punto. Una traslacin
se refiere a una distancia recorrida y la rotacin significa un ngulo de rotacin.

P P P P

A O B
A B

RA (a) RB RA (b) RB
PRINCIPIO DE SUPERPOSICIN
Es uno de los principios mas importantes en el anlisis estructural, siempre en cuando exista una
relacin lineal entre las acciones y desplazamientos (causa y efecto).
Para ilustrar este principio, las acciones y los desplazamientos causados por A1 y A2 actuando
separadamente pueden combinarse para obtener los efectos por A1 y A2 y as formar las
ecuaciones de superposicin.
A2
A1 A2 A 1 M''B
MB M`B

A A D'' B
A D B D' B

RA (a)
R'A (b) R'B R''A (c) R''B
RB
La Rigidez es la carga que se requiere aplicar en un Punto para ocasionar un
desplazamiento unitario
Q1 Q2 Q3

A D1 D3 B
D2

D1X
A B
1
D3X
A B
D2X 1
A B
1
El Principio de Superposicin de Desplazamientos-Matriz de Rigidez.
El orden de aplicacin a los desplazamientos no influye en la
deformacin final de la estructura.
OBSERVACIONES PRELIMINARES
IDENTIFICACIN DE MIEMBROS Y NODOS
Para aplicar el mtodo de la rigidez a vigas, debemos primero
identificar como subdividir la estructura en sus componentes de
elemento finitos. En general, los nodos de cada elemento se
localizan en un soporte, en una esquina o un nodo, en los que se
aplica una fuerza externa o donde va a determinar el
desplazamiento lineal o rotacional en un punto (nodo).
GRADO DE LIBERTAD
Los grados de libertad no restringidos de una estructura
representan las incgnitas principales en el mtodo de la rigidez y
por tanto, deben ser identificados los miembros de nodos y que se
ha establecido el sistema global de coordenadas, pueden
determinarse los grados de libertad de la estructura
EJEMPLO:
DETERMINAR EL GRADO DE LIBERTAD DE LA ESTRUCTURA

1 2 3 4
5
A D B C
EI EI EIA

La viga tiene tres elementos y cuatro nudos, que estn

identificados en la figura, los nmeros que se han asignado,
representa el grado de libertad no restringido o tambin
conocido como el Sistema Global de Coordenadas.
ANLISIS DE UNA VIGA CINEMATICAMENTE INDETERMINADA
Si una estructura es cinemticamente indeterminada de mayor
grado al primero, se debe introducir un acercamiento ms
organizado para la solucin, as como una notacin mas
generalizada.
Entonces si se tiene una viga, con una rigidez a la flexin constante
EI, se analiza de la siguiente manera:
P1 P2 P3

M
A B C
L/2 L/2 L/2 L/2

EI=CTE
SECUENCIA PARA EL ANLISIS:
PASO N1
SE DETERMINA EL GRADO DE INDETERMINACIN CINEMTICA, DESPRECIANDO LAS
DEFORMACIONES AXIALES, DONDE D1 Y D2 (SEGUNDO GRADO) SON LAS ROTACIONES
TOMANDO POSITIVO LAS MANECILLAS DEL RELOJ.

D1 D2
A B C
L/2 L/2 L/2 L/2

EI=CTE
PASO N2
AHORA LO QUE SE BUSCA ES IMPEDIR QUE LOS NUDOS DE LA
ESTRUCTURA SE DESPLACEN Y ESTO SE LOGRA EMPOTRANDO
CADA TRAMO DE LA VIGA

P3
P1 P2

A B C
L/2 L/2 L/2 L/2
PASO N3
SE GENERAN LOS MOMENTOS ADL1 Y ADL2 QUE SON LAS ACCIONES DE LAS RESTRICCIONES (CONTRA LA ESTRUCTURA
EMPOTRADA), CORRESPONDIENTES A D1 Y D2, RESPECTIVAMENTE CAUSADAS POR LAS CARGAS QUE ACTA SOBRE LA
ESTRUCTURA. ENTONCES:

ADL1: ES LA SUMA DEL MOMENTO REACTIVO EN B DEBIDO A LA CARGA P1 QUE ACTA EN EL TRAMO AB Y EL
MOMENTO REACTIVO EN B DEBIDO A LA CARGA P2 QUE ACTA EN EL MIEMBRO BC.
ADL2: ES EL MOMENTO REACTIVO EN C DEBIDO A LA CARGA P2 QUE ACTUA EN EL TRAMO BC.

P1 P2

A B C

ADL1 A DL2
ESTAS ACCIONES ADL1 Y ADL2 SE PUEDEN CALCULAR CON LA AYUDA DE UNA TABLA
PARA MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO EN VIGAS .
SI:
SEGN LA TABLA
P

A B
P1 P2 a b
2 2
MA = Pab MB =-Pab
A B C L2 L2
L/2 L/2 L/2 L/2
ADL1
P2

A B C
L/2 L/2 L/2 L/2
A DL2
PASO N4
AHORA SE TIENE QUE CALCULAR LOS COEFICIENTES DE RIGIDEZ S EN LOS NUDOS
B Y C, ESTO SE LOGRA DANDO DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS A D1 Y D2 SEGN
COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA.
ntonces:
; ENTONCES S21
S11

A 1 B C
; ENTONCES

S12 S22

A B 1 C
 PARA EL CALCULO DE S11, S21, S12 Y S22 SE HACE USO DE TABLAS CON MOMENTOS
SUJETAS A ROTACIONES
PARA EL TRAMO BA Y BC SE TIENE
SEGN LA TABLA
PARA EL APOYO B
Tramo BA;

Tramo BC; SUMANDO (1) Y (2)

4EI 4EI 2EI

2EI L L
L L

A 1 B B C
PARA EL APOYO C cuando =1 4EI
SEGN TABLA
2EI
L L
Tramo CB;
O1
B C

PARA EL TRAMO CB SE TIENE MA =2EIO MB =4EIO

L L
SEGN LA TABLA
PARA EL APOYO C cuando =1 A O B
Tramo CB;
L

Tramo BC; ENTONCES

2EI 4EI
L L

B 1O C
PASO N5
UNA VEZ CALCULADO LAS CONDICIONANTES PERTENECIENTES A LOS MOMENTOS
EN LOS NUDOS B Y C, PROCEDEMOS A FORMULAR NUESTRA ECUACIN,
SUPERPONIENDO, EN DONDE LAS ACCIONES (FUERZAS) CORRESPONDIENTES A D1
Y D2 LLAMADAS AD1 Y AD2, RESPECTIVAMENTE.
ENTONCES MEDIANTE LA SUPERPOSICIN DE LAS ACCIONES DE LA ESTRUCTURA
ORIGINAL (PASO N2) ES IGUAL A LAS ACCIONES CORRESPONDIENTES DE LA
ESTRUCTURA EMPOTRADA (PASO N3) MAS LAS ACCIONES EN LAS ESTRUCTURA
DEBIDO A LOS DESPLAZAMIENTOS UNITARIOS (PASO N), DICHO DE OTRA
MANERA; LA ECUACIN DE SUPERPOSICIN ES:
 ENTONCES GENERALIZANDO LAS ECUACIONES (1) Y(2) SE PUEDEN EXPRESAR EN
FORMA MATRICIAL QUEDANDO COMO:
DONDE:

AD= REPRESENTA LAS ACCIONES DE LA VIGA ORIGINAL (FUERZAS)

ADL= REPRESENTA LAS ACCIONES EN LA ESTRUCTURA EMPOTRADA.
S = ES LA MATRIZ DE RIGIDEZ CORRESPONDIENTE A LOS DESPLAZAMIENTOS
DESCONOCIDOS
D= DESPLAZAMIENTOS DESCONOCIDOS

PASO N6
DESPEJANDO D LA ECUACIN GENERAL SE CALCULA LOS DESPLAZAMIENTOS DE LA
ESTRUCTURA, ENTONCES SE TIENE:
ENTONCES EN FORMA MATRICIAL SE TIENE

REEMPLAZANDO LO CALCULADO EN (a), (b), (c) Y (d)

UNA VEZ DETERMINADO LAS MATRICES AD, S-1 Y ADL PODEMOS ENCONTRAR LA
MATRIZ DESPLAZAMIENTO:

POR LO TANTO LAS ROTACIONES

III.2. MTODO DE FLEXIBILIDAD O DE LAS FUERZAS.

Son convenientes para el anlisis de estructuras, con unos cuantos elementos

redundantes. Se suprimen un nmero suficiente de estas redundantes, de modo
que se logre una estructura estticamente determinada, o sea, la estructura por
analizar se convierte en una estructura isosttica en la que se satisfacen las
condiciones de equilibrio. Se calculan los desplazamientos (lineales o angulares)
en la direccin de las redundantes canceladas.
Las redundantes deben ser de una magnitud tal que fuercen a sus puntos de
aplicacin a volver a su posicin original de deflexin nula.
III.2.2. CONSIDRESE LA VIGA CONTINUA SOBRE APOYOS INDEFORMABLES

Sea la siguiente viga

hiperesttica con un Grado
de Hiperestaticidad:
Hay tres reacciones, una de
ellas se toma como
redundante, en este caso
tomaremos R1.
Si no existiera el apoyo 1
las cargas provocaran un
desplazamiento en ese
punto.
Si el apoyo 1 no existe el punto se
desplaza un valor 1 hacia abajo, para
determinar ese desplazamiento usando
el mtodo de la carga unitaria, basta
con poner una carga unitaria en el
punto y aplicar la expresin:

Para poder determinar el desplazamiento

que hace la carga unitaria en el punto 1
(11) se debe aplicar:
El verdadero valor de desplazamiento que hace R1 para llevar el punto 1 a su
lugar original ser: 11R1 , entonces la ecuacin de compatibilidad de deflexiones
ser:

La reaccin redundante se obtiene por:

De ah en adelante el problema se vuelve estticamente determinado.
Suponiendo un problema con n redundante el sistema de ecuaciones
quedara:
 VENTAJAS DE LAS ESTRUCTURAS HIPERESTTICAS

1. Esfuerzos menores: en general, los esfuerzos mximos en las estructuras

estticamente indeterminadas son menores que en las estructuras determinadas.
Considrese, los diagramas de momentos flexionantes para las vigas mostradas,
debido a una carga uniformemente distribuida, w
2. Ahorro de materiales: por lo antes expuesto, se permite la
utilizacin de elementos de menor escuadra, con un ahorro de
material posiblemente del orden de 10 a 20% del acero utilizado en
puentes, por ejemplo. JM

Un elemento estructural de dimensiones dadas podr

soportar ms carga si es parte de una estructura
continua, que si estuviera simplemente apoyada. La
continuidad permite el uso de elementos de menores
dimensiones para las mismas cargas y claros, o bien, un
mayor espaciamiento de los apoyos para elementos de
iguales dimensiones.
3. Mayor rigidez y menores deflexiones: en general,
las estructuras hiperestticas son ms rgidas que las
isostticas y sus deflexiones o deformaciones son
menores. Adems, tienen mayor estabilidad frente a
todo tipo de cargas (horizontales, verticales, mviles,
entre otras)
4. Redundancias: las estructuras hiperestticas, si se disean en forma
apropiada, tienen la capacidad para redistribuir las cargas cuando ciertas partes
estructurales se llegan a reforzar o se desploman en los casos de sobrecarga
debidas a temblores de tierra, tornados, impactos (por ejemplo explosiones o
choques de vehculos) y otros eventos.
5. Estructura ms atractivas: es difcil imaginar a las estructuras
isostticas con la belleza arquitectnica de muchos arcos y marcos rgidos
hiperestticos que se construyen hoy da.

6. Adaptacin al montaje en voladizo: el mtodo de montaje en voladizo

de puentes es de gran valor cuando las condiciones en el sitio de ereccin
(trfico naval o niveles muy profundos del agua) obstaculizan la ereccin de
la obra falsa. Los puentes continuos hiperestticos y los de tipo en voladizo
pueden erigirse convenientemente con el mtodo de montaje en voladizo.
 Desventajas de las estructuras Hiperestticas
1. Esfuerzos debido a asentamiento en los apoyos: los asentamientos de los
apoyos no causan asentamientos en las estructuras isostticas; sin embargo
pueden inducir esfuerzos significativos en las hiperestticas. AK Las
estructuras hiperestticas no son convenientes en todos aquellos casos
donde las condiciones de cimentacin sean impropias, pues los
asentamientos o ladeos que se presenten en los apoyos de la estructura por
leves que parezcan, pueden causar cambios notables en los momentos
flexionantes, fuerzas cortantes, esfuerzos totales y reacciones. JM
2. Aparicin de otros esfuerzos: los cambios de la posicin relativa de los
elementos estructurales causados por variacin de temperatura, fabricacin
deficiente o deformaciones internas por accin de la carga, pueden causar
cambios graves en la fuerzas en toda la estructura. JM

3. Dificultad de anlisis y diseo: las fuerzas en las estructuras

estticamente indeterminadas dependen no nicamente de sus
dimensiones, sino tambin de sus propiedades elstica (mdulo de
elasticidad, momentos de inercia, secciones transversales, entre otros).
Esta situacin da lugar a una seria dificultad en cuanto a su diseo:

4. Inversin de las fuerzas: Generalmente en las estructuras hiperestticas se produce un

mayor nmero de inversiones de fuerzas que en las estructuras isostticas. En ocasiones se
requiere de ms material de refuerzo en ciertas secciones de la estructura, para resistir los
diferentes estados de esfuerzos.