Este documento presenta información sobre la deformación de vigas bajo cargas transversales. Explica que la relación entre momento de flexión y curvatura se puede usar para calcular la deformación, y proporciona ecuaciones para vigas con diferentes condiciones de apoyo. También muestra cómo derivar la ecuación de la curva elástica para una viga con un extremo en voladizo y cómo usarla para calcular la deflexión máxima. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos de cálculo.
Este documento presenta información sobre la deformación de vigas bajo cargas transversales. Explica que la relación entre momento de flexión y curvatura se puede usar para calcular la deformación, y proporciona ecuaciones para vigas con diferentes condiciones de apoyo. También muestra cómo derivar la ecuación de la curva elástica para una viga con un extremo en voladizo y cómo usarla para calcular la deflexión máxima. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos de cálculo.
Este documento presenta información sobre la deformación de vigas bajo cargas transversales. Explica que la relación entre momento de flexión y curvatura se puede usar para calcular la deformación, y proporciona ecuaciones para vigas con diferentes condiciones de apoyo. También muestra cómo derivar la ecuación de la curva elástica para una viga con un extremo en voladizo y cómo usarla para calcular la deflexión máxima. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos de cálculo.
Este documento presenta información sobre la deformación de vigas bajo cargas transversales. Explica que la relación entre momento de flexión y curvatura se puede usar para calcular la deformación, y proporciona ecuaciones para vigas con diferentes condiciones de apoyo. También muestra cómo derivar la ecuación de la curva elástica para una viga con un extremo en voladizo y cómo usarla para calcular la deflexión máxima. Finalmente, presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos de cálculo.
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Libro gua:
Beer F., et al., Mecnica de Materiales, Mc Graw Hill, 6ta Edicin, 2012.
Notas de clase realizadas por:
J. Walt Oler Texas Tech University
Traducidas y modificadas por:
M. Ing. Jnatan Pozo Palacios Universidad Politcnica Salesiana Deflexin de vigas Deformacin de una viga bajo una carga transversal 9 - 2 La relacin entre momento de flexin y curvatura para flexin pura (Captulo 4), es vlida para cargas transversales. EI x M ) ( 1 =
En una viga en voladizo sometida a una
carga concentrada en el extremo libre, tenemos: EI Px =
1 La curvatura vara linealmente con x. En el extremo libre A, = = A A
, 0 1 En el soporte B, PL EI B B = =
, 0 1 Deformacin de una viga bajo una carga transversal 9 - 3 Viga con extremo en voladizo. Reacciones en A y C. Diagrama de momentos. La deflexin es cero en puntos donde el momento flector es cero. EI x M ) ( 1 =
La viga es cncava hacia arriba donde el
momento flexionante es positivo y cncava hacia abajo donde el momento es negativo. La mxima curvatura ocurre donde el momento es mximo. Una ecuacin de la forma de la viga o curva elstica se requiere para determinar la deflexin mxima y la pendiente. Ecuacin de la curva elstica 9 - 4 Partiendo de clculo elemental: 2 2 2 3 2 2 2 1 1 dx y d dx dy dx y d ~ ( (
| . |
\ | + =
Substituyendo e integrando: ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 1 0 2 2 1 C x C dx x M dx y EI C dx x M dx dy EI EI x M dx y d EI EI x x x + + = + = ~ = = } } } u
Ecuacin de la curva elstica
9 - 5 ( ) 2 1 0 0 C x C dx x M dx y EI x x + + = } } Las constantes se determinan de las condiciones de frontera: Existen tres casos para vigas estticamente determinadas: Viga con apoyos simples. y A = 0, y B = 0 Viga con tramo en voladizo. 0 , 0 = = B A y y Viga en voladizo 0 , 0 = = A A y u Estados de carga ms complicados requieren del desarrollo de integrales mltiples. Problema de muestra 9.1 9 - 6 ft 4 ft 15 kips 50 psi 10 29 in 723 68 14 6 4 = = = = = a L P E I W Para la porcin AB de la viga con extremo en voladizo: (a) derivar la ecuacin de la curva elstica, (b) determinar la deflexin mxima, (c) evaluar y max . SOLUCIN: Desarrollar una expresin para M(x) y obtener la ecuacin diferencial para la curva elstica. Integrar la ecuacin diferencial dos veces y aplicar condiciones de frontera para obtener la curva elstica. Localizar el punto de pendiente cero. Evaluar la deflexin mxima correspondiente. Problema de muestra 9.1 9 - 7 SOLUCIN: Desarrollar una expresin para M(x) y obtener la ecuacin diferencial para la curva elstica. - Reacciones: | | . |
\ | + = + = L a P R L Pa R B A 1 - Del diagrama de cuerpo libre de la seccin AD, ( ) L x x L a P M < < = 0 x L a P dx y d EI = 2 2 - La ecuacin diferencial para la curva elstica es, Problema de muestra 9.1 9 - 8 PaL C L C L L a P y L x C y x 6 1 6 1 0 : 0 , en 0 : 0 , 0 en 1 1 3 2 = + = = = = = = Integrar la ecuacin diferencial dos veces y aplicar las condiciones de frontera para obtener la curva elstica. 2 1 3 1 2 6 1 2 1 C x C x L a P y EI C x L a P dx dy EI + + = + = x L a P dx y d EI = 2 2 ( (
| . |
\ | = 3 2 6 L x L x EI PaL y PaLx x L a P y EI L x EI PaL dx dy PaL x L a P dx dy EI 6 1 6 1 3 1 6 6 1 2 1 3 2 2 + = ( (
| . |
\ | = + = Substituyendo, Problema de muestra 9.1 9 - 9 Ubicar el punto de pendiente cero que es el punto de deflexin mxima en el tramo AB. ( (
| . |
\ | = 3 2 6 L x L x EI PaL y L L x L x EI PaL dx dy m m 577 . 0 3 3 1 6 0 2 = = ( (
| . |
\ | = = Evaluar la deflexin mxima correspondiente. ( ) | | 3 2 max 577 . 0 577 . 0 6 = EI PaL y EI PaL y 6 0642 . 0 2 max = ( )( )( ) ( )( ) 4 6 2 max in 723 psi 10 29 6 in 180 in 48 kips 50 0642 . 0
= y in 238 . 0 max = y Ejercicio 9.10 9 - 10 Si se sabe que la viga AB es de un perfil laminado W130 x 23.8 y que P = 50KN, L = 1.25 m y E = 200 Gpa, determine a) la pendiente en A, b) la deflexin en C.
9 - 11 Ejercicio 9.3 La viga prismtica simplemente apoyada AB soporta una carga uniformemente distribuida w por unidad de longitud. Halle la ecuacin de la curva elstica.
