FACULTAD DE ECONOMÍA

EVALUACION PRIVADA DE PROYECTOS DE

INVERSIÓN
Valor de Dinero en el Tiempo y Operaciones Financieras

ECONOMISTA EMIGIDIO RAMOS CORNELIO

MgS. EN PROYECTOS DE INVERSIÓN
HUÁNUCO - 2023

1
Tasas Utilizadas en el Sistema Financiero

1.- Tasas

Una tasa T es la razón de la diferencia de dos cantidades de la misma

especie en la cual una de ellas es tomada como base, la misma que
debe ser necesariamente el sustraendo de la diferencia. Designando
Po a la base y Pn a la otra cantidad referida a la base, podemos
expresar a la tasa T como:

T = (Pn – Po )/ Po = Pn / Po – Po / Po = (Pn / Po) – 1

T = (Pn / Po) - 1
2
¿Qué es el valor del dinero a través del tiempo?

El valor del dinero en el tiempo se refiere al cambio que podría tener

el dinero frente al poder adquisitivo (Comprar, gastar, adquirir,
etc.) en el presente con respecto al futuro; dicho valor depende del
punto (situación, momento) del tiempo en donde esté ubicado
financieramente.

3
El valor del dinero en el tiempo hace referencia a un concepto
económico que busca explicar el fenómeno por el cual el dinero
presente, sea expresado en cualquier divisa, tendrá un menor poder
de compra en el futuro. Por ello, es importante comprender el
funcionamiento de la inflación.

En un contexto de análisis financiero el dinero debe incrementarse en el

tiempo. Con ello se genera el concepto de valor de dinero en el tiempo.
Una misma cantidad de dinero en el tiempo debe tener diferentes
representaciones o valor a lo largo de horizonte temporal.
4
Una persona o empresa posee dinero , éste debe incrementarse en el
tiempo ya sea por concepto del préstamo o inversión. A este
incremento de dinero se le llama interés, el cual mide la variación de un
capital por unidad de tiempo(día, mes, trimestre, semestre, año). El
interés mide la variación del dinero por unidad de tiempo (medida
absoluta) y la tasa de interés mide la variación proporcional del dinero
por unida de tiempo (medida relativa).

De ahí al evaluar la alternativa de financiamiento o inversión se hace

por medio de la tasa de interés.
5
 VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Sin efecto de inflación

Efecto de la inflación:

6
El costo de oportunidad:
Hoy En un año

7
El valor del dinero en el tiempo, es un concepto económico
basado en la premisa de que un inversor prefiere recibir un pago de
una suma fija de dinero hoy, en lugar de recibir el mismo valor
nominal en una fecha futura.

8
Encontramos los conceptos de valor del dinero en el tiempo

agrupados en dos áreas:

Valor futuro

Valor actual

9
El valor futuro (VF) describe el proceso de crecimiento de la inversión a

futuro a un interés y períodos dados.

Cómo calcular el valor actual del dinero.

¿Qué es el valor actual del dinero?

El valor presente (VP), o valor actual, se refiere a cuánto vale en este momento una
determinada cantidad de dinero que recibirás en el futuro. Este cálculo es
importante porque el valor del dinero cambia en el tiempo y su valor hoy , no será
igual que realmente lo tengas disponible en el futuro.

Cuanto menor sea la tasa de descuento, mayor será el valor actual.

10
 ¿Qué es la tasa de interés?
El interés es el precio que alguien paga (PRESTATARIO) por usar

el dinero de otra persona (PRESTAMISTA) durante un periodo

determinado.
Tasa de interés es un porcentaje que se aplica como concepto de

pago por el dinero durante un tiempo determinado. Es el precio del

dinero.

11
Es un porcentaje que se traduce en un monto de dinero, mediante el

cual se paga por el uso del dinero.

Las tasas de interés son porcentajes del capital que las entidades

del sistema financiero cobran por sus operaciones

activas(colocaciones o préstamos) y pagan por sus operaciones
pasivas(captaciones y ahorros).

12
En el sistema financiero el producto que se vende es un crédito o
financiamiento y el que se compra es una captación, ambos productos
tienen un costo denominado tasa de interés, la cual es regulada por el
BCR por todo el sistema financiero y por la oferta y demanda de
capitales por la banca paralela o informal.

Tasa de interés es el precio que se paga por el uso del dinero durante
un determinado periodo de tiempo. Se expresa como un porcentaje en el
tiempo, por ejemplo en forma anual, trimestral y mensual.

Es un monto de dinero que normalmente corresponde a un porcentaje

de la operación de dinero que se esté realizando. 13
Periodo de interés o periodo de capitalización

El pago de interés siempre está asociado a un periodo de tiempo.

Cuando un banco ofrece a sus ahorradores 20% de interés anual
significa que el ahorrador deberá dejar su dinero depositado por un
periodo de un año exacto para percibir interés ofrecido.

Periodo de capitalización.- El interés puede ser convertido en Anual,

semestral, trimestral y mensualmente.

14
Frecuencia de Conversión.- Número de veces que el interés se
capitaliza durante un año (n).

Cuántos trimestres tiene un año (4 trimestres). Ejemplo: Número de un

depósito que paga 20 % capitalizable trimestralmente, n = 0.20 / 4
trimestres al año = 0.05

El periodo mínimo necesario para que se pueda cobrar un interés

se llama periodo de capitalización.

15
El periodo de interés más común para expresar la tasa de interés es
un año. Sin embargo, en vista de que las tasas de interés a menudo
se expresan en periodos distintos mas cortos que un año (por ejemplo
1% al mes), LA UNIDAD DE TIEMPO para expresar la tasa de interés
debe también ser identificada y denominada como PERIODO DE
INTERÉS.

El periodo que transcurre entre un pago de interés y otro se denomina

periodo y el total de periodos se representa por n, mientras que el
número de periodos que hay en un año se representa por m.

16
i = J / m= Tasa de interés del año / numero de periodo en el año

El periodo de capitalización (que también se conoce como periodo de

interés) es necesario tener en cuenta la frecuencia de los pagos o
depósitos dentro del intervalo del flujo de caja. Más sencillamente, la
frecuencia de dichos pagos o depósitos se conoce como periodo de
pago (PP).

17
18
De la misma manera, si una persona deposita dinero cada año en una
cuenta de ahorro que capitaliza el interés trimestralmente, el periodo de
pago es un año, mientras el periodo de capitalización es de 3 meses.

Para problemas que incluyen cualquier cantidad de flujo de caja de

series uniformes o gradientes uniformes , es necesario determinar el
periodo de capitalización y el periodo de pago como primer paso para la
solución de problemas.

19
Precisiones:

a) Interés compuesto es mayor que el interés simple.

b) A mayor frecuencia de conversión mayor será el interés siendo

igual la tasa anual nominal.

Ejemplo un depósito que obtenga intereses mensualmente tendrá

mayor rendimiento que uno que los obtenga trimestralmente.

20
Tipos de Tasas de Interés:
Tasa de interés activa
Tasa de interés pasiva
Tasa de Interés simple
Tasa de interés al rebatir
Tasa de Interés compuesto
Tasa de interés nominal (J)
Tasa de Interés efectiva ( e)
Tasa de Interés interperiodo ( J/M)
Tasa de Interés equivalente (ieq)
Tasa de interés real

21
Tasa de Interés Nominal

La tasa nominal, conocida también como tasa convencional o tasa

de referencia, es aquella que fija el Banco Central de Reserva del
Perú (BCRP) de un país para normar todas las operaciones activas
y pasiva.
Si se trata de un depósito, la tasa de interés expresa el pago que

recibe la persona o empresa que deposita el dinero por poner esa

cantidad a disposición del otro (Bancos y financieras). Tasa de
interés pasiva.
22
Si se trata de un crédito, la tasa de interés es el monto que el deudor
deberá pagar a quien le presta, por el uso de ese dinero. Tasa de
interés activa.

Las operaciones activas son aquellas que se refieren a los préstamos

y créditos que pueden otorgar los bancos, financieras, cajas de
ahorro, cooperativas de crédito y sociedades comerciales.

Las operaciones pasivas son aquellas referidas a los depósitos y

ahorros que pueden efectuar las empresas, el Estado o las personas
en las instituciones de carácter financiero, mencionando en el párrafo
anterior. 23
Tasa de Interés Activa y Tasa de Interés Pasiva

Tasa de interés activa. Es un porcentaje del capital que cobran las

instituciones del sistema financiero bancario y no bancario, por
concepto de interés, en sus operaciones activas o de colocaciones de
fondos, como por ejemplo, en sus préstamos.

Son operaciones activas todas aquellas formas técnicas mediante las

cuales los bancos utilizan o aplican los fondos recolectados y cuyos
montos quedan expresados en los distintos rubros del activo de sus
balances: Fondos disponibles, colocaciones, inversiones, otras cuentas
del activo. 24
Se pueden decir también que son operaciones activas todas aquellas
formas técnicas por los cuales los bancos mantienen disponibles,
colocan o invierten los fondos provenientes de sus operaciones
pasivas.

La tasa activa , expresada generalmente en términos efectivos , se

aplica a las colocaciones efectuadas por los bancos e instituciones
financieras a sus clientes por créditos de corto, mediano y largo plazo.

25
Tasa de interés pasiva. Es un porcentaje del capital que pagan las
instituciones del sistema financiero bancario y no bancario por concepto
de interés, en sus operaciones pasivas o de captación de fondos, como
por ejemplo , en depósitos a plazo, de ahorros ,etc.

Son operaciones pasivas todas aquellas formas técnicas u

operaciones mediante los cuales las instituciones del sistema
financiero captan fondos directamente de los depositantes o
indirectamente a través de otras instituciones de crédito
(redescuentos).
26
La tasa pasiva corresponde básicamente a las captaciones que se
efectúan del público a través de cuentas corrientes , depósitos a
plazo, depósitos de ahorro, emisión de bonos y de certificados. Las
tasas pasivas aplicadas por las instituciones del sistema financiero a
los usuarios finales se expresan generalmente en términos nominales
y con una frecuencia de capitalización determinada; por ejemplo, los
ahorros capitalizan mensualmente, mientras los depósitos a plazo
capitalizan diariamente.

27
La tasa nominal viene a ser un tope o limite para ambas
operaciones y su uso es anual, de ahí que es equivalente decir tasa
nominal o tasa nominal anual.

La tasa nominal es una tasa de referencia para un periodo

determinado que puede ser anual, trimestral, mensual, etc. Ejemplo:
48% nominal anual, 30% nominal semestral y 5% nominal mensual.

Esta tasa solo puede ser transformada proporcionalmente, es decir,

debe ser multiplicada o dividida.

28
Que si en el régimen de interés simple multiplicamos o dividimos una
tasa nominal, la tasa resultante también será una tasa nominal.
Además, de no indicarse el período de vigencia de la tasa nominal,
este se asume como anual.

Es la tasa básica o aparente y sirve de base para efectuar los cálculos

pertinentes en las operaciones financieras (bancarios o no bancarios).

Es común que cuando una persona realiza un deposito a plazo fijo o

solicita un préstamo, contrate con una entidad financiera una tasa de
interés llamada “nominal”.
29
La tasa nominal funciona como la tasa de contrato de operación, y en
la práctica se usa como referencia para calcular la tasa efectiva.
Esta tasa nominal tiene la notación J, que es lo que adoptaremos.

La tasa de interés nominal, es una tasa de interés anual que está

sujeta a varias capitalizaciones , su símbolo es J. J representa una
tasa anual para periodo menor que el año, pero que puede aceptar
varias capitalizaciones (m) en el año.

30
Que en nuestro país resulta muy común su aplicación por las
aplicaciones mensuales, trimestrales, semestrales, semanales y diaria
en las operaciones financiera como resultado de la devaluación.

Este nombre (nominal) se debe a que está escrita en la operación,

sin que por ello signifique la tasa efectiva que se obtendrá o abonará.

Ejemplo: Un banco paga a sus depositarios 12% de interés anual

capitalizado cada año. En este caso al 12% se le llama tasa nominal
anual y/o tasa efectiva anual, puesto que solo después de transcurrido
un año es posible cobrar ese interés.
31
El tipo de interés nominal es el porcentaje que es pagado en
concepto de interés sobre una cantidad de dinero acordada, sin tener
en cuenta otros gastos de cualquier tipo.

Ejemplo: Si le dejamos a un amigo S/. 100, y le vamos a cobrar un

interés nominal del 3%, este deberá devolvernos S/.3 por concepto de
intereses y S/. 100 devolución de préstamo, en total devolverá S/.
103.00.

32
Tasa de interés simple.

Es el precio que se paga por el uso del dinero ajeno, expresado en un

porcentaje . Pero el dinero hay que verlo como stock y flujo.

Stock, es una cantidad de dinero en un momento dado del tiempo, ya

sea inicial o final.

Flujo, es la sucesión de cantidades de dinero a través del tiempo.

Es la fracción del capital que se paga por unidad de tiempo por

concepto de interés. Así si i es la tasa de interés por año, el interés por
año será:
33
34
 Donde:
i= Tasa de interés
I = Interés
P = Cantidad original

Cuando el interés se expresa como porcentaje del monto original

por unidad de tiempo, el resultado es la tasa de interés.

Tasa de interés (i) =( Interés acumulada por unidad de tiempo /

cantidad original ) 100%
a) i= I/ P x 100%
Además la tasa de interés se calcula con las siguientes fórmulas:

35
b) i= [(Pn-Po) / Po ] x 100% = [(Monto final – monto inicial)/ monto inicial ]x
100%
c) i= [(Pn / Po) – 1 ]x 100% = [( monto final/ monto inicial) – 1 ] x 100%
d) i= (Pn / Po) x 100 – 100
Ejemplos:
1.- Si por un préstamo a término vencido de S/. 100,000.00 concedido por un
banco a 90 días , se ha cobrado un interés de S/. 24,000.00, la tasa de interés
del trimestre es:
a ) i=I / P x 100% = 24,000 / 100,000 x 100% = 24%
b) i= [( Pn –Po ) / Po ] x 100% = [ (124,000 – 100,000) / 100,000 ] x 100% = 24%
c) i= [(Pn / Po) – 1 ] x 100% = [(124,000 / 100,000)-1 ] x 100% =24%
d) i= (Pn / Po ) x 100 – 100 = (124,000 / 100,000) 100- 100 = 24%

36
2.- si la tasa de interés es 10% anual (0,1 en su equivalente decimal) y
el monto del préstamo es S/. 100, entonces al cabo de un año se deberá
pagar por intereses S/. 10 = 0,1 x 100.

Pago total= 100+10 = S/. 110.00

3.- La compañía Hágase Rico Pronto (HRP) invirtió S/. 100,000 en 1°

de mayo y retiró un total de S/. 106,000 exactamente un año después.
Calcular (a) el interés generado sobre la inversión inicial y (b) la tasa de
interés de la inversión.

a) Interés ganado = cantidad acumulada – cantidad original = 106,000 –

S/. 100,000 = S/. 6000 37
Interés (I) = i x Po = 0.06 x S/. 100,000 = S/. 6,000

b) Tasa de interés ( i) = I / Po x 100% = 6,000 por año / 100000 x 100=

6% por año.

4.- HRP solicita un préstamo por S/. 100,000 hoy y paga S/. 110,000 a
un año. Calcular la tasa de interés.

i= [(110,000 – 100,000) / 100,000 ] x 100% = 10% al año

5.- Juna Roa planea solicitar un préstamo de S/. 20,000 a un año ,

al15% de interés. Calcular (a) el interés y (b) cantidad total a pagar al
cabo de un año.
38
a) Interés (I) o interés acumulado = capital original x tasa de interés = 20000 x
0.15 = S/. 3,000
Tasa de interés (i) = [Interés acumulado / cantidad original ] x 100% = (S/.
3000 /S/. 20,000 ) x 100% = 15%.
b) La cantidad total a pagar es la suma del capital original más los intereses
Total a pagar = S/. 20,000 + S/. 3000 = S/. 23,000.00
cantidad a pagar = capital (1 + tasa de interés) = S/. 20,000 (1+0.15) = S/.
23000.00
En cada ejemplo el periodo de interés fue de un año calculado al final del
periodo uno. Cuando el periodo de interés es más de un año, (por ejemplo, si
desea conocer la cantidad de interés que Juan Ríos podría deber al cabo de
tres años ), es necesario determinar si el interés se paga sobre una base de
interés simple o interés compuesto.

39
Tasa de Interés al Rebatir

Tasa de interés al rebatir es una tasa de interés simple que se cobra sobre el saldo
de la deuda pendiente.

Por ejemplo, si tenemos una deuda de S/. 10,000,000.00 de unidades

monetarias , al 75% anual, pagadero en ocho cuotas trimestrales.

Solución:

Plan de amortización constante: Plazo de 2 años y 8 cuotas trimestrales.

i= J/m = 0.75/4 = 0.1875

i= 0.1875 x 100 % = 18.75 % interés trimestral

40
Plan de amortización
Periodo Deuda Amortización Interés Servicio a la deuda Saldo
trimestral (total a pagar)
0 10,000,000.00 10,000,000.00

1 1,250,000.00 1,875,000.00 3,125,000.00 8,750,000.00

2 1,250,000.00 1,640,625.00 2,890,625.00 7,500,000.00

3 1,250,000.00 1,406,250.00 2,656,250.00 6,250,000.00

4 1,250,000.00 1,171,875.00 2,421,875.00 5,000,000.00

5 1,250,000.00 937,500.00 2,187,500.00 3,750,000.00

6 1,250,000.00 703,125.00 1,953,125.00 2,500,000.00

7 1,250,000.00 468,750.00 1,718,750.00 1,250,000.00

8 1,250,000.00 234,375.00 1,484,375.00 0

Total 10,000,000.00 8,437,500.00 18,437,500.00

41
 Interés Compuesto
En el interés compuesto, los intereses que se van generando se van
incrementando al capital original en periodos establecidos y a su vez
van a generar un nuevo interés adicional para el siguiente lapso. El
interés se capitaliza.

Es aquel que se va sumando al capital inicial y sobre el que se van

generando nuevos intereses. El dinero, en este caso, tiene un efecto
multiplicador porque los intereses producen nuevos intereses.

42
Tasa de Interés compuesto.- Se expresa comúnmente en forma

anual indicando si es necesario su periodo de capitalización.

 Ej. 48% anual capitalizable mensualmente.

F = P (1+i)n Fórmula de capitalización anual.

Donde:
F= Valor futuro
P = Valor presente
i= Tasa de interés
n= Número de periodos de capitalización por unidad de tiempo

43
¿Qué es el interés compuesto y ejemplos?

Es aquel que se va sumando al capital inicial y sobre el que se van

generando nuevos intereses. El dinero, en este caso, tiene un efecto
multiplicador porque los intereses producen nuevos intereses. Sin
embargo, en el caso del interés o capitalización simple, los rendimientos
siempre se generan sobre el capital original.
•El capital inicial va creciendo en cada periodo porque se van
sumando los intereses.
•La tasa de interés se aplica sobre un capital que va cambiando.

•Los intereses aumentan en cada periodo. 44

¿Cómo calcular el interés compuesto?

Si se tienen 100 soles en una cuenta, a un interés del 10% anual, al cabo
de un año se ingresarán en dicha cuenta 10 soles en intereses. De esta
forma, el capital inicial pasaría de 100 soles a 110 soles. Al final del
segundo año, los intereses generados serán 11 soles que es el resultado
de aplicar el 10% sobre 110 soles. De este modo tendría el capital inicial
más intereses del primer año y los intereses del segundo año, en total
121 soles… y así sucesivamente.

45
La fórmula del interés compuesto
Para calcular cómo aumenta el capital a lo largo del tiempo, es necesario aplicar
esta fórmula:
Capital final = C0 x (1+Ti) ^t
(^t = elevado por el periodo de tiempo)
CO es el capital inicial, Ti es la tasa de interés anual y t es el tiempo que dura la
inversión.
Utilizando el ejemplo anterior, el primer año el resultado de 110 soles se
obtendría de esta forma:
Capital final= 100 X (1 + 0,10/1) ^ 1 = 110
En el segundo año, la fórmula se aplicaría así:
110 x (1+ 0,10/1) ^ 1 = 121
Como puede verse, el capital inicial va variando ya que se van sumando los
intereses obtenidos, por lo que el total va aumentando cada año.
46
Ejemplos: Supongamos que depositas S/. 5,000 en una cuenta de
ahorros con una tasa de interés anual del 5 %, que se capitaliza
mensualmente. Dicho depósito generaría S/. 3,235.05 de interés al
finalizar un periodo de 10 años. El desglose del cálculo matemático es
como sigue:
x = C (1+t/n)mn - C
x = 5,000 (1+0.05/12)12x10 - 5,000
x = 5,000 (1.00416667)120 - 5,000
x = 5,000 (1.64701015) - 5,000
x = 8,235.05 - 5,000
x = 3,235.05 47
Durante ese periodo de 10 años, tu depósito aumentaría de S/. 5,000
a S/. 8,235. La misma cuenta, si generara interés simple, aumentaría
a solo S/. 7,500.

Por supuesto, si no te gusta hacer cálculos con números, puedes

usar una calculadora en línea. Las calculadoras pueden ser
particularmente útiles cuando haces depósitos o pagos a tus cuentas
con regularidad, ya que tu saldo cambiará con el tiempo.

48
La frecuencia de la capitalización es particularmente importante para
estos cálculos, ya que cuanto más alto sea el número de periodos de
capitalización, mayor será el interés compuesto. Y si bien el interés se
puede capitalizar conforme a cualquier frecuencia determinada por una
institución financiera, el programa de capitalización de las cuentas de
ahorros y money market de los bancos con frecuencia es diario.

49
El interés sobre los certificados de depósito (CD) se puede capitalizar
diariamente, mensualmente o semestralmente. En el caso de las
tarjetas de crédito, la capitalización con frecuencia ocurre
mensualmente o incluso diariamente. La capitalización más frecuente te
favorece cuando eres el inversionista, pero supone una desventaja
cuando eres el prestatario.

50
La tasa de interés de tu cuenta bancaria, un 10% anual. Tienes 1.000 soles
en esa cuenta. Al cabo de un año habrán entrado 100 soles en intereses.

Ahora pasas a tener 1.100 soles, que decides mantener en esa cuenta con
las mismas condiciones. Pasado el segundo año tendrás 1.210 soles. Es
decir, habrás ingresado más durante el segundo año (110 soles) que en el
primero (100 soles) porque las rentabilidades se van multiplicando
hasta que decidas recuperar ese dinero. Cuando lo hagas habrás
conseguido durante el tiempo de la inversión unos ahorros mayores
gracias a la magia del interés compuesto.
51
Supongamos que a los 10 años decides retirar el dinero que habías
depositado en la cuenta, que habían sido 1.000 soles. Durante ese tiempo el
dinero habrá crecido hasta los 2.594 soles. ¡Tendrás más del doble del
dinero que ingresaste al principio en esa cuenta!.
Calculo de interés compuesto

Después de ver el ejemplo, vamos a desgranar cada uno de los ingredientes

de la receta de nuestra calculo de interés compuesto. Son los siguientes:

Capital inicial, que llamaremos Co

La tasa de interés anual, que llamaremos Ti

El periodo de tiempo que dura la inversión (^t)

52
¿Cómo calcular el interés compuesto?

Es así como obtenemos la fórmula de calculo de interés

compuesto:

Capital final = C0 x (1+Ti) ^t

Trasladamos los datos del ejemplo a la fórmula (1.000 soles iniciales

con un interés del 10%), primero para el primer año de inversión:

Capital final = 1000 x (1+0,1/1) ^1= 1.100 soles.

53
Siguiendo la lógica con la que funciona el interés compuesto (acumular
rentabilidades sobre rentabilidades anteriores) el segundo año se calcula con
los 1.100 soles acumulados al final del año 1 (la inversión inicial más los
beneficios).
Capital final = 1100 x (1+0,1/1) ^1= 1.210 soles

A comienzos del tercer año nuestro capital ya sería de 1.210 soles. Y si

queremos saber en un solo cálculo cuánto dinero conseguimos con el

interés compuesto en nuestro ejemplo, pondremos el capital inicial (1.000
soles) y la t de tiempo será de 10 años:

Capital final = 1000 x (1+0,1/1) ^10= 2.593,7 soles

54
1.- En el último semestre, la gasolina ha venido incrementándose en
2% cada 18 días en promedio. De mantenerse esta tendencia ,
¿cuánto costará un galón de gasolina dentro de un año, si el precio
es hoy S/. 3.50?.
Solución:
La tasa de crecimiento (i) del precio de gasolina es de 0.02 cada 18 días. El
numero de periodos (n)de 18 días que se capitaliza en el plazo de 360 días
(plazo de proyección) es n= 360/18 = 20.
Donde:
F = ? P = S/. 3.50 n = 360/18 = 20 i = 2% 100 = 2/100 = 0.02
F = P ( 1+i)^n = 3.50 (1+0.02)^20 = 5.20
F = S/. 5.20
55
2.- Que tiempo debe transcurrir para que un capital de S/. 5000.00, colocado a
una tasa de efectiva mensual de 6%, iguale al monto producido por otro capital
de S/. 8000.00 colocado a una tasa efectiva mensual del 4% ?.
Solución:
Los montos producidos por ambos capitales son:
F = P (1+i) ^n = 5000 (1+0.06)^n
F = P (1+i)^n = 8000 (1+0.04)^n
Igualando ambos montos podemos despejar n, con lo cual obtendremos el
número de periodos (tiempo) en dichos montos se igualan:
5000(1.06)^n = 8000(1.04)^n
(1.06)^n / (1.04)^n = 8000/5000
1.019230769^n = 1.6
n log (1.019230769) = log 1.6
56
n log (1.019230769) = log 1.6
n = Log 1.6 /log(1.019230769)
n= 0.204119982 / 0.008272525
n= 24.67444728 meses
n= 24.67444728 x 30 días
n= 740 días.

57
Calculo de interés compuesto por periodos

Supongamos que eres el inversor del ejemplo y en vez saber el

rendimiento que te está aportando el interés compuesto en periodos de
años quieres conocerlo por días y por meses. Primero habrá que sacar
la tasa de interés en el periodo que nos interesa.

Calculo de interés compuesto semestral

Para el semestre se calcula en dos pasos. Primero sacaremos la tasa

y luego la llevaremos a la fórmula del interés compuesto. Vayamos
con los primero, la tasa, que calculamos así:
58
Tasa de interés semestral = Ti / 2 (porque dividimos el año en dos
partes de seis meses). Llevémoslo a nuestro ejemplo, con el interés
del 10% de la cuenta del banco. Quedaría así:

Tasa de interés semestral = 10 / 2 = 5%.

El segundo paso para saber el interés compuesto semestral es llevar

la tasa que acabamos de calcular a la fórmula que tienes más arriba
en negrita. Vamos a recordarla: Capital final = C0 x (1+Ti) ^t

59
Ponemos los datos de nuestra inversión. Para calcular el interés
compuesto en excel o en una calculadora debemos eliminar el
porcentaje (%), que en nuestro ejemplo se traduce como 0,05/1:
Capital final (por semestre)= 1000 x (1+0,05/1) ^1= 1.050 soles.

El interés compuesto semestral el primer año es de 50 soles en el

primer año de inversión. Al final del segundo año, como acumulamos los
rendimientos anteriores, será mayor:
Capital final (por semestre)= 1000 x (1+0,05/1) ^2= 1.102,5 soles.

(Esto es, en el segundo año de inversión ganamos 102,5 soles en seis

meses). 60
Calculo de interés compuesto mensual

Para otros periodos se sigue el mismo proceso, como la calculadora

de interés compuesto mensual.

1. Calcular la tasa de interés mensual. Para ello dividimos el 10%

que nos da el banco de intereses entre los 12 meses.

Tasa de interés mensual = Ti / 12; en el ejemplo sería: Ti mensual =

10 / 12 = 0,83%.

61
2. Llevar ese 0,83% a la fórmula mágica para saber los soles que
ganamos... y nos indica que durante el primer año conseguimos

Capital final (por mes)= 1000 x (1+0,0083/1) ^1= 1.008,3 soles.

Cada mes del primer año de inversión ingresamos 8,3 soles extra.
Durante el segundo año, cuando ya surte efecto el interés compuesto,
estaremos ingresando cada uno de esos meses 16,6 soles.

Capital final (por mes)= 1000 x (1+0,0083/1) ^2= 1.016,6 soles.

62
Calculo de interés compuesto diario

Descendemos por último al nivel del día. ¿Cuánto puedo ganar con el
interés compuesto cada día? En esta ocasión la tasa de interés se
divide entre los 365 días del año.

Tasa de interés diario = Ti / 365; en el ejemplo sería: Ti diario= 10 /

365 = 0,027%

Segundo paso, llevar ese 0,027% a la fórmula mágica.

Capital final (por día)= 1000 x (1+0,00027/1) ^1= 1.000,27 soles.

63
Cada día del primer año de inversión ingresamos 27 céntimos.
Durante el segundo año, cuando ya surte efecto el interés
compuesto, estaremos ingresando cada uno de los días de ese
año 54 céntimos adicionales.

Capital final (por día)= 1000 x (1+0,00027/1) ^2= 1.000,54 soles.

64
Para qué sirve el interés compuesto y cuándo me conviene?

Este interés compuesto se aplica de forma habitual en el sistema

financiero. Todos los créditos que hacen los bancos, con
independencia de la modalidad, lo utilizan. ¿Por qué? Porque la entidad
financiera de turno se asegura que ese capital de su cliente, que está
creciendo con las reinversiones, se mantiene en las arcas del banco.

El inversor debe saber en qué condiciones el interés compuesto será

su aliado y cuándo se vuelve en su contra.

65
El inversor debe saber en qué condiciones el interés compuesto
será su aliado y cuándo se vuelve en su contra.

Es nuestro amigo en las operaciones de activo (las inversiones).

Es nuestro enemigo en las operaciones de pasivo (préstamos

bancarios). Es decir, cuando tomamos dinero prestado el efecto
multiplicador del interés compuesto va contracorriente para
nosotros.

66
Características del interés compuesto

Hay algunas características que distinguen el interés compuesto del

simple (este último supone que los intereses que obtenemos no se
reinvierten más adelante). Son tres las señas de identidad
fundamentales del interés compuesto, a saber:

1.- El capital inicial crece en cada periodo porque se van sumando los
intereses.

2.- La tasa de interés se aplica sobre un capital que va cambiando (un

ejemplo aclarará enseguida cómo funciona).

3.- Los intereses aumentan en cada periodo gracias a las reinversiones.

67
 Tasa nominal anual de interés
La tasa nominal anual es la tasa que se obtiene al final de un periodo
anual siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente
no se reinviertan. Por lo tanto tasa nominal anual constituye una
función lineal al cabo del periodo anual.

La tasa nominal se denomina por la letra J, y es igual a la tasa

periódica i multiplicada por los periodos en que se puede convertir a
capital en el periodo anual.

J = [( 1 + i )1/m – 1]m
68
 Tasa nominal

Esta tasa convencional o de referencia lo fija el Banco Federal o Banco

Central de un país para regular las operaciones activas (préstamos y
créditos) y pasivas (depósitos y ahorros) del sistema financiero. Es una
tasa de interés simple.
Esta tasa se caracteriza porque genera interés varias veces al año, es decir,
tienen una frecuencia la cual puede ser diaria, semanal, mensual, bimestral,
trimestral, cuatrimestral o semestral. También la tasa nominal es empleada como
base para el cálculo de la tasa de interés efectiva.

69
Expresado de otra forma, la tasa nominal es el porcentaje que se calcula
tomando como referencia un monto de dinero en específico durante un
periodo establecido. Por ejemplo, para el caso de los préstamos, se refiere al
porcentaje de interés que se cobrará por el financiamiento monetario.

Su cálculo es muy sencillo, por ejemplo, si se solicita un préstamo de S/.

1.000 a una tasa nominal del 1% mensual, los intereses mensuales serian de
S/. 10. Entonces para conocer la tasa anual se debe multiplicar la tasa
mensual (1) por la cantidad de meses (12), de esta forma se obtiene una tasa
nominal anual de 12%.

70
Quiere decir que la persona que solicite el préstamo de S/. 1.000 deberá
pagar S/. 120 anuales de intereses, y se calculan de esta forma: 1.000×
0.12= 120.

71
Siendo la tasa nominal un límite para ambas operaciones y como su empleo es anual
resulta equivalente decir tasa nominal o tasa nominal anual. La ecuación de la tasa
nominal es:

Fórmula de la tasa nominal conocido i y m.

J = [( 1 + i )1/m – 1]m
Donde:

J= Tasa de interés nominal

i= Tasa de interés efectiva del periodo = J/m (tasa proporcional)

m= Frecuencia de capitalización en el año

72
 Tasas nominales y Tasa de interés efectiva anual

La tasa efectiva anual (TEA) aplicada una sola vez, produce el mismo
resultado que la tasa nominal según el período de capitalización.

La tasa del período tiene la característica de ser simultáneamente

nominal y efectiva.

73
La Tasa de Interés Efectiva

La tasa efectiva es aquella que emplea la capitalización sucesiva

durante el año.

Corresponde a la tasa que se obtiene al final de un periodo anual,

siempre y cuando los rendimientos generados periódicamente se
reinviertan a la tasa de interés periódica pactada inicialmente. Por
lo tanto la tasa efectiva anual es una función exponencial de la tasa
periódica.

74
La tasa efectiva de una operación representa el rendimiento que
efectivamente se ha conseguido en un periodo determinado. Ahora
bien, la tasa efectiva puede ser un rendimiento o un costo, y dado las
diferentes formas de calculo que deben utilizarse según la naturaleza
económica de la operación, la definición que adoptamos es la alude a
su obtención a partir de la tasa de nominal.

Es la tasa real que se aplica a un capital como rendimiento por unidad

de tiempo elegida como referencia.

75
La tasa de interés efectiva también se puede definir como aquella que
acumula el interés al capital principal, es la tasa verdadera que se aplica
a una cantidad de dinero a un cuerpo determinado. Su base de cálculo
es la tasa nominal y se expresa como una tasa periódica la cual puede
ser diaria, semanal, mensual, bimestral, trimestral, cuatrimestral o
semestral.

76
Es decir, la tasa efectiva anual (TEA) es un indicador expresado como tanto
por ciento anual que muestra el costo o rendimiento efectivo de un producto
financiero y su cálculo de la TEA está basado en el tipo de interés compuesto
y parte del supuesto que los intereses obtenidos se vuelven a invertir a la
misma tasa de interés.

Ahora bien, después de conocer ambos términos podemos establecer una

diferencia y es que la tasa efectiva incluye la capitalización de intereses y la
nominal no. A su vez una tasa nominal puede ser anticipada o vencida
mientras que la tasa efectiva siempre es vencida.

77
La tasa de interés efectiva es aquella tasa que resulta de aplicar a la
tasa nominal, el periodo de capitalización o conversión de los intereses.
Dicha tasa denota un rendimiento a un costo efectivo según se trata de
una operación pasiva o activa.

Cuando se define la tasa de interés efectiva debemos distinguir entre

tasa efectiva anual y la tasa efectiva del periodo.
a) La tasa efectiva anual

Es el porcentaje que se aplica a una sola vez al año y equivale a varias

capitalizaciones periódicas en el año, también se denomina tasa real, su símbolo
es i.
78
La tasa efectiva es aquella que, capitalizada una vez en el periodo,
produce el mismo monto que se obtiene capitalizando en forma
subperiodos con la tasa proporcional. Es decir, un sol colocado a la
tasa de interés i produce en una sola capitalización, el mismo monto
que con J/m capitalizado varias veces.

La tasa efectiva anual, i, es aquella que genera el mismo monto que la

tasa nominal J capitalizado m veces al año durante el plazo que dure el
deposito, digamos n años. Así:

El monto Po después de n años a la tasa J capitalizable m veces al año

será: 79
F = Po (1+ J/m)^nm ( 1)
Donde:
F = Monto al final del periodo de capitalización
P = Monto inicial
J = Tasa de interés nominal
m = Periodo de capitalización
n = Años
Después del mismo plazo, n años, el monto a la tasa efectiva i por año debe
ser también F. Así:
F = P (1+ i )^n (2)
Donde:
80
81
 Tasa efectiva ( i ) : Es aquella que se obtiene a partir de una
tasa nominal y considera el efecto de la capitalización (m).
Formula tasa de interés efectiva anual, conocido J y m. m=p
(Número de capitalización es igual a número de pagos)

i = ( 1 + J/m )m - 1
Fórmula tasa de interés efectiva anual, conocido J y m. m≠p (Número de
capitalización es diferente al número de pagos)

Donde:
i= Interés efectiva
i = ( 1 + J/m )m/p - 1
J = Interés nominal anual
m = Frecuencia de capital al año
p = Frecuencia de pagos al año
82
 Indicaciones

La tasa efectiva anual nunca se puede dividir por ningún denominador,

porque es una función exponencial.

83
Tasas nominales equivalentes entre si, siempre tendrán la misma tasa
de interés efectiva anual.

La tasa efectiva anual, por lo tanto se constituye en un criterio para

tomar decisiones, para invertir lógicamente escoger aquella entidad
que ofrezca la mas alta(sin consideraciones por ahora del riego) y para
endeudarse elegir aquella tasa que términos efectivos sea la menor.

b) Tasa de interés efectiva del periodo

Llamada también tasa proporcional , resulta de dividir la tasa nominal

anual entre el número de capitalizaciones anuales.
84
Si llamamos “m” al número de capitalizaciones, tendremos que la tasa
de proporcional es J/m.

La tasa efectiva viene a ser la relación entre la tasa nominal y el

número de periodos capitalizables. Es decir, la tasa efectiva por
periodo se obtiene dividiendo la tasa nominal anual entre el número de
periodo que tenga el año.

i efectiva del periodo = J / m = Tasa de interés nominal anual /número

de periodos capitalizable por año.

85
 Tasa Periódica ó Tasa Proporcional
La tasa efectiva, corresponde a la tasa periódica anual y tendrá

sentido siempre y cuando sea periódica vencida.

Las tasas nominales anuales solamente admiten como divisor su

propia periodicidad. Por lo tanto para hallar una tasa periódica se

divide la tasa nominal en su frecuencia de conversión anual: i = J / m

J= Tasa nominal

m = Periodo de tiempo porción del año

i= Tasa periódica
86
Ejemplos:

1.- Diana Rodríguez desea determinar la tasa de interés efectiva

relacionada con la tasa de interés nominal del 20% (J=20%), cuando la
capitalización del interés es anual, semestral y trimestral.

Solución:

1.- Para la capitalización anual

i= [(1+0.20/1)^1] – 1 = 1+0.20-1=0.20 x 100% = 20%

2.- Para la capitalización semestral

i= [(1+0.20/2)^2]-1= (1+0.10)^2-1=1.21-1=0.21x100% =21%

87
3.- Para la capitalización trimestral
i=[(1+J/m)^m]-1 = [(1+0.20/4)^4]-1= [(1+0.05)^4]-1 =1.216-1=0.216 x 100% =21.6%

La tasa de interés nominal y efectiva son equivalentes a la capitalización anual.

La tasa de interés efectiva se incrementa al aumentar la frecuencia de
capitalización.

Ejemplo de tasa periódica:

1.- La tasa nominal anual de 36% con capitalización mensual es equivalente a

una tasa efectiva anual de 42.58%.
Tasa nominal Periodo de Rotación Tasa periódica Tasa efectiva i (%)
capitalización Valor de m J/m anual (i)
1+i= (1+J/m)^m
0.36 Mes 12 0.36/12=0.03 1+i=(1+0.03)^12 42.58%

88
 i= [(1+J/m)^m]-1 x 100% = [(1+ 0.36/12)^12] -1 x 100% = 42.58%

Ahora plantearemos el problema al revés. ¿Si la tasa efectiva anual es de 42.58%, ¿cuál es la tasa para un
periodo mensual?.

La formula de la tasa periódica:

(i +i) = (1+i´mensual)^m Donde: i>i´

(1+0.4258)12 = (1+i´mensual)

Despejando i´ mensual tenemos que aplicar raíz:

(1.4258)^1/12 =(1+i´mensual)

1.03 =1+i´mensual

89
1.03 =1+i´mensual

i´mensual= 1.03 – 1

i´ = 0.03 x 100%

i´ = 3% mensual

La tasa proporcional: J/m

J/m= 0.36/12= 0.03 x 100% = 3% efectivo periodo mensual

90
Tasas de Interés Equivalente

Hasta el momento hemos considerado que, una vez hallada la tasa

efectiva vigente para el periodo de capitalización en una operación, el
siguiente paso a seguir sería expresar el tiempo en términos de este
período; es decir, adaptar el periodo de n al periodo de i.

Sin embargo, podríamos preferir realizar el procedimiento inverso, de

fijar primero la unidad de tiempo con la cual vamos a trabajar y luego
redefinir la tasa efectiva en términos de esta última; es decir, adaptar el
periodo de i al periodo de n.
91
Una primera solución que se nos puede ocurrir es la de realizar un
cambio proporcional en i, pero en este caso estaríamos incurriendo en
un grave error, pues una tasa efectiva no puede multiplicarse ni
dividirse (con el fin de hallar otra tasa efectiva).

La solución al caso anterior consiste en hallar una tasa efectiva

equivalente con diferente periodo de vigencia. De hecho, este
procedimiento implica hallar un nuevo periodo de capitalización
equivalente con el original.

92
La definición a utilizar sería la siguiente: Dos tasas son equivalentes si sus tasas
efectivas a un mismo periodo (por lo general un año) son iguales . La expresión
anterior implica utilizar una operación de exponenciación según la siguiente
expresión:

iequiv= (1+ief)n -1

Donde:

iequiv=Nueva tasa efectiva

ief= Tasa de intereés efectiva que se requiere transformar

n= Razón entre el periodo de vigencia de i equiv y el periodo de vigencia de ief

93
Una conclusión importante a la que debemos llegar según lo tratado
anteriormente es que en el régimen de interés compuesto solo se
trabaja con tasas efectivas.

En todo caso la secuencia de conversión de tasas sería la siguiente:

TASA NOMINAL (In)

Multiplicación o División

TASA PROPORCIONAL ( ief)

Exponenciación

TASA EQUIVALENTE (ief) 94

Dos o más tasas periódicas de interés son equivalentes, si con
diferente periodicidad producen el mismo interés efectivo al final de
cualquier periodo. Generalmente se considera este periodo en un
año.

Dos o más tasas son equivalentes si dan el mismo monto para un

mismo capital a un mismo plazo.

Ahora a partir de esta relación general podemos comenzar a

identificar las siguientes tasas:

95
 J/m
Tasa efectiva Tasa nominal

( 1+i ) = ( 1 + J/m )m
Tasa proporcional

Tasa equivalente

96
Es decir, de aquella relación nacen la tasa de interés efectiva , tasa de
interés nominal, tasa proporcional y tasa de interés equivalente.

Dos tasas con diferentes periodos de capitalización son

equivalentes si producen el mismo valor actual o futuro, en
cualquier periodo.

97
98
Ejemplo de tasas equivalentes:
1.- Dada la tasa 50 % efectiva anual, hallar las tasas equivalentes a: (a) Un mes,
(b) Un bimestre, ( c ) y un día.
a) Si deseamos transformar a una tasa mensual equivalente, entonces:
i equiv =i mensual
ief= 0.50
n=mes/año= 1/12
i= (1+0.50)^1/12 -1
i= 0.0344 x 100% = 3.44% mensual
b) Transformando a una tasa de interés bimestral equivalente:
iequiv=i bimestral
iefe= 0.50
n=bimestre/año= 1/6
99
i= [(1+0.50)^1/6] -1
i=0.0699 x 100% = 6.99% bimestral
c) Transformando a equivalente diario:
i equiv= i diario
ief=0.50 anual
n= día /año=1/360
i= [(1+0.50)^1/360 ] – 1
i=0.0011 x 100% =0.11% diario
2.- Dada la tasa de 20% trimestral, hallar las tasas equivalentes correspondientes a:
un mes, a 54 días, un semestre, un año.
a) Si deseamos transformar a una tasa de mensual equivalente , entonces:
iequiv= i mes
ief=0.20 trimestral
100
 n=mes/trimestre =1/3
i= [(1+0.20)^1/3] -1
i=0.0627 x 100% =6.27 % mensual
b)Si deseamos transformar a una tasa equivalente a 54 días, entonces:
iequiv= i54 días
ief=0.20 trimestre
n=54 días/trimestre =54/90
i= [(1+0.20)^54/90] -1
i= 0.1156 x 100% =11.56 % a 54 días
c) Si deseamos transformar a una tasa semestral equivalente, entonces:
iequiv= i semestral
ief= 0.20 semestral
n=semestre/trimestre =2/1=2 101
i= [(1+0.20)^2 ]-1
i=0.44 x 100% =44% semestral
d) Si deseamos transformar a una tasa anual equivalente, entonces:
iequiv= i anual
ief= 0.20 trimestral
n= año/trimestre=4/1
i= [(1+0.20)^4/1] -1
i= 1.0736 x100 =107.36 % anual.

3.- Se quiere prestar 100 soles a un plazo de un año , a una tasa de 20 %

anual capitalizable mensualmente, o una tasa de 20.85% anual capitalizable
semestralmente . Estas tasas serían equivalentes si producen el mismo
valor futuro( o monto) dentro de un año.

102
C1 = P ( 1+ J /m) ^m = 100 ( 1+0.20 / 12) ^12 = 122 soles.

C2 = P ( 1+ J / m) ^m = 100 ( 1+ 0.2085/2)^ 2 = 122

Como producen el mismo monto, 20% anual capitalizable

mensualmente y 20.85% capitalizable semestralmente son equivalentes.

103
Relación entre la tasa efectiva anual y la tasa efectiva del periodo menor a un
año equivalente.

Esta relación permite hallar las tasas efectivas de periodos menores a un año
dada una tasa de interés anual o viceversa. Es más, permite encontrar tasas
equivalentes efectivas para cualquier periodo dado una tasa equivalente mayor
o menor a un año.

Esta asociado con la frase “tasas de inter período”. Sabemos que para el interés
compuesto es:
ief=I / P = (F-P)/P = (Monto final – menos monto inicial)/ monto inicial

F = P (1+J/m)^n
104
Donde J/m es la tasa efectiva para periodos menores a un año (tasa
interperiodo). Haciendo el reemplazo respectivo se tiene:
ief anual= [P (1+J/m) – P ] / P
Simplificando queda:
i efc anual= [(1+ i efe por periodo)^1/n] – 1
i ef por periodo = [(1+i ef anual) ^1/n ]-1
Ejemplos:
1.- La tasa efectiva anual alcanza un 45%. Establecer tasa efectiva mensual
equivalente.
En un año se tiene 12 periodos mensuales, a cada uno de ellos debe
corresponderla una tasa efectiva equivalente, n= 12.
El interés efectiva mensual (i ef mensual)= [(1+i efe anual)^1/12]- 1
ief men equiv = [(1+0.45)^1/12] – 1 = 0.031448 x 100 = 3.14%

105
2.- Se tiene una tasa efectiva trimestral del 18% . Hallar la tasa efectiva
quincenal equivalente.
Un trimestre tiene 6 quincenas (2 quincenas por cada 3 meses), n= 6
ief. quinc. = [( 1+ i) ^1/n ] – 1 = [(1 +0.18)^1/6 ] – 1 = 0.0279697 x 100% =2.80%
3.- Se tiene una tasa efectiva semestral del 30%. Hallar la tasa efectiva anual
equivalente. Hallar la tasa nominal anual cuando la capitalización es semestral
y cuando la capitalización es diaria.
Para la primera pregunta se tiene 02 periodos (2 semestres al año).
Utilizando la fórmula siguiente se tiene:
i ef. an = [( 1+i ef. por periodo)^1/n ]- 1 n = 2 semestres al año
i.ef. an = [( 1+0.30)^2 ]-1 = 0.69 x 100% = 69%.
La segunda pregunta se desdobla. En la primera parte se tiene dos periodos
de capitalización (m = 2, capitalización semestral).

106
i= (i nom anual)/ m = J / m
0.30 = J/2 J = 0.30 x 2 = 0.6 x 100 % = 60%

Para la segunda parte, primero deberá encontrarse la tasa efectiva diaria a

partir de la tasa efectiva semestral.

i ef. diaria= [(1+i)1/n]-1 i. ef.diaria = [( 1+0. 30) 1/180]-1

Hay 180 días en un semestre (30 días por 6 meses)

i.ef. día = 0.00145864 x 100% i. ef. día = 0.14%

En seguida reemplazando este valor en la fórmula:

i.periodo=J/m, para m = 360 (capitalización diaria)

0.00145864 = J/360 J = 360 (0.00145864) = 0.5251104 x 100% = 52.51%. 107

Tasa de Interés Real. El calculo financiero en un contexto
inflacionario: La tasa de interés real.

Cuando hay inflación , la tasa efectiva , tal como lo hemos visto, no

expresa el verdadero rendimiento real de una operación; la tasa
efectiva que vimos antes toma el nombre aparente, pues cuando hay
inflación su rendimiento es solo aparente. Así, por ejemplo, en un
banco se puede ganar un 20% efectivo al año, pero si en el mismo
lapso la inflación acumulada es del 10% ese 20% no representa el
rendimiento real de la operación, pues una parte de él fue consumido
por la inflación. 108
La tasa real es aquella que expresa el poder adquisitivo de la tasa de
interés; de esta forma mide el rendimiento exhaustivo de una
operación, al separar el componente inflacionario que se encuentra en
la tasa de interés aparente (ia) y así dejar solamente el componente
de interés puro.

La tasa de interés real es la tasa de interés efectiva corregida con la

tasa de inflación , y mide la discrepancia entre ambas. La tasa de interés
real es aquella tasa que resulta de descontar a la tasa de interés efectiva las
perdidas del poder adquisitivo de la moneda expresada a través de la tasa de
inflación (π).
109
Uno de los determinantes de la tasa de interés es la inflación y que la
inflación es básicamente el incremento de precios de un periodo a otro.
Irving Fisher fue un economista estadounidense, en los inicios del siglo
XX, Fisher propuso una ecuación que relacionaba las tasas de interés
con la inflación:

r = [(1+ief) / (1+π)] - 1
Donde:

r = tasa de interés real

ief= Tasa de interés efectiva

110
π = inflación

Esta ecuación se le conoce como la ecuación de Fisher y sirve para

determinar la ganancia de una inversión descontándole la inflación.

Fórmulas para la obtención de tasa de interés real:

Comprar dos tasas efectivas en distintos tiempos que implican una

diferencia importante de inflación ocasiona una equivocación en las
decisiones que se tomen con esta información. Es necesario deducir
los efectos de la inflación, de la manera como se detalla a
continuación:
111
ireal= [ (1+iefectiva) / ( 1+ inflación) ] – 1
Donde:
ir= i real= Es la tasa de interés real
ie= i efectiva = Es la tasa de interés efectiva
π = inflación

La fórmula equivalente es la siguiente:

ir= [(ief – π)/ (1+ π)] x 100%
Donde:
ir = Tasa de interés real
Π = Tasa de inflación anual dividida entre 100
ief= Tasa de interés efectiva anual dividida entre 100
112
Veamos un ejemplo:

Diana invierte por un año en un CDT (Certificado de Depósito a

Término) que paga una tasa de interés del 6,5% Efectivo Anual. Si la
inflación de ese año es del 4,2%. ¿Cuál es la rentabilidad real de
Diana?

113
Dado que ya tenemos la tasa de interés expresada como efectiva
anual, simplemente reemplazamos los datos en la fórmula:

r = [(0,065 + 1) / (0,042 + 1)] – 1 = 1,02207 – 1 = 0,02207 = 2,207%

Lo anterior significa que Diana tendrá una rentabilidad real anual

del 2,207%.

114
Rentabilidad Real

Deposito en el banco S/. 1.000.000, el cual me paga una tasa de interés

efectiva anual del 5%, si la inflación también es del 5% ¿Cuál es la
rentabilidad real?

Seguimos la misma metodología que en el ejercicio anterior, primero

reemplazamos los datos en la fórmula:

r = [(0,05 + 1) / (0,05 + 1)] – 1 = 0 = 0%

115
Esto significa que la rentabilidad real es de 0%. Si bien al final del año,
voy a recibir S/.1.050.000, lo cierto es que con este dinero podré
comprar lo mismo que compraba con S/.1.000.000 un año antes, ni
más, ni menos y esto es lo que significa tener una rentabilidad real de
0%.

116
Aproximación de la fórmula de interés real

En algunos libros de texto o incluso en Wikipedia pueden encontrar la

siguiente aproximación a la fórmula de Fisher: r = ie – π

Es mucho más simple que la original pero personalmente, prefiero la

fórmula original simplemente porque brinda el dato exacto. Si
comparamos los resultados en el primer ejemplo tenemos:

r = 0,065 – 0,042 = 0,023 = 2,3%

La tasa obtenida con esta fórmula es una décima superior a la tasa

encontrada con la fórmula original: 2,207%.
117
Tasa de interés real. Mide el retorno de los ahorros en términos del
volumen de bienes que se pueden adquirir en el futuro con un monto
dado de ahorro actual.

La fórmula simplificada para obtener la tasa de interés real implícita

en la nominal sería:

Tasa de Interés Real ≈ Tasa de Interés Nominal - Tasa de

Inflación.

118
Tasa de Interés Real. Es la tasa de interés nominal de la cual se
ha descontado el efecto de la inflación. Puede definirse como
ex-ante (descontando el efecto de la inflación esperada) o como ex
post (descontando el efecto de la inflación efectiva).

119
 Fórmula de Tasa de Interés Real
La fórmula simplificada sólo es útil cuando las tasas de inflación
son bajas. Para todos los casos, la Primera Fórmula General
es la siguiente:

ireal = (1 + iefectiva) -1
(1+π)

ir = ireal = es la tasa de interés real

ie = iefectiva = es la tasa de interés efectiva
Π = Inflación
120
La Segunda Fórmula General es la siguiente:

ir = [( i – π) / ( 1+ π) ] x 100%
Donde:
ir= Tasa de interés real
i= Tasa de interés efectiva
π = Inflación

121
El tipo de interés real es aquel rendimiento neto que obtendremos
sobre la cesión de una cantidad de dinero, una vez que hayamos
corregido los efectos de la inflación.

Es decir, cuando realizamos un préstamo, esa cantidad de dinero no

tiene el mismo valor en el momento presente que en el futuro cuando
sea devuelta, esto es debido a la pérdida del valor del dinero por
efecto de la inflación.

122
Es decir, con una cantidad de dinero dada, no podemos comprar la
misma cantidad de bienes hoy, que dentro de 5 años.

Por ello, muchos prestamistas exigen en sus préstamos un tipo de

interés real, para asegurarse de que en el futuro van a obtener un
beneficio. Para calcular el interés real, debemos de restarle al tipo
de interés nominal la tasa de inflación.

123
Ejemplo:

El préstamo de S/. 100, con un tipo de interés nominal del 3%. Al

año siguiente, cuando nos devuelve el préstamo, ha habido una
inflación del 2%. Esto quiere decir que, aunque hayamos aplicado un
interés nominal de 3%, y nos devuelva S/.103, el tipo de interés real
que le hemos aplicado ha sido de un 1%, ya que el principal del
préstamo (S/.100) tiene menos valor al año siguiente, por el efecto
inflacionario.

124
Un ahorrador que deposita S/. 1,000.00 en una cuenta durante 01 año
a un tipo de interés nominal del 2,5 % obtendrá S/. 1,025.00 al final del
año.

Sin embargo, si los precios aumentan un 3 %, necesitará S/. 1,030.00

para comprar los mismos bienes y servicios que un año antes habrían
costado S/. 1,000.00

125
Ello significa que en la práctica el rendimiento real habrá sido de 0,5
% (3% - 2.5%). Este es el tipo de interés real, que se calcula
restando la tasa de inflación (3 %) al tipo de interés nominal (2,5
%).

Una tasa de inflación superior al tipo de interés nominal implica un

tipo de interés real negativo y, como consecuencia, una rentabilidad
negativa para un inversor.

Ejemplos:

126
1.- Una persona hace un deposito a término fijo de 2 años, al 31 % . Si
la inflación es del 24%, ¿ Cuál es la tasa real ganada?.

i= 31% Π = Inflación = 24%

Aplicando las fórmulas correspondientes:

a) ir = [( i – π) / ( 1+ π) ] x 100% = [(0.31 – 0.24) / (1+0.24)] – 1 x 100%

ir= 0.056 x 100% = 5.645%

b ) ir = [(1+ i) / (1+ π)] -1 x 100% = [(1+0.31) / (1+0.24)] -1 x 100% =

5.645%

127
2.- Si deseo que mis inversiones rindan una tasa real del 8% y la
inflación se estima en el 25% ,¿a que tasa de interés debo invertir?.

ir= 8% π = 0.25 i= ?

ir= [ (i- π) / ( 1+ π) ] x 100 %

0.08 = [ (i-0.25)/ (1+0.25)] 0.08= (1+0.25) = 1(i – 0.25)

0.08+0.02= i – 0.25 0.1= i - 0.25

0.1 + 0.25 = i i= 0. 35 x 100 i = 35%.

128
Las finanzas como relación entre Liquidez, Riesgo y Rentabilidad

Liquidez es la capacidad de pago a corto plazo; el riesgo, la

posibilidad de perder; la rentabilidad, la capacidad de generar
beneficios.

El fin de las finanzas se resume en ganar dinero. Sin embargo, nadie

invertiría en un proyecto rentable que fuera excesivamente riesgoso o
que no permitiera pagar las obligaciones de corto plazo.

129
¿Qué es rentabilidad?. Son los beneficios obtenidos o que pueden
obtenerse gracias a una inversión.

¿Qué es riesgo? La misma fuente lo explica como la incertidumbre o

falta de certeza sobre una acción o proceso. Se aplica en cualquier
ámbito, incluido en los resultados de una inversión.

En resumen, mientras que la rentabilidad es lo que podrías ganar al

invertir, el riesgo es la posibilidad de que los resultados sean
adversos o no tan favorables.

130
¿Cómo se relacionan?

Toda inversión se hace en busca de rentabilidad, pero a su vez no existe

inversión sin riesgo. Por ello, tal como lo señala BBVA, hay una relación
inversa entre riesgo y rentabilidad potencial para cualquier alternativa de
ahorro e inversión, donde:
 A mayor rentabilidad esperada, se tendría que asumir mayor riesgo.

 A mayor nivel de riesgo, la rentabilidad potencial debería ser mayor.

 Si las condiciones de riesgo son iguales, lo ideal sería elegir la alternativa de

inversión con mayor potencial de rentabilidad.
Si las condiciones de rentabilidad son las mismas, lo conveniente sería tomar la
opción menos arriesgada. 131