Clase 4 - Conf. 4 - Modelo Matemático

Investigación de Operaciones
Docente: Hirám Hernández Ramos

hhernandez@uea.edu.ec
Tema: Modelos matemáticos
Clase 4.
Conferencia: 4
Subtemas: ¿Qué es un modelo?. Tipos de modelos de IO. Metodología de

la Investigación de Operaciones. Modelo matemático.
Objetivos: Interpretar los conceptos de Modelo Matemático, Función

Objetivo, Restricciones, Parámetros y Variables del modelo. Así como
reconocer los diferentes tipos de variables.
Introducción
La Investigación de Operaciones es la aplicación,

por grupos interdisciplinarios, del método científico a
problemas relacionados con el control de las
organizaciones o sistemas, con el fin de que se
produzcan soluciones que mejor sirvan a los
objetivos de la organización
La forma convencional en que la investigación de

operaciones realiza esto es construyendo un
modelo matemático que represente la esencia del
problema.
Principales aplicaciones de la investigación de operaciones
¿QUE ES UN MODELO?
Entre las variadas acepciones que hay de la palabra modelo, citamos la de la Real
Academia Española:
“Esquema teórico, generalmente en forma matemática, de un sistema o de una

realidad compleja, como la evolución económica de un país, que se elabora para
facilitar su comprensión y el estudio de su comportamiento.”
Elaborar un modelo de un sistema o realidad compleja suele ser una tarea ardua y
retadora. En la práctica, es usual encontrar modelos desarrollados para
representar el comportamiento de alguna sección del sistema o alguna versión
simplificada del mismo.
Tipos de modelos de I.O
1. Modelo simbólico o 2. Modelo de simulación. 3. Modelo Heurístico.
matemático Imitan el comportamiento del Este modelo de solución,
Este tipo de modelo sistema sobre un periodo. descansa en las reglas
supone que todas las Estos modelos no necesitan empíricas o intuitivas, mediante
variables relevantes son funciones matemáticas para la búsqueda inteligentemente de
cuantificables. realizar variables, simulan un punto de solución a otro con
Usa símbolos sistemas complejos que no el objetivo de mejorar el criterio
matemáticos para pueden modelarse o resolverse de este modelo.
representar variables matemáticamente Cuando ninguna mejora
matemáticas y descubrir el La principal falla es que el adicional puede lograrse la mejor
comportamiento de un análisis es equivalente a realizar solución es la solución
sistema experimentos y estar sujeto a aproximada al modelo.
errores experimentales.
Metodología de la Investigación de Operaciones
Las etapas básicas para aplicar la investigación de operaciones en la

práctica, una vez que se ha identificado y definido el alcance y las
características del problema a resolver, son las siguientes:
1. Formulación y definición del problema.

2. Construcción del modelo.
3. Solución del modelo.
4. Validación del modelo.
5. Implementación de resultados.
1- Formulación y definición del problema. En esta fase se necesita una descripción de los objetivos del sistema, es decir, qué se desea
optimizar; identificar las variables implicadas, ya sean controlables o no; determinar las restricciones del sistema
2- Construcción del modelo. Se decide el modelo a utilizar para representar el sistema, en el que se relacione a las variables de
decisión con los parámetros y restricciones del sistema. Es recomendable determinar si el modelo es probabilístico o
determinístico.
3- Solución del modelo. Una vez que se tiene el modelo, se procede a derivar una solución matemática, empleando las diversas
técnicas y métodos matemáticos para resolver problemas y ecuaciones. Tener en cuenta que son soluciones matemáticas que
debemos interpretar al mundo real.
4- Validación del modelo. requiere que se determine si dicho modelo puede predecir con certeza el comportamiento del sistema.
Un método común para probar la validez del modelo es someterlo a datos pasados disponibles del sistema actual y observar si
reproduce las situaciones pasadas del sistema.
5- Implementación de resultados. Una vez que hayamos obtenido la solución o soluciones del modelo la el siguiente y último paso del
proceso es interpretar esos resultados y dar conclusiones y cursos de acción para la optimización del sistema
FORMULACIÓN DE UN MODELO MATEMÁTICO
El modelo matemático de un problema industrial está conformado por el sistema de ecuaciones y
expresiones matemáticas
• De esta forma, se deben tomar n decisiones cuantificables relacionadas entre sí, se representan como
1 variables de decisión (x1, x2, . . . , xn)
• En consecuencia, la medida de desempeño adecuada (por ejemplo, la ganancia) se expresa como una
función matemática. Esta función se llama función de objeto.
2
• También se expresan en términos matemáticos todas las limitaciones que se pueden imponer a las
variables de decisión en forma de ecuaciones o desigualdades
3 (como X1 + 3X1X2 + 2X2 ≤ 10), reciben el nombre de restricciones.
• Las constantes de las restricciones y de la función objetivo se llaman parámetros del modelo.
4
Los modelos matemáticos
Tienen muchas ventajas sobre una descripción verbal del problema
La más obvia es que describe un problema en forma mucho más concisa

• Esta característica tiende a hacer más comprensible toda la estructura del problema y ayuda a
revelar las relaciones importantes causa-efecto
En segundo lugar, indica con mayor claridad qué datos adicionales son importantes para el análisis.
• También facilita el manejo total del problema y, al mismo tiempo el estudio de sus
interrelaciones.
Por último un modelo matemático forma un puente para el empleo

de técnicas matemáticas y computadoras de alto poder para analizar el problema.
Los modelos matemáticos
Por otro lado, existen obstáculos que se deben evitar cuando se utilizan modelos matemáticos
Por lo tanto, debe tenerse cuidado de que el modelo sea siempre una
representación válida del problema
El criterio adecuado para juzgar la validez de un modelo es si predice o no con suficiente exactitud
los efectos relativos de los diferentes cursos de acción, para poder tomar una decisión que tenga
sentido.
En consecuencia, todo lo que se requiere es que exista una alta correlación entre la predicción del
modelo y lo que ocurre en la vida real.
Para asegurar que este requisito se cumpla es importante hacer un número considerable de pruebas
del modelo y las modificaciones consecuentes.
MODELO MATEMÁTICO
Un modelo matemático Una ecuación establece que

busca representar una En general, un modelo dos términos son iguales. Esta
realidad mediante el uso de matemático está igualdad se representa
relaciones matemáticas, a compuesto de mediante el
través de la lógica, con el ecuaciones y/o signo de igual (=) y se
objetivo de ayudar en el desigualdades interpreta como: término de la
proceso de toma de algebraicas. izquierda (es igual a) término
decisiones. de la derecha.
MODELO MATEMÁTICO
Los elementos de una ecuación son los siguientes:
VARIABLE. Símbolo (letra) que representa un número que desconocemos.

CONSTANTE. Número que no va acompañado de una variable.
COEFICIENTE. Número que va acompañado de una variable, multiplicándola.
OPERADOR. Corresponde a los símbolos que representan una operación.
Por ejemplo, en la ecuación:

2W − 25Y = 3050
El coeficiente 2 multiplica a la variable W; de igual manera, el coeficiente 25 multiplica

a la variable Y. El operador es el de resta y la constante es el número 3050.
MODELO MATEMÁTICO
Una desigualdad algebraica puede tener la estructura de una ecuación, pero

representa no igualdad entre dos términos.
ELEMENTOS DE UN MODELO MATEMÁTICO
Al constituir una herramienta para la toma de decisiones, el modelo matemático debe

necesariamente incluir en su totalidad las alternativas entre las cuales se deberá tomar la
decisión, las restricciones que existen y la medida con la que se evaluarán las alternativas, de
acuerdo al objetivo que se quiere lograr.
Para explicar los términos alternativas, las restricciones y los objetivos, analizaremos un problema.
Problema de proyectos de inversión
Imaginemos que ocupamos el puesto de coordinador de proyectos dentro de una empresa. El gerente general de dicha
empresa ha destinado 100 000 pesos para invertir en los proyectos que generen beneficios económicos a esta. Existen
tres proyectos en los que se puede invertir. ¿En cuál(es) proyecto(s) debería invertir la empresa para obtener los máximos
beneficios económicos?
Se tiene la siguiente información sobre los proyectos:

Solución:
¿Que acciones podemos ejecutar para la resolución de

este problema?
¿Cuál de estas acciones se debe tomar?

Basados en el beneficio descrito en la Tabla 1.2.
Evaluamos el costo de inversión que tiene cada una

de las acciones:
Por tanto, basados en la Tabla 1.3 se puede

comprobar que la opción de invertir en los tres
proyectos no es posible, pues excede en 45 000
pesos el presupuesto de inversión de 100 000 pesos.
Cuando una acción viola alguna restricción, se dice

que es no factible. Las alternativas de solución a este
problema
son aquellas acciones factibles, es decir, aquellas que
no violan la(s) restricción(es) del problema.
Conclusiones.
Bibliografía.
Historia de la Investigación de Operaciones
https://www.youtube.com/watch?v=vRLC9-8nipM
Martínez Salazar, I. A., Vértiz Camarón, G., López Pérez, J. F., Jiménez Lozano, G., & Moncayo Martínez, L. A. (2014).
Investigación de OPERACIONES. México
Aquino Córdova, J. (2012). Investigación de Operaciones. Red Tercer Milenio S. C. México

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Las etapas básicas para aplicar la investigación de operaciones en la

1. Formulación y definición del problema.

La más obvia es que describe un problema en forma mucho más concisa

Por último un modelo matemático forma un puente para el empleo

Un modelo matemático Una ecuación establece que

Los elementos de una ecuación son los siguientes:

VARIABLE. Símbolo (letra) que representa un número que desconocemos.

Por ejemplo, en la ecuación:

El coeficiente 2 multiplica a la variable W; de igual manera, el coeficiente 25 multiplica

Una desigualdad algebraica puede tener la estructura de una ecuación, pero

Al constituir una herramienta para la toma de decisiones, el modelo matemático debe

Problema de proyectos de inversión

Se tiene la siguiente información sobre los proyectos:

¿Que acciones podemos ejecutar para la resolución de

¿Cuál de estas acciones se debe tomar?

Basados en el beneficio descrito en la Tabla 1.2.

Evaluamos el costo de inversión que tiene cada una

Por tanto, basados en la Tabla 1.3 se puede

Cuando una acción viola alguna restricción, se dice

Aquino Córdova, J. (2012). Investigación de Operaciones. Red Tercer Milenio S. C. México

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